1.1.3 集合的交与并-【正禾一本通】2025-2026学年高中数学必修第一册同步课堂高效讲义教师用书word（湘教版）

本高中数学讲义聚焦集合的交与并核心知识点，承接集合基本概念，系统梳理交集（所有公共元素组成）与并集（所有属于A或B的元素组成）的含义、运算性质及应用，通过文字、符号、图形语言融合及概念点拨搭建学习支架，为后续函数等内容中集合应用奠基。 资料以核心素养为导向，Venn图与数轴直观呈现运算过程培养直观想象，概念辨析（如并集“或”的三层含义）深化数学抽象，分层设计的探究点与评价题提升数学运算能力。课中助力教师高效授课，课后学生可通过例题解析与分层练习查漏补缺，巩固知识。

1.1.3　集合的交与并 学习目标 1.理解两个集合的并集与交集的含义，能求两个集合的并集与交集. 2.能使用Venn图表达集合的基本运算，体会图形对理解抽象概念的作用，培养数学抽象及数学运算的核心素养. 知识点一　两个集合的交 文字语言 在数学里，把所有既属于A又属于B的元素组成的集合，称为A与B的交集，记作A∩B，读作“A交B” 符号语言 A∩B＝{x｜x∈A且x∈B} 图形语言 运算性质 A∩B＝B∩A，A∩A＝A，A∩⌀＝⌀，(A∩B)⊆A，(A∩B)⊆B [点拨]　对交集概念的理解 (1)运算结果：A∩B是一个集合，由A与B的所有公共元素组成，而非部分元素组成. (2)关键词“所有”：概念中的“所有”两字的含义是，不仅“A∩B中的任意元素都是A与B的公共元素”，同时“A与B的公共元素都属于A∩B”. (3)A∩B＝⌀的含义：当集合A与B没有公共元素时，不能说A与B没有交集. 知识点二　两个集合的并 文字语言 把集合A，B中的元素放在一起组成的集合，称为A与B的并集，记作A∪B，读作“A并B” 符号语言 A∪B＝{x｜x∈A或x∈B} 图形语言 运算性质 A∪B＝B∪A，A∪A＝A，A∪⌀＝A，A⊆(A∪B)，B⊆(A∪B) [点拨]　对并集概念的理解 (1)运算结果：A∪B仍是一个集合，由所有属于A或属于B的元素组成，公共元素只能算一次(元素的互异性). (2)并集概念中的“或”指的是只要满足其中一个条件即可，符号语言“x∈A，或x∈B”包含三种情况：“x∈A，但x∉B”；“x∈B，但x∉A”；“x∈A，且x∈B”. 学生用书⬇第11页 1.判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)并集定义中的“或”就是“和”.(　　) (2)A∪B表示由集合A和集合B中元素共同组成的集合.(　　) (3)若A∩B＝⌀，则A＝B＝⌀.(　　) (4)N∩N＋＝N＋，N∪N＋＝N.(　　) (5)若x∈(A∩B)，则x∈(A∪B).(　　) 答案：(1)×　(2)×　(3)×　(4)√　(5)√ 2.已知集合M＝{x｜－1＜x＜3}，N＝{x｜－2＜x＜1}，则M∩N＝(　　) A.{x｜－2＜x＜1} B.{x｜－1＜x＜1} C.{x｜1＜x＜3} D.{x｜－2＜x＜3} 答案：B 解析：在数轴上表示出集合M，N，如图所示， 由图知M∩N＝{x｜－1＜x＜1}. 3.设集合M＝{x｜x2＋2x＝0，x∈R}，N＝{x｜x2－2x＝0，x∈R}，则M∪N＝(　　) A.{0} B.{0，2} C.{－2，0} D.{－2，0，2} 答案：D 解析：M＝{0，－2}，N＝{0，2}，所以M∪N＝{－2，0，2}. 4.若集合A＝{x｜－3＜x＜4}，B＝{x｜x＞2}，则A∩B＝_________，A∪B＝_________. 答案：{x｜2＜x＜4}　{x｜x＞－3} 解析：如图，A∩B＝{x｜2＜x＜4}，A∪B＝{x｜x＞－3}. 探究点一　交集及其运算 (1)设集合M＝{m∈Z｜－3＜m＜2}，N＝{n∈Z｜－1≤n≤3}，则M∩N＝(　　) A.{0，1} B.{－1，0，1} C.{0，1，2} D.{－1，0，1，2} (2)若集合A＝{x｜－5＜x＜2}，B＝{x｜－3＜x＜3}，则A∩B＝(　　) A.{x｜－3＜x＜2} B.{x｜－5＜x＜2} C.{x｜－3＜x＜3} D.{x｜－5＜x＜3} 答案：(1)B　(2)A 解析：(1)易知M＝{－2，－1，0，1}，N＝{－1，0，1，2，3}，根据交集定义可知M∩N＝{－1，0，1}，故选B. (2)在数轴上表示集合A，B，如图所示，则A∩B＝{x｜－3＜x＜2}，故选A. 求两个集合的交集的方法 1.对于元素个数有限的集合，逐个挑出两个集合的公共元素即可. 2.对于元素个数无限的集合，一般借助数轴求交集，两个集合的交集等于两个集合在数轴上的相应图形所覆盖的公共范围，要注意端点值的取舍. 对点练1.若A＝{x∈N｜1≤x≤10}，B＝{x∈R｜x2＋x－6＝0}，则图中阴影部分表示的集合为(　　) A.{2} B.{3} C.{－3，2} D.{－2，3} 答案：A 解析：易知A＝{1，2，3，4，5，6，7，8，9，10}，B＝{－3，2}，图中阴影部分表示的集合为A∩B＝{2}，故选A. 探究点二　并集及其运算 (1)设集合A＝{1，2，3，4}，B＝{y｜y＝2x－1，x∈A}，则A∪B等于(　　) A.{1，3} B.{2，4} C.{2，4，5，7} D.{1，2，3，4，5，7} (2)已知集合M＝{x｜－3＜x≤5}，N＝{x｜x＜－5或x＞5}，则M∪N＝(　　) A.{x｜x＜－5或x＞－3} B.{x｜－5＜x＜5} C.{x｜－3＜x＜5} D.{x｜x＜－3或x＞5} 答案：(1)D　(2)A 解析：(1)依题意得B＝{1，3，5，7}，因此A∪B＝{1，2，3，4，5，7}，故选D. (2)在数轴上表示集合M，N，如图，则由图可知M∪N＝{x｜x＜－5或x＞－3}.故选A. 求两个集合的并集的方法 1.对于元素个数有限的集合，可直接根据集合的并集定义求解，但要注意集合中元素的互异性. 2.对于元素个数无限的集合，进行并集运算时，可借助数轴求解，注意两个集合的并集等于两个集合在数轴上的相应图形所覆盖的全部范围. 对点练2.若集合A＝{x｜0＜x＜}，B＝{x｜1≤x＜2}，则A∪B＝(　　) A.{x｜x≤0} B.{x｜x≥2} C.{x｜0≤x≤} D.{x｜0＜x＜2} 答案：D 解析：将集合A，B表示在数轴上，如图，由数轴可知A∪B＝{x｜0＜x＜2}. 探究点三　集合交、并、补的综合运算 (1)设全集U＝{－2，－1，0，1，2}，集合A＝{x｜x2＋x－2＝0}，B＝{0，－2}，则B∩(∁UA)＝(　　) A.{0，1} B.{－2，0} C.{－1，－2} D.{0} 学生用书⬇第12页 (2)已知全集U＝{x｜x≤4}，集合A＝{x｜－2＜x＜3}，B＝{x｜－3≤x≤2}.求： ①A∩B； ②(∁UA)∪B. 答案：(1)D 解析：(1)由于A＝{x｜x2＋x－2＝0}＝{－2，1}， 所以∁UA＝{－1，0，2}， 所以B∩(∁UA)＝{0}，故选D. (2)①在数轴中画出集合A，B，如图所示. 由图可知，A∩B＝{x｜－2＜x≤2}. ②由题得∁UA＝{x｜x≤－2或3≤x≤4}. 在数轴中画出∁UA和集合B，如图所示， 由图可知，(∁UA)∪B＝{x｜x≤2或3≤x≤4}. 求集合交、并、补运算的方法 对点练3.已知集合U＝{0，1，2，3，4}，集合A＝{1，2}，B＝{2，3}，则A∩(∁UB)＝(　　) A.{0，1，2，4} B.{0，2，4} C.{1，2，3} D.{1} 答案：D 解析：因为集合U＝{0，1，2，3，4}，且B＝{2，3}， 则∁UB＝{0，1，4}，又集合A＝{1，2}， 所以A∩(∁UB)＝{1}.故选D. 对点练4.已知全集U＝{x｜x≤4}，集合A＝{x｜－2＜x＜3}，B＝{x｜－3＜x＜3}.求∁UA，A∩B，∁U(A∩B)，(∁UA)∩B. 解：把全集U和集合A，B在数轴上表示如下： 由图可知，∁UA＝{x｜x≤－2或3≤x≤4}， A∩B＝{x｜－2＜x＜3}， ∁U(A∩B)＝{x｜x≤－2或3≤x≤4}， (∁UA)∩B＝{x｜－3＜x≤－2}. 探究点四　根据集合的运算关系求参数范围 设A＝{x｜x2－2x＝0}，B＝{x∈R｜x2－2ax＋a2－a＝0}. (1)若A∩B＝B，求实数a的取值范围； (2)若A∪B＝B，求实数a的值. 解：由x2－2x＝0，得x＝0或x＝2. 所以A＝{0，2}. (1)因为A∩B＝B， 所以B⊆A，所以B＝⌀或{0}或{2}或{0，2}. 当B＝⌀时，Δ＝4a2－4(a2－a)＝4a＜0，所以a＜0； 当B＝{0}时，得a＝0； 当B＝{2}时，无解； 当B＝{0，2}时，得a＝1. 综上所述，实数a的取值范围是{a｜a＝1或a≤0}. (2)因为A∪B＝B，所以A⊆B， 又A＝{0，2}，而B中方程至多有两个根， 所以A＝B，由(1)知a＝1. 1.在利用集合的交集、并集的性质解题时，常常会遇到A∩B＝A，A∪B＝B等，解答时常借助交集、并集的定义及集合间的关系分析，如A∩B＝A⇔A⊆B，A∪B＝B⇔A⊆B等. 2.当集合B⊆A时，如果集合A是一个确定的集合，而集合B不确定，运算时要考虑B＝⌀的情况. 对点练5.设集合A＝{x｜x＋m≥0}，B＝{x｜－2＜x＜4}，全集U＝R. (1)若(∁UA)∩B＝⌀，求实数m的取值范围； (2)若(∁UA)∩B≠⌀，求实数m的取值范围； (3)若(∁UB)∪A＝R，求实数m的取值范围. 解：(1)由已知A＝{x｜x≥－m}，U＝R， 得∁UA＝{x｜x＜－m}， 因为B＝{x｜－2＜x＜4}，(∁UA)∩B＝⌀，在数轴上表示出来如图. 由图可知－m≤－2，即m≥2， 所以m的取值范围是{m｜m≥2}. (2)由已知得，A＝{x｜x≥－m}，所以∁UA＝{x｜x＜－m}，又(∁UA)∩B≠⌀， 所以－m＞－2，解得m＜2. 故m的取值范围为{m｜m＜2}. (3)由已知A＝{x｜x≥－m}，∁UB＝{x｜x≤－2或x≥4}. 又(∁UB)∪A＝R，所以－m≤－2，解得m≥2. 故m的取值范围为{m｜m≥2}. 学生用书⬇第13页 1.已知集合A＝{x∈N｜－1＜x≤4}，B＝{－1，1，3，5}，则A∪B＝(　　) A.{0，4} B.{1，3} C.{－1，1，2，3，4，5} D.{－1，0，1，2，3，4，5} 答案：D 解析：因为A＝{0，1，2，3，4}，B＝{－1，1，3，5}，所以A∪B＝{－1，0，1，2，3，4，5}.故选D. 2.设集合A＝{2，3，4，5，6}，B＝{x｜2＜x≤4}，则A∩B＝(　　) A.{2，3} B.{x｜2＜x≤6} C.{2，3，4} D.{3，4} 答案：D 解析：因为集合A＝{2，3，4，5，6}，B＝{x｜2＜x≤4}，所以A∩B＝{3，4}，故选D. 3.已知集合U＝{2，3，6，8}，A＝{2，3}，B＝{2，6，8}，则(∁UA)∩B＝_________. 答案：{6，8} 解析：因为U＝{2，3，6，8}，A＝{2，3}，所以∁UA＝{6，8}. 所以(∁UA)∩B＝{6，8}∩{2，6，8}＝{6，8}. 4.已知集合A＝{x｜2＜x＜4}，B＝{x｜a＜x＜3a(a＞0)}. (1)若A∪B＝B，求a的取值范围； (2)若A∩B＝⌀，求a的取值范围； (3)若A∩B＝{x｜3＜x＜4}，求a的值. 解：(1)因为A∪B＝B，所以A⊆B，将集合A，B及A，B的关系在数轴上表示出来，如图， 观察数轴可知，≤a≤2. (2)A∩B＝⌀有两类情况：B在A的左边和B在A的右边，如图. 观察数轴可知，a≥4或3a≤2，又a＞0， 所以0＜a≤或a≥4. (3)画出数轴如图， 观察图形可知即a＝3. 课时分层评价4　集合的交与并 (时间：50分钟　满分：70分) (本栏目内容，在学生用书中以独立形式分册装订！) (1—8每小题5分，共40分) 1.设集合A＝{x｜2＜x≤4}，B＝{2，3，4，5}，则(∁RA)∩B＝(　　) A.{2} B.{2，5} C.{3，4} D.{2，3} 答案：B 解析：因为A＝{x｜2＜x≤4}，所以∁RA＝{x｜x≤2或x＞4}.所以(∁RA)∩B＝{2，5}.故选B. 2.已知集合A＝{1，2}，B＝{x｜x(x－2)＝0}，则A∪B＝(　　) A.{0，1} B.{2} C.{0，2} D.{0，1，2} 答案：D 解析：因为B＝{x｜x(x－2)＝0}＝{0，2}，所以A∪B＝{0，1，2}. 3.已知全集U＝R，集合A＝{x｜x≥3或x≤0}，B＝{x｜1＜x≤3}，则如图所示的阴影部分表示的集合为(　　) A.{x｜0≤x＜1} B.{x｜0＜x≤3} C.{x｜0＜x≤1} D.{x｜1≤x≤3} 答案：C 解析：因为A＝{x｜x≥3或x≤0}，B＝{x｜1＜x≤3}，所以A∪B＝{x｜x＞1或x≤0}，所以图中阴影部分表示的集合为∁U(A∪B)＝{x｜0＜x≤1}，故选C. 4.(多选)我们已经学过了集合的并，交，补等几个基本运算，而集合还有很多其他的基本运算.设A，B为两个集合，称所有属于集合A但不属于集合B的元素组成的集合为集合A与集合B的差集，记为A－B，即A－B＝{x∈A｜x∉B}.下列表达式一定正确的是(　　) A.(A－B)∩(B－A)＝⌀ B.(A－B)∪(B－A)＝A∪B C.A－(A－B)＝B－(B－A) D.(A－B)∪B＝A∪(B－A) 答案：ACD 解析：对于A，(A－B)∩(B－A)＝{x∈A｜x∉B}∩{x∈B｜x∉A}＝⌀，故A正确； 对于B，(A－B)∪(B－A)＝{x∈A｜x∉B}∪{x∈B｜x∉A}＝(A∪B)－(A∩B)，故B不正确； 对于C，因为A－(A－B)＝A∩B，B－(B－A)＝B∩A，所以A－(A－B)＝B－(B－A)，故C正确； 对于D，因为(A－B)∪B＝A∪B，A∪(B－A)＝A∪B，所以(A－B)∪B＝A∪(B－A)，故D正确.故选ACD. 5.对于集合A，B，定义A－B＝{x｜x∈A且x∉B}，A⊕B＝(A－B)∪(B－A)，设M＝{1，2，3，4，5，6}，N＝{4，5，6，7，8，9，10}，则M⊕N中元素的个数为(　　) A.5 B.6 C.7 D.8 答案：C 解析：因为M－N＝{1，2，3}，N－M＝{7，8，9，10}，所以M⊕N＝(M－N)∪(N－M)＝{1，2，3，7，8，9，10}. 6.已知集合A＝{1，3，4，7}，B＝{x｜x＝2k＋1，k∈A}，则集合A∪B中元素的个数为_________. 答案：6 解析：由已知得，B＝{3，7，9，15}，所以A∪B＝{1，3，4，7，9，15}，所以集合A∪B中元素的个数为6. 7.若集合A＝{x｜－1＜x＜5}，B＝{x｜x≤1或x≥4}，则A∪B＝_________，A∩B＝___________________________. 答案：R　{x｜－1＜x≤1或4≤x＜5} 解析：借助数轴可知： A∪B＝R，A∩B＝{x｜－1＜x≤1或4≤x＜5}. 8.已知集合A＝{x｜x＞3或x＜－6}，B＝{x｜k≤x≤k＋1，k∈R}，若A∩B≠⌀，则实数k的取值范围为__________________. 答案：{k｜k＜－6或k＞2} 解析：若A∩B＝⌀，则即－6≤k≤2；令P＝{k｜－6≤k≤2}，则∁RP＝{k｜k＜－6或k＞2}. 故若A∩B≠⌀，k的取值范围是{k｜k＜－6或k＞2}. 9.(10分)已知集合A＝{y｜y＞a2＋1或y＜a}，B＝{y｜2≤y≤4}，若A∩B≠⌀，求实数a的取值范围. 解：因为A＝{y｜y＞a2＋1或y＜a}，B＝{y｜2≤y≤4}， 所以不妨先求当A∩B＝⌀时，实数a的取值范围， 即 故a≤－≤a≤2. 所以当A∩B≠⌀时，－＜a＜或a＞2， 即实数a的取值范围为{a｜－＜a＜或a＞2}. 10.(10分)已知集合A＝{x｜x＞1}，集合B＝{x｜m≤x≤m＋3}. (1)当m＝－1时，求A∩B，A∪B； (2)若B⊆∁RA，求m的取值范围. 解：(1)m＝－1时，集合A＝{x｜x＞1}， 集合B＝{x｜－1≤x≤2}， 所以A∩B＝{x｜1＜x≤2}， A∪B＝{x｜x≥－1}； (2)因为A＝{x｜x＞1}， 所以∁RA＝{x｜x≤1}， 因为集合B＝{x｜m≤x≤m＋3}，B⊆∁RA， 所以m＋3≤1， 即m≤－2， 所以m的取值范围是{m｜m≤－2}. (11、12每小题5分，共10分) 11.(多选)已知全集U＝{0，1，2，3，4，5，6，7}，集合A＝{x∈N｜x＜5}，B＝{1，3，5，7}，则图中阴影部分所表示的集合为(　　) A.{0，2，4} B.{2，4} C.A∩(∁UB) D.(∁UA)∩(∁UB) 答案：AC 解析：由Venn图可知阴影部分所表示的集合为A∩(∁UB)，故C正确；因为A＝{x∈N｜x＜5}＝{0，1，2，3，4}，∁UB＝{0，2，4，6}，所以A∩(∁UB)＝{0，2，4}，故A正确.故选AC. 12.(双空题、新定义)定义集合P＝{x｜a≤x≤b}的“长度”是b－a，其中a，b∈R.已知集合M＝，N＝，且M，N都是集合{x｜1≤x≤2}的子集，则集合M∩N的“长度”的最小值是　　 ；若m＝，集合M∪N的“长度”大于，则n的取值范围是_________　. 答案：　 解析：集合M＝，N＝，且M，N都是集合{x｜1≤x≤2}的子集， 由可得1≤m≤，由≤n≤2.要使M∩N的“长度”最小，只有当m取最小值、n取最大值或m取最大值、n取最小值时才成立.当m＝1，n＝2，M∩N＝，“长度”为＝，当m＝，n＝，M∩N＝，“长度”为＝，故集合M∩N的“长度”的最小值是；若m＝，M＝，要使集合M∪N的“长度”大于，故n－或n＞，即n＜或n＞，又≤n≤2，故≤n＜＜n≤2，所以n的取值范围是. 学科网（北京）股份有限公司 $