04 第1章 1.1.3 集合的交与并（Word教参）-【学霸笔记·同步精讲】2025-2026学年高中数学必修第一册（湘教版）

本讲义聚焦集合的交与并核心知识点，从生活实例引入交集（科学兴趣小组招募）、并集（意见征求会参与）概念，结合Venn图直观表示，系统梳理定义、性质及运算方法，逐步过渡到与补集的综合应用，构建从具体到抽象的学习支架。 资料以核心素养为导向，通过Venn图培养直观想象（如阴影部分表示集合交集），设计分层例题与训练提升数学运算（如数轴法求范围），综合应用题锻炼逻辑推理（含参数集合关系）。课中实例助概念理解，课后分层作业满足不同需求，有效辅助教学与查漏补缺。

1.1.3　集合的交与并 学习任务 核心素养 1．理解两个集合的并集与交集的含义，会求两个简单集合的并集和交集．(重点、难点) 2．能使用Venn图表示集合的关系及运算．(难点) 1．借助Venn图，培养直观想象素养． 2．通过集合并集、交集的运算，提升数学运算素养． 学校高一年级准备成立一个科学兴趣小组，招募成员时要求同时满足： (1)中考的物理成绩不低于80分； (2)中考的数学成绩不低于90分． 如果满足条件(1)的同学组成的集合记为P，满足条件(2)的同学组成的集合记为M，而能成为科学兴趣小组成员的同学组成的集合记为S，那么这三个集合之间有什么联系呢？ 知识点1　两个集合的交 (1)交集 (2)交集性质：A∩A＝A，A∩∅＝∅，A∩B＝B∩A． 1．已知表示集合M＝{－1，0，1}和P＝{0，1，2，3}关系的Venn图如图所示，则阴影部分表示的集合是________． {0，1}　[由题图可知M∩P＝{0，1}．] 某班班主任准备召开一个意见征求会，要求所有上一次考试中语文成绩低于70分或英语成绩低于70分的同学参加．如果记语文成绩低于70分的所有同学组成的集合为M，英语成绩低于70分的所有同学组成的集合为N，需要去参加意见征求会的同学组成的集合为P，那么这三个集合之间有什么联系呢？ 知识点2　两个集合的并 (1)并集 (2)并集性质：A∪A＝A，A∪∅＝A，A∪B＝B∪A． 集合A∪B的元素个数是否等于集合A与集合B的元素个数和？ [提示]　不一定等于，A∪B的元素个数小于或等于集合A与集合B的元素个数和． 对并集中“或”的理解 “x∈A或x∈B”这一条件包括下列三种情况：x∈A，但x∉B；x∈B，但x∉A；x∈A，且x∈B．用Venn图表示如图所示． 2．(1)设集合M＝{4，5，6，8}，N＝{3，5，7，8}，则M∪N＝________． (2)已知A＝{x|x>1}，B＝{x|x>0}，则A∪B＝________． (1){3，4，5，6，7，8}　(2){x|x>0}　[(1)M∪N＝{3，4，5，6，7，8}． (2)A∪B＝{x|x>0}．] 类型1　交集概念及其应用 【例1】　【链接教材P9例9】 (1)设集合A＝{x|－1≤x≤2}，B＝{x|0≤x≤4}，则A∩B等于(　　) A．{x|0≤x≤2} B．{x|1≤x≤2} C．{x|0≤x≤4} D．{x|1≤x≤4} (2)已知集合A＝{x|x＝3n＋2，n∈N}，B＝{6，8，10，12，14}，则集合A∩B中元素的个数为(　　) A．5 B．4 C．3 D．2 (1)A　(2)D　[(1)∵A＝{x|－1≤x≤2}，B＝{x|0≤x≤4}，如图， 故A∩B＝{x|0≤x≤2}． (2)∵8＝3×2＋2，14＝3×4＋2， ∴8∈A，14∈A， ∴A∩B＝{8，14}．故选D．] 【教材原题·P9例9】 例9　求下列每对集合的交集： (1)A＝{2，3，5，7，11}，B＝{9，10，8，6，1，4}； (2)C＝{x|x2－4x＋3＝0}，D＝{x|3x－x2＝0}． [解]　(1)由于集合A，B没有相同的元素，故A∩B＝∅． (2)由题意得C＝{1，3}，D＝{3，0}， 故C∩D＝{1，3}∩{3，0}＝{3}． 　求两个集合的交集的方法 (1)直接法：对于元素个数有限的集合，逐个挑出两个集合的公共元素即可． (2)定义法：对于元素个数无限的集合，一般借助数轴求交集，两个集合的交集等于两个集合在数轴上的相应图形所覆盖的公共范围，要注意端点值的取舍． [跟进训练] 1．设集合A＝{x|－2＜x＜4}，B＝{2，3，4，5}，则A∩B＝(　　) A．{2} B．{2，3} C．{3，4} D．{2，3，4} B　[因为A＝{x|－2＜x＜4}，B＝{2，3，4，5}，所以A∩B＝{2，3}．故选B．] 类型2　并集概念及其应用 【例2】　【链接教材P10例11、例12】 (1)设集合M＝{x|x2＋2x＝0，x∈R}，N＝{x|x2－2x＝0，x∈R}，则M∪N＝(　　) A．{0} B．{0，2} C．{－2，0} D．{－2，0，2} (2)已知集合M＝(－3，5]，N＝{x|x<－5或x>5}，则M∪N＝(　　) A．{x|x<－5或x>－3} B．{x|－5<x<5} C．{x|－3<x<5} D．{x|x<－3或x>5} (1)D　(2)A　[(1)M＝{x|x2＋2x＝0，x∈R}＝{0，－2}，N＝{x|x2－2x＝0，x∈R}＝{0，2}，故M∪N＝{－2，0，2}．故选D． (2)在数轴上表示集合M，N，如图所示，则M∪N＝{x|x<－5或x>－3}． ] 【教材原题·P10例11、例12】 例11　设A＝{0，1，4，9，16}，B＝{9，4，π，，1}，求A∪B． [解]　A∪B＝{0，1，4，9，16}∪{9，4，π，，1} ＝{0，1，4，9，16，π，}． 例12　求下列集合的并集： (1)A＝(1，3)，B＝[2，5]； (2)C＝[0，1]，D＝{x|x2<1}． [解]　(1)A∪B＝(1，3)∪[2，5]＝(1，5]； (2)C∪D＝[0，1]∪{x|x2<1}＝[0，1]∪(－1，1)＝(－1，1]． 　求集合并集的2种基本方法 (1)定义法：若集合是用列举法表示的，可以直接利用并集的定义求解． (2)数轴分析法：若集合是用描述法表示的由实数组成的数集，则可以借助数轴分析法求解． [跟进训练] 2．已知集合A＝{－1，3}，B＝{2，a2}，若A∪B＝{－1，3，2，9}，则实数a的值为(　　) A．±1 B．±3 C．－1 D．3 B　[∵集合A＝{－1，3}，B＝{2，a2}，A∪B＝{－1，3，2，9}， ∴a2＝9，解得a＝±3．故选B．] 类型3　集合交、并集运算的性质及综合应用 【例3】　已知集合A＝{x|－3<x≤4}，集合B＝{x|k＋1≤x≤2k－1}，且A∪B＝A，试求k的取值范围． 由A∪B＝A思考集合A与集合B存在怎样的关系，并由此结合数轴求解． [解]　(1)当B＝∅，即k＋1>2k－1时，k<2，满足A∪B＝A． (2)当B≠∅时，要使A∪B＝A， 只需 解得2≤k≤． 综合(1)(2)可知k≤． [母题探究] 把本例条件“A∪B＝A”改为“A∩B＝A”，试求k的取值范围． [解]　由A∩B＝A可知A⊆B． 所以即 所以k∈∅． 所以k的取值范围为∅． 　利用集合交集、并集的性质解题的方法 (1)在利用集合的交集、并集性质解题时，常常会遇到A∩B＝A，A∪B＝B等这类问题，解答时常借助于交、并集的定义及学习的集合间的关系去分析，如A∩B＝A⇔A⊆B，A∪B＝B⇔A⊆B等，解答时应灵活处理． (2)当集合B⊆A时，如果集合A是一个确定的集合，而集合B不确定，运算时一定要考虑B＝∅的情况，切不可漏掉． 类型4　集合交、并、补集的综合运算 【例4】　设全集为R，A＝{x|3≤x<7}，B＝{x|2<x<10}，求∁RB，∁R(A∪B)及(∁RA)∩(∁RB)． [解]　把集合A，B在数轴上表示如图所示， 由图知∁RB＝{x|x≤2或x≥10}，A∪B＝{x|2<x<10}，所以∁R(A∪B)＝{x|x≤2或x≥10}． 因为∁RA＝{x|x<3或x≥7}， 所以(∁RA)∩(∁RB)＝{x|x≤2或x≥10}． 　∁R(A∪B)与(∁RA)∩(∁RB)及∁R(A∩B)与(∁RA)∪(∁RB)的关系： (1)∁R(A∪B)＝(∁RA)∩(∁RB)； (2)∁R(A∩B)＝(∁RA)∪(∁RB)． [跟进训练] 3．全集U＝{x|x<10，x∈N＋}，A⊆U，B⊆U，(∁UB)∩A＝{1，9}，A∩B＝{3}，(∁UA)∩(∁UB)＝{4，6，7}，求集合A，B． [解]　法一(Venn图法)：根据题意作出Venn图如图所示．由图可知A＝{1，3，9}，B＝{2，3，5，8}． 法二(定义法)：(∁UB)∩A＝{1，9}，(∁UA)∩(∁UB)＝{4，6，7}，∴∁UB＝{1，4，6，7，9}． 又U＝{1，2，3，4，5，6，7，8，9}， ∴B＝{2，3，5，8}． ∵(∁UB)∩A＝{1，9}，A∩B＝{3}， ∴A＝{1，3，9}． 1．已知集合A＝{1，2，3，4}，B＝{2，4，6}，则A∪B中元素的个数为(　　) A．3 B．4 C．5 D．6 C　[由于A∪B表示所有属于A或属于B的元素组成的集合，故A∪B＝{1，2，3，4，6}，共有5个元素．故选C．] 2．已知集合M＝{－1，0，1}，P＝{0，1，2，3}，则图中阴影部分所表示的集合是(　　) A．{0，1} B．{0} C．{－1，2，3} D．{－1，0，1，2，3} D　[由Venn图，可知阴影部分所表示的集合是M∪P．因为M＝{－1，0，1}，P＝{0，1，2，3}，故M∪P＝{－1，0，1，2，3}．故选D．] 3．已知集合U＝{1，2，3，4，5}，A＝{1，3}，B＝{1，2，4}，则(∁UB)∪A＝(　　) A．{1，3，5}　　 B．{1，3} C．{1，2，4} D．{1，2，4，5} A　[法一：因为U＝{1，2，3，4，5}，B＝{1，2，4}，所以∁UB＝{3，5}，又A＝{1，3}，所以(∁UB)∪A＝{1，3，5}．故选A． 法二：因为A＝{1，3}，所以A⊆(∁UB)∪A，所以集合(∁UB)∪A中必含有元素1，3，所以排除选项C，D；观察选项A，B，因为5∉B，所以5∈∁UB，即5∈(∁UB)∪A，故选A．] 4．(教材P11练习T4改编)若集合A＝(－1，5)，B＝{x|x≤1或x≥4}，则A∪B＝________，A∩B＝________． R　{x|－1<x≤1或4≤x<5}　[借助数轴可知： A∪B＝R，A∩B＝{x|－1<x≤1或4≤x<5}． ] 5．已知集合A＝{x|x－a>0}，B＝{x|2－x<0}，且A∪B＝B，则实数a满足的条件是________． {a|a≥2}　[∵A＝{x|x>a}，B＝{x|x>2}， 又A∪B＝B， ∴A⊆B，∴a≥2．] 回顾本节知识，自我完成以下问题： 1．集合A，B的交集和并集的符号表示分别是什么？ [提示]　A∩B＝{x|x∈A且x∈B}，A∪B＝{x|x∈A或x∈B}． 2．集合A∪B＝A可以得出A与B存在怎样的关系？A∩B＝A呢？ [提示]　A∪B＝A⇒B⊆A；A∩B＝A⇒A⊆B． 3．A∩∅＝∅吗？A∪∅呢？ [提示]　A∩∅＝∅，A∪∅＝A． 课时分层作业(四)　集合的交与并 一、选择题 1．设集合A＝{1，2，3}，B＝{2，3，4}，则A∪B＝(　　) A．{1，2，3，4} B．{1，2，3} C．{2，3，4} D．{1，3，4} A　[∵A＝{1，2，3}，B＝{2，3，4}，∴A∪B＝{1，2，3，4}． 故选A．] 2．集合A＝{1，2，3，4}，B＝{2，3，4，5}，则A∩B＝(　　) A．{1，2，3，4} B．{2，3，4} C．{2，4} D．{1} B　[因为集合A＝{1，2，3，4}，B＝{2，3，4，5}， 所以A∩B＝{2，3，4}．故选B．] 3．已知集合A＝{x|x＋1<0}，B＝{x|x－3<0}，那么集合A∪B等于(　　) A．{x|－1≤x<3} B．{x|x<3} C．{x|x<－1} D．{x|x>3} B　[A＝{x|x＋1<0}＝{x|x<－1}，B＝{x|x－3<0}＝{x|x<3}． ∴A∪B＝{x|x<3}．故选B．] 4．设全集U为实数集R，M＝{x|x>2或x<－2}，N＝{x|x≥3或x<1}都是全集U的子集，则图中阴影部分所表示的集合是(　　) A．{x|－2≤x<1} B．{x|－2≤x≤2} C．{x|1<x≤2} D．{x|x<2} A　[阴影部分表示的集合为N∩(∁UM)＝{x|－2≤x<1}．故选A．] 5．设集合A＝{(x，y)|y＝ax＋1}，B＝{(x，y)|y＝x＋b}，且A∩B＝{(2，5)}，则(　　) A．a＝3，b＝2 B．a＝2，b＝3 C．a＝－3，b＝－2 D．a＝－2，b＝－3 B　[∵A∩B＝{(2，5)}， ∴解得a＝2，b＝3．故选B．] 二、填空题 6．已知集合A＝{1，2，3}，B＝{y|y＝2x－1，x∈A}，则A∩B＝________． {1，3}　[A∩B＝{1，2，3}∩{y|y＝2x－1，x∈A} ＝{1，2，3}∩{1，3，5} ＝{1，3}．] 7．已知集合A＝{x|x≤1}，B＝{x|x≥a}，且A∪B＝R，则实数a的取值范围是________． {a|a≤1}　[由A∪B＝R可知a≤1．] 8．某班共30人，其中15人喜爱篮球运动，10人喜爱乒乓球运动，8人对这两项运动都不喜爱，则喜爱篮球运动但不喜爱乒乓球运动的人数为________． 12　[设两项运动都喜爱的人数为x，A＝{喜爱篮球运动的人}，B＝{喜爱兵乓球运动的人}，画出Venn图如图所示，得到方程15－x＋x＋10－x＋8＝30，解得x＝3．所以喜爱篮球运动但不喜爱乒乓球运动的人数为15－3＝12． ] 三、解答题 9．已知集合A＝，集合B＝{x|2x－1<3}，求A∩B，A∪B． [解]　解不等式组得－2<x<3， 即A＝{x|－2<x<3}． 解不等式2x－1<3，得x<2，即B＝{x|x<2}， 在数轴上分别表示集合A，B，如图所示． 则A∩B＝{x|－2<x<2}，A∪B＝{x|x<3}． 10．已知全集U＝R，设集合A＝{x|x＋m≥0}，B＝{x|－2<x<4}． (1)若(∁UA)∩B＝∅，求实数m的取值范围； (2)若(∁UA)∩B≠∅，求实数m的取值范围． [解]　(1)由已知A＝{x|x≥－m}，得∁UA＝{x|x<－m}， 因为B＝{x|－2<x<4}，(∁UA)∩B＝∅，在数轴上表示，如图， 所以－m≤－2，即m≥2， 所以m的取值范围是{m|m≥2}． (2)由已知得A＝{x|x≥－m}， 所以∁UA＝{x|x<－m}， 又(∁UA)∩B≠∅， 所以－m>－2，解得m<2． 所以m的取值范围是{m|m<2}． 11．(多选题)满足{1}∪B＝{1，2}的集合B可能等于(　　) A．{2} B．{1} C．{1，2} D．{1，2，3} AC　[∵{1}∪B＝{1，2}，∴B中含有元素2，且B⊆{1，2}． ∴B＝{2}，或B＝{1，2}．故选AC．] 12．(多选题)若集合M⊆N，则下列结论正确的是(　　) A．M∩N＝N B．M∪N＝N C．(M∪N)⊆N D．N⊆(M∩N) BC　[∵M⊆N， ∴M∩N＝M，M∪N＝N． (M∩N)⊆N，(M∪N)⊆N．故选BC．] 13．已知全集U＝{1，2，3，4，5}，集合A＝{x|x2－3x＋2＝0}，B＝{x|x＝a＋1，a∈A}．则集合B＝________，集合∁U(A∪B)中元素的个数为________． {2，3}　2　[∵A＝{x|x2－3x＋2＝0}＝{1，2}， ∴B＝{x|x＝a＋1，a∈A}＝{2，3}， ∴A∪B＝{1，2，3}， 又U＝{1，2，3，4，5}，∴∁U(A∪B)＝{4，5}． 故∁U(A∪B)中元素有2个．] 14．设集合A＝{x|－1≤x≤2}，B＝{x|－1<x≤4}，C＝{x|－3<x<2}，且集合A∩(B∪C)＝{x|a≤x≤b}，则a＝________，b＝________． －1　2　[∵B∪C＝{x|－3<x≤4}， ∴A(B∪C)． ∴A∩(B∪C)＝A， 由题意{x|a≤x≤b}＝{x|－1≤x≤2}． ∴a＝－1，b＝2．] 15．已知集合A＝{x|x2－ax＋a2－19＝0}，B＝{x|x2－5x＋6＝0}，是否存在a使A，B同时满足下列三个条件： (1)A≠B； (2)A∪B＝B； (3)∅(A∩B)． 若存在，求出a的值；若不存在，请说明理由． [解]　假设存在a使得A，B满足条件， 由题意得B＝{2，3}． ∵A∪B＝B，∴A⊆B，即A＝B或AB． 由条件(1)A≠B，可知AB． 又∵∅(A∩B)，∴A≠∅， 即A＝{2}或{3}． 当A＝{2}时，代入得a2－2a－15＝0， 即a＝－3或a＝5． 经检验a＝－3时，A＝{2，－5}，与A＝{2}矛盾，舍去； a＝5时，A＝{2，3}，与A＝{2}矛盾，舍去． 当A＝{3}时，代入得a2－3a－10＝0． 即a＝5或a＝－2． 经检验a＝－2时，A＝{3，－5}，与A＝{3}矛盾，舍去； a＝5时，A＝{2，3}，与A＝{3}矛盾，舍去． 综上所述，不存在实数a使得A，B满足条件． 12/12 学科网（北京）股份有限公司 $