第1章 1.1.2 子集和补集（配套教参Word）-【步步高】2025-2026学年高一数学必修第一册学习笔记（湘教版）

本讲义聚焦高中数学子集与补集核心知识点，承接集合基本概念，通过实例抽象集合间包含与相等关系，构建子集、真子集、补集的知识框架，为后续集合运算奠定学习支架。 该资料以问题驱动结合数形结合设计，通过具体集合实例（如等边三角形与等腰三角形）培养数学眼光，借助Venn图和数轴发展数学思维与语言表达。课中助力教师系统教学，课后通过分层练习和反思感悟帮助学生查漏补缺。

1.1.2　子集和补集 学习目标　1.理解集合之间包含与相等的含义，能识别给定集合的子集.2.能用符号和Venn图表示两个集合间的关系.3.理解空集与子集、真子集之间的关系.4.理解补集的含义，能求给定集合的补集. 导语 我们知道，两个实数之间有相等关系、大小关系，如5＝5，5<7，5>3等等，两个集合之间是否也有类似的关系呢？ 一、子集与真子集 问题1　观察下列各组集合，你能发现两个集合间的关系吗？ (1)A＝{3，5，7}，B＝(2，8]； (2)A＝{等边三角形}，B＝{等腰三角形}； (3)A＝{x|x＝2k，k∈Z}，B＝{偶数}. 提示　(1)(2)中集合A的每个元素都是集合B的元素.(3)中集合A，B的元素相同. 知识梳理 1.表示集合间关系的示意图叫作Venn图. 2.子集 名称 自然语言 符号语言 图形语言 集合A是集合B的子集 对于两个集合A，B，如果集合A的每个元素都是集合B的元素，就称集合A是集合B的子集 A⊆B(或B⊇A)读作“A包含于B”(或“B包含A”) 3.集合相等 如果集合A的任何一个元素都是集合B的元素，同时集合B的任何一个元素都是集合A的元素，即若A⊆B并且B⊆A，则称两个集合相等，记作A=B. 4.真子集 如果A⊆B，但存在元素x∈B，且x∉A，就称A是B的真子集，记作AB(或BA)，读作“A真包含于B”(或“B真包含A”). 5.一般地，空集包含于任一集合，即空集是任一集合的子集. 6.传递性：若A⊆B，B⊆C，则A⊆C；若AB，B⊆C，则AC. 注意点： (1)“A是B的子集”的含义：由任意x∈A能推出x∈B. (2)在真子集的定义中，AB首先要满足A⊆B，其次至少有一个x∈B，但x∉A. (3)每个集合都是它自己的子集，即A⊆A. (4)空集是任何非空集合的真子集. 例1　(课本例6)设S={a，b，c}，写出S的所有子集，并指出哪些是它的真子集. 解　S的子集共有8个，分别为：∅，{a}，{b}，{c}，{a，b}，{a，c}，{b，c}，{a，b，c}. 真子集分别为：∅，{a}，{b}，{c}，{a，b}，{a，c}，{b，c}. 例1　(1)(多选)下列各对集合M，N中，满足M是N的子集的是(　　) A.M＝{－1，1}，N＝{(－1，－1)，(－1，1)，(1，－1)，(1，1)} B.M＝(－1，4)，N＝{x|x－5<0} C.M＝{x|x是正方形}，N＝{x|x是矩形} D.M＝{x|x＝2n－1，n∈N＋}，N＝{x|x＝2n＋1，n∈N＋} 答案　BC 解析　A中，集合M中的元素是数，集合N中的元素是有序实数对，故M与N之间无包含关系； B中，集合N＝{x|x<5}，用数轴表示集合M，N，如图所示，由图可知M⊆N； C中，正方形是特殊的矩形，故M⊆N； D中，由于n∈N＋，因此集合M中含有元素“1”，而集合N中不含元素“1”，故M不是N的子集. (2)集合{a，b，c}的子集有　　　　；其中真子集有　　　　.  答案　∅，{a}，{b}，{c}，{a，b}，{a，c}，{b，c}，{a，b，c} ∅，{a}，{b}，{c}，{a，b}，{a，c}，{b，c} 反思感悟　求元素个数有限的集合的子集的两个关注点 (1)要注意两个特殊的子集：∅和自身. (2)按集合中含有元素的个数由少到多分类一一写出，保证不重不漏. 跟踪训练1　(1)若集合A＝{x∈N＋|x是2n与3n的公倍数，n∈N＋}，B＝{x|x＝6n，n∈N＋}，则下列选项正确的是(　　) A.BA B.AB C.A＝B D.以上选项均不正确 答案　C 解析　由于A＝{x∈N＋|x是2n与3n的公倍数，n∈N＋}， 故A＝{x∈N＋|x是6n的倍数，n∈N＋}， B＝{x|x＝6n，n∈N＋}，故B＝A. (2)满足{1，2}M⊆{1，2，3，4，5}的集合M有　　　　个.  答案　7 解析　由{1，2}M⊆{1，2，3，4，5}，可以确定集合M必含有元素1，2，且含有元素3，4，5中的至少一个，因此依据集合M的元素个数分类如下： 含有三个元素：{1，2，3}，{1，2，4}，{1，2，5}； 含有四个元素：{1，2，3，4}，{1，2，3，5}，{1，2，4，5}； 含有五个元素：{1，2，3，4，5}. 故满足题意的集合M共有7个. 二、补集 问题2　如果我们把某次活动中的客人看成集合的元素，所有的客人组成集合U，先到的客人组成集合A，未到的客人组成集合B，集合A，B与集合U有什么样的关系？ 提示　集合U是我们研究对象的全体，A⊆U，B⊆U. 知识梳理 1.全集：一般地，若要讨论的对象都是集合U的元素和子集，则可以把集合U约定为全集(或基本集). 2.补集 自然语言 若集合A是全集U的子集，U中所有不属于A的元素组成的集合称为A的补集，记作∁UA，当全集U可以从上下文确定时，A的补集也可以记作 符号语言 ∁UA＝{x|x∈U，且x∉A} 图形语言 注意点： (1)“全集”是一个相对的概念，并不是固定不变的，它是依据具体的问题加以选择的. (2)补集是集合之间的一种运算关系，求集合A的补集的前提是A是全集U的子集，随着所选全集的不同，得到的补集也不同，因此它们是相互依存、不可分割的两个概念. (3)∁UA包含三层含义：①A⊆U；②∁UA是一个集合，且∁UA⊆U；③∁UA是U中所有不属于A的元素构成的集合. 例2　(1)(课本例7)设U＝{x∈Z|x∈(0，12]}，A＝{x∈N|0<x<6}，B＝{x∈Z|x∈[7，11]}，求∁UA和∁UB. 解　由条件可知U＝{1，2，3，4，5，6，7，8，9，10，11，12}， A＝{1，2，3，4，5}，B＝{7，8，9，10，11}， 因此∁UA＝{6，7，8，9，10，11，12}， ∁UB＝{1，2，3，4，5，6，12}. (2)(课本例8)把区间[0，1]看成全集，写出它的下列子集的补集： A＝(0，1)，B＝{1}，C＝{x|0≤x<0.5}，D＝[0，1]. 解　由于全集为[0，1]，则有 ＝{0，1}＝[0，1)＝[0.5，1]＝∅. 例2　(1)已知全集U＝{x|－3<x<3}，集合A＝{x|－2<x≤1}，则∁UA等于(　　) A.(－2，1] B.(－3，－2)∪[1，3) C.[－2，1) D.(－3，－2]∪(1，3) 答案　D 解析　方法一　因为全集U＝(－3，3)，A＝(－2，1]，所以∁UA＝(－3，－2]∪(1，3). 方法二　因为1∈A，所以1∉∁UA，可排除A选项和B选项；0∈A，所以0∉∁UA，可排除C选项. (2)已知全集U＝{－1，1，3}，集合A＝{a＋2，a2＋2}，且∁UA＝{－1}，则a的值是(　　) A.－1 B.1 C.3 D.±1 答案　A 解析　∵∁UA＝{－1}，∴A＝{1，3}， ∵a2＋2≥2，∴ 解得a＝－1. 反思感悟　求补集的方法 若所有的集合是有关不等式的集合，则常借助于数轴，把已知集合及全集分别表示在数轴上，然后再根据补集的定义求解，注意端点值的取舍. 跟踪训练2　(1)已知全集U＝{x|x≥－3}，集合A＝{x|－3<x≤4}，则∁UA＝　　　　.  答案　{x|x＝－3或x>4} 解析　借助数轴得∁UA＝{x|x＝－3或x>4}. (2)设U＝{0，1，2，3}，A＝{x|x2＋mx＝0}，若∁UA＝{1，2}，则实数m＝　　　　.  答案　－3 解析　∵∁UA＝{1，2}，∴A＝{0，3}， ∴0，3是方程x2＋mx＝0的两个根，∴m＝－3. 三、由集合间的关系求参数 例3　已知集合A＝{x|－2≤x≤5}，集合B＝{x|m＋1≤x≤2m－1}，若B⊆A，求实数m的取值范围. 解　当B＝∅时，满足B⊆A， 此时m＋1>2m－1，解得m<2. 当B≠∅，且B⊆A时，如图所示. 则 解得2≤m≤3. 所以实数m的取值范围是{m|m≤3}. 延伸探究1　若本例条件“A＝{x|－2≤x≤5}”改为“A＝{x|－2<x<5}”，其他条件不变，求实数m的取值范围. 解　当B＝∅时，满足B⊆A，此时m＋1>2m－1，解得m<2. 当B≠∅，且B⊆A时，如图所示. 则 解得即2≤m<3， 所以实数m的取值范围是{m|m<3}. 延伸探究2　若本例条件“B⊆A”改为“BA”，其他条件不变，求实数m的取值范围. 解　当B＝∅时，满足BA，此时m＋1>2m－1，解得m<2. 当B≠∅，且BA时，如图所示. 所以或 解得2≤m≤3. 所以实数m的取值范围是{m|m≤3}. 反思感悟　利用集合间的关系求参数的关注点 (1)此类问题通常借助数轴，利用数轴分析法，将各个集合在数轴上表示出来，以形定数，还要注意验证端点值. (2)要注意“空集”的情况，空集是任何集合的子集. 1.知识清单： (1)子集、真子集的概念与性质. (2)子集的个数. (3)补集. (4)由集合间的关系求参数. 2.方法归纳：分析法、观察法、元素特征法、数形结合法、分类讨论法. 3.常见误区： (1)在解决问题时，容易遗忘空集. (2)求含参的问题时，容易遗漏端点的取值，应注意讨论. 课时对点练 [分值：100分] 单选题每小题5分，共35分；多选题每小题6分，共18分 1.下列各选项中，表示M⊆N的是(　　) 答案　C 解析　由M⊆N知，表示集合M的图形应全都在表示集合N的图形中. 2.已知集合M＝[－2，2)，N＝{x|－1<x－1<1}，则两个集合间的关系是(　　) A.M⊆N B.N⊆M C.M＝N D.M，N互不包含 答案　B 解析　∵N＝{x|0<x<2}＝(0，2)，M＝[－2，2)， ∴N⊆M. 3.(多选)已知集合A＝{0，1}，则下列式子正确的是(　　) A.0∈A B.{1}∈A C.∅⊆A D.{0，1}⊆A 答案　ACD 解析　∵{1}⊆A，∴B项错误，其余均正确. 4.设全集U＝{x∈N|x≥2}，集合A＝{x∈N|x2≥5}，则∁UA等于(　　) A.∅ B.{2} C.[2) D.{5} 答案　B 解析　A＝{x∈N|x≥}，∴∁UA＝{2}. 5.(多选)已知集合A＝{2，－1}，集合B＝{m2－m，－1}，且A＝B，则实数m等于(　　) A.2 B.－1 C.－2 D.4 答案　AB 解析　∵A＝B，∴m2－m＝2，∴m＝2或m＝－1. 6.已知集合{1，0}⊆B{－1，0，1，2}，则满足条件的集合B的个数为(　　) A.3 B.4 C.5 D.6 答案　A 解析　由{1，0}⊆B可得1∈B且0∈B，根据B为{－1，0，1，2}的真子集， 可得B＝{1，0}或B＝{1，0，－1}或B＝{1，0，2}，故满足条件的集合B的个数为3. 7.(5分)已知集合A＝(－1，4]，S＝{x|－1<x≤8}，则∁SA＝　　　　.  答案　(4，8] 8.(5分)已知集合A＝[－4，4]，B＝{x|x≥a}，且AB，则实数a的取值范围为　　　　.  答案　(－∞，－4] 解析　∵集合A＝[－4，4]，集合B＝{x|x≥a}，若AB，则a≤－4， 则实数a的取值范围是(－∞，－4]. 9.(10分)已知集合A＝{1，3，－x2}，B＝{x＋2，1}，是否存在实数x，使得B是A的子集？若存在，求出集合A，B；若不存在，请说明理由. 解　存在，理由如下：由题意知，若x＋2＝3，则x＝1，符合题意.若x＋2＝－x2，则x2＋x＋2＝0无实根，故不成立，综上所述，存在实数x＝1，使得B是A的子集，此时A＝{1，3，－1}，B＝{1，3}. 10.(10分)已知全集U＝{2，3，a2＋2a－3}，B＝{|2a－1|，2}，若∁UB＝{5}，求实数a的值. 解　∵∁UB＝{5}，∴ 解得∴a＝2. 11.已知全集U＝[1，a]，A＝{x|1≤x≤b}，若∁UA＝(2，5]，则的值为(　　) A. B.2 C. D.5 答案　C 解析　画出数轴如图所示， ∵∁UA＝(2，5]，∴b＝2，a＝5， ∴. 12.(多选)已知集合A＝{0，1}，B＝{x|ax2＋x－1＝0}，若A⊇B，则实数a的取值可以是(　　) A.0 B.1 C.－1 D. 答案　AC 解析　当a＝0时，B＝{1}，满足条件； 当a≠0时，若B＝{1}， 则无解； 若B＝{0}，则无解； 若B＝{0，1}，则无解； 若B＝∅，则Δ＝1＋4a<0，得a<－满足条件. 综上所述，a＝0或a<－. 13.集合M＝{x|x＝5k－2，k∈Z}，P＝{x|x＝5n＋3，n∈Z}，S＝{x|x＝10m＋3，m∈Z}之间的关系是(　　) A.SPM B.S＝PM C.SP＝M D.P＝MS 答案　C 解析　由题意知M＝{…，－7，－2，3，8，13，18，…}，P＝{…，－7，－2，3，8，13，18，…}，S＝{…，－7，3，13，23，…}，故SP＝M. 14.(5分)已知非空集合P满足：(1)P⊆{1，2，3，4，5}；(2)若a∈P，则6－a∈P.符合上述条件的集合P的个数为　　　　.  答案　7 解析　由a∈P，6－a∈P，且P⊆{1，2，3，4，5}可知，P中元素在取值方面应满足的条件是1，5同时选，2，4同时选，3可单独选，可一一列出满足条件的全部集合P为{3}，{1，5}，{2，4}，{1，3，5}，{2，3，4}，{1，5，2，4}，{1，2，3，4，5}，共有7个. 15.正交数组的概念在现代广泛应用.设集合A＝{(x1，x2，x3，x4)|xi∈{－1，1}，i＝1，2，3，4}.任取(a1，a2，a3，a4)，(b1，b2，b3，b4)∈A，若a1b1＋a2b2＋a3b3＋a4b4＝0，则称(a1，a2，a3，a4)与(b1，b2，b3，b4)正交.若B⊆A，且B中任意两个元素均正交，则B中元素个数最多是(　　) A.2 B.3 C.4 D.6 答案　C 解析　不妨设(1，1，1，1)∈B， 由a1b1＋a2b2＋a3b3＋a4b4＝0，则B中可能还包含(1，1，－1，－1)，(1，－1，1，－1)，(1，－1，－1，1)，(－1，1，1，－1)，(－1，1，－1，1)，(－1，－1，1，1)这6个元素， 又(1，1，－1，－1)和(－1，－1，1，1)，(1，－1，－1，1)和(－1，1，1，－1)，(1，－1，1，－1)和(－1，1，－1，1)这三组元素不正交， 所以(1，1，－1，－1)，(1，－1，1，－1)，(1，－1，－1，1)，(－1，1，1，－1)，(－1，1，－1，1)，(－1，－1，1，1)这6个元素中最多只有3个元素在集合B中，如B＝{(1，1，1，1)，(1，1，－1，－1)，(1，－1，1，－1)，(1，－1，－1，1)}， 故若B⊆A，且B中任意两个元素均正交，则B中元素个数最多是4. 16.(12分)已知集合A＝{x∈R|ax2－3x－4＝0}. (1)若集合A中有两个元素，求实数a的取值范围；(5分) (2)若集合A最多有两个子集，求实数a的取值范围.(7分) 解　(1)由于A中有两个元素， ∴关于x的方程ax2－3x－4＝0有两个不等的实数根， ∴Δ＝9＋16a>0，且a≠0，即a>－且a≠0. 故实数a的取值范围是. (2)集合A最多有两个子集即A中至多有一个元素， 即关于x的方程ax2－3x－4＝0无实数解或只有一解， 当a＝0时，方程为－3x－4＝0，解得x＝－集合A＝符合题意； 当a≠0时，若关于x的方程ax2－3x－4＝0有两个相等的实数根，则A中只有一个元素，Δ＝9＋16a＝0， 此时a＝－； 若关于x的方程ax2－3x－4＝0没有实数根，则A中没有元素，Δ＝9＋16a<0，此时a<－. 综上可知，实数a的取值范围是. 学科网（北京）股份有限公司 $