第4章 4.1.1 有理数指数幂（配套课件PPT）-【步步高】2025-2026学年高一数学必修第一册学习笔记（湘教版）

该高中数学课件聚焦有理数指数幂，涵盖n次方根、根式、分数指数幂概念及运算性质，通过毕达哥拉斯学派发现无理数的故事导入，从平方根、立方根类比引出n次方根，搭建从已知到未知的学习支架。 其亮点在于以问题驱动结合对比辨析，如通过实例区分√[n]{aⁿ}与(√[n]{a})ⁿ，培养抽象能力、推理意识和符号意识。分层练习与课堂小结帮助学生构建知识体系，教师可借助结构化资源提升教学效率。

第4章　 §4.1　实数指数幂和幂函数 <<< 4.1.1 有理数指数幂 1.理解n次方根、根式的概念. 2.能正确运用根式运算性质化简求值. 3.会对分式和分数指数幂进行转化. 4.掌握并运用有理数指数幂的运算性质. 学习目标 古希腊有一个数学学派名叫毕达哥拉斯学派,其学派中的一个成员希伯斯考虑了一个问题：边长为1的正方形其对角线长度是多少呢？他发现这一长度既不能用整数,也不能用分数来表示,希伯斯的发现导致了数学史上第一个无理数的诞生.这就是本节课我们要学习的根式. 导 语 一、根式 二、分数指数幂 课时对点练 三、有理数指数幂的运算法则的应用 内容索引 一 根式 如果x2＝a,那么x叫作a的什么？这样的x有几个？x3＝a呢？ 问题1 提示　如果x2＝a,那么x叫作a的平方根,这样的x有两个；如果x3＝a,那么x叫作a的立方根,这样的x有一个. 类比平方根、立方根的概念,试着说说4次方根、5次方根、10次方根等,你认为n次方根应该是什么？ 问题2 提示　比如(±2)4＝16,我们把±2叫作16的4次方根；(±3)4＝81,我们把±3叫作81的4次方根；(－2)5＝－32,我们把－2叫作－32的5次方根；(±2)10＝1 024,我们把±2叫作1 024的10次方根等.类比上述过程,我们可以得到：如果2n＝a,那么我们把2叫作a的n次方根. 1.a的n次方根的定义 若一个(实)数x的n次方(n∈N,n≥2)等于a,即　　　　,则称x是a的n次方根. 2.a的n次方根的表示 xn＝a n的奇偶性 a的n次方根的表示符号 a的取值范围 n为奇数 ______ a∈R n为偶数 ________ _________ [0,＋∞) 知识梳理 3.根式：式子____(n∈N,n≥2)叫作根式,n叫作　　　　,a叫作　　　　　. 4.根式的性质 (1) 　　　没有偶次方根. (2)0的任何次方根都是0,记作＝ 　　(n∈N,n≥2). (3)()n＝ (n∈N,且n≥2). (4)＝|a|＝(n为大于1的偶数). 根指数 被开方数 负数 0 a a (1)对于()n＝a,若n为奇数,则a∈R；若n为偶数,则a≥0. (2)()n与意义不同,比如＝－3＝3,而没有意义,故()n≠. (3)当a≥0时,()n＝；当a<0且n为奇数时,()n＝；当a<0且n为偶数时,对于要注意运算次序. 注 意 点 <<< 　 (1)(课本例1)化简下列各式： ①； 例 1 ＝－2. 解 ②； ＝2. 解 11 ③； ＝3－a. 解 ④(a<b)； 因为a<b,所以＝|a－b|＝－(a－b)＝b－a. 解 12 ⑤. ＝|3－a|＝ 解 13 　 (1)化简下列各式： ①＋()5； 例 1 原式＝(－2)＋(－2)＝－4. 解 ②＋()6； 原式＝|－2|＋2＝2＋2＝4. 解 14 ③. 原式＝|x＋2|＝ 解 15 (2)已知－3<x<3,求的值. 原式＝ ＝|x－1|－|x＋3|, ∵－3<x<3,∴当－3<x<1时, 原式＝－(x－1)－(x＋3)＝－2x－2； 当1≤x<3时,原式＝(x－1)－(x＋3)＝－4. ∴原式＝ 解 16 　　　　　在本例(2)中,若将“－3<x<3”变为“x≤－3”,则结果又是什么？ 延伸探究 原式＝ ＝|x－1|－|x＋3|. ∵x≤－3,∴x－1<0,x＋3≤0, ∴原式＝－(x－1)＋(x＋3)＝4. 解 17 正确区分与()n (1)中的a可以是全体实数的值取决于n的奇偶性. (2)()n已暗含了有意义,根据n的奇偶性可知a的范围. 反 思 感 悟 18 　　　　　化简下列各式： (1)； 跟踪训练 1 ＝－2. 解 (2)； ＝|π－4|＋π－4 ＝4－π＋π－4＝0. 解 19 (3)(a≤1)； ∵a≤1, ∴＝|3a－3|＝3|a－1|＝3－3a. 解 (4). ＝a＋|1－a|＝ 解 20 二 分数指数幂 被开方数的指数不能被根指数整除的根式,比如 a>0,是否可以表示为分数指数幂的形式？如何表示？ 问题3 提示　. 22 1.分数指数幂：当a>0,m,n∈N且n≥2时,规定. 2.(1)ar·as＝ar＋s(a>0,r,s∈Q)； (2)(ar)s＝ars(a>0,r,s∈Q)； (3)(ab)r＝arbr(a>0,b>0,r∈Q). 拓展：①＝ar－s(a>0,r,s∈Q). ②(a>0,b>0,r∈Q). 知识梳理 (1)分数指数幂不可理解为个a相乘,它是根式的一种写法. (2)正数的负分数指数幂总表示正数,而不是负数. 注 意 点 <<< 　　　(1)(课本例2)求值： ①1； 例 2 1＝(24＝23＝8. 解 ②2； 2＝(52＝5－1＝. 解 25 ③； ＝(3－1)－3＝33＝27. 解 ④. ＝. 解 26 (2)(课本例3)用分数指数幂的形式表示下列各式(a>0)： ①a·； a·＝a·. 解 ②a2·； a2·＝a2·. 解 27 ③. ＝(a·＝(. 解 28 　　　(1)化简的结果是 A. B. C.3 D.5 例 2 √ 原式＝. 解析 29 (2)(a>0)的分数指数幂表示为 A. B. C. D.都不对 √ 原式＝. 解析 30 (3)化简·(a>0)的结果是 A. B. C. D. √ 原式＝·. 解析 31 根式与分数指数幂互化的规律 (1)根指数　　分数指数的分母,被开方数(式)的指数　　分数指数的分子. (2)在具体计算时,通常会把根式转化成分数指数幂的形式,然后利用有理数指数幂的运算性质解题. 反 思 感 悟 32 　　　　　 (1)求值：＝　　　　.  跟踪训练 2 － 原式＝＝－. 解析 33 (2)用分数指数幂表示a·(a>0)＝　　　.  原式＝a·. 解析 34 三 有理数指数幂的运算法则的应用 　　　 (1)(课本例4)计算下列各式(式中字母都是正数)： ①()6； 例 3 ()6＝()6·()6 ＝a2b－5＝. 解 36 ②(3)·(－4)÷(－6). (3)·(－4)÷(－6) ＝··＝2n. 解 37 (2)(课本例5)用分数指数幂的形式表示下列根式的化简结果(式中字母都是正数)： ①. ＝(ab. 解 38 ②()÷. ()÷＝()÷. 解 ③. ＝(xy2·(xy＝(. 解 39 　　　 (1)＝　　.(式中的字母均是正数)  例 3 原式＝ ＝ ＝a－1＝. 解析 40 (2)计算：－(π－3)0＋. 原式＝－1＋2＝2. 解 41 关于指数式的化简、求值问题 (1)无论是化简还是求值,一般的运算顺序是先乘方,再乘除,最后加减. (2)仔细观察式子的结构特征,确定运算层次,避免运用运算性质时出错. 反 思 感 悟 42 　　　　　 (1)－(－2)0－； 跟踪训练 3 原式＝－1－－1－. 解 43 (2)2÷(－6)(x,y>0). 原式＝2×(－3)÷(－6)＝x2y. 解 44 1.知识清单： (1)n次方根的概念、表示及性质. (2)根式的概念及性质. (3)分数指数幂与根式的相互转化. (4)分数指数幂的运算法则. 2.方法归纳：转化法. 3.常见误区： (1)对于当n为偶数时,a≥0. (2)混淆()n和. 课堂小结 课时对点练 四 对一对 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 答案 D B C D C BCD 1 x＝－1 题号 11 12 13 14 15 答案 D D D 3－2 1 9. 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 (1)＝|－3|＋|－2|＝3－－2＝1. (2)当1≤x<3时, ＝|1－x|＋|3－x|＝x－1＋3－x＝2； 当x≥3时, ＝|1－x|＋|3－x|＝x－1＋x－3＝2x－4. 所以原式＝ 10. 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 (1)(2)(－6)(－3) ＝2×(－6)×(－3)＝36a. (2)＋2－2×－0.010.5 ＝1＋×＝1＋× ＝1＋. 16. 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 设ax＝by＝cz＝k, 则k>0,a＝b＝c＝ 因此abc＝＝k0＝1. 基础巩固 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1.若a是实数,则下列式子中可能没有意义的是 A. B. C. D. √ 当a<0时,a的偶次方根无意义. 解析 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 2.若＋(a－4)0有意义,则a的取值范围是 A.[2,＋∞) B.[2,4)∪(4,＋∞) C.(－∞,2)∪(2,＋∞) D.(－∞,4)∪(4,＋∞) √ 由题意可知 ∴a≥2且a≠4. 解析 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 3.化简(其中a>0,b>0)的结果是 A. B.－ C. D.－ √ ＝. 解析 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 4.下列等式一定成立的是(式中字母为正数) A.·＝a B.·＝0 C.(a3)2＝a9 D.÷ √ 同底数幂相乘,指数相加,故A,B错误； 因为(ar)s＝ars,3×2＝6,故C错误； 同底数幂相除,指数相减,故D正确. 解析 5.若a>0,将表示成分数指数幂,其结果是 A. B. C. D. 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 √ 由题意得. 解析 6.(多选)下列根式与分数指数幂的互化正确的是 A.－＝(－x B.(y>0) C.(x>0) D.[(x>0) √ 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 √ √ 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 A项错误,－＝－(x≥0), 而(－x(x≤0)； B项正确(y>0)； C项正确(x>0)； D项正确,[(x>0). 解析 7.当x<0时,x＋＝　　.  答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 原式＝x＋|x|＋＝x－x＋1＝1. 解析 1 8.方程2x－1＝的解是　　　　.  答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 x＝－1 2x－1＝＝2－2⇒x－1＝－2⇒x＝－1. 解析 9.化简下列各式： (1)； 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 ＝|－3|＋|－2|＝3－－2＝1. 解 (2)(x≥1). 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 当1≤x<3时, ＝|1－x|＋|3－x| ＝x－1＋3－x＝2； 当x≥3时, ＝|1－x|＋|3－x| ＝x－1＋x－3＝2x－4. 所以原式＝ 解 10.(1)化简：(2)(－6)(－3)(a>0,b>0)； 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 (2)(－6)(－3) ＝2×(－6)×(－3) ＝36a. 解 (2)求值：＋2－2×－0.010.5. 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 ＋2－2×－0.010.5 ＝1＋×＝1＋× ＝1＋. 解 11.若(1－2x有意义,则x的取值范围是 A.R B.∪ C. D. 综合运用 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 √ 将分数指数幂化为根式,可知需满足1－2x>0,解得x<. 解析 12.已知m10＝2,则m等于 A. B.－ C. D.± √ 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 ∵m10＝2,∴m是2的10次方根. 又∵10是偶数, ∴2的10次方根有两个,且互为相反数. ∴m＝±. 解析 13.已知正数a,b满足×＝2,则3a＋2b的最小值为 A.10 B.12 C.18 D.24 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 √ 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 由题意××＝2, ∴＝1, 3a＋2b＝(3a＋2b)＝6＋6＋≥12＋2＝12＋2×6＝24, 当且仅当即时,等号成立. 解析 14.＝　 　　　.  答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 3－2 ＝3－2. 解析 15.化简：()2 028·()2 028＝　　.  拓广探究 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1 原式＝[()·()]2 028＝12 028＝1. 解析 16.若a,b,c为正实数,ax＝by＝cz＝0,求abc. 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 设ax＝by＝cz＝k, 则k>0,a＝b＝c＝ 因此abc＝＝k0＝1. 解 71 第4章　 §4.1　实数指数幂和幂函数 <<< $