32 第4章 4.1.1&4.1.2 第2课时 指数幂及其运算（课件PPT）-【学霸笔记·同步精讲】2025-2026学年高中数学必修第一册（湘教版）

该高中数学课件围绕分数指数幂的含义、根式与分数指数幂的互化及实数指数幂的运算性质展开，通过科研经费支出的情境问题导入，联系整数指数幂知识，引导学生发现数量关系，搭建从具体到抽象的学习支架。 其亮点在于以情境导学激发探究兴趣，通过概念辨析（如规定a>0的逻辑推理）和例题训练培养数学运算素养，结合合作探究与反思领悟。学生能提升运算能力和推理意识，教师可借助系统资源高效教学。

复习任务群一 现代文阅读Ⅰ 把握共性之“新”　打通应考之“脉” 第4章　幂函数、指数函数和对数函数 4.1　实数指数幂和幂函数 4.1.1　有理数指数幂 4.1.2　无理数指数幂 第2课时　指数幂及其运算 第2课时　指数幂及其运算 学习任务 核心素养 1．理解分数指数幂的含义，掌握根式与分数指数幂的互化． (重点、难点) 2．掌握实数指数幂的运算性质，并能对代数式进行化简或求值．(重点) 1．通过分数指数幂的运算性质的推导，培养逻辑推理素养． 2．借助指数幂的运算性质对代数式化简或求值，培养数学运算素养． 第2课时　指数幂及其运算 国家统计局有关数据显示，我国科研和开发机构基础研究经费支出近些年呈爆炸式增长：2013年为221.59亿元，2014年、2015年、2016年的年增长率分别为16.84%，14.06%，14.26%．你能根据这三个年增长率的数据，算出年平均增长率，并以2013年的经费支出为基础，预测2026年及以后各年的经费支出吗？ 必备知识·情境导学探新知 第2课时　指数幂及其运算 知识点1　分数指数幂的意义 分数指数幂 正分数 指数幂 规定： (a>0，m，n∈N且n≥2) 0的分数 指数幂 0的正分数指数幂等于____， 0的负分数指数幂______意义 0 没有 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 第2课时　指数幂及其运算 思考　在分数指数幂与根式的互化公式中，为什么必须规定a>0? [提示]　①若a＝0，0的正分数指数幂恒等于0，即＝＝0，无研究价值． ②若a<0，不一定成立，如无意义，故为了避免上述情况规定了a>0． 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 第2课时　指数幂及其运算 体验　1．思考辨析(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)0的任何指数幂都等于0． (　　) (2)． (　　) (3)分数指数幂与根式可以相互转化，如． (　　) 可以理解为个a相乘． (　　) × × × × 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 第2课时　指数幂及其运算 体验　2．将下列根式化为分数指数幂： ①＝________； ②＝________； ③＝________(m＞0)． 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 第2课时　指数幂及其运算 知识点2　有理数指数幂的运算性质 (1)ar·as＝______(a>0，r，s∈Q)； (2)(ar)s＝___(a>0，r，s∈Q)； (3)(ab)r＝____(a>0，b>0，r∈Q)． ar+s ars arbr 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 第2课时　指数幂及其运算 体验　3．下列运算结果中，正确的是(　　) A．a2a3＝a5 B．(－a2)3＝(－a3)2 C．0＝1 D．(－a2)3＝a6 A　[a2a3＝a2+3＝a5；(－a2)3＝－a6≠(－a3)2＝a6；0＝1，若成立，需要满足a≠1，故选A．] √ 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 第2课时　指数幂及其运算 知识点3　有理数指数幂的基本不等式 (1)有理数指数幂的基本不等式：对任意的正有理数r和正数a，若a>1则ar___1；若a<1则ar___1． (2)推论：对任意的负有理数r和正数a，若a>1则ar___1；若a<1则ar___1． (3)性质：对任意的正数a>1和两有理数r>s，有＝ar－s___1，即ar___as． 对任意的正数a<1和两有理数r>s，有＝ar－s___1，即ar___as． >  <  <  >  >  >  <  <  课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 第2课时　指数幂及其运算 体验　4．比较大小：___1；___1；___1； ____1．(填“>”或“<”) > < < > 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 第2课时　指数幂及其运算 知识点4　无理数指数幂 (1)概念：一般地，无理数指数幂au(a>0，u是无理数)是一个确定的______．有理数指数幂的运算性质同样适用于无理数指数幂．在幂的表达式au中，a叫作底数，u叫作指数． (2)幂运算基本不等式 对任意的正数u和正数a，若a>1则au___1；若a<1则au___1． 对任意的负数u和正数a，若a>1则au___1；若a<1则au___1． 实数 >  <  <  >  课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 第2课时　指数幂及其运算 体验　5．思考辨析(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)5是一个确定的实数． (　　) (2)指数幂au的指数u只能取无理数． (　　) (3)＝8． (　　) √ × √ 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 第2课时　指数幂及其运算 关键能力·合作探究释疑难 类型1　根式与分数指数幂的互化 【例1】　【链接教材P96例3】 将下列根式化成分数指数幂的形式： (1)(a>0)；(2)；． 第2课时　指数幂及其运算 [解]　(1)原式＝． (2)原式＝． (3)原式＝＝． 【教材原题·P96例3】 例3　用分数指数幂的形式表示下列各式(a>0)： (1)a·；(2)a2·；(3)． [解]　(1)a·； (2)a2·； (3)． 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 第2课时　指数幂及其运算 反思领悟　根式与分数指数幂互化的规律 (1)根指数 分数指数的分母，被开方数(式)的指数 分数指数的分子． (2)在具体计算时，通常会把根式转化成分数指数幂的形式，然后利用有理数指数幂的运算性质解题． 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 第2课时　指数幂及其运算 [跟进训练] 1．将下列根式与分数指数幂进行互化： (1)a3·；(2)(a>0，b>0)． [解]　(1)a3·＝a3·＝＝． (2)＝ ＝． 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 第2课时　指数幂及其运算 类型2　利用分数指数幂的运算性质化简求值 【例2】　【链接教材P96例4】 计算下列各式(式中字母均是正数)： ； 8； (3)÷． 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 第2课时　指数幂及其运算 [解]　 ＝ ＝4ab0＝4a． 8＝8 ＝m2n-3＝． (3) ＝ ＝ ＝－a ＝－a． 【教材原题·P96例4】 例4　计算下列各式(式中字母都是正数)： 6；． [解]　6＝； ＝＝2n． 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 第2课时　指数幂及其运算 反思领悟　指数幂运算的常用技巧 (1)有括号先算括号里的，无括号先进行指数运算． (2)负指数幂化为正指数幂的倒数． (3)底数是小数，先要化成分数；底数是带分数，要先化成假分数，然后要尽可能用幂的形式表示，便于用指数幂的运算性质． 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 第2课时　指数幂及其运算 [跟进训练] 2．化简求值(式中字母均为正数)： (1)＋＋－3-1＋π0； (2)(a-2b-3)·(－4a-1b)÷(12a-4b-2c)； (3)2． 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 第2课时　指数幂及其运算 [解]　(1)原式＝＋＋＋1＝0.3－． (2)原式＝－4a-2-1b-3+1÷(12a-4b-2c)＝－a-3-(-4)b-2-(-2)c-1＝－． (3)原式＝÷()× ＝． 类型3　条件求值问题 【例3】　已知＝4，求下列各式的值： (1)a＋a-1；(2)a2＋a-2． 代数式“”与“a＋a-1、a2＋a-2”间存在怎样的关系，可以借助哪些公式实现它们间的转化与化归？ 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 第2课时　指数幂及其运算 [解]　(1)将＝4两边平方，得a＋a-1＋2＝16，故a＋a-1＝14． (2)将a＋a-1＝14两边平方，得a2＋a-2＋2＝196，故a2＋a-2＝194． [母题探究] 1．在本例条件不变的条件下，求a－a-1的值． [解]　令a－a-1＝t，则两边平方得a2＋a-2＝t2＋2， ∴t2＋2＝194，即t2＝192，∴t＝±8，即a－a-1＝． 2．在本例条件不变的条件下，求a2－a-2的值． [解]　由上题可知，a2－a-2＝(a－a-1)(a＋a-1)＝×14＝±112． 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 第2课时　指数幂及其运算 反思领悟　解决条件求值的思路 (1)在利用条件等式求值时，往往先将所求式子进行有目的的变形，或先对条件式加以变形，沟通所求式子与条件等式的联系，以便用整体代入法求值． (2)在利用整体代入的方法求值时，要注意完全平方公式的应用． 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 第2课时　指数幂及其运算 [跟进训练] 3．已知＝m，求a＋a-1及a2＋a-2的值． [解]　∵＝m， ∴2＝a＋a-1－2＝m2， 即a＋a-1＝m2＋2． ∴a2＋a-2＝(a＋a-1)2－2＝(m2＋2)2－2＝m4＋4m2＋2． 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 第2课时　指数幂及其运算 1．(多选题)下列各式既符合分数指数幂的定义，值又相等的是 (　　) 和 和 和 和 学习效果·课堂评估夯基础 √ √ 第2课时　指数幂及其运算 BC　[A不符合题意和均符合分数指数幂的定义，但＝1； B符合题意；C符合题意； D不符合题意和均符合分数指数幂的定义，但＝23＝8．] 2．(教材P97练习T2改编)把根式a化成分数指数幂是(　　) A． B．－ C． D． √ D　[由题意可知a≥0，故排除A，B，C选项，故选D．] 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 第2课时　指数幂及其运算 3．已知＝5，则的值为(　　) A．5 B．23 C．25 D．27 √ B　[∵＝5，∴x＋x-1＝23，即＝23．] 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 第2课时　指数幂及其运算 4．若10x＝3，10y＝4，则102x－y＝________． 　[∵10x＝3， ∴102x＝9， 又10y＝4， ∴102x－y＝．] 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 第2课时　指数幂及其运算 5．计算：－(0.01)0.5＝______． 　[原式＝1＋．] 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 第2课时　指数幂及其运算 回顾本节知识，自我完成以下问题： 1．用分数指数幂如何表示？ [提示]　． 2．分数指数幂有哪些性质？ [提示]　(1)as·ar＝as＋r(a>0，r，s∈Q)； (2)(ar)s＝ars(a>0，r，s∈Q)； (3)(ab)r＝arbr(a>0，b>0，r∈Q)． 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 第2课时　指数幂及其运算 3．已知的值，如何求a＋的值？反之呢？ [提示]　设＝m，则两边平方得a＋＝m2－2；反之若设a＋＝n，则n＝m2－2，∴m＝．即． 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 第2课时　指数幂及其运算 章末综合测评(一)　动量守恒定律 题号 1 3 5 2 4 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 一、选择题 1．(多选题)下列各式运算正确的是(　　) A．(－a2b)2·(－ab2)3＝－a7b8 B．(－a2b3)3÷(－ab2)3＝a3b3 C．(－a3)2·(－b2)3＝a6b6 D．[－(a3)2·(－b2)3]3＝a18b18 课时分层作业(二十六)　指数幂及其运算 √ √ √ 39 ABD　[对于A，(－a2b)2·(－ab2)3＝a4b2·(－a3b6)＝故C错误；对于D，易知正确，故选ABD．] 题号 1 3 5 2 4 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 2．(多选题)下列根式与分数指数幂的互化错误的是(　　) A．－＝(x>0) B．＝(y<0) C．x(x>0) D．x(x≠0) √ √ √ 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 第2课时　指数幂及其运算 41 ABD　[＝＝(y<0)；(x>0)； (x≠0)．故选ABD．] 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 42 3．计算：(－27＝(　　) A．－3　　 　B．－　　　C．3　 　　D． 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 √ D　[(－27＝[(－3)3×(32＝(－3)2×3-3＝9×．故选D．] 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 第2课时　指数幂及其运算 43 4．设a>0，将表示成分数指数幂，其结果是(　　) A． B． C． D． 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 √ C　[由题意．故选C．] 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 第2课时　指数幂及其运算 44 5．在，2-1中，最大的是(　　) A． B．2 C． D．2-1 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 √ C　[＝－2，，所以>>>－2．故选C．] 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 第2课时　指数幂及其运算 45 二、填空题 6．已知3a＝2，3b＝，则32a－b＝________． 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 20　[] 20 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 第2课时　指数幂及其运算 46 7．已知x>0，则＝________． 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 　[∵x>0，∴＝．] 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 第2课时　指数幂及其运算 47 8．若α，β是方程5x2＋10x＋1＝0的两个根，则2α·2β＝________，(2α)β＝________． 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 　[由题意可知α＋β＝－2，αβ＝， ∴2α·2β＝2α＋β＝2-2＝；(2α)β＝2αβ＝．] 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 第2课时　指数幂及其运算 48 三、解答题 9．求下列各式的值： (1)； (2)2； (3)＋． 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 第2课时　指数幂及其运算 49 [解]　(1)原式＝[34×(＝(＝(． (2)2×(3×22 ＝＝2×3＝6． (3)原式＝(0.14＋(33 ＝0. ＝0.1-1＋32－＝10＋9－． 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 50 10．已知0＜a＜1，h＞0，对任意的实数u，求证：au＋h－au+2h＜au－au＋h． 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 [证明]　由au，au＋h，au+2h都是正数， 且＝ah＜1， 得au＋h－au+2h＞0，au－au＋h＞0， 所以＝＝＝ah＜1， 所以au＋h－au+2h＜au－au＋h． 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 第2课时　指数幂及其运算 51 11．若(1－2x)有意义，则x的取值范围是(　　) A．(－∞，＋∞) B． C． D． 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 √ D　[∵，∴1－2x>0，得x<．] 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 第2课时　指数幂及其运算 52 12．已知ab＝－5，则a的值是(　　) A．2　 　 B．0 　　　　 C．－2　　 D．±2 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 √ B　[由题意知ab<0，a＝0，故选B．] 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 第2课时　指数幂及其运算 53 13．在算式2中＋2国＋2精＋2神＝29中，“中、国、精、神”分别代表四个不同的数字，且依次从大到小，则“国”字所对应的数字为 (　　) A．4 B．3 C．2 D．1 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 √ B　[由题意得，24＋23＋22＋20＝29，国字所对应的数字为3．] 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 第2课时　指数幂及其运算 54 14．设2x＝8y+1，9y＝3x-9，则x＋y＝________． 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 27　[由2x＝8y+1，得2x＝23y+3， 所以x＝3y＋3． ① 由9y＝3x-9，得32y＝3x-9，所以2y＝x－9． ② 由①②联立方程组，解得x＝21，y＝6， 所以x＋y＝27．] 27 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 第2课时　指数幂及其运算 55 15．已知x＋y＝12，xy＝9，且x>y，求的值． 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 [解]　∵x＋y＝12，xy＝9，∴(x－y)2＝(x＋y)2－4xy＝108．∵x>y，∴x－y＝6，∴＝． 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 第2课时　指数幂及其运算 56 谢 谢！ 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 第2课时　指数幂及其运算 $