第5章 章末复习课 三角函数（配套课件PPT）-【步步高】2025-2026学年高一数学必修第一册学习笔记（湘教版）

该高中数学课件系统梳理了三角函数的核心知识，通过知识网络将任意角与弧度制、同角三角函数关系及诱导公式、三角函数图象与性质、函数y=Asin(ωx+φ)及模型应用四大模块串联，形成逻辑清晰的知识脉络。 其亮点在于采用“知识梳理-例题解析-跟踪训练”模式，通过给角求值、图象变换等例题培养数学运算与逻辑推理能力，结合潮汐、筒车等实例渗透数学建模意识。分层设计的跟踪训练让学生巩固基础并提升能力，助力教师高效开展针对性复习。

章末复习课 第5章　三角函数 <<< 知识网络 一、同角三角函数的基本关系和诱导公式 二、三角函数的图象与性质 三、三角函数的图象变换问题 内容索引 四、三角函数模型的简单应用 同角三角函数的基本关系和诱导公式 一 1.(1)两个基本关系式sin2α＋cos2α＝1及＝tan α；(2)诱导公式：可概括为k·±α(k∈Z)的各三角函数值的化简公式.记忆规律是：奇变偶不变，符号看象限. 2.化简三角函数式的常用方法有：(1)直接应用公式；(2)切化弦；(3)异角化同角；(4)特殊值与特殊角的三角函数互化；(5)通分、约分；(6)配方去根号. 3.求值一般包括：(1)给角求值；(2)给值求值；(3)给值求角. 4.掌握三角函数中公式的正用、逆用及变形用，重点提升逻辑推理和数学运算素养. (1)已知tan α＝α∈则sin α－cos α＝　　　　.  例 1 － 6 因为tan α＝ 由解得或 又α∈所以sin α＝cos α＝ 所以sin α－cos α＝＝－. 解析 7 (2)已知sin α是方程2x2－x－1＝0的根，α是第三象限角，则·tan2(π－α)＝　　　　.  ∵方程2x2－x－1＝0的根为－或1， 又α是第三象限角，∴sin α＝－ ∴cos α＝－＝－ ∴tan α＝∴原式＝·tan2α＝－tan2α＝－. 解析 － 8 任意角的三角函数的定义及诱导公式是高考考点，应用定义时，注意三角函数值仅与终边位置有关，与终边上的点的位置无关，应用诱导公式时要弄清三角函数值在各个象限内的符号.主要考查角度：(1)角的概念及其表示；(2)三角函数的定义及其应用；(3)扇形的弧长及面积公式；(4)三角函数的诱导公式. 反 思 感 悟 9 已知角α的顶点与坐标原点O重合，始边与x轴的非负半轴重合，终边与单位圆交于第四象限内的点P(x，y). (1)若x＝求tan α及的值； 跟踪训练 1 10 由已知角α的终边与单位圆交于第四象限内的点P(x，y)， 则sin α＝y，cos α＝x，tan α＝x2＋y2＝1，x>0，y<0，由x＝ 得y＝－＝－则tan α＝＝－ 再由诱导公式可得. 解 11 (2)若sin4α＋cos4α＝求sin α－cos α的值. 12 因为sin4α＋cos4α＝－2sin2αcos2α＝1－2sin2αcos2α＝ 所以sin2αcos2α＝又α是第四象限角， 所以sin α<0，cos α>0，即sin αcos α＝－ 所以sin α－cos α＝－ ＝－＝－＝－. 解 13 二 三角函数的图象与性质 1.三角函数的性质包括定义域、值域、单调性、奇偶性、对称性等，在研究性质时，将ωx＋φ看成一个整体，利用整体代换思想解题是常见的技巧. 2.函数y＝Asin(ωx＋φ)的图象 (1)“五点法”作图；(2)图象伸缩、平移变换. 3.掌握三角函数的图象和性质，重点培养直观想象和数学运算素养. 　(1)(多选)已知函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)的部分图象如图所示，下列说法正确的是 A.函数f(x)的最小正周期为2π B.函数f(x)的图象关于直线x＝－对称 C.函数f(x)在上单调递减 D.函数f(x)的图象关于点对称 例 2 √ √ 16 对于A，由图象可知A＝2，且T＝因此最小正周期T＝π，所以ω＝2，故A错误； 对于B，又函数图象过点则f ＝2sin＝0，所以＋φ＝π＋2kπ，k∈Z，故φ＝＋2kπ，k∈Z，又|φ|<所以φ＝ 所以f(x)＝2sin当x＝－时，f ＝2sin＝2sin＝－2，f(x)取得最小值，即函数f(x)的图象关于直线x＝－对称，故B正确； 解析 17 对于C，当x∈时，2x＋∈由正弦函数性质可得函数f(x)在上不是单调递减的，故C错误； 对于D，令2x＋＝kπ，k∈Z，解得x＝－π，k∈Z，当k＝0时，x＝－ 即函数f(x)的图象关于点对称，故D正确. 解析 18 (2)已知函数f(x)＝sin其中x∈若f(x)的值域是 则实数a的取值范围是　　　　.  19 ∵x∈ ∴x＋∈. ∵当x＋∈时，f(x)的值域为 ∴结合正弦函数的图象知≤a＋≤ ∴≤a≤π. 解析 20 反 思 感 悟 三角函数的图象是研究三角函数性质的基础，又是三角函数性质的具体体现，主要体现在三角函数图象的变换和解析式的确定，以及通过对图象的描绘、观察来讨论三角函数的性质，高考中三角函数是必考内容之一，着重考查三角函数的定义域、值域、单调性、奇偶性、对称性、周期性等有关性质.主要考查角度：(1)三角函数的性质；(2)三角函数图象的变换；(3)求函数y＝Asin(ωx＋φ)的解析式；(4)函数y＝Asin(ωx＋φ)的图象与性质. 21 已知函数f(x)＝2sin＋a＋1(其中a为常数). (1)求f(x)的单调区间； 跟踪训练 2 22 由－＋2kπ≤2x＋≤＋2kπ，k∈Z，解得－＋kπ≤x≤＋kπ，k∈Z，所以函数f(x)的单调递增区间为(k∈Z)； 由＋2kπ≤2x＋≤＋2kπ，k∈Z， 解得＋kπ≤x≤＋kπ，k∈Z，所以函数f(x)的单调递减区间为(k∈Z). 解 23 (2)当x∈时，f(x)的最大值为4，求a的值. 因为0≤x≤ 所以≤2x＋≤ 所以－≤sin≤1， 所以f(x)的最大值为2＋a＋1＝4，所以a＝1. 解 24 三角函数的图象变换问题 三 1.由函数y＝sin x的图象得到y＝sin(ωx＋φ)(ω>0)的图象有两种途径：先平移再伸缩；先伸缩再平移，这两种途径的区别是平移的单位长度不同，其余参数不受影响，若相应变换的函数名称不同时，要先用诱导公式转化为同名的三角函数，再进行平移或伸缩. 2.掌握三角函数图象变换的规则，重点提升逻辑推理和数学运算素养. 已知函数f(x)＝2sin在x＝处取得最值，其中ω∈(0，2). (1)求函数f(x)的最小正周期； 例 3 ∵函数f(x)在x＝处取得最值， ∴2ω×＝kπ＋k∈Z，解得ω＝2k＋k∈Z. 又ω∈(0，2)，∴ω＝ ∴f(x)＝2sin∴函数f(x)的最小正周期T＝. 解 27 (2)将函数f(x)的图象向左平移个单位长度，再将所得图象上各点的横坐标伸长为原来的3倍，纵坐标不变，得到函数g(x)的图象.求g(x)的单调递增区间. 28 将函数f(x)的图象向左平移个单位长度，得到函数y＝2sin ＝2sin的图象，再将所得图象上各点的横坐标伸长为原来的3倍，纵坐标不变，得到函数y＝2sin的图象， 即g(x)＝2sin. 令－＋2kπ≤x－≤＋2kπ，k∈Z， 解得－＋2kπ≤x≤＋2kπ，k∈Z，∴函数g(x)的单调递增区间为k∈Z. 解 29 函数y＝Asin(ωx＋φ)＋h的解题技巧 对于y＝Asin(ωx＋φ)＋h，应明确A，ω决定“形变”，φ，h决定“位变”，A影响值域，ω影响周期，A，ω，φ影响单调性.针对x的变换，即变换多少个单位长度，向左或向右很容易出错，应注意先“平移”后“伸缩”与先“伸缩”后“平移”的区别. 反 思 感 悟 30 　 将函数y＝cos的图象上各点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)，再向左平移个单位长度，所得函数图象的一条对称轴是 A.直线x＝ B.直线x＝ C.直线x＝π D.直线x＝ 跟踪训练 3 √ 31 y＝cos图象上各点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)， 得到y＝cos的图象，再向左平移个单位长度， 得到y＝cos＝cos的图象. 其对称轴一定经过图象的最高点或最低点， 当x＝时，y＝cos＝1，故选D. 解析 32 三角函数模型的简单应用 四 1.三角函数模型的简单应用体现在两个方面：一是会用三角函数解决简单的实际问题；二是能把实际问题转化成数学问题，抽象出三角函数模型，再利用三角函数的有关知识解决问题. 2.三角函数模型的简单应用常考查数学建模、数学运算等核心素养. 潮汐是发生在沿海地区的一种自然现象，其形成是海水受日月的引力，潮是指海水在一定的时候发生涨落的现象.一般来说，早潮叫潮，晚潮叫汐.某观测站通过长时间的观测，发现潮汐的涨落规律和函数图象f(x)＝Asin(ωx＋φ)基本一致且周期为4π，其中x为时间，f(x)为水深.当x＝时，海水上涨至最高5米. (1)作出函数f(x)在[0，4π]内的图象，并求出潮汐涨落的频率和初相； 例 4 35 T＝＝4π， 又因为ω>0，所以ω＝ 又A＝5，x＝时，sin＝1， 所以＋φ＝＋2kπ(k∈Z)， φ＝＋2kπ(k∈Z)， 又因为0<φ<所以φ＝故函数f(x)＝5sinx≥0， 解 36 频率f＝；x＝0时，初相φ＝ 图象应用五点作图法分别取x＝0， 4π， 求出对应的函数值，并描点和绘制，如图所示. 解 37 (2)求海水水深持续加大的时间区间. 38 求海水水深持续加大的时间区间， 即求f(x)的单调递增区间， 令z＝x＋ 函数y＝5sin z的单调递增区间为k∈Z， 即－＋2kπ≤x＋≤＋2kπ，k∈Z， ⇒－＋2kπ≤x≤＋2kπ，k∈Z， 解 39 即－＋4kπ≤x≤＋4kπ(k∈Z). 故海水水深持续加大的时间区间为或(k∈N＋). 解 40 解三角函数应用问题的基本步骤 反 思 感 悟 41 筒车是我国古代发明的一种水利灌溉工具，因其经济又环保，至今还在农业生产中使用.假设在水流量稳定的情况下，筒车上的每一个盛水筒都做逆时针匀速圆周运动.现将筒车抽象为一个几何图形，如图所示，圆O的半径为4 m，P0在水平面上，盛水筒M从点P0处开始运动，OP0与水平面所成的角为且2 min恰好转动1圈，则盛水筒M距离水面的高度H(单位：m)与时间t(单位：s)之间的函数关系式是 A.H＝4sin＋2 B.H＝4sin＋2 C.H＝4sin＋2 D.H＝4sin＋2 跟踪训练 4 √ 42 设距离水面的高度H与时间t的函数关系式为H＝Asin(ωt＋φ)＋b， 周期为120 s，ω＝ 最高高度为4＋4sin＝6， 最低高度为－4＋4sin＝－2， 所以A＋b＝6，－A＋b＝－2， 所以A＝4，b＝2. 解析 43 当t＝0时，H＝0，4sin φ＋2＝0， 所以sin φ＝－ 可得φ＝－＋2kπ，k∈Z， 所以H＝4sin＋2 ＝4sin＋2. 解析 44 第5章　三角函数 <<< $