专题1.2 子集和补集（高效培优讲义）数学湘教版2019必修第一册

专题1.2 子集和补集 教学重点 1．清晰掌握子集（集合任意元素都在集合中，是子集，记）、真子集（是子集且有元素不在中，记）、补集（全集中不属于的元素组成，记的概念与符号，理解集合间包含、互补关系（重点：概念理解与关系把握）。 2．熟练对子集、补集进行判定与简单运算，能用Venn图直观呈现集合包含、补集等关系（重点：运算与直观表达）。 教学难点 1．深入理解空集（不含任何元素，记，是任何集合子集、非空集合真子集）特性，处理含空集的集合关系推理（如时需分和讨论）（难点：空集特性及应用）。 2．综合运用多集合关系（结合子集、补集求参数范围等），准确理解与规范使用集合符号、语言（难点：综合运用与符号规范） 定义对于两个集合与,如果集合的每个元素都是集合的元素，那么集合叫做集合的子集，记作（或），读作＂包含于＂（或＂包含＂）．对任何集合，规定． 我们常用维恩图来直观表示集合以及集合之间的关系．如图是的维恩图． （1）表示集合的Venn图的边界是封闭曲线，它可以是圆、矩形、椭圆，也可以是其他封闭曲线. （2）用Venn图表示集合的优点是能直观地表示集合间的关系，缺点是集合元素的公共特征不明显． 集合间关系的有关性质 （1）对于集合之间的包含关系，我们有下列结论： ①； ②若且，则； ③传递性：若且，则． （2）集合关系中的＂若且，则＂与实数大小关系中＂若且，则＂类似． 下列各式中，正确的个数是（    ） ①；②；③；④. A．1 B．2 C．3 D．4 根据元素与集合的关系，以及空集的定义，集合与集合的关系，依次判断即可. 对于①，两个数集不能用符号，应为，①错误； 对于②，任何集合都是本身的子集，②正确； 对于③，空集是任何集合的子集，③正确； 对于④，集合是数集，有2个元素，集合是点集，只有1个元素，④错误； 所以正确的个数有2个. B. 已知集合，且，则_____． 根据两个集合元素之间的关系，分类讨论，列式解方程即可． 由题意，, 若时，，满足题意； 若时，，不满足集合元素的互异性，不满足题意； 又，故若时，解得或， 若时，，满足题意， 当时，，不满足集合元素的互异性，不满足题意； 综上所述，. . 定义对于两个集合与，如果，且中至少有一个元素不属于（即不是的子集），那么称集合是集合的真子集，记作，读作＂真包含于＂（或＂真包含＂）． 【注意：真子集符号表示也可以为（或），真包含于（或真包含）】 对于常用的数集，我们有如下的包含关系： 性质 （1）任何集合都不是它本身的真子集． （2）若，且，则． （3）若，且，则． （1）若和同时成立，则更能准确表达集合、之间的关系． （2）真子集是子集的一种特殊情况. （3）真子集的定义同时也给出了证明是的真子集的方法，即欲证，可先证，再证中至少有一个元素不是集合中的元素． 满足的集合的个数为____________. 【答案】7 【知识点】判断集合的子集（真子集）的个数、求集合的子集（真子集） 根据得到集合中一定有元素，再与其他几个数进行组合，得到满足要求的集合，得到答案. 因为 所以集合中一定有元素， 所以满足要求的集合有，，，，，，，共7个， 7 设集合，，则下列结论中正确的是（    ） A． B．C． D． 将两集合结构化为一致即可判断. ， 代表所有奇数，代表所有整数 所以 B 定义已知两个集合与，若，且，则称这两个集合相等，记作．如图是集合的维恩图． 两个集合相等除了用定义、互为集合子集的包含关系外，也可以用若两个集合相等，则集合元素之和、之积相等来解答问题 ＂＂与＂＂的区别 ＂＂是元素与集合之间的关系，如，不能写成；＂＂是集合与集合之间的关系（表示集合间关系的还有真包含关系＂＂），如，不能写成． 已知集合和，那么（   ） A． B． C． D． 根据集合中的元素满足的特征可得和，即可求解. 由于同号，又，所以均为负数，故则，故 对于任意中的元素，满足集合，故，因此， C 1.空集的定义不含有任何元素的集合称为空集,记作 2.空集的性质 （1）空集是任何集合的子集,即 （2）空集是任何非空集合的真子集,即 （3）空集只有一个子集,即它本身. 空集是一个特殊且重要的集合,它不含任何元素,在解题过程中容易被忽视,特别是在隐含有空集参与的集合问题中,往往容易因忽视空集的特殊性而导致错误. 与的关系 与 与 与 相同点 都表示无 都是集合 都是集合 不同点 是集合而是元素 不含任何元素； 含一个元素 不含任何元素； 含一个元素，该元素是 关系 或 写出集合的所有子集，并指出哪些是真子集． 可以按照子集的元素个数分类： 不含任何元素的子集1个：空集； 含1个元素的子集3个：； 含2个元素的子集3个：； 含3个元素的子集1个：。 除集合本身外，其余7个都是真子集． 集合 的所有子集 子集个数 真子集个数 非空真子集个数 1 0 3 2 8=23 7 6 2n （2024·上海宝山阶段练习）满足的集合M的个数为____个. 通过列举法即可求解. 由题意可知：可以是：，，共3个， 3. 1.全集的概念 在数学研究中,所研究的对象往往是某个确定集合的一个子集或元素,这个确定的集合称为全集,常用符号U表示.它含有我们所要研究问题的全部可能的元素 2.补集的概念 自然语言 定义设为全集,A是的子集.由中所有不属于的元素组成的集合称为集合在全集中的补集，记作（读作＂补＂）．有时为了强调全集，集合在全集中的补集 符号语言 图形语言 3.补集的运算性质 性质 说明 任何集合与其补集的并集为全集 任何集合与共补集的交集为空集 任何集合的补集的补集为集合本身 全集的补集为空集，空集的补集为全集 求集合的补集的方法 (1)对于有限集,通过列举法把集合中的元素一一列举出来，然后根据补集的定义求解. (2)对于无限集,借助数形结合在数轴上画出已知集合与全集所覆盖的区域，然后根据补集的定义 求解. 题型一、判断集合的子集(真子集)的个数 例1（24-25高一上·广东广州·期中）已知集合，满足条件的集合的个数为（    ） A． B． C． D． 2．（24-25高一上·福建福州·期中）满足的集合的个数为（    ） A．5 B．6 C．7 D．8 3．（24-25高一上·河南·期中）设集合，，则B的非空子集个数为（   ） A．3 B．4 C．7 D．8 4．（24-25高一上·福建漳州·期中）已知集合满足⫋，则集合的个数为 ． 5．（24-25高一上·四川成都·期中）满足的集合有 个. 题型二、求集合的子集(真子集) 例2（24-25高一上·广东·期中）已知，对于，且，则称为的“孤立元”．给定集合，则的所有子集中，只有一个“孤立元”的集合的个数为（    ） A．5 B．7 C．13 D．15 7．（24-25高一上·浙江衢州·期中）若集合，则集合可用列举法表示为（   ） A． B． C． D． 8．（24-25高一上·河北邯郸·期中）定义非空数集的“和睦数”如下：将中的元素按照递减的次序排列，然后将第一个元素交替地加上、减去后继的数所得的结果.例如，集合的“和睦数”是，的“和睦数”是，的“和睦数”是1.对于集合，其所有非空子集的“和睦数”的总和为（    ） A．82 B．74 C．12 D．70 9．（24-25高一上·上海浦东新·期中）若规定由整数组成的集合，，的子集为E的第k个子集，其中，则E的第2024个子集是 . 10．（24-25高一上·广东广州·期中）已知集合，若，若集合是的子集且有两个元素，则 ． 题型三、判断两个集合的包含关系 例3（24-25高一上·贵州贵阳·期中）已知集合，，则（    ） A． B． C． D．= 12．（24-25高一上·重庆渝北·期中）已知集合，则下列说法正确的是（   ） A． B． C． D． 13．（24-25高一上·重庆·期中）下列结论描述不正确的是（   ） A． B． C． D． 14．（24-25高一上·江苏盐城·期中）下列各式中，正确的个数是（    ） ①；②；③；④；⑤；⑥. A．1 B．2 C．3 D．4 15．（23-24高一上·新疆·期中）已知集合M满足，则满足条件的集合M的个数是 . 题型四、根据集合的包含关系求参数 例4（24-25高一上·安徽宿州·期中）已知集合，，且，则实数（   ） A． B． C．±3 D．或 17．（24-25高一上·江苏扬州·期中）已知为常数，集合，集合，且，则的所有取值构成的集合元素个数为（    ） A． B． C． D． 18．（24-25高一上·山东青岛·阶段练习）已知集合，若，则实数的值不可以为（   ） A．2 B．1 C．0 D． 19．（24-25高一上·四川眉山·期中）已知集合，，且，则实数的取值范围为 . 20．（24-25高一上·上海松江·期中）已知集合，集合，若，则实数 ． 题型五、判断两个集合是否相等 例5（24-25高一上·福建·期中）集合，，的关系是（   ） A． B． C． D． 22．（23-24高一上·广东茂名·期中）集合 之间的关系是（　　） A． B． C．  D． 23．（23-24高一上·河北石家庄·阶段练习）下面选项中的两个集合相等的是（    ） A． B． C． D． 题型六、根据两个集合相等求参数 例6（23-24高一上·湖南永州·期中）已知集合， ，若，则等于（    ） A．或 B．或 C． D． 25．（24-25高一上·浙江·期中）已知集合，则的值为（   ） A．0 B．1 C． D．1或 26．（24-25高一上·江苏扬州·阶段练习）已知，若集合，则的值为（    ） A． B． C．1 D．2 27．（24-25高一上·安徽·期中）若，则 ． 28．（24-25高一上·重庆·期中）已知数集，，若，则 . 题型七、空集的概念以及判断 例7（23-24高一上·湖南邵阳·期中）若集合有且只有一个子集，则的取值集合为（    ）. A． B． C． D． 30．（23-24高一上·海南海口·期中）有下列关系式：①；②；③；④；⑤；⑥．其中不正确的是（    ） A．①③ B．②④⑤ C．③④ D．①②⑤ 31．（23-24高一上·重庆·期中）下列关于0与说法不正确的是（　　） A． B． C． D． 32．（24-25高一上·上海浦东新·期中）关于x的不等式解集为空集，则实数m的值为 . 33．（23-24高一上·新疆喀什·期中）已知a是实数，若集合是任何集合的子集，则a的取值范围值是 . 题型八、空集的性质及应用 例8（24-25高一上·河南南阳·期中）下列表述正确的有（   ） A． B． C． D． 35．（24-25高一上·北京·期中）若集合，则实数的取值范围是 . 36．（23-24高一下·上海杨浦·期中）已知集合，集合. (1)若，求实数的取值范围 (2)若，求实数的值 易错点 混淆“子集”与“真子集”的概念 例 满足⫋的集合A的个数为（     ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】B 【分析】根据集合之间的关系直接得出结果. 【详解】集合A可以是，共3个. 故选：B. 1．设集合为非空集合，且，若，则，满足上述条件的集合的个数为（    ） A．12 B．15 C．31 D．32 2．若集合A的所有子集中，任意子集的所有元素和均不相同，称A为互斥集．若，且A为互斥集，则的最大值为（    ） A． B． C． D． 3．集合，，的关系是（    ） A． B． C． D． 4．设集合，，若，则对应的实数对有（   ） A．无数对 B．2对 C．3对 D．4对 5．若集合，，则集合，之间的关系表示最准确的为（    ） A． B． C． D．与互不包含 6．已知六个关系式①；②；③；④；⑤；⑥，它们中关系表达正确的个数为（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 7．已知集合，记非空集合的元素个数为，已知，记实数的所有可能取值构成的集合，则的非空子集的个数是 ． 8．若规定集合的子集为的第个子集，其中，则的第211个子集是 ． 9．若集合，，且，则实数组成的集合是 . 10．已知集合，且，则 . 11．是有理数集，集合，在下列集合中： ①；②； ③；④． 与集合相等的集合序号是 . 12．已知全集，，，且，求m的取值范围． 13．已知集合. (1)若集合，且，求的值； (2)若集合，且与有包含关系，求的取值范围. 14．已知集合A={x|ax2+2x+1=0，a∈R}， （1）若A只有一个元素，试求a的值，并求出这个元素； （2）若A是空集，求a的取值范围； （3）若A中至多有一个元素，求a的取值范围． 2 / 16 1 / 16 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题1.2 子集和补集 教学重点 1．清晰掌握子集（集合任意元素都在集合中，是子集，记）、真子集（是子集且有元素不在中，记）、补集（全集中不属于的元素组成，记的概念与符号，理解集合间包含、互补关系（重点：概念理解与关系把握）。 2．熟练对子集、补集进行判定与简单运算，能用Venn图直观呈现集合包含、补集等关系（重点：运算与直观表达）。 教学难点 1．深入理解空集（不含任何元素，记，是任何集合子集、非空集合真子集）特性，处理含空集的集合关系推理（如时需分和讨论）（难点：空集特性及应用）。 2．综合运用多集合关系（结合子集、补集求参数范围等），准确理解与规范使用集合符号、语言（难点：综合运用与符号规范） 定义对于两个集合与,如果集合的每个元素都是集合的元素，那么集合叫做集合的子集，记作（或），读作＂包含于＂（或＂包含＂）．对任何集合，规定． 我们常用维恩图来直观表示集合以及集合之间的关系．如图是的维恩图． （1）表示集合的Venn图的边界是封闭曲线，它可以是圆、矩形、椭圆，也可以是其他封闭曲线. （2）用Venn图表示集合的优点是能直观地表示集合间的关系，缺点是集合元素的公共特征不明显． 集合间关系的有关性质 （1）对于集合之间的包含关系，我们有下列结论： ①； ②若且，则； ③传递性：若且，则． （2）集合关系中的＂若且，则＂与实数大小关系中＂若且，则＂类似． 下列各式中，正确的个数是（    ） ①；②；③；④. A．1 B．2 C．3 D．4 根据元素与集合的关系，以及空集的定义，集合与集合的关系，依次判断即可. 对于①，两个数集不能用符号，应为，①错误； 对于②，任何集合都是本身的子集，②正确； 对于③，空集是任何集合的子集，③正确； 对于④，集合是数集，有2个元素，集合是点集，只有1个元素，④错误； 所以正确的个数有2个. B. 已知集合，且，则_____． 根据两个集合元素之间的关系，分类讨论，列式解方程即可． 由题意，, 若时，，满足题意； 若时，，不满足集合元素的互异性，不满足题意； 又，故若时，解得或， 若时，，满足题意， 当时，，不满足集合元素的互异性，不满足题意； 综上所述，. . 定义对于两个集合与，如果，且中至少有一个元素不属于（即不是的子集），那么称集合是集合的真子集，记作，读作＂真包含于＂（或＂真包含＂）． 【注意：真子集符号表示也可以为（或），真包含于（或真包含）】 对于常用的数集，我们有如下的包含关系： 性质 （1）任何集合都不是它本身的真子集． （2）若，且，则． （3）若，且，则． （1）若和同时成立，则更能准确表达集合、之间的关系． （2）真子集是子集的一种特殊情况. （3）真子集的定义同时也给出了证明是的真子集的方法，即欲证，可先证，再证中至少有一个元素不是集合中的元素． 满足的集合的个数为____________. 【答案】7 【知识点】判断集合的子集（真子集）的个数、求集合的子集（真子集） 根据得到集合中一定有元素，再与其他几个数进行组合，得到满足要求的集合，得到答案. 因为 所以集合中一定有元素， 所以满足要求的集合有，，，，，，，共7个， 7 设集合，，则下列结论中正确的是（    ） A． B．C． D． 将两集合结构化为一致即可判断. ， 代表所有奇数，代表所有整数 所以 B 定义已知两个集合与，若，且，则称这两个集合相等，记作．如图是集合的维恩图． 两个集合相等除了用定义、互为集合子集的包含关系外，也可以用若两个集合相等，则集合元素之和、之积相等来解答问题 ＂＂与＂＂的区别 ＂＂是元素与集合之间的关系，如，不能写成；＂＂是集合与集合之间的关系（表示集合间关系的还有真包含关系＂＂），如，不能写成． 已知集合和，那么（   ） A． B． C． D． 根据集合中的元素满足的特征可得和，即可求解. 由于同号，又，所以均为负数，故则，故 对于任意中的元素，满足集合，故，因此， C 1.空集的定义不含有任何元素的集合称为空集,记作 2.空集的性质 （1）空集是任何集合的子集,即 （2）空集是任何非空集合的真子集,即 （3）空集只有一个子集,即它本身. 空集是一个特殊且重要的集合,它不含任何元素,在解题过程中容易被忽视,特别是在隐含有空集参与的集合问题中,往往容易因忽视空集的特殊性而导致错误. 与的关系 与 与 与 相同点 都表示无 都是集合 都是集合 不同点 是集合而是元素 不含任何元素； 含一个元素 不含任何元素； 含一个元素，该元素是 关系 或 写出集合的所有子集，并指出哪些是真子集． 可以按照子集的元素个数分类： 不含任何元素的子集1个：空集； 含1个元素的子集3个：； 含2个元素的子集3个：； 含3个元素的子集1个：。 除集合本身外，其余7个都是真子集． 集合 的所有子集 子集个数 真子集个数 非空真子集个数 1 0 3 2 8=23 7 6 2n （2024·上海宝山阶段练习）满足的集合M的个数为____个. 通过列举法即可求解. 由题意可知：可以是：，，共3个， 3. 1.全集的概念 在数学研究中,所研究的对象往往是某个确定集合的一个子集或元素,这个确定的集合称为全集,常用符号U表示.它含有我们所要研究问题的全部可能的元素 2.补集的概念 自然语言 定义设为全集,A是的子集.由中所有不属于的元素组成的集合称为集合在全集中的补集，记作（读作＂补＂）．有时为了强调全集，集合在全集中的补集 符号语言 图形语言 3.补集的运算性质 性质 说明 任何集合与其补集的并集为全集 任何集合与共补集的交集为空集 任何集合的补集的补集为集合本身 全集的补集为空集，空集的补集为全集 求集合的补集的方法 (1)对于有限集,通过列举法把集合中的元素一一列举出来，然后根据补集的定义求解. (2)对于无限集,借助数形结合在数轴上画出已知集合与全集所覆盖的区域，然后根据补集的定义 求解. 题型一、判断集合的子集(真子集)的个数 例1（24-25高一上·广东广州·期中）已知集合，满足条件的集合的个数为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据集合之间的关系，结合元素个数求得子集的个数，可得答案. 【详解】由题可知集合是集合的非空真子集，故有个. 故选：B. 2．（24-25高一上·福建福州·期中）满足的集合的个数为（    ） A．5 B．6 C．7 D．8 【答案】C 【分析】首先要解出方程的根，得到集合的元素.然后根据子集关系确定满足条件的集合的个数. 【详解】解方程的根，，则. 因为  . 那么A中一定含有元素和，可能含有元素，，（但不全有）， 所以集合的个数即为集合的真子集个数，共有个. 故选：C. 3．（24-25高一上·河南·期中）设集合，，则B的非空子集个数为（   ） A．3 B．4 C．7 D．8 【答案】C 【分析】根据集合的含义得到集合的元素，然后求非空子集个数即可 【详解】要使，，则，故B中含有三个元素， 所以B的非空子集有，，，，，，共7个． 故选：C. 4．（24-25高一上·福建漳州·期中）已知集合满足⫋，则集合的个数为 ． 【答案】3 【分析】根据题目中的包含关系，可得集合的构成，可得答案. 【详解】设集合的真子集为，由题意可得， 集合的真子集个数为，集合的个数为. 故答案为：. 5．（24-25高一上·四川成都·期中）满足的集合有 个. 【答案】8 【分析】根据给定条件，结合子集的概念求解即可. 【详解】满足条件的集合为： ，，，，，，，， 共8个. 故答案为：8. 题型二、求集合的子集(真子集) 例2（24-25高一上·广东·期中）已知，对于，且，则称为的“孤立元”．给定集合，则的所有子集中，只有一个“孤立元”的集合的个数为（    ） A．5 B．7 C．13 D．15 【答案】C 【分析】根据“孤立元”概念，分类讨论求解即可. 【详解】已知集合， “孤立元”为1的集合为，，，； “孤立元”为2的集合为，； “孤立元”为3的集合为； “孤立元”为4的集合为，； “孤立元”为5的集合为，，，； 综上，满足题意的集合有13个. 故选：C. 7．（24-25高一上·浙江衢州·期中）若集合，则集合可用列举法表示为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据子集关系分析求解即可. 【详解】因为，则， 所以. 故选：D. 8．（24-25高一上·河北邯郸·期中）定义非空数集的“和睦数”如下：将中的元素按照递减的次序排列，然后将第一个元素交替地加上、减去后继的数所得的结果.例如，集合的“和睦数”是，的“和睦数”是，的“和睦数”是1.对于集合，其所有非空子集的“和睦数”的总和为（    ） A．82 B．74 C．12 D．70 【答案】A 【分析】分别列举子集，根据“和睦数”的定义，即可求解每种情况的“和睦数”，相加即可求解. 【详解】，非空子集有个. 当子集为单元素集，，，时，“和睦数”分别为1，2，3，6，和为12； 当子集为双元素集，，，，，时， “和睦数”分别为3，4，7，5，8，9，和为36； 当子集为三元素集，，，时， “和睦数”分别为4，7，8，7，和为26； 当子集为四元素集时，“和睦数”为. 故“和睦数”的总和为. 故选：A 9．（24-25高一上·上海浦东新·期中）若规定由整数组成的集合，，的子集为E的第k个子集，其中，则E的第2024个子集是 . 【答案】 【分析】把写成2的自然数幂的和即可得． 【详解】， 所以E的第2024个子集是． 故答案为：． 10．（24-25高一上·广东广州·期中）已知集合，若，若集合是的子集且有两个元素，则 ． 【答案】或或 【分析】首先根据，求出参数的值；然后再根据子集的概念求解集合即可 【详解】由于，所以或， 解得：或； 当时，不满足元素的互异性，故舍去； 当时，满足题意. 又因为集合是集合的子集且有两个元素， 所以或或. 故答案为：或或. 题型三、判断两个集合的包含关系 例3（24-25高一上·贵州贵阳·期中）已知集合，，则（    ） A． B． C． D．= 【答案】A 【分析】根据集合中的元素满足的约束即可求解. 【详解】由，可知： 集合是由所有的奇数构成的集合，而集合中的元素是的倍数，故， 故选：A. 12．（24-25高一上·重庆渝北·期中）已知集合，则下列说法正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由元素与集合的关系和集合与集合的关系，对选项进行判断. 【详解】已知集合， 由集合的包含关系可知，，A选项正确； 由元素和集合的关系可知，，B选项错误； 由集合的包含关系可知，，C选项错误； 由集合的包含关系可知，，D选项错误； 故选：A 13．（24-25高一上·重庆·期中）下列结论描述不正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据元素与集合、集合与集合之间的关系分析判断即可. 【详解】因为是无理数，则，且，，. 故A错误；BCD正确. 故选：A. 14．（24-25高一上·江苏盐城·期中）下列各式中，正确的个数是（    ） ①；②；③；④；⑤；⑥. A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【分析】根据元素与集合的关系和集合与集合的关系判断各命题. 【详解】因为，故①错； 因为，故②对； 因为，故③对； 因为且，故④错； 因为，故⑤错； 因为，又且，故⑥错； 所以正确的个数为个，故B正确. 故选：B. 15．（23-24高一上·新疆·期中）已知集合M满足，则满足条件的集合M的个数是 . 【答案】8 【分析】由包含关系分类讨论，一一列举即可求解. 【详解】由题意可得集合M中至少含0，2这2个元素，至多含0，1，2，3，5这5个元素. 若集合M中含2个元素，则集合M为； 若集合M中含3个元素，则集合M为，，； 若集合M中含4个元素，则集合M为，，； 若集合M中含5个元素，则集合M为. 故满足条件的集合M有8个. 故答案为：8 题型四、根据集合的包含关系求参数 例4（24-25高一上·安徽宿州·期中）已知集合，，且，则实数（   ） A． B． C．±3 D．或 【答案】A 【分析】由已知可得，列方程求，结合元素的互异性排除不满足条件的值. 【详解】因为，且的元素个数相等， 所以，所以， 解得或， 当时，，不满足元素的互异性，舍去. 当时，，满足条件. 故选：A. 17．（24-25高一上·江苏扬州·期中）已知为常数，集合，集合，且，则的所有取值构成的集合元素个数为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先求出集合，由，分与讨论，分别求解的值即可. 【详解】集合，化简求值可得， 当时，，此时集合无解，即 当时，时，即解之得， ，即解之可得， 所以根据集合元素的性质可得元素个数为个. 故选：C 18．（24-25高一上·山东青岛·阶段练习）已知集合，若，则实数的值不可以为（   ） A．2 B．1 C．0 D． 【答案】D 【分析】首先要理解集合的概念，对于集合，通过求解方程得到集合中的元素.因为，这意味着，所以要对集合中的方程进行分析，分情况讨论的值，看哪些值满足. 【详解】对于方程，分解因式可得，解得或者， 所以.对于方程，其解为或者. 因为，这意味着. 当时，方程变为，此时，满足. 当时，，此时，满足. 当且时，. 因为，所以，解得，此时，满足. 综上，实数的值可以为、、，所以实数的值不可以为除、、之外的值. 故选：D. 19．（24-25高一上·四川眉山·期中）已知集合，，且，则实数的取值范围为 . 【答案】 【分析】根据集合的包含关系列不等式可求的取值范围. 【详解】因为，，， 所以，所以， 所以的取值范围为. 20．（24-25高一上·上海松江·期中）已知集合，集合，若，则实数 ． 【答案】0 【分析】由，得到，再结合集合元素互异性即可求解. 【详解】因为， 所以．解得（舍，集合元素互异性）或0． 故答案为：0 题型五、判断两个集合是否相等 例5（24-25高一上·福建·期中）集合，，的关系是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据集合包含关系的定义和集合相等的定义判断即可. 【详解】根据集合的概念可知集合表示所有被除余的数以及所构成的集合， 集合表示所有被除余的数所构成的集合， 所以， 集合表示所有被除余的数所构成的集合， 任取，则，，所以，， 又，，所以， 综上， 故选：A 22．（23-24高一上·广东茂名·期中）集合 之间的关系是（　　） A． B． C．  D． 【答案】A 【分析】根据集合中元素满足的特征即可求解. 【详解】∵集合 ∴， ， ∴， 故选：A 23．（23-24高一上·河北石家庄·阶段练习）下面选项中的两个集合相等的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据元素与集合的关系，相等集合的定义，即可判断. 【详解】A.两个集合都是点集，两个集合的元素不相同，所以不是相等集合，故A错误； B.集合表示数集，有2个元素，分别是1和0，集合是点集，只有1个元素，为，所以不是相等集合，故B错误； C.，得，即，故C正确； D.集合是空集，但集合是非空集，里面有1个元素，所以不是相等集合，故D错误. 故选：C 题型六、根据两个集合相等求参数 例6（23-24高一上·湖南永州·期中）已知集合， ，若，则等于（    ） A．或 B．或 C． D． 【答案】C 【分析】根据集合相等即元素相同解出，再根据集合元素互异性求出值. 【详解】由有，解得或3， 当时，与集合元素的互异性矛盾，舍去. 当时，，满足题意. 故选：C. 25．（24-25高一上·浙江·期中）已知集合，则的值为（   ） A．0 B．1 C． D．1或 【答案】B 【分析】利用集合相等和集合中元素的互异性，以已知的为突破口，分类讨论求出的值. 【详解】集合，两个集合中元素完全相同， 由，则有，得，有， 所以，由集合中元素的互异性，有，得， 则有. 故选：B. 26．（24-25高一上·江苏扬州·阶段练习）已知，若集合，则的值为（    ） A． B． C．1 D．2 【答案】C 【分析】利用集合相等，求出，再求出，检验代入求值即可. 【详解】根据题意，故，则， 故，则，即， 当时，与集合的互异性相矛盾，故舍去， 当，时，，符合题意， 所以， 故选：C. 27．（24-25高一上·安徽·期中）若，则 ． 【答案】 【分析】由为分母可得，再利用集合相等的性质计算即可得解. 【详解】由题意可得，则，即， 则，解得或， 若，则违背集合互异性，舍去； 若，则有，符合要求； 综上所述，，则. 故答案为：. 28．（24-25高一上·重庆·期中）已知数集，，若，则 . 【答案】1 【分析】根据题意分两种情况讨论即可. 【详解】易知，所以或， 若，即，此时，，符合题意； 若，此时，，，舍； 综上，. 故答案为：1 题型七、空集的概念以及判断 例7（23-24高一上·湖南邵阳·期中）若集合有且只有一个子集，则的取值集合为（    ）. A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据题意得到无实数根，故根据根的判别式得到不等式，求出答案. 【详解】由题意得，故无实数根， 故，解得， 故的取值集合为. 故选：C 30．（23-24高一上·海南海口·期中）有下列关系式：①；②；③；④；⑤；⑥．其中不正确的是（    ） A．①③ B．②④⑤ C．③④ D．①②⑤ 【答案】C 【分析】根据集合元素的无序性判断①；根据子集的定义判断②；根据集合及空集的定义判断③④⑤；利用元素与集合的关系判断⑥． 【详解】对①：因为集合元素具有无序性，显然①正确； 对②：因为集合，故正确，即②正确； 对③：空集是一个集合，而集合是以空集为元素的一个集合，因此不正确； 对④：是一个集合，仅有一个元素0，但是空集不含任何元素，于是，故④不正确； 对⑤：由④可知，非空，于是有，因此⑤正确； 对⑥：显然成立，因此⑥正确． 综上，本题不正确的有③④，于是本题选项为C． 故选：C． 31．（23-24高一上·重庆·期中）下列关于0与说法不正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据的定义与性质结合元素与集合的关系逐项分析判断. 【详解】因为是不含任何元素的集合，故A正确，C不正确； 对于选项B：，故B正确； 对于选项D：因为是任何集合的子集，所以，故D正确； 故选：C. 32．（24-25高一上·上海浦东新·期中）关于x的不等式解集为空集，则实数m的值为 . 【答案】1 【分析】不等式化为，然后对系数进行分类讨论可得． 【详解】可化为， 若，不等式为，不成立，不等式解集为空集， 若，不等式的解为， 若，不等式的解为， 综上，， 故答案为：1. 33．（23-24高一上·新疆喀什·期中）已知a是实数，若集合是任何集合的子集，则a的取值范围值是 . 【答案】 【分析】根据题意分析可知方程无解，结合判别式分析求解. 【详解】由题意可知：集合是空集，即方程无解， 则，解得， 所以a的取值范围值是. 故答案为：. 题型八、空集的性质及应用 例8（24-25高一上·河南南阳·期中）下列表述正确的有（   ） A． B． C． D． 【答案】BD 【分析】根据元素与集合的关系，以及空集的定义和性质即可求解. 【详解】，故A错误，B正确 空集是不含任何元素的集合，且空集是任何集合的子集，故C错误，D正确， 故选：BD 35．（24-25高一上·北京·期中）若集合，则实数的取值范围是 . 【答案】 【分析】利用空集的意义，结合方程根的情况列式求解即得. 【详解】当时，不成立，即，则； 当时，由，得，解得， 所以实数的取值范围是. 故答案为： 36．（23-24高一下·上海杨浦·期中）已知集合，集合. (1)若，求实数的取值范围 (2)若，求实数的值 【答案】(1) (2)2 【分析】（1）利用判别式计算即可； （2）直接代入1计算即可. 【详解】（1）若，则， 即实数的取值范围为； （2）若，则 即实数的值为2. 易错点 混淆“子集”与“真子集”的概念 例 满足⫋的集合A的个数为（     ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】B 【分析】根据集合之间的关系直接得出结果. 【详解】集合A可以是，共3个. 故选：B. 1．设集合为非空集合，且，若，则，满足上述条件的集合的个数为（    ） A．12 B．15 C．31 D．32 【答案】B 【分析】写出72在大于3时的全部因数，为了满足题意集合中的元素需要成对出现，所以看作只有4个元素的集合，求非空子集的个数即可得到结果. 【详解】∵， ∴满足“，则”的的集合是的子集， 但3和24，4和18，6和12，8和9需同时出现， ∴将集合看作有4个元素，求其非空子集个数为：. 故选：B. 2．若集合A的所有子集中，任意子集的所有元素和均不相同，称A为互斥集．若，且A为互斥集，则的最大值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由集合的新定义先确定集合，而要想取得最大值，则要最小，从而确定，即可求解 【详解】因为， 所以为 又且为互斥集， 所以为， 要想取得最大值， 则要最小，此时， 不妨令，则， 故选：C 3．集合，，的关系是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据结合的包含的定义和集合相等的定义判断的关系可得结论. 【详解】任取，则，， 所以，所以， 任取，则，， 所以，所以， 所以， 任取，则，， 所以，所以， 又，， 所以， 所以， 故选：C. 4．设集合，，若，则对应的实数对有（   ） A．无数对 B．2对 C．3对 D．4对 【答案】D 【分析】由绝对值解出集合，再由得到，或，或，然后由元素的互异性讨论即可； 【详解】由得，所以， 因为，所以，或，或， 当时，即，，此时，成立，即； 当时，即，，此时，成立，即； 当时，则或-3， 当时，即，，此时，成立，即； 当时，即，，此时，成立，即； 综上，共有4对， 故选：D. 5．若集合，，则集合，之间的关系表示最准确的为（    ） A． B． C． D．与互不包含 【答案】C 【分析】对分奇偶进行讨论，即可判断集合，之间的关系. 【详解】对于集合，当时，，当时，，所以. 故选：C. 6．已知六个关系式①；②；③；④；⑤；⑥，它们中关系表达正确的个数为（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】C 【分析】根据空集的性质、元素与集合、集合与集合的关系判断各关系式的正误. 【详解】根据元素与集合、集合与集合关系： 是的一个元素，故，①正确； 是任何非空集合的真子集，故、，②③正确； 没有元素，故，④正确；且、，⑤错误，⑥正确； 所以①②③④⑥正确. 故选：C 7．已知集合，记非空集合的元素个数为，已知，记实数的所有可能取值构成的集合，则的非空子集的个数是 ． 【答案】31 【分析】由题意，先得到，再由可得或3，分别分析和的解的个数，得到判别式的条件，从而解出的取值，最后得到的非空子集个数. 【详解】对于，有， 所以集合中有两个元素，即， 因为，所以或3， 对于，易知必是方程中的唯一解，且不是方程的根； 当时，，所以有唯一解，且无解， 则，解得； 当时，若有两个相等的实数解，由上述分析可知， 无解，不满足题意； 若有两个不相等的实数解，此时，则有两个相等的实数解或有两个不相等的实数解且一解为， 当有两个相等的实数解时，则， 解得或1； 当有两个不相等的实数解且一解为时， 则，解得，符合题意； 综上，实数的所有可能取值为：，则. 所以的非空子集的个数. 故答案为：31. 【点睛】本题以这一新定义为背景，考查对集合中的元素个数分析的问题，主要考查分类讨论的数学思想. 8．若规定集合的子集为的第个子集，其中，则的第211个子集是 ． 【答案】 【分析】利用题设规定的子集的定义，将211化为的形式，从而得解. 【详解】由于， 因为集合，的子集为的第个子集，其中， 所以的第211个子集是. 故答案为：. 9．若集合，，且，则实数组成的集合是 . 【答案】 【分析】计算集合，再分别求和时，的值即可. 【详解】由题意，， 又， 若，则，满足题意； 若，则，所以或. 故答案为：. 10．已知集合，且，则 . 【答案】0或 【分析】根据集合相等可得出关于实数a、b的方程组，利用集合元素满足互异性可求得实数a的值. 【详解】因为集合，且，分以下两种情况讨论： 当时，解得或， 若，集合A、B中的元素均不满足互异性； 若，则，符合题意； 当时，解得或， 若，集合A、B中的元素均不满足互异性； 若，则，符合题意； 综上所述，或， 故答案为：0或 11．是有理数集，集合，在下列集合中： ①；②； ③；④． 与集合相等的集合序号是 . 【答案】④ 【分析】集合相等的条件为集合中的元素相同，根据此条件分别判断①②③④中四个集合中元素是否与集合一致即可. 【详解】对于①，因为，设， 则， 不妨取，可知，而，显然，所以①与集合不相等； 对于②，令，则， 显然，但，即②与集合不相等； 对于③，当时，此时，即， 而集合中不包含元素0，所以③与集合不相等； 对于④，令， 则，其中， 所以④与集合相等； 故答案为：④ 12．已知全集，，，且，求m的取值范围． 【答案】 【分析】分和两种情况，得到不等式，求出答案. 【详解】，，， ①时，，解得， ②时，或， 解得： 综上，或. 所以m的取值范围是. 13．已知集合. (1)若集合，且，求的值； (2)若集合，且与有包含关系，求的取值范围. 【答案】(1)5 (2) 【分析】（1）利用集合相等的条件求的值； （2）由与有包含关系得，再利用集合子集的元素关系分类讨论求解即可. 【详解】（1）因为，且， 所以或， 解得或， 故. （2）因为A与C有包含关系，，至多只有两个元素， 所以. 当时，，满足题意； 当时， 当时，，解得，满足题意； 当时，且，此时无解； 当时，且，此时无解； 当时，且，此时无解； 综上，a的取值范围为. 14．已知集合A={x|ax2+2x+1=0，a∈R}， （1）若A只有一个元素，试求a的值，并求出这个元素； （2）若A是空集，求a的取值范围； （3）若A中至多有一个元素，求a的取值范围． 【答案】（1）详见解析；（2）；（3）或 【分析】（1）根据方程为一次方程与二次方程分类讨论，对应求解得结果，（2）根据方程无解条件列不等式，解得结果，（3）A中至多只有一个元素就是A为空集，或有且只有一个元素，所以求（1）（2）结果的并集即可. 【详解】（1）若A中只有一个元素，则方程ax2+2x+1=0有且只有一个实根， 当a=0时，方程为一元一次方程，满足条件，此时x=-， 当a≠0，此时△=4-4a=0，解得：a=1，此时x=-1， （2）若A是空集， 则方程ax2+2x+1=0无解， 此时△=4-4a＜0，解得：a＞1. （3）若A中至多只有一个元素， 则A为空集，或有且只有一个元素， 由（1），（2）得满足条件的a的取值范围是：a=0或a≥1. 【点睛】本题考查方程的解与对应集合元素关系，考查基本分析求解能力，属基础题. 2 / 16 1 / 16 学科网（北京）股份有限公司 $$