第1章 1.2.1 命 题（配套教参Word）-【步步高】2025-2026学年高一数学必修第一册学习笔记（湘教版）

本高中数学讲义聚焦“命题”核心知识点，从命题的概念（陈述句、可判断真假）入手，通过实例区分真假命题，进而学习命题的否定（非p），最后梳理命题的条件与结论及逆命题，构建层层递进的学习支架。 资料以导语中新闻“命题”与数学“命题”对比引发兴趣，通过问题驱动（如区分语句类型）培养数学思维，结合丰富实例（如判断“x>0”是否为命题）和跟踪训练强化数学语言表达。课中助力教师引导探究，课后课时对点练帮助学生查漏补缺，巩固知识。

1.2.1　命　题 学习目标　1.通过实例，了解命题的概念，会判断给定命题的真假.2.理解命题的一般结构. 导语 “命题”这个词在新闻报道中经常可以看到.例如：从最直接的生态保护方式之一——植树造林，到多种更具有创造性的环保活动的开展，如何建立公众与自然沟通的桥梁，引发人们对自然环境的关注和思考，成为时下环保的“新命题”(《中国年报》).我们在数学中也经常接触到“命题”这两个字，你知道新闻报道中的“命题”与数学中的“命题”有什么区别吗？这节课，就让我们一起来探究数学中的“命题”. 一、命题及其真假判断 问题1　“红豆生南国，春来发几枝，愿君多采撷，此物最相思.”这是唐代诗人王维的《相思》.在这四句诗中，哪句是疑问句？哪句是陈述句？哪句是祈使句？哪句是感叹句？ 提示　“红豆生南国”是陈述句， “春来发几枝”是疑问句，“愿君多采撷”是祈使句， “此物最相思”是感叹句. 问题2　疑问句、祈使句、感叹句能否作为命题？ 提示　疑问句、祈使句、感叹句不能作为命题，只有陈述句能作为命题. 知识梳理 1.命题的概念：叙述一件事情的句子(陈述句)要么是真的，要么是假的，但两者必居其一且仅居其一，这种陈述句叫作命题. 2.命题的分类 (1)真命题：判断为真的陈述句叫作真命题. (2)假命题：判断为假的陈述句叫作假命题. (3)猜想：虽然凡是可以判断真假的陈述句一定是命题，但数学中存在一些暂时不知道真假的命题，我们称其为猜想. 注意点： (1)命题是一个陈述句，疑问句、感叹句或祈使句均不是命题. (2)命题不一定是正确的，但可以作出正确与否的判断. (3)常说的定理、公理等都是正确的，所以是真命题. 例1　(课本例1)下列语句是命题吗？若是，则判断是真命题还是假命题. (1)x>0； (2)若a，b是任意实数且a2>b2，则a>b. 解　(1)因为无法判断它的真假，故不是命题. (2)假命题.因为若a＝－2，b＝－1，则a2>b2，但a<b. 例1　判断下列语句是否为命题？若是，请判断其真假，并说明理由. (1)求证是无理数； (2)若x∈R，则x2＋4x＋4≥0； (3)你是高一的学生吗？ (4)并非所有的人都喜欢吃苹果； (5)若xy是有理数，则x，y都是有理数； (6)60x＋9>4. 解　(1)是祈使句，不是命题. (2)因为x2＋4x＋4＝(x＋2)2≥0，所以可以判断其真假，是命题，而且是真命题. (3)是疑问句，不是命题. (4)是命题，而且是真命题，有的人喜欢吃苹果，有的人不喜欢吃苹果. (5)是命题，而且是假命题，如×(－)＝－7是有理数，但和－都是无理数. (6)不是命题.这种含有未知数的语句，无法确定未知数的取值能否使不等式成立. 反思感悟　判断一个语句是否是命题，关键是看它是否符合两个条件：“是陈述句”“可以判断真假”，祈使句、疑问句、感叹句等都不是命题.判断命题的真假，往往要综合运用日常生活和生产实践中的知识经验或数学的知识方法. 跟踪训练1　判断下列命题的真假，并说明理由. (1)正方形既是矩形又是菱形； (2)当x＝4时，2x＋1<0； (3)若x＝3或x＝7，则(x－3)(x－7)＝0. 解　(1)是真命题.由正方形的定义知，正方形既是矩形又是菱形. (2)是假命题.当x＝4时，不满足2x＋1<0. (3)是真命题.x＝3或x＝7时能得到(x－3)(x－7)＝0. 二、命题的否定 问题3　“0是自然数”与“0不是自然数”这两个命题有什么区别与联系？ 提示　“0是自然数”是一个真命题，“0不是自然数”是一个假命题.它们说的是同一事件的正反两方面. 知识梳理 如果p是一个命题，则“p不成立”也是一个命题，叫作p的否定，记作¬p，读作“非p”. 注意点： (1)p也是¬p的否定，p与¬p互为否定. (2)命题p与¬p一定有一个为真命题有一个为假命题. (3)判断命题p的真假时，若p的真假性判断有难度，可以先判断¬p的真假. 例2　(课本例2)写出下列命题p的否定¬p： (1)p：4是方程x2－16＝0的根； (2)p：相似三角形的面积一定相等； (3)p：16是4的倍数. 解　(1)¬p：4不是方程x2－16＝0的根. (2)¬p：相似三角形的面积不一定相等. (3)¬p：16不是4的倍数. 例2　写出下列命题的否定，并判断其真假. (1)p：实数的平方是非负数； (2)p：质数都是奇数； (3)p：方程x2＋x＋2＝0有实数根； (4)p：菱形的对角线互相垂直且平分. 解　(1)¬p：实数的平方不都是非负数.假命题. (2)¬p：质数不都是奇数，2是质数，但2是偶数，所以¬p为真命题. (3)¬p：方程x2＋x＋2＝0没有实数根.真命题. (4)¬p：菱形的对角线不互相垂直或平分.假命题. 反思感悟　(1)写命题的否定¬p时，要注意一些常见词语的否定.如：都是的否定是不都是，全的否定是不全，且的否定是或，至多的否定是至少等. (2)判断命题p或¬p的真假性时.若其中一个命题的真假不好判断，先判断其否定的真假性，再利用p与¬p的真假性相反，判断另一个命题的真假性. 跟踪训练2　写出下列命题的否定，并判断其真假性. (1)p：两个奇数的和是奇数； (2)p：集合A∩B一定是集合A∪B的子集； (3)p：圆的内接四边形的对角互补； (4)p：面积相等的三角形都全等. 解　(1)¬p：两个奇数的和不是奇数.真命题. (2)¬p：集合A∩B不一定是集合A∪B的子集.假命题. (3)¬p：圆的内接四边形的对角不互补.假命题. (4)¬p：面积相等的三角形不都全等.真命题. 三、命题的条件与结论、逆命题 问题4　命题p：若a>b，则a2>b2.命题q：若a2>b2，则a>b.这两个命题有什么关系？真假性相同吗？ 提示　命题p的条件是命题q的结论，命题p的结论是命题q的条件.p与q的真假性相同，p，q都为假命题. 知识梳理 1.如果将命题写成“若p，则q”的形式，就将p叫作命题的条件，q叫作命题的结论.当命题“若p，则q”为真，则记作p⇒q，读作“p推出q”；当命题“若p，则q”为假，则记作pq，读作“p 推不出q”. 2.如果两个命题的条件和结论互换了位置，就称一个命题是另一个命题的逆命题. 注意点： (1)若命题p是命题q的逆命题，那么命题q也是命题p的逆命题. (2)两个命题互为逆命题，它们的真假性无关联. 例3　把下列命题改写成“若p，则q”的形式，并写出其逆命题. (1)当ac>bc时，a>b； (2)能被6整除的数既能被2整除也能被3整除； (3)角平分线上的点到角的两边的距离相等. 解　(1)若ac>bc，则a>b； 逆命题：若a>b，则ac>bc. (2)若一个数能被6整除，则它既能被2整除也能被3整除； 逆命题：若一个数既能被2整除也能被3整除，则它能被6整除. (3)若一个点是一个角的角平分线上的点，则该点到这个角的两边的距离相等； 逆命题：若一个点到一个角的两边的距离相等，则这个点在这个角的角平分线上. 反思感悟　写命题的逆命题时，若命题不是以“若p，则q”这种形式出现，首先要确定该命题的条件p和结论q，然后将命题改写成“若p，则q”的形式，再交换条件与结论的位置得到逆命题. 跟踪训练3　写出下列命题的逆命题，并判断原命题、逆命题的真假性. (1)若x＝－2，则x2－x－6＝0； (2)若a2＋b2≠0，则a≠0或b≠0； (3)平行四边形的对角线互相平分. 解　(1)逆命题：若x2－x－6＝0，则x＝－2.原命题为真命题，逆命题为假命题. (2)逆命题：若a≠0或b≠0，则a2＋b2≠0.原命题、逆命题都是真命题. (3)逆命题：若一个四边形的对角线互相平分，则这个四边形是平行四边形.原命题、逆命题都是真命题. 1.知识清单： (1)命题的概念. (2)判断命题的真假. (3)命题的否定. (4)命题的结构形式. (5)逆命题. 2.方法归纳：等价转化、间接法(正难则反). 3.常见误区：命题的否定，只是否定结论，易混淆. 课时对点练 [分值：100分] 单选题每小题5分，共30分；多选题每小题6分，共18分 1.下列语句能作为命题的是(　　) A.3比5大 B.太阳和月亮 C.高二年级的学生 D.x2＋y2＝0 答案　A 解析　根据命题定义：能判断真假的陈述句，A正确，B，C不是陈述句，D不能判断真假. 2.命题“只有符号不同的两个数互为相反数”的条件是(　　) A.两个数的符号不同 B.两个数只有符号不同 C.两个数互为相反数 D.只有符号不同 答案　B 解析　原命题可以改写为“如果两个数只有符号不同，那么这两个数互为相反数”，“如果”后面的部分是条件，即两个数只有符号不同是原命题的条件. 3.“若两直线平行，则同位角相等”的逆命题是(　　) A.若同位角相等，则两直线不平行 B.若两直线平行，则内错角相等 C.若内错角相等，则两直线不平行 D.若同位角相等，则两直线平行 答案　D 解析　“若两直线平行，则同位角相等”的逆命题是“若同位角相等，则两直线平行”. 4.命题“全等三角形的面积相等”改写成“若p，则q”的形式为(　　) A.若两个三角形全等，则它们的面积相等 B.若两个三角形的面积相等，则这两个三角形全等 C.若两个三角形的面积相等，则这两个三角形不全等 D.若两个三角形不全等，则它们的面积不相等 答案　A 解析　若p，则q的形式为：若两个三角形全等，则它们的面积相等. 5.(多选)下列命题中为假命题的有(　　) A.x＝0是方程(x－1)(x＋2)＝0的根 B.340能被5整除 C.对任意实数x，均有x＋1>x D.方程x2－2x＋3＝0有两个不等的实数根 答案　AD 解析　B，C为真命题，A，D为假命题. 6.(多选)下列说法错误的是(　　) A.命题“直角相等”的条件和结论分别是“直角”和“相等” B.语句“最高气温30 ℃时我就开空调”不是命题 C.命题“对角线互相垂直的四边形是菱形”是真命题 D.语句“当a>4时，方程x2－4x＋a＝0有实根”是假命题 答案　ABC 解析　对于A，改写成“若p，则q”的形式应为“若有两个角是直角，则这两个角相等”； 对于B，所给语句是命题； 对于C，边长为3的等边三角形与底边为3，腰为2的等腰三角形拼成的四边形，对角线相互垂直，但不是菱形； 对于D，当a>4时，Δ＝16－4a<0，方程x2－4x＋a＝0无实根，所以命题是假命题，D正确. 7.(5分)命题p：“已知n∈Z，若n3是奇数，则n是奇数”的逆命题为　　　　.  答案　已知n∈Z，若n是奇数，则n3是奇数 8.(5分)命题p：菱形都是平行四边形，则¬p：　　　　　　　　　　　　；¬p为　　　　　　命题.(填“真”或“假”)  答案　菱形不都是平行四边形　假 解析　因为命题p为真命题，所以¬p为假命题. 9.(10分)将下列命题改写成“若p，则q”的形式，并判断其真假. (1)当ab＝0时，a＝0或b＝0；(2分) (2)等腰三角形的两个底角相等；(2分) (3)末位数字是0或5的整数，能被5整除；(3分) (4)方程x2＋x＋1＝0有两个实数根.(3分) 解　(1)若ab＝0，则a＝0或b＝0，是真命题. (2)若一个三角形是等腰三角形，则它的两个底角相等，由等腰三角形的定义知是真命题. (3)若一个整数的末位数字是0或5，则它能被5整除，由整除知是真命题. (4)若一个方程为x2＋x＋1＝0，则它有两个实数根，由Δ＝1－4＝－3<0知是假命题. 10.(10分)判断下列命题是真命题还是假命题，并说明理由. (1)一个钝角与一个锐角的差是锐角；(4分) (2)若a，b是奇数，则ab是奇数.(6分) 解　(1)假命题.例如一个钝角是160°，一个锐角是20°，它们的差为140°，是钝角，而不是一个锐角. (2)真命题.证明：记m，n均为整数. 令a＝2m＋1，b＝2n＋1，则a，b均为奇数. ∴ab＝(2m＋1)(2n＋1)＝(4mn＋2m＋2n)＋1. ∵4mn＋2m＋2n为偶数， ∴(4mn＋2m＋2n)＋1为奇数，即ab为奇数， 即若a，b为奇数，则ab是奇数. 11.已知a，b，c∈R，命题“若a＋b＋c＝3，则a2＋b2＋c2≥3”的否定是(　　) A.若a＋b＋c≠3，则a2＋b2＋c2<3 B.若a＋b＋c＝3，则a2＋b2＋c2<3 C.若a＋b＋c≠3，则a2＋b2＋c2≥3 D.若a2＋b2＋c2≥3，则a＋b＋c＝3 答案　B 解析　由命题的否定的定义可知原命题的否定为： 若a＋b＋c＝3，则a2＋b2＋c2<3. 12.下列命题为真命题的是(　　) A.有两边及一角对应相等的两个三角形全等 B.方程x2－x＋2＝0有两个不相等的实数根 C.面积之比为1∶4的两个相似三角形的周长之比是1∶4 D.在平面内，顺次连接任意四边形各边中点得到的四边形是平行四边形 答案　D 解析　有两边及两边夹角对应相等的两个三角形全等，故选项A为假命题；因为x2－x＋2＝0，所以Δ＝－7<0，所以方程x2－x＋2＝0没有实数根，故选项B为假命题；面积之比为1∶4的两个相似三角形的周长之比是1∶2，故选项C为假命题；在平面内，顺次连接任意四边形各边中点得到的四边形，这个四边形的对边都等于原来四边形与这组对边相对的对角线的一半，并且和这条对角线平行，故得到的中点四边形是平行四边形，故选项D为真命题. 13.(多选)已知命题“若m－1<x<m＋1，则1<x<2”的逆命题为真命题，则m的取值可以是(　　) A.0 B.1 C.2 D.3 答案　BC 解析　由已知得，若1<x<2，则m－1<x<m＋1. ∴∴1≤m≤2. 14.(5分)已知p：5x－1>a，q：x>1，且“若p，则q”为真命题，则实数a的取值范围是　　　　.  答案　[4，＋∞) 解析　由已知得≥1，解得a≥4. 15.(5分)已知集合A＝[－3，6)，B＝(－∞，a)，若A∩B＝∅是假命题.则实数a的取值范围是　　　　.  答案　(－3，＋∞) 解析　命题“A∩B＝∅”是假命题，则该命题的否定：A∩B≠∅为真命题.∵A∩B≠∅，∴a>－3. 16.(12分)若方程x2＋2px－q＝0(p，q是实数)没有实数根，则p＋q<. (1)判断上述命题的真假，并说明理由；(6分) (2)试写出上述命题的逆命题，判断真假，并说明理由.(6分) 解　(1)原命题是真命题. 由题意，得方程的判别式Δ＝4p2＋4q<0， 得q<－p2， 所以p＋q<p－p2＝－≤ 所以p＋q<. (2)逆命题：如果p，q是实数，p＋q<则方程x2＋2px－q＝0没有实数根.逆命题是假命题，如当p＝1，q＝－1时，p＋q<但原方程有实数根x＝－1. 学科网（北京）股份有限公司 $