第2章 章末复习课 一元二次函数、方程和不等式（配套课件PPT）-【步步高】2025-2026学年高一数学必修第一册学习笔记（湘教版）

该高中数学课件系统梳理了一元二次函数、方程和不等式的核心内容，通过知识网络整合基本不等式、一元一次不等式、一元二次方程与不等式等模块，以“不等式性质-解法-应用”为逻辑主线，串联起比较大小、求最值、恒成立问题及实际应用等专题，帮助学生构建完整知识体系。 其亮点在于以核心素养为导向设计复习活动，如通过作差法比较大小培养逻辑推理能力，利用基本不等式求最值提升数学运算素养，结合商品营业额问题构建模型发展数学建模意识。跟踪训练分层设置，从基础判断到综合应用，满足不同学生需求，助力教师精准复习，有效巩固知识。

章末复习课 第2章　一元二次函数、方程和不等式 <<< 知识网络 一、不等式及其性质 二、利用基本不等式求最值 三、一元二次不等式的解法 内容索引 四、不等式恒成立问题 五、通过构造数学模型解决生活中的问题 不等式及其性质 一 1.不等式的性质常用来比较大小、判断与不等式有关的命题的真假和证明不等式,防止由于考虑不全面出现错误,有时也可结合特殊值法求解. 2.掌握不等式的性质,重点提升数学抽象和逻辑推理素养. 　　　 (1)若a,b,c∈R,则下列说法正确的是 A.若a>b,则a2>b2 B.若c<a,则cb<ab C.若ab≠0且a<b,则> D.若a>b,则a＋c>b＋c 例 1 √ 6 对于A,取a＝1,b＝－2, 则有a2<b2,故A错误； 对于B,取b＝0,则有cb＝ab,故B错误； 对于C,取a＝－1,b＝2, 则有<故C错误； 对于D,若a>b,则a＋c>b＋c,故D正确. 解析 7 (2)若A＝a2＋3ab,B＝4ab－b2,则A,B的大小关系是 A.A≤B B.A≥B C.A<B或A>B D.A>B √ ∵A－B＝a2＋3ab－(4ab－b2) ＝b2≥0, ∴A≥B. 解析 8 不等式及其性质的两个关注点 (1)作差法是比较两个实数大小的基本方法. (2)应用不等式的基本性质可以证明不等式,但一定要注意应用条件；当判断不等式是否成立时,也常常选择特殊值法. 反 思 感 悟 9 　　　　　 (1)下列四个命题中,为真命题的是 A.若a>b,则a>b B.若a>b,c<d,则a－c<b－d C.若a>b,则a3>b3 D.若a>b,则> 跟踪训练 1 √ 10 当c＝0时,A选项不成立,为假命题； ∵c<d,∴－c>－d,又a>b, ∴a－c>b－d,故B选项为假命题； 当a＝2,b＝1时,D选项不成立,为假命题； 由不等式的基本性质a>b可得a3>b3,C选项为真命题. 解析 11 (2)若1≤a≤5,－1≤b≤2,则a－b的取值范围为　 　　　　　　　.  {a－b|－1≤a－b≤6} ∵－1≤b≤2,∴－2≤－b≤1, 又1≤a≤5, ∴－1≤a－b≤6. 解析 12 二 利用基本不等式求最值 1.基本不等式是每年高考的热点,主要考查命题判断、不等式证明以及求最值问题,特别是求最值问题往往与实际问题相结合,同时在基本不等式的使用条件上设置一些问题,实际上是考查学生恒等变形的技巧,另外,基本不等式的和与积的转化在高考中也经常出现. 2.熟练掌握基本不等式及其应用,重点提升数学抽象和数学运算素养. 　　　 (1)(－6<a<3)的最大值为 A.9 B. C.3 D. 例 2 √ ∵－6<a<3,则3－a>0,a＋6>0. ∴由基本不等式得≤当且仅当3－a＝a＋6, 即a＝－时,等号成立. 解析 15 (2)已知a,b,c均为正实数,若＝1,则a＋b＋c的最小值为　　.  a＋b＋c＝[a＋(b＋2)＋(c＋1)]·－3 ＝－3≥3＋2＋2＋2－3＝6, 当且仅当a＝b＋2＝c＋1＝3,即a＝3,b＝1,c＝2时等号成立, 故a＋b＋c的最小值为6. 解析 6 16 反 思 感 悟 基本不等式的关注点 (1)前提：“一正”“二定”“三相等”. (2)配凑：要根据式子的特征灵活变形,配凑出积、和为常数的形式,然后再利用基本不等式. (3)方法：一是消元法；二是将条件灵活变形,利用常数“1”代换的方法；三是配凑法. 17 　设实数a>0,x＋(x>－2)的最小值为6,则a＝　　.  跟踪训练 2 16 因为x>－2,a>0, 所以x＋＝x＋2＋－2≥2－2,当且仅当x＋2＝即x＝－2时等号成立, 则2－2＝6,a＝16. 解析 18 三 一元二次不等式的解法 1.对于实数的一元二次不等式(分式不等式)首先转化为标准形式(二次项系数为正),然后能分解因式的变成因式相乘的形式,从而得到不等式的解集. 2.对于含参数的不等式要注意对参数进行讨论,做到不重不漏. 3.掌握不等式的解法,重点提升逻辑推理和数学运算素养. 　　 　若不等式ax2＋5x－2>0的解集是. (1)求a的值； 例 3 依题意,可得方程ax2＋5x－2＝0的两个实数根为和2,且a<0. 由根与系数的关系,得解得a＝－2. 解 21 (2)求不等式>a＋5的解集. 将a＝－2代入不等式,得>3, 即－3>0, 整理得>0,即(x＋1)(x＋2)<0, 解得－2<x<－1, 则不等式的解集为{x|－2<x<－1}. 解 22 (1)对于实数的一元二次不等式(分式不等式),首先转化为标准形式(二次项系数为正),然后能分解因式的变成因式相乘的形式,从而得到不等式的解集. (2)一元二次不等式解集的端点值就是对应一元二次函数的零点,也是一元二次方程的根. 反 思 感 悟 23 　　　　　 解关于x的不等式ax2－(a＋1)x＋1<0. 跟踪训练 3 24 ①当a＝0时,原不等式即为－x＋1<0, 解得x>1. ②当a<0时,原不等式化为(x－1)>0, 解得x<或x>1. ③当a>0时,原不等式化为(x－1)<0. 若a＝1,即＝1,不等式无解； 解 25 若a>1,即<1,解得<x<1； 若0<a<1,即>1,解得1<x<. 综上可知,当a<0时,不等式的解集为； 当a＝0时,不等式的解集为{x|x>1}； 当0<a<1时,不等式的解集为； 当a＝1时,不等式的解集为∅； 当a>1时,不等式的解集为. 解 26 不等式恒成立问题 四 1.熟练掌握二次不等式恒成立的等价条件,理解不等式恒成立与最值的关系,对于含参的不等式要注意对参数进行讨论,做到不重不漏. 2.掌握不等式恒成立的条件,重点提升逻辑推理和数学运算素养. 　已知函数y＝x2＋ax＋3. (1)当x∈R时,y≥a恒成立,求a的取值范围； 例 4 由题意知,当x∈R时,x2＋ax＋3－a≥0恒成立, 则Δ＝a2－4(3－a)≤0,即a2＋4a－12≤0, 解得－6≤a≤2, 故a的取值范围为{a|－6≤a≤2}. 解 29 (2)当4≤a≤6时,y≥0恒成立,求x的取值范围. 将y＝xa＋x2＋3看作关于a的一次函数, 当4≤a≤6时,y≥0恒成立,只需在a＝4和a＝6时y≥0即可, 即 解得x≤－3－或x≥－3＋ 故x的取值范围是{x|x≤－3－或x≥－3＋}. 解 30 反 思 感 悟 解决不等式恒成立问题的方法 (1)将一元二次不等式、判别式与图象相结合. (2)分离参数法. (3)转化为最大(小)值问题. 31 　已知x>0,y>0,且＝2,若x＋2y>m2－3m－1恒成立,则实数m的取值范围是 A.{m|m≤－1或m≥4} B.{m|m≤－4或m≥1} C.{m|－1<m<4} D.{m|－4<m<1} 跟踪训练 4 √ 32 由＝2得2y＋x＋1＝2(x＋1)y,所以x＋1＝2xy,所以2y＝1＋ 所以x＋2y＝x＋＋1≥2＋1＝3,当且仅当x＝1,y＝1时,等号成立, 所以(x＋2y)min＝3, 所以x＋2y>m2－3m－1恒成立, 可化为3>m2－3m－1,即m2－3m－4<0, 解得－1<m<4. 所以实数m的取值范围是{m|－1<m<4}. 解析 33 通过构造数学模型解决生活中的问题 五 1.不等式的应用题常以函数为背景,多是解决现实生活、生产中的优化问题,在解题中主要涉及不等式的解法、基本不等式求最值,根据题设条件构建数学模型是解题关键. 2.利用不等式解决实际应用问题,重点提升数学建模素养和数学运算素养. 　某商品的成本价为80元/件,售价为100元/件,每天售出100件,若售价降低x成(1成＝10%),售出商品的数量就增加x成,要求售价不能低于成本价. (1)设该商品一天的营业额为y元,试求出y与x(x≥0)之间的函数关系式； 例 5 依题意得y＝100·100. 又售价不能低于成本价, 所以100－80≥0,解得x≤2, 所以y＝40(10－x)(25＋4x)(0≤x≤2). 解 36 (2)若要求该商品一天的营业额至少为10 260元,求x的取值范围. 依题意得,40(10－x)(25＋4x)≥10 260, 化简得8x2－30x＋13≤0,解得≤x≤. 又0≤x≤2, 所以x的取值范围为. 解 37 反 思 感 悟 解决实际问题的关注点 (1)审题要准,初步建模. (2)设出变量,列出函数关系式. (3)根据题设构造二次函数或基本不等式的形式解决问题. 38 　某自来水厂拟建一座平面图为矩形且面积为200 m2的二级净水处理池(如图).池的深度一定,池的外围周壁建造单价为每米400 元,中间的一条隔壁建造单价为每米100 元,池底建造单价为每平方米60 元,池壁厚度忽略不计.问净水池的长为多少时,可使总造价最低？ 跟踪训练 5 39 设水池的长为x m,则宽为 m. 总造价y＝400＋100·＋200×60 ＝800＋12 000 ≥800×2＋12 000＝36 000, 当且仅当x＝即x＝15时,等号成立,此时y取得最小值36 000. 所以当净水池的长为15 m时,可使总造价最低. 解 40 第2章　一元二次函数、方程和不等式 <<< $