第1章 1.2.2 充分条件和必要条件（配套教参Word）-【步步高】2025-2026学年高一数学必修第一册学习笔记（湘教版）

本讲义聚焦高中数学“充分条件和必要条件”核心知识点，从古诗与生活实例引入概念，通过命题分析梳理定义，结合表格对比明确充分、必要及充要条件关系，再以定义法、集合法等方法展开判断，辅以证明与参数应用，构建完整学习支架。 该资料以“不破楼兰终不还”等实例引入，培养数学眼光，通过命题逻辑分析与集合关系判断发展数学思维，例题证明强调逻辑表达提升数学语言能力。课中实例激发兴趣辅助教学，课后跟踪训练与课时练习助力学生巩固知识，查漏补缺。

1.2.2　充分条件和必要条件 学习目标　1.理解充分条件、必要条件的概念.2.了解充分条件与判定定理，必要条件与性质定理的关系. 3.能通过充分性、必要性解决简单的问题. 导语 王昌龄是盛唐著名的边塞诗人，被誉为“七绝圣手”，其《从军行》传诵至今，“青海长云暗雪山，孤城遥望玉门关.黄沙百战穿金甲，不破楼兰终不还.”最后一句“攻破楼兰”与“返回家乡”是什么关系？ 一、充分条件与必要条件 问题1　如何理解“绳锯木断”“水滴石穿”？“木断”是否一定是因为“绳锯”？“石穿”是否一定是因为“水滴”？ 提示　“绳锯”可以导致“木断”，使“木断”的方法有很多，可以是电锯锯断，可以是直接掰断，也可以是因为“绳锯”；同样“水滴”可以导致“石穿”，使“石穿”的方法也有很多，“水滴”只是其中的一种方式.正所谓“滴水能把石穿透，学习功到自然成”. 问题2　观察下列几个命题，你能得到什么？ (1)若四边形的两组对边分别相等，则这个四边形是平行四边形； (2)若四边形的一组对边平行且相等，则这个四边形是平行四边形； (3)若四边形的两条对角线互相平分，则这个四边形是平行四边形； (4)若四边形是平行四边形，则四边形的两组对边分别相等； (5)若四边形是平行四边形，则四边形的一组对边平行且相等； (6)若四边形是平行四边形，则四边形的两条对角线互相平分. 提示　由上面的命题可知，数学中的每一条判定定理都给出了相应数学结论成立的一个充分条件，即使结论成立的条件并不唯一.数学中的每一条性质定理都给出了相应数学结论成立的一个必要条件，即所获得的结论也不唯一. 知识梳理　充分条件与必要条件 “若p，则q”成立 “若p，则q”不成立 推出关系 p⇒q pq 条件关系 p叫作q的充分条件 q叫作p的必要条件 p不是q的充分条件 q不是p的必要条件 定理关系 判定定理给出了相应数学结论成立的充分条件 性质定理给出了相应数学结论成立的必要条件 注意点： (1)p⇒q，有方向，条件在前，结论在后. (2)若p⇒q，则p是q的充分条件或q是p的必要条件. (3)改变说法，“p是q的充分条件”还可以换成“q的一个充分条件是p”；“q是p的必要条件”还可以换成“p的一个必要条件是q”. 例1　(课本例3(1)(2))判断下列结论是否成立，并说明理由. (1)p：x2=1，q：x=1，p是q的充分条件； (2)p：四边形的对角线互相垂直，q：四边形是菱形，q是p的必要条件； 解　(1)不成立.由于(-1)2=1，则p⇏q，故p不是q的充分条件. (2)不成立.由于对角线互相垂直的四边形不一定是菱形，则p⇏q，故q不是p的必要条件. 例1　(1)下列所给的各组p，q中，p是否是q的充分条件？ ①在△ABC中，p：∠B>∠C，q：AC>AB； ②已知x∈R，p：x＝1，q：(x－1)(x－2)＝0； ③已知x∈R，p：x>1，q：x>2. 解　①在△ABC中，由大角对大边知，∠B>∠C⇒AC>AB，所以p是q的充分条件. ②由x＝1⇒(x－1)(x－2)＝0，故p是q的充分条件. ③方法一　由x>1x>2，所以p不是q的充分条件. 方法二　设集合A＝{x|x>1}，B＝{x|x>2}， 所以BA，所以p不是q的充分条件. (2)下列所给的各组p，q中，q是否是p的必要条件？ ①p：一个四边形是矩形，q：四边形的对角线相等； ②p：A⊆B，q：A∩B＝A； ③p：a>b，q：ac>bc. 解　①因为矩形的对角线相等，所以q是p的必要条件. ②因为p⇒q，所以q是p的必要条件. ③因为pq，所以q不是p的必要条件. 反思感悟　充分、必要条件的判断方法 (1)判断p是q的什么条件，主要判断若p成立时，能否推出q成立，反过来，若q成立时，能否推出p成立. (2)也可利用集合的关系判断，如果条件甲“x∈A”.条件乙“x∈B”.若B⊆A，则甲是乙的必要条件. 跟踪训练1　指出下列各题中p与q的关系. (1)p：x>2且y>3，q：x＋y>5； (2)p：△ABC有两个角相等，q：△ABC是正三角形. 解　(1)当x>2且y>3时，x＋y>5成立，反之不一定，如x＝0，y＝6， 即p⇒q，qp， 所以p是q的充分条件，q是p的必要条件. (2)当△ABC有两个角相等时为等腰三角形，不一定为正三角形，反之成立， 即pq，且q⇒p， 所以q是p的充分条件，p是q的必要条件. 二、充要条件 问题3　下列“若p，则q”形式的命题中，哪些命题与它们的逆命题都是真命题？ (1)若两个三角形的两角和其中一角所对的边分别相等，则这两个三角形全等； (2)若两个三角形全等，则这两个三角形的周长相等； (3)若一元二次方程ax2＋bx＋c＝0有两个不相等的实数根，则ac<0； (4)若A∪B是空集，则A与B均是空集. 提示　不难发现，上述命题中的命题(1)(4)和它们的逆命题都是真命题；命题(2)是真命题，但它的逆命题是假命题；命题(3)是假命题，但它的逆命题是真命题. 问题4　你能通过判断原命题和逆命题的真假来判断p，q的关系吗？ 提示　判断p是q的什么条件，其实质是判断“若p，则q”及其逆命题“若q，则p”是真是假，原命题为真而逆命题为假，则p是q的充分而不必要条件；原命题为假而逆命题为真，则p是q的必要而不充分条件；原命题为真，逆命题为真，则p是q的充要条件；原命题为假，逆命题为假，则p是q的既不充分又不必要条件. 知识梳理 如果既有p⇒q，又有q⇒p，就记作p⇔q，即p既是q的充分条件，又是q的必要条件，此时我们称p是q的充分必要条件，简称充要条件.换句话说，如果一个命题和它的逆命题都成立，则此命题的条件与结论互为充分必要条件. 注意点：充要条件的判断步骤：①确定哪个是条件，哪个是结论；②尝试用条件推结论；③再尝试用结论推条件；④最后判断条件是结论的什么条件. 例2　(课本例4)从“充分而不必要条件”“必要而不充分条件”“充要条件”和“既不充分又不必要条件”中选择适当的一种填空. (1)a≥5是a为正数的　　　　　　　　；  (2)四边形的两对角线相等是该四边形为矩形的　　　　　　　　；  (3)四边形的一组对边平行且相等是四边形的两组对边分别平行的　　　　　　；  (4)若x∈R，则x2＝2是x＝2的　　　　　　　　　　　　.  解　(1)a≥5⇒a>0，而a>0a≥5.因此应填“充分而不必要条件”. (2)四边形是矩形⇒四边形的两对角线相等，反之不成立，比如等腰梯形.因此应填“必要而不充分条件”. (3)四边形的一组对边平行且相等⇔四边形的两组对边分别平行，它们实际上都在描述四边形是平行四边形.因此应填“充要条件”. (4)x∈R时，x2＝2x＝2，x＝2x2＝2.因此应填“既不充分又不必要条件”. 例2　下列所给的各组p，q中，p是q的什么条件(“充分而不必要条件”“必要而不充分条件”“充要条件”“既不充分又不必要条件”)？ (1)p：x＝1，q：x－1＝； (2)p：－1≤x≤5，q：x≥－1且x≤5； (3)p：x＋2≠y，q：(x＋2)2≠y2； (4)p：a是自然数；q：a是正数. 解　(1)当x＝1时，x－1＝成立； 当x－1＝时，x＝1或x＝2. ∴p是q的充分而不必要条件. (2)∵－1≤x≤5⇔x≥－1且x≤5， ∴p是q的充要条件. (3)由q：(x＋2)2≠y2， 得x＋2≠y，且x＋2≠－y， 又p：x＋2≠y， 故p是q的必要而不充分条件. (4)0是自然数，但0不是正数，故pq； 又是正数，但不是自然数， 故qp. 故p是q的既不充分又不必要条件. 反思感悟　判断充分条件、必要条件及充要条件的四种方法 (1)定义法：直接判断“若p，则q”以及“若q，则p”的真假. (2)集合法：即利用集合的包含关系判断. (3)等价法：即利用p⇔q与q⇔p的等价关系，一般地，对于条件和结论是否定形式的命题，一般运用等价法. (4)传递法：充分条件和必要条件具有传递性，即由p1⇒p2⇒…⇒pn，可得p1⇒pn；充要条件也有传递性. 跟踪训练2　下列各组p，q中，p是q的什么条件(“充分而不必要条件”“必要而不充分条件”“充要条件”“既不充分又不必要条件”)？ (1)p：三角形为等腰三角形，q：三角形存在两角相等； (2)p：⊙O内两条弦相等，q：⊙O内两条弦所对的圆周角相等； (3)p：A∩B＝∅，q：A与B之一为空集； (4)p：a能被6整除，q：a能被3整除. 解　(1)充要条件；(2)必要而不充分条件；(3)必要而不充分条件；(4)充分而不必要条件. 三、充分条件、必要条件、充要条件的证明 例3　(课本例5)试证： (1)在实数范围内，x＝1是x2＝1的充分而不必要条件； (2)四边形的两组对边分别相等是四边形为矩形的必要而不充分条件； (3)在△ABC中，∠B＝∠C是AC＝AB的充要条件. 证明　(1)x＝1⇒x2＝1，则x＝1是x2＝1的充分条件；由于(－1)2＝1，故x2＝1x＝1，则x＝1不是x2＝1的必要条件.因此，x＝1是x2＝1的充分而不必要条件. (2)记p：四边形的两组对边分别相等，q：四边形为矩形.由于矩形是特殊的平行四边形，即q⇒p，则p是q的必要条件；对于两组对边分别相等的四边形，只能判断它是平行四边形，不能判断它为矩形，即pq，则p不是q的充分条件.因此，四边形的两组对边分别相等是四边形为矩形的必要而不充分条件. (3)(充分性)因为“在三角形中，等角对等边”，所以∠B＝∠C⇒AC＝AB. (必要性)因为“在三角形中，等边对等角”，所以AC＝AB⇒∠B＝∠C. 从而∠B＝∠C⇔AC＝AB， 因此，在△ABC中，∠B＝∠C是AC＝AB的充要条件. 例3　求证：一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a，b，c是常数且a≠0)有一正实根和一负实根的充要条件是ac<0. 证明　必要性：由于方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)有一正实根和一负实根， ∴Δ＝b2－4ac>0，且x1x2＝<0，∴ac<0. 充分性：由ac<0可推出Δ＝b2－4ac>0及x1x2＝<0， ∴方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)有一正实根和一负实根. 反思感悟　充要条件证明的两个思路 (1)直接法：证明p是q的充要条件，首先要明确p是条件，q是结论；其次推证p⇒q是证明充分性，推证q⇒p是证明必要性. (2)集合思想：记p：A＝{x|p(x)}，q：B＝{x|q(x)}，若A＝B，则p与q互为充要条件. 跟踪训练3　求证：一次函数y＝kx＋b(k≠0)的图象过原点的充要条件是b＝0. 证明　(1)充分性：如果b＝0，那么y＝kx， 当x＝0时，y＝0，函数图象过原点. (2)必要性：因为y＝kx＋b(k≠0)的图象过原点， 所以当x＝0时，y＝0，得0＝k·0＋b，所以b＝0. 综上，一次函数y＝kx＋b(k≠0)的图象过原点的充要条件是b＝0. 四、充分条件、必要条件、充要条件的应用 例4　已知A＝{x|－2≤x≤10}，B＝{x|1－m≤x≤1＋m}，其中m>0，若“x∈A”是“x∈B”的必要而不充分条件，求实数m的取值范围. 解　由题意得{x|1－m≤x≤1＋m}{x|－2≤x≤10}， 故有或 解得m≤3. 又m>0， 所以实数m的取值范围为{m|0<m≤3}. 延伸探究　若本例中“x∈A”是“x∈B”的必要而不充分条件”改为“x∈A”是“x∈B”的充分而不必要条件”，其他条件不变，求实数m的取值范围. 解　由题意得AB. 所以或 解得m≥9， 即实数m的取值范围是{m|m≥9}. 反思感悟　应用充分而不必要、必要而不充分及充要条件求参数值(范围)的一般步骤 (1)根据已知将充分而不必要条件、必要而不充分条件或充要条件转化为集合间的关系. (2)根据集合间的关系构建关于参数的方程(组)或不等式(组)求解. 跟踪训练4　已知P＝{x|a－4<x<a＋4}，Q＝{x|1<x<3}，“x∈P”是“x∈Q”的必要条件，则实数a的取值范围是　　　　.  答案　{a|－1≤a≤5} 解析　因为“x∈P”是“x∈Q”的必要条件， 所以Q⊆P， 所以即所以－1≤a≤5. 1.知识清单： (1)充分条件、必要条件的概念及判断. (2)充要条件的理解及判断. (3)充分条件、必要条件、充要条件的证明. (4)充分条件、必要条件、充要条件的应用. 2.方法归纳：等价转化法. 3.常见误区：条件与结论辨别不清；充分、必要条件不唯一；求参数范围时端点值的取舍. 课时对点练 [分值：100分] 单选题每小题5分，共35分；多选题每小题6分，共18分 1.下列选项中，p是q的充分条件的是(　　) A.p：ab≠0，q：a≠0 B.p：a2＋b2≥0，q：a≥0且b≥0 C.p：x2>1，q：x>1 D.p：a>b，q：> 答案　A 解析　根据充分条件的概念逐一判断. 只有ab≠0⇒a≠0. 2.“x2－3x－10＝0”是“x＝5”的(　　) A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件 C.充要条件 D.既不充分又不必要条件 答案　B 解析　由x2－3x－10＝0得x＝5或x＝－2， 则当x＝5时，x2－3x－10＝0成立， 但当x2－3x－10＝0时，x＝5不一定成立. 3.已知集合A＝{3，m}，B＝{1，3，5}，则m＝1是A⊆B的(　　) A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件 C.既不充分又不必要条件 D.充要条件 答案　A 解析　若A⊆B，则有m∈B且m≠3，所以m＝1或m＝5，故当m＝1时，有A⊆B，而A⊆B时，m不一定是1，故m＝1是A⊆B的充分而不必要条件. 4.等式|a＋b|＝|a|＋|b|成立的充要条件是(　　) A.ab＝0 B.ab<0 C.ab≥0 D.ab≤0 答案　C 解析　|a＋b|＝|a|＋|b|⇔(a＋b)2＝(|a|＋|b|)2⇔a2＋2ab＋b2＝a2＋2|ab|＋b2⇔ab＝|ab|⇔ab≥0. 5.(多选)下列选项中正确的是(　　) A.点P到圆心O的距离大于圆的半径是点P在⊙O外的充要条件 B.两个三角形的面积相等是这两个三角形全等的充分而不必要条件 C.A∪B＝A是B⊆A的必要而不充分条件 D.x或y为有理数是xy为有理数的既不充分又不必要条件 答案　AD 6.(多选)使“x∈(－∞，0]∪(2，＋∞)”成立的一个充分而不必要条件是(　　) A.x≥0 B.x<0或x>2 C.x∈{－1，3，5} D.x≤0或x>2 答案　BC 解析　从集合的角度出发，在选项中判断哪个是题干的真子集，只有B，C满足题意. 7.(5分)已知△ABC，△A1B1C1，则两三角形对应角相等是△ABC≌△A1B1C1的　　　　条件.(填“充分而不必要”“必要而不充分”“充要”或“既不充分又不必要”)  答案　必要而不充分 解析　由两三角形对应角相等△ABC≌△A1B1C1； 反之由△ABC≌△A1B1C1⇒∠A＝∠A1，∠B＝∠B1，∠C＝∠C1. 8.(5分)已知A＝{x|x<－2或x>3}，B＝{x|4x＋m<0}，若x∈A是x∈B的必要而不充分条件，则实数m的取值范围为　　　　.  答案　{m|m≥8} 解析　集合A＝{x|x<－2或x>3}，B＝{x|4x＋m<0}＝ 因为x∈A是x∈B的必要而不充分条件， 所以B是A的真子集， 所以－≤－2，解得m≥8. 9.(10分)已知集合A＝{x|3－a≤x≤3＋a}，B＝{x|x≤2或x≥5}. (1)当a＝4时，求A∩B；(4分) (2)“x∈A”是“x∈∁RB”的充分而不必要条件，求实数a的取值范围.(6分) 解　(1)当a＝4时，A＝{x|－1≤x≤7}. 因为B＝{x|x≤2或x≥5}， 所以A∩B＝{x|－1≤x≤2或5≤x≤7}. (2)因为B＝{x|x≤2或x≥5}，所以∁RB＝{x|2<x<5}. 因为“x∈A”是“x∈∁RB”的充分而不必要条件， 所以A∁RB. 当A＝∅时，符合题意，此时有3＋a<3－a，解得a<0； 当A≠∅时，要使A∁RB，只需 解得0≤a<1. 综上可得a<1，即实数a的取值范围是(－∞，1). 10.(10分)求证：关于x的方程ax2＋bx＋c＝0有一个根为1的充要条件是a＋b＋c＝0. 证明　充分性：因为a＋b＋c＝0， 所以c＝－a－b，代入方程ax2＋bx＋c＝0， 得ax2＋bx－a－b＝0，即(x－1)(ax＋a＋b)＝0. 所以方程ax2＋bx＋c＝0有一个根为1. 必要性：因为方程ax2＋bx＋c＝0有一个根为1， 所以x＝1满足方程ax2＋bx＋c＝0， 所以a×12＋b×1＋c＝0，即a＋b＋c＝0. 故关于x的方程ax2＋bx＋c＝0有一个根为1的充要条件是a＋b＋c＝0. 11.已知a，b是实数，则“a<0，且b<0”是“ab(a－b)>0”的(　　) A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件 C.充要条件 D.既不充分又不必要条件 答案　D 解析　已知a，b是实数，则若a<0，且b<0，则不一定有ab(a－b)>0，比如当a<b<0时，ab(a－b)<0；反之，若ab(a－b)>0，则a－b和ab同号，当a>b>0时满足ab(a－b)>0，当b<a<0时也满足ab(a－b)>0，故不能确定a和b的正负.故是既不充分又不必要条件. 12.设a，b∈R，集合A＝{a，a2＋1}，B＝{b，b2＋1}.则“A＝B”是“a＝b”的(　　) A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件 C.充要条件 D.既不充分又不必要条件 答案　C 解析　因为A＝{a，a2＋1}，B＝{b，b2＋1}， 当A＝B时，则有或 若解得a＝b； 若则＋1＝b， 整理得(b2－b＋1)(b2＋b＋2)＝0，此方程无解， 综上，a＝b，即充分性成立； 当a＝b时，显然A＝B，即必要性成立， 所以“A＝B”是“a＝b”的充要条件. 13.(多选)若p：x2－5x＋6＝0是q：ax－3＝0的必要而不充分条件，则实数a的值为(　　) A.1 B. C.2 D.3 答案　AB 解析　由x2－5x＋6＝0，解得x＝2或x＝3，所以p：x＝2或x＝3， 因为p是q的必要而不充分条件，所以方程ax－3＝0一定有解，则x＝(a≠0)， 所以＝2或＝3，解得a＝或a＝1. 14.(5分)已知两个关于x的一元二次方程mx2－4x＋4＝0和x2－4mx＋4m2－4m－5＝0，两方程的根都是整数的充要条件为　　　　.  答案　m＝1 解析　设mx2－4x＋4＝0的解为x1，x2， 则x1＋x2＝x1x2＝ ∴x1＋x2＝x1x2， ∴＝1， ∵x1∈Z，x2∈Z， ∴x1＝x2＝2， ∴m＝1，经检验，符合题意. 15.关于x的方程x3－ax＋a－1＝0有两个实数根的一个充分而不必要条件是(　　) A.a＝3 B.a＝2 C.a＝1 D.a＝0 答案　A 解析　x3－ax＋a－1＝x3－1－a(x－1)＝(x－1)(x2＋x＋1－a)＝0，该方程有两个实数根，有两种情形： ①1是关于x的方程x2＋x＋1－a＝0的实数根，则a＝3，此时原方程共有1，－2这两个实数根； ②1不是关于x的方程x2＋x＋1－a＝0的实数根，则x2＋x＋1－a＝0只有1个实数根，其判别式Δ＝1－4(1－a)＝0，即a＝此时原方程共有－1这两个实数根. 所以a＝3是关于x的方程x3－ax＋a－1＝0有两个实数根的充分而不必要条件. 16.(12分)已知 ab≠0，求证：a3＋b3＋ab－a2－b2＝0是a＋b＝1的充要条件. 证明　设p：a3＋b3＋ab－a2－b2＝0，q：a＋b＝1， 先证充分性(p⇒q)： ∵a3＋b3＋ab－a2－b2＝0， ∴(a＋b)(a2－ab＋b2)－(a2－ab＋b2)＝0，即(a2－ab＋b2)(a＋b－1)＝0， ∵ab≠0，a2－ab＋b2＝b2>0， ∴a＋b－1＝0，即a＋b＝1； 再证必要性(q⇒p)： ∵a＋b＝1， ∴b＝1－a， ∴a3＋b3＋ab－a2－b2＝a3＋(1－a)3＋a(1－a)－a2－(1－a)2＝a3＋1－3a＋3a2－a3＋a－a2－a2－1＋2a－a2＝0. 综上，a3＋b3＋ab－a2－b2＝0是a＋b＝1的充要条件. 学科网（北京）股份有限公司 $