1.1.2 子集和补集-（PPT同步课件）【学而思·课件分层练习】2026-2027学年高一数学必修第一册（湘教版）

该高中数学课件围绕子集、补集等集合关系与运算展开，通过知识辨析问题导入，衔接元素与集合关系旧知，借助Venn图、数轴构建直观学习支架，逐步深入集合相等、真子集及补集运算性质。 其亮点在于融合图形语言与逻辑推理，通过列举法、元素特征法等典例分析，培养学生数学眼光（几何直观）和思维（推理能力），补集思想运用体现数学语言表达。学生能提升解题能力，教师可依托系统方法与实例高效教学。

1.1.2　子集和补集 知识点 1 子集、集合相等、真子集 必备知识 清单破 1.子集 如果集合A中的每个元素都是集合B的元素,就说A包含于B,或者说B包含A,记作A⊆B(或B ⊇A),读作“A包含于B”(或“B包含A”).若A包含于B,则称A是B的一个子集. 　　一般地,空集包含于任一集合,是任一集合的子集. 2.集合相等 如果A⊆B并且B⊆A,就说两个集合相等,记作A=B. 3.真子集 如果A⊆B但A≠B,就说A是B的真子集,记作A⫋B. 　　包含关系有传递性:若A⊆B,B⊆C,则A⊆C;若A⫋B,B⫋C,则A⫋C;等等. 第1章　集合与逻辑 高中同步 第1讲　描述运动的基本概念 　　如图1,大圆和小圆分别表示两个集合;小圆画在大圆里,表示前者是后者的真子集.这类 表示集合间关系的示意图叫作Venn图.常见数集间的关系如图2所示.  　      知识点 2 Venn图 第1章　集合与逻辑 高中同步 第1讲　描述运动的基本概念 1.全集 　　如果在某个特定的场合,要讨论的对象都是集合U的元素和子集,就可以约定把集合U叫 作全集(或基本集). 2.补集 知识点 3 全集与补集 文字语言 若A是全集U的子集,U中所有不属于A的元 素组成的集合叫作A的补集,记作∁UA(或 ) 符号语言 ∁UA={x|x∈U,且x∉A} 第1章　集合与逻辑 高中同步 第1讲　描述运动的基本概念 图形语言   运算性质 ∁UU=⌀,∁U⌀=U,∁U(∁UA)=A 　　一般地,不论A是不是B的子集,都可用B\A表示B中所有不属于A的元素组成的集合,它是 B的一个子集. 第1章　集合与逻辑 高中同步 第1讲　描述运动的基本概念 知识辨析     1.任何两个集合之间是否都有包含关系? 2.符号“∈”与“⊆”有何不同? 3.全集一定是实数集R吗? 4.∁UA,A,U三者之间有什么关系? 第1章　集合与逻辑 高中同步 第1讲　描述运动的基本概念 一语破的 1.不一定.如集合A={0,1,2},B={-1,0,1},这两个集合就没有包含关系. 2.符号“∈”用来表示元素与集合间的关系,符号“⊆”用来表示集合与集合之间的关系. 3.不一定.全集是一个相对概念,随研究问题的不同而变化,如在实数范围内解不等式时,全集 为实数集R,而在整数范围内解不等式时,全集为整数集Z. 4.(1)∁UA表示集合U为全集时,集合A在全集U中的补集,故∁UA⊆U. (2)求∁UA的前提条件为集合A是集合U的子集. (3)若x∈U,则x∈A,x∈∁UA二者必居其一. 第1章　集合与逻辑 高中同步 第1讲　描述运动的基本概念 定点 1 集合间关系的判断 关键能力 定点破 判断集合间关系的方法 (1)列举法:对于能用列举法表示的集合,先用列举法将相关集合表示出来,再通过对比集合中 的元素来判断其关系. (2)元素特征法:弄清集合中元素的限制条件,再利用限制条件来判断集合间的关系. (3)图示法:利用数轴或Venn图表示集合,可直观地判断集合间的关系. 第1章　集合与逻辑 高中同步 第1讲　描述运动的基本概念 典例　判断下列各组集合之间的关系: (1)A={1,2,3},B={x|(x-1)(x-2)(x-3)=0}; (2)A={x|0<2x-1<1},B={x|1<3x+1<4}; (3)A= x x= (2n+1),n∈Z ,B= x x= ± ,n∈Z . 解析    (1)B={x|(x-1)(x-2)(x-3)=0}={1,2,3}=A. (2)A={x|0<2x-1<1}= , B={x|1<3x+1<4}={x|0<x<1}, 用数轴表示集合A,B,如图所示, 由图可知A⫋B. 第1章　集合与逻辑 高中同步 第1讲　描述运动的基本概念 (3)集合A= ,集合B= , 当n为偶数时,不妨设n=2k,k∈Z,则2n+1=4k+1; 当n为奇数时,不妨设n=2k-1,k∈Z,则2n+1=4k-1, ∴{x|x=2n+1,n∈Z}={x|x=4k±1,k∈Z}, ∴A=B. 第1章　集合与逻辑 高中同步 第1讲　描述运动的基本概念 1.若集合A中含有n(n∈N+)个元素,则: (1)A的子集个数是2n; (2)A的非空子集个数是2n-1; (3)A的真子集个数是2n-1; (4)A的非空真子集个数是2n-2. 2.若有限集合A,B中分别含有m个,n个元素(m,n∈N+,m≤n),且A⊆C⊆B,则符合条件的有限集C 的个数为2n-m. 3.写出给定集合的子集的两个注意点: (1)按子集中元素个数的多少,以一定的顺序来写,以免重复或遗漏. (2)要注意空集和集合本身也是该集合的子集. 定点 2 探究已知集合的子集个数 第1章　集合与逻辑 高中同步 第1讲　描述运动的基本概念 典例    (1)集合M={1,2,3}的非空真子集的个数是　　　    ; (2)若{1,2}⫋A⊆{1,2,3,4,5},则满足这一关系的集合A的个数为　　　    . 6 7 解析    (1)解法一:集合M的非空真子集有{1},{2},{3},{1,2},{1,3}和{2,3},共6个. 解法二:由题意知集合M中元素的个数为3,则其非空真子集的个数为23-2=6. (2)解法一:∵{1,2}⫋A⊆{1,2,3,4,5}, ∴集合A中除了含有1,2两个元素以外,至少还含有3,4,5中的一个, 因此满足条件的集合A为{1,2,3},{1,2,4},{1,2,5},{1,2,3,4},{1,2,3,5},{1,2,4,5},{1,2,3,4,5},共7 个. 解法二:{1,2}中含2个元素,{1,2,3,4,5}中含5个元素,且{1,2}⫋A⊆{1,2,3,4,5}, 因此集合A的个数为25-2-1=7. 第1章　集合与逻辑 高中同步 第1讲　描述运动的基本概念 根据集合间的关系求参数的值或取值范围的方法 (1)若集合是用列举法表示的,则根据集合间元素的关系,列方程(组)求解,同时注意考虑集合 中元素的互异性;若集合是结合不等式描述的,则借助数轴进行分析,同时还要注意验证端点 值是否符合题意. (2)涉及“A⊆B”或“A⫋B”的问题,若集合A中含有参数,通常要分A=⌀和A≠⌀两种情况 进行讨论,其中A=⌀的情况容易被忽略,应引起足够的重视. 定点 3 已知集合间的关系求参数 第1章　集合与逻辑 高中同步 第1讲　描述运动的基本概念 典例　已知集合M={x|x2+2x-a=0}. (1)若⌀⫋M,求实数a的取值范围; (2)若N={x|x2+x=0}且M⊆N,求实数a的取值范围. 第1章　集合与逻辑 高中同步 第1讲　描述运动的基本概念 解析    (1)由题意得方程x2+2x-a=0有实数根, ∴Δ=22-4×(-a)≥0,解得a≥-1, ∴实数a的取值范围是{a|a≥-1}. (2)∵N={x|x2+x=0}={0,-1},且M⊆N, ∴当M=⌀时,Δ=22-4×(-a)<0,解得a<-1; 当M≠⌀时, 令Δ=0,解得a=-1,此时M={-1},满足M⊆N,符合题意, 令Δ>0,解得a>-1,此时M中有两个元素, 若M⊆N,则M=N,则需 此方程组无解,∴a>-1不成立. 综上,实数a的取值范围为{a|a≤-1}. 第1章　集合与逻辑 高中同步 第1讲　描述运动的基本概念 　　“正难则反”策略在集合中运用的就是补集思想,即已知全集U,求其子集A时,若直接求 A较困难,则可先求∁UA,再利用∁U(∁UA)=A求A. 1.运用补集思想解题的方法一般适用于正面考虑的情况较多、问题较复杂时,或含有至多、 至少、存在唯一、不存在等词的问题中. 2.用补集思想解含参问题的步骤: (1)确定问题的反面; (2)求问题的反面对应的参数的取值集合; (3)取问题的反面对应的参数取值集合的补集,此时应特别注意全集的范围. 定点 4 “补集思想”的运用 第1章　集合与逻辑 高中同步 第1讲　描述运动的基本概念 典例　已知集合A={x|x2+ax+1=0},B={x|x2+2x-a=0},C={x|x2+2ax+2=0}.若这三个集合中至少 有一个集合不是空集,求实数a的取值范围. 思路点拨    “至少有一个”的反面是“一个也没有”,则“至少有一个集合不是空集”的反 面情况是“不是空集的集合一个也没有”,即“三个集合都是空集”.研究反面情况后再取 “补集”即可. 第1章　集合与逻辑 高中同步 第1讲　描述运动的基本概念 解析    假设三个集合都是空集,即方程x2+ax+1=0,x2+2x-a=0,x2+2ax+2=0均无实根, 则 即  解得- <a<-1, ∴当a≤- 或a≥-1时,三个方程中至少有一个方程有实根,即三个集合中至少有一个集合不 是空集. ∴a的取值范围为{a|a≤- 或a≥-1}. 主编点评 补集作为一种思想方法,转化了研究对象,开辟了解决问题的新思路:在解决问题时,若顺向思 维受阻,则改用逆向思维. 第1章　集合与逻辑 高中同步 第1讲　描述运动的基本概念 $