第1章 1.1.1 集合（配套教参Word）-【步步高】2025-2026学年高一数学必修第一册学习笔记（湘教版）

本讲义聚焦高中数学“集合”核心知识点，系统梳理集合与元素的概念及互异性、确定性、无序性等基本属性，元素与集合的属于关系及常用数集符号，集合的列举法、描述法表示，以及区间表示方法，构建从生活实例到抽象概念的学习支架。 该资料以“体育课集合”生活实例导入，培养学生用数学眼光观察现实世界。通过问题链引导学生抽象集合属性，发展数学思维。结合方程、几何等实例设计例题与练习，强化数学语言表达，课中辅助教师教学，课后助力学生查漏补缺。

1.1.1　集合 学习目标　1.通过实例了解集合与元素的含义，利用集合的基本属性解决一些简单的问题.2.能判断元素与集合的关系，识记常见数集的表示符号.3.掌握集合的两种表示方法，并会用集合的两种表示方法表示一些简单的集合.4.能正确使用区间表示数集. 导语 问一下同学们，大家最喜欢上什么课？(嗯，有同学说体育课)在体育课上，体育老师常说的一句话就是“集合”，这个时候，同学们从四面八方集合到一起，而这个集合是一个动词，在我们数学课上，也有一个名词“集合”，比如在小学和初中，我们学习过自然数的集合，同一平面内到一个定点的距离等于定长的点的集合等，为了进一步了解集合的有关知识，请同学们观察下面的几个例子. 一、元素与集合的概念 问题1　看下面的几个例子，观察并讨论它们有什么共同特点？ (1)1~10之间的所有偶数； (2)某中学今年入学的全体高一学生； (3)所有正方形； (4)到直线l的距离等于定长d的所有点； (5)方程x2－3x＋2＝0的所有实数根； (6)地球上的四大洋. 提示　以上例子中指的都是“所有的”，即把某种研究对象放在一起，研究对象可以是数、点、代数式，也可以是现实生活中各种各样的事物或人等. 问题2　问题1中的几个例子都能构成集合吗？它们的元素分别是什么？ 提示　(1)都能构成集合.(2)①2，4，6，8，10；②该中学今年入学的每一位高一学生；③正方形；④到直线l的距离等于定长d的点；⑤1，2；⑥太平洋，大西洋，印度洋，北冰洋. 知识梳理 1.在数学语言中，把一些对象放在一起考虑时，就说这些对象组成了一个集合或集，这些对象中的每一个，都叫作这个集合的一个元素. 2.集合的基本属性 (1)互异性：同一集合中的元素是互不相同的. (2)确定性：集合中的元素是确定的.即给定一个集合，任何一个元素属于或不属于这个集合是确定的. (3)无序性：集合中的元素没有顺序. 注意点：集合中的元素必须确定，不能是模棱两可的，任何两个元素都不能相同，且与顺序无关. 例1　(1)下列对象中不能构成一个集合的是(　　) A.某校比较出名的教师 B.方程x－2＝0的根 C.不小于3的自然数 D.所有锐角三角形 答案　A 解析　对于A，比较出名的标准不清，故不能构成集合； 对于B，x－2＝0⇒x＝2，方程的根确定，可以构成集合； 对于C，不小于3的自然数可以构成集合； 对于D，所有锐角三角形内角和确定且各角范围确定，可以构成集合. (2)设a，b是两个实数，集合A中含有0，b三个元素，集合B中含有1，a，a＋b三个元素，若集合A与集合B的元素完全相同，则a＋2b＝　　　　.  答案　1 解析　由题意知a＋b＝0，所以＝－1，所以b＝1，a＝－1，所以a＋2b＝1. 反思感悟　(1)判断一组对象能组成集合的条件 ①能找到一个明确的标准，使得对于任何一个对象，都能确定它是不是给定集合的元素； ②任何两个对象都是不同的； ③对元素出现的顺序没有要求. (2)已知集合求参数时，需检验集合中元素的互异性. 跟踪训练1　(1)下列说法中正确的是(　　) A.与定点A，B等距离的点不能组成集合 B.由“title”中的字母组成的集合中元素的个数为5 C.一个集合中有三个元素a，b，c，其中a，b，c是△ABC的三边长，则△ABC不可能是等腰三角形 D.高中学生中的游泳能手能组成集合 答案　C 解析　A不正确，与定点A，B等距离的点在AB的垂直平分线上，能组成集合；B不正确，由“title”中的字母组成的集合元素有t，i，l，e，共4个；C正确，一个集合中有三个元素a，b，c，故a，b，c互异，故不可能构成等腰三角形；D不正确，游泳能手没有确定的标准，故不能组成集合. (2)若集合A中含有两个元素1和a2，则a的取值范围为　　　　　　.  答案　a≠±1 解析　由元素是互不相同的，得a2≠1，即a≠±1. 二、元素与集合之间的关系 问题3　如果体育老师说“男同学打篮球，女同学跳绳”，你去打篮球吗？ 提示　打篮球的人可以组成一个集合，男生是该集合的元素，女生不是该集合的元素，所以是男生就去打篮球，是女生就不去打篮球. 知识梳理 1.元素与集合之间的关系 关系 概念 记法 读法 属于 若S是一个集合，a是S的一个元素 a∈S a属于S 不属于 若a不是集合S的元素 a∉S(或a∉S，a⋷S) a不属于S 2.常用数集及记法 名称 自然数集 整数集 有理数集 实数集 记法 N Z Q R 3.集合的分类 (1)有限集：元素个数有限的集合叫有限集(或有穷集). (2)无限集：元素个数无限多的集合叫无限集(或无穷集). (3)空集：没有任何元素的集合叫空集，记作∅.空集也是有限集. 注意点： (1)元素与集合之间是属于或不属于关系，注意符号的书写. (2)上述集合还可以细分，如全体正整数组成的集合称为正整数集，记作Z+；全体负整数组成的集合称为负整数集，记作Z-.类似地，也可以用Q+，Q-，R+，R-分别表示全体正有理数、负有理数、正实数、负实数组成的集合.正整数集也可记作N+或N*. (3)0属于自然数集. 例2　(1)(多选)已知不超过5的实数组成的集合为M，a＝则(　　) A.a∈M B.a＋1∉M C.∈M D.a2∉M 答案　ACD 解析　∵a＝<2＋2＝4<5， ∴a∈M，a＋1<4＋1＝5，∴a＋1∈M， ∵ ＝<5， ∴∈M， ∵a2＝()2＝5＋2>5， ∴a2∉M. (2)下列结论中，不正确的是(　　) A.若a∈N，则－a∉N B.若a∈Z，则a2∈Z C.若a∈Q，则|a|∈Q D.若a∈R，则a3∈R 答案　A 解析　对于A，当a＝0时，显然不成立. 反思感悟　判断元素和集合关系的方法 (1)直接法：判断该元素在已知集合中是否出现即可. (2)推理法：判断该元素是否满足集合中元素所具有的特征即可. 跟踪训练2　(1)用符号“∈”或“∉”填空： 0　　N；－3　　N；0.5　　Z；　　Z；　　Q；π　　R.  答案　∈　∉　∉　∉　∈　∈ (2)若由一元二次方程x2＋2x＋m＝0的实数根组成的集合是空集，求实数m的取值范围. 解　依题意，一元二次方程x2＋2x＋m＝0无实数根，则Δ＝4－4m<0， 解得m>1. 三、集合的表示方法 角度1　列举法 问题4　观察下面两个集合： (1)中国的“五岳”组成的集合M； (2)设集合N是小于6的正整数构成的集合. 上述问题中的集合M，N中的元素能一一列举出来吗？ 提示　能.集合M中的元素为：泰山、华山、衡山、恒山、嵩山；集合N中的元素为：1，2，3，4，5. 问题5　问题1中的集合M与N除了用自然语言描述外，还可以用什么方式表示呢？如何表示？ 提示　列举法.M＝{泰山，华山，衡山，恒山，嵩山}，N＝{1，2，3，4，5}. 知识梳理 列举法：把集合中的所有元素一一列举出来的表示法叫作列举法.一般的格式是在一个大括号里写出每个元素，相邻的元素用逗号分隔. 注意点： (1)元素间用“，”隔开. (2)对于元素个数较多时，如果构成该集合的元素有明显规律，可用列举法，但必须把元素间的规律显示清楚，然后加省略号，比如正整数集可表示为{1，2，3，4，5，…}. (3)这里集合的“{　}”已包含所有的意思，比如{整数}，即代表整数集Z，而不能用{全体整数}，即不能出现“全体”“所有”等字眼. 例3　(课本例3)用列举法表示下列集合： (1)由方程x2-1=0的所有实数解构成的集合S； (2)平方不大于9的所有整数构成的集合P. 解　(1)S={1，-1}. (2)P={-3，-2，-1，0，1，2，3}. 例3　用列举法表示下列集合： (1)小于10的所有正整数组成的集合； (2)方程x2＋x＝0的所有实数根组成的集合； (3)直线y＝2x＋1与y轴的交点所组成的集合； (4)由所有正整数组成的集合. 解　(1)设小于10的所有正整数组成的集合为A，那么A＝{1，2，3，4，5，6，7，8，9}. (2)设方程x2＋x＝0的所有实数根组成的集合为B，那么B＝{－1，0}. (3)将x＝0代入y＝2x＋1，得y＝1，即交点是(0，1)，故交点组成的集合是{(0，1)}. (4)正整数有1，2，3，4，…，故由所有正整数组成的集合为{1，2，3，4，…}. 反思感悟　用列举法表示集合的三个步骤 (1)求出集合的元素. (2)把元素一一列举出来，且相同元素只能列举一次. (3)用大括号括起来. 角度2　描述法 问题6　不等式x－7<3的集合能用列举法表示吗？为什么？ 提示　不等式x－7<3的解集是x<10，因为满足x<10的实数有无数个，所以x－7<3的解集无法用列举法表示.但是，我们可以利用解集中元素的共同特征，即x是实数，且x<10，把解集表示为{x∈R|x<10}. 问题7　仿照上面的例子以及阅读课本，你能表示奇数集吗？ 提示　{x∈Z|x＝2k＋1，k∈Z}. 知识梳理 把集合中元素共有的，也只有该集合中元素才有的属性描述出来，以确定这个集合，这种表示法叫作描述法.一般的格式是在一个大括号里写出集合中元素的共有属性.若集合A中一部分元素具有某种特定属性p(x)，其余的元素不具有这种特定属性，则可将具有特定属性p(x)的元素x组成的集合写成{x∈A|p(x)}的形式. 注意点： (1)写清该集合中元素的代表符号，如{x|x>1}不能写成{x>1}. (2)用简明、准确的语言进行描述，不能出现未被说明的字母，如{x∈Z|x＝2m}中m未被说明，故此集合中的元素是不确定的. (3)所有描述的内容都要写在大括号内，如“{x∈Z|x＝2m}，m∈N＋”不符合要求，应将“m∈N＋”写进“{　}”中，即{x∈Z|x＝2m，m∈N＋}. (4)元素的取值(或变化)范围，从上下文的关系来看，若x∈R是明确的，则x∈R可省略不写，如集合D＝{x∈R|x<20}也可表示为D＝{x|x<20}. (5)多层描述时，应当准确使用“且”“或”等表示元素之间关系的词语，如{x|x<－1或x>1}. 例4　用描述法表示下列集合： (1)不等式2x－3<1的解集组成的集合A； (2)被3除余2的正整数组成的集合B； (3)C＝{2，4，6，8，10}； (4)平面直角坐标系中第二象限内的点组成的集合D. 解　(1)不等式2x－3<1的解集组成的集合为A，则集合A中的元素是数，设代表元素为x，则x满足2x－3<1，则A＝{x|2x－3<1}，即A＝{x|x<2}. (2)设被3除余2的数为x，则x＝3n＋2，n∈Z.但元素为正整数，故x＝3n＋2，n∈N.所以被3除余2的正整数组成的集合B＝{x|x＝3n＋2，n∈N}. (3)设偶数为x，则x＝2n，n∈Z.但元素是2，4，6，8，10，所以x＝2n，n≤5，n∈N＋. 所以C＝{x|x＝2n，n≤5，n∈N＋}. (4)平面直角坐标系中第二象限内的点的横坐标为负，纵坐标为正，即x<0，y>0，故第二象限内的点组成的集合为D＝{(x，y)|x<0，y>0}. 反思感悟　(1)用描述法表示集合时应弄清楚集合的属性，即它是数集、点集还是其他的类型，一般地，数集用一个字母代表其元素，点集用一个有序实数对代表其元素. (2)若描述部分出现代表元素以外的字母，则要对新字母说明其含义或指出其取值范围. 跟踪训练3　选择适当方法表示下列集合： (1)由小于8的所有自然数组成的集合A； (2)自然数的平方组成的集合B； (3)方程组的解组成的集合C； (4)二次函数y＝x2＋2x－10的图象上所有的点组成的集合D. 解　(1)列举法A＝{0，1，2，3，4，5，6，7}， 描述法A＝{x∈N|x<8}. (2)描述法B＝{x|x＝n2，n∈N}. (3)列举法C＝{(2，1)}， 描述法C＝. (4)描述法D＝{(x，y)|y＝x2＋2x－10}. 四、用区间表示集合 1.设a，b是两个实数，a<b. 定义 名称 符号 数轴表示 {x|a<x<b} 开区间 (a，b) {x|a≤x≤b} 闭区间 [a，b] {x|a<x≤b} 左开右闭区间 (a，b] {x|a≤x<b} 左闭右开区间 [a，b) 实数a，b分别叫作上述区间的左端点和右端点. 2.实数集R可以用区间表示为(－∞，＋∞)，符号∞读作“无穷大”或“无穷”，－∞和＋∞分别读作“负无穷大”(或“负无穷”)和“正无穷大”(或“正无穷”).{x|x≥a}用区间表示为[a，＋∞)，{x|x<b}用区间表示为(－∞，b). 注意点： (1)区间实质上是一类特殊数集的另一种表示，并不是所有数集都能用区间表示.如{1，2，3}就不能用区间表示. (2)区间的左端点必须小于右端点. (3)有时我们将b－a称为区间(a，b)或[a，b]的长度. (4)用“－∞”或“＋∞”作为区间端点时，需用开区间符号. 例5　(课本例5)用区间表示下列集合： (1){x∈R|－2≤x≤4}； (2){t∈R|t<a，a∈R}； (3){u∈R|u≥0}. 解　(1){x∈R|－2≤x≤4}＝[－2，4]. (2){t∈R|t<a，a∈R}＝(－∞，a). (3){u∈R|u≥0}＝[0，＋∞). 例5　(1)用区间表示下列集合： ①{x|－2≤x－1<5}＝　　　　；  ②{x|3－x≤3x}＝　　　　；  ③{t|t<a}＝　　　　.  答案　①[－1，6)　②　③(－∞，a) 解析　①－2≤x－1<5，解得－1≤x<6， ∴{x|－2≤x－1<5}＝[－1，6). ②∵3－x≤3x，∴x≥ ∴{x|3－x≤3x}＝. ③{t|t<a}＝(－∞，a). (2)已知区间(2a－1，7]，则实数a的取值范围是　　　　.(用区间表示)  答案　(－∞，4) 解析　依题意2a－1<7，∴a<4， ∴实数a的取值范围是(－∞，4). 反思感悟　(1)用区间表示集合时，集合所包含的数是某部分连续的数，而不是孤立的数. (2)端点值能取时用中括号，表示闭区间；端点值不能取时，用小括号，表示开区间. 跟踪训练4　(多选)若满足不等式5－x≥3且x－2<2x－1的实数x组成的集合A，则集合A为(　　) A.{x|－1<x≤2} B.(－1，2) C.(－1，2] D.[－1，2] 答案　AC 解析　∵5－x≥3，∴x≤2， 又∵x－2<2x－1，∴x>－1， ∴满足5－x≥3且x－2<2x－1的实数x满足－1<x≤2， ∴A＝{x|－1<x≤2}＝(－1，2]. 1.知识清单： (1)元素与集合的概念. (2)集合的基本属性. (3)元素与集合的关系. (4)集合的表示. (5)区间及其表示. 2.方法归纳：等价转化、分类讨论. 3.常见误区：自然数集中容易遗忘0这个元素，集合中忽略互异性的判断. 课时对点练 [分值：100分] 单选题每小题5分，共35分；多选题每小题6分，共18分 1.下列集合是无限集的是(　　) A.不超过π的正整数构成的集合 B.平方后等于自身的数构成的集合 C.高一(2)班中体重在55 kg以上的同学构成的集合 D.所有小于2的整数构成的集合 答案　D 解析　对于A，不超过π的正整数为1，2，3，构成的集合为有限集； 对于B，平方后等于自身的数为0，1，构成的集合为有限集； 对于C，高一(2)班中体重在55 kg以上的同学构成的集合为有限集； 对于D，所有小于2的整数构成的集合为无限集. 2.若a，b，c，d为集合A的四个元素，则以a，b，c，d为边长构成的四边形可能是(　　) A.矩形 B.平行四边形 C.菱形 D.梯形 答案　D 解析　由集合中的元素具有互异性可知a，b，c，d互不相等，而梯形的四条边可以互不相等. 3.对集合用描述法来表示，其中正确的是(　　) A. B. C. D. 答案　D 解析　A，B中x可以表示负数，C中没有元素. 4.关于x的方程＝1＋的解集为空集，则k的值为(　　) A.2 B.3 C.4 D.5 答案　D 解析　方程＝1＋整理得＝0， 则解得x＝k－2且x≠3， 由方程＝1＋的解集为空集，所以k－2＝3，即k＝5. 5.(多选)下列说法正确的是(　　) A.N＋中最小的数是1 B.若－a∉N＋，则a∈N＋ C.若a∈N＋，b∈N＋，则a＋b的最小值是2 D.x2＋4＝4x的实数解组成的集合中含有两个元素 答案　AC 解析　因为N＋表示正整数集，容易判断A，C正确； 对于B，若a＝则满足－a∉N＋，但a∉N＋，B错误； 对于D，x2＋4＝4x的实数解只有2，所以组成的集合中只有一个元素，D错误. 6.将集合M＝{(x，y)|y＝－x2＋8，x∈N，y∈N}用列举法表示，正确的是(　　) A.{0，1，2} B.{4，7，8} C.(0，8)，(1，7)，(2，4) D.{(0，8)，(1，7)，(2，4)} 答案　D 解析　集合M为点集， 由y＝－x2＋8，x∈N，y∈N， 可知当x＝0时，y＝8；当x＝1时，y＝7； 当x＝2时，y＝4，其它的自然数x，都使y∉N， 故M＝{(0，8)，(1，7)，(2，4)}. 7.(5分)已知区间A＝[1－a，2a＋2]，则实数a的取值范围为　　　　.(用区间表示)  答案　 解析　依题意1－a<2a＋2，解得a>－ ∴实数a的取值范围是. 8.(5分)关于x的不等式x－a>0的解集为A，若2∉A，则实数a的取值范围是　　　　　　.  答案　a≥2 解析　解不等式x－a>0，得x>a， 又2∉A，∴2－a≤0，a≥2. 9.(10分)选择适当方法表示下列集合： (1)方程x(x2＋2x＋1)＝0的解构成的集合；(2分) (2)在自然数集内，小于1 000的奇数构成的集合；(2分) (3)不等式x－2>6的解构成的集合；(2分) (4)大于0.5且不大于6的自然数的全体构成的集合；(2分) (5)方程组的解(x，y)构成的集合.(2分) 解　(1){0，－1}. (2){x|x＝2n＋1，且x<1 000，n∈N}. (3){x|x>8}. (4){1，2，3，4，5，6}. (5)解集用描述法表示为 解集用列举法表示为{(2，－1)}. 10.(10分)设x∈R，集合A中含有三个元素3，x，x2－2x. (1)求实数x应满足的条件；(5分) (2)若－2∈A，求实数x的值.(5分) 解　(1)根据集合中元素的互异性， 可知 即x≠0且x≠3且x≠－1. (2)因为x2－2x＝(x－1)2－1≥－1，且－2∈A， 所以x＝－2. 11.若集合A＝{x∈R|kx2＋4x＋4＝0}只有一个元素，则实数k的值为(　　) A.0或1 B.0或－1 C.0或2 D.0或－2 答案　A 解析　集合A中只有一个元素，即方程kx2＋4x＋4＝0只有一个根.当k＝0时，方程为一元一次方程，只有一个根；当k≠0时，方程为一元二次方程，若只有一个根，则Δ＝16－16k＝0，即k＝1.所以实数k的值为0或1. 12.(多选)下列说法错误的是(　　) A.在平面直角坐标系内，第一、三象限内的点组成的集合为{(x，y)|xy>0} B.方程＋|y＋2|＝0的解集为{－2，2} C.{x|x<－8且x>－5}中的元素个数为0 D.若A＝[－1，1]，则－1.1∈A 答案　BD 解析　对于A项，第一象限内的点(x，y)满足x>0，y>0，第三象限内的点(x，y)满足x<0，y<0，故A项正确；对于B项，该方程的解为故解集为{(2，－2)}，故B项错误；显然C项正确；对于D项，－1.1∉A，故D项错误. 13.已知A＝{a－2，2a2＋5a，12}，且－3∈A，则由a的值构成的集合是(　　) A.－ B. C.{－1} D. 答案　D 解析　∵－3∈A，A＝{a－2，2a2＋5a，12}， ∴或 解得a＝－. 故由a的值构成的集合是. 14.(5分)已知x，y，z为非零实数，代数式的值所组成的集合是M，则M中的元素个数为　　　　.  答案　3 解析　针对x，y，z中，三个为正、两个为正、一个为正、全为负四种情况进行分类讨论，此时代数式的值分别为4，0，0，－4，则M中的元素共3个. 15.(多选)已知集合A＝{x|x＝2m－1，m∈Z}，B＝{x|x＝2n，n∈Z}且x1，x2∈A，x3∈B，则下列判断正确的是(　　) A.x1·x2∈A B.x2·x3∈B C.x1＋x2∈B D.x1＋x2＋x3∈A 答案　ABC 解析　由x1，x2∈A，x3∈B，可知x1，x2是奇数，x3是偶数.因为两个奇数的乘积为奇数，所以x1·x2∈A，即A正确；因为一个奇数和一个偶数的乘积为偶数，所以x2·x3∈B，即B正确；因为两个奇数的和为偶数，所以x1＋x2∈B，即C正确；因为两个奇数与一个偶数的和为偶数，所以x1＋x2＋x3∈B，即D错误. 16.(12分)已知集合A＝B＝试问集合A与B有几个相同的元素？并写出由这些相同元素组成的集合. 解　对于集合A，B，因为x∈N∈N， 所以当x＝1时＝1； 当x＝7时＝3； 当x＝9时＝9. 所以A＝{1，7，9}，B＝{1，3，9}. 所以集合A与B有2个相同的元素，故集合A，B的相同元素组成的集合为{1，9}. 学科网（北京）股份有限公司 $