第3章 3.1.2 表示函数的方法（配套课件PPT）-【步步高】2025-2026学年高一数学必修第一册学习笔记（湘教版）

该高中数学课件聚焦函数的表示方法，涵盖解析法、列表法、图象法及解析式求解，通过“才高八斗”等成语类比导入，承接初中知识，以买月饼实例为支架，帮助学生理解三种方法的应用与联系。 其亮点在于用生活实例（买月饼、李明放学）培养数学眼光，通过换元法、配凑法等多种解析式求解方法发展数学思维，以列表描点连线等规范数学语言表达函数。课堂小结归纳方法与误区，学生能提升应用能力，教师可高效开展教学。

第3章　 §3.1　函数 <<< 3.1.2 表示函数的方法 1.了解函数的三种表示方法及各自的优缺点. 2.能用图象法表示函数并能通过函数图象得到函数的值域. 3.会求函数的解析式. 学习目标 如果一个人极有才华,我们会用“才高八斗”来形容；如果一个人兼有文武才能,我们会用“出将入相”来形容；如果一个人是稀有而可贵的人才,我们会用“凤毛麟角”来形容；如果一个人品行卓越,天下绝无仅有,我们会用“斗南一人”来形容,那么对于不同呈现出来的函数,是否也会有不同的表示方法呢？让我们一起来探究吧. 导 语 一、表示函数的方法 二、函数的图象 课时对点练 三、求函数的解析式 内容索引 一 表示函数的方法 什么是表示函数的方法呢？ 问题1 提示　把一个函数的对应关系和定义域交代清楚的办法. 结合初中所学知识,你能总结出函数的几种表示方法？ 问题2 提示　解析法、列表法和图象法. 函数的表示方法 解析式 知识梳理 函数三种表示方法的几点说明 (1)解析法：变量间的函数关系明确,且要注意函数的定义域. (2)列表法：就是列出表格来表示两个变量之间的函数关系.比如我们生活中经常遇到的列车时刻表、银行的利率表等.其优点是不需要计算就可以直接看出与自变量相应的函数值.这种表示法常常被应用到实际生产和生活中去. (3)图象法：函数图象的形状不一定是一条或几条无限长的平滑曲线,也可能是一些点、一些线段、一段曲线等,但不是任何一个图形都是函数图象. 注 意 点 <<< 　中秋节到了,小明想买几块月饼,已知每块月饼的单价是6元,买x(x∈{1,2,3,4,5,6})块月饼需要y元,你能用函数的三种表示方法表示函数y＝f(x)吗？ 例 1 9 函数的定义域是数集{1,2,3,4,5,6},用解析法可将函数表示为 f(x)＝6x,x∈{1,2,3,4,5,6}. 列表法可将函数表示为 解 图象法可将函数表示为 月饼数x 1 2 3 4 5 6 钱数y 6 12 18 24 30 36 10 理解函数表示方法的三个关注点 (1)列表法、图象法、解析法均是函数的表示方法,无论是哪种方式表示函数,都必须满足函数的概念. (2)列表法更具体易用,图象法从形的角度描述函数,解析法从数的角度描述函数. (3)函数的三种表示方法互相兼容或补充,许多函数是可以用三种方法表示的,但在实际操作中,仍以解析法为主. 反 思 感 悟 11 　　　　　　已知函数f(x)＝－x－1,x∈{1,2,3,4}, 试分别用图象法和列表法表示函数y＝f(x). 跟踪训练 1 用图象法表示函数y＝f(x),如图所示. 用列表法表示函数y＝f(x),如表所示. 解 x 1 2 3 4 y －2 －3 －4 －5 12 二 函数的图象 用图象法表示函数，便于直观地研究函数的性质.在实际作图时，经常采用下述方法作出函数图象.具体步骤如下： (1) 　　　：先找出一些有代表性的自变量值x,并计算出与这些自变量相对应的函数值f(x),用　　　的形式表示出来. (2) 　　　：从表中得到一系列的点(x,f(x)),在坐标平面上描出这些点. (3) 　　　：用光滑曲线把这些点按自变量由小到大的顺序连接起来. 需注意的是，要使作出的图象更精确，常常需要描出大量的点. 列表 表格 描点 连线 　　　作出下列函数的图象,并求出函数的值域： (1)y＝2x＋1,x∈[0,2]； 例 2 当x∈[0,2]时,图象是一次函数y＝2x＋1图象的一部分,如图①所示,函数的值域为[1,5]. 解 15 (2)y＝x∈[2,＋∞)； 当x∈[2,＋∞)时,图象是反比例函数y＝图象的一部分,如图②所示,函数的值域为(0,1]. 解 16 (3)y＝x2＋2x,x∈[－2,2]； 当x∈[－2,2]时,图象是抛物线y＝x2＋2x图象的一部分,如图③所示,函数的值域为[－1,8]. 解 17 (4)y＝(x－2)2. 方法一　利用描点法作出函数图象,图象是抛物线,如图④所示,函数的值域为[0,＋∞). 方法二　图象变换法：先作出函数y＝x2的图象,然后把它向右平移2个单位长度,就得到函数y＝(x－2)2的图象,如图⑤所示,函数的值域为[0,＋∞). 解 ④　　　 　　　⑤ 18 作函数y＝f(x)图象的方法 (1)若y＝f(x)是已学过的函数,则描出图象上的几个关键点,直接画出图象即可,有些可能需要根据定义域进行取舍. (2)若y＝f(x)不是所学过的函数之一,则要按：①列表；②描点；③连线三个基本步骤作出y＝f(x)的图象. 反 思 感 悟 19 　　　　　　作出下列函数的图象： (1)y＝1－x(x∈Z)； 跟踪训练 2 因为x∈Z,所以图象为直线y＝1－x上的孤立点,其图象如图①所示. 解 20 (2)y＝x2－4x＋3,x∈[1,3]. y＝x2－4x＋3＝(x－2)2－1, 当x＝1或x＝3时,y＝0； 当x＝2时,y＝－1,其图象如图②所示. 解 21 求函数的解析式 三 　　　 (1)已知f(＋1)＝x＋2求f(x)； 例 3 23 方法一　(换元法)：令t＝＋1, 则x＝(t－1)2,t≥1, 所以f(t)＝(t－1)2＋2(t－1)＝t2－1(t≥1), 所以f(x)的解析式为f(x)＝x2－1(x≥1). 方法二　(配凑法)：f(＋1)＝x＋2 ＝x＋2＋1－1＝(＋1)2－1. 因为＋1≥1, 所以f(x)的解析式为f(x)＝x2－1(x≥1). 解 24 (2)已知f(x)为二次函数,且f(x＋1)＋f(x－1)＝2x2－4x,求f(x)； 设f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0), 则f(x＋1)＋f(x－1) ＝a(x＋1)2＋b(x＋1)＋c＋a(x－1)2＋b(x－1)＋c ＝2ax2＋2bx＋2a＋2c＝2x2－4x, 所以所以 所以f(x)＝x2－2x－1. 解 25 (3)已知函数f(x)对于任意的x都有2f ＋f(x)＝x(x≠0),求f(x). f(x)＋2f ＝x, 令x＝得f ＋2f(x)＝ 于是得关于f(x)与f 的方程组 解得f(x)＝(x≠0). 解 26 求函数解析式的四种常用方法 (1)换元法：设t＝g(x),解出x,代入f(g(x)),求f(t)的解析式即可. (2)配凑法：对f(g(x))的解析式进行配凑变形,使它能用g(x)表示出来,再用x代替两边所有的“g(x)”即可. (3)待定系数法：若已知f(x)的解析式的类型,设出它的一般形式,根据特殊值确定相关的系数即可. (4)方程思想：已知关于f(x)与f 或f(－x)等的表达式,可根据已知条件再构造出另外一个方程组成方程组,通过解方程组求出f(x). 提醒：应用换元法求函数解析式时,务必保证函数在换元前后的等价性. 反 思 感 悟 27 (1)已知f(x＋1)＝x2－3x＋2,求f(x)； 跟踪训练 3 方法一　(配凑法)： ∵f(x＋1)＝x2－3x＋2 ＝(x＋1)2－5x＋1＝(x＋1)2－5(x＋1)＋6, ∴f(x)＝x2－5x＋6. 方法二　(换元法)：令t＝x＋1,则x＝t－1, ∴f(t)＝(t－1)2－3(t－1)＋2＝t2－5t＋6, 即f(x)＝x2－5x＋6. 解 28 (2)已知函数f(x)是一次函数,若f(f(x))＝4x＋8,求f(x). 设f(x)＝ax＋b(a≠0), 则f(f(x))＝f(ax＋b)＝a(ax＋b)＋b ＝a2x＋ab＋b. 又f(f(x))＝4x＋8, ∴a2x＋ab＋b＝4x＋8, 即解得或 ∴f(x)＝2x＋或f(x)＝－2x－8. 解 29 1.知识清单： (1)函数的表示方法. (2)函数的图象. (3)求函数的解析式. 2.方法归纳：待定系数法、换元法、配凑法、消元法、方程组法、分类讨论、数形结合法. 3.常见误区：求函数解析式时易忽视定义域. 课堂小结 课时对点练 四 对一对 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 题号 1 2 3 4 5 6 7 答案 D C A D D BD [1,2)∪(4,5] 题号 8 11 12 13 14 15 答案 －1 A BD AB S＝h(l－h) f(x)＝x2＋x＋1 9. 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 (1)反比例函数y＝的图象如图1所示,定义域为(－∞,0)∪(0,＋∞),值域为(－∞,0)∪(0,＋∞). 图1 9. 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 (2)一次函数y＝－4x＋5的图象如图2所示,定义域为R,值域为R. 图2 9. 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 (3)二次函数y＝x2－6x＋7的图象如图3所示,定义域为R,值域为[－2,＋∞). 图3 10. 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 (1)f ＝x2＋＋2, 令t＝x－则f(t)＝t2＋2,∴f(x)＝x2＋2. (2)在f(x)－2f(－x)＝1＋2x中, 以－x代替x可得f(－x)－2f(x)＝1－2x, 联立得 消去f(－x)可得f(x)＝x－1. 16. 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 由f(3)＝3,得b＝－3a－9. 由f(x)≥x恒成立可知,x2＋ax＋b≥0恒成立, 所以a2－4b≤0, 所以a2＋12a＋36＝(a＋6)2≤0, 所以a＝－6,b＝9.所以f(x)＝x2－5x＋9. 基础巩固 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1.购买某种饮料x听,所需钱数为y元.若每听2元,用解析法将y表示成x(x∈{1,2,3,4})的函数为 A.y＝2x B.y＝2x(x∈R) C.y＝2x(x∈{1,2,3,…}) D.y＝2x(x∈{1,2,3,4}) √ 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 2.函数y＝－的图象的大致形状是 √ x －2 －1 0 1 2 f(x) 2 1 0 －1 －2 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 3.已知函数f(x)如表所示： 则不等式f(f(x))≥0的解集为 A.{1,2,0} B.{－1,－2,0} C.{1,2} D.{－1,－2} √ 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 由f(f(x))≥0,得f(x)＝0或f(x)＝－1或f(x)＝－2,当f(x)＝0时,x＝0, 当f(x)＝－1时,x＝1, 当f(x)＝－2时,x＝2, 综上所述,不等式f(f(x))≥0的解集为{1,2,0}. 解析 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 4.已知函数f(x)是一次函数,且f(f(x)－4x)＝5恒成立,则f(2)等于 A.1　 　B.3 　　C.7 　　　D.9 √ 因为函数f(x)是一次函数,且f(f(x)－4x)＝5恒成立, 令f(x)－4x＝t,则f(x)＝4x＋t, 所以f(t)＝4t＋t＝5,解得t＝1, 所以f(x)＝4x＋1,f(2)＝4×2＋1＝9. 解析 5.李明在放学回家的路上,开始时和同学边走边讨论问题,走得比较慢,后来他们索性停下来将问题彻底解决,再后来他加快速度回到了家.下列图象中与这一过程吻合得最好的是 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 √ 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 由题意可知,李明离家的距离随时间的变化先是变小,且变化得比较慢,后来保持不变,再后来继续变小,且变化得比较快,直至为0,只有D选项符合题意. 解析 6.(多选)已知f(2x－1)＝4x2,则下列结论中正确的是 A.f(3)＝9 B.f(－3)＝4 C.f(x)＝x2 D.f(x)＝(x＋1)2 √ 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 √ f(2x－1)＝4x2＝(2x－1)2＋2(2x－1)＋1,故f(x)＝x2＋2x＋1＝(x＋1)2,故选项C错误,选项D正确； f(3)＝16,f(－3)＝4,故选项A错误,选项B正确. 解析 7.函数y＝f(x)的图象如图所示,那么其中只有唯一的x值与之对应的y值的范围是　　 　　.  答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 由题中图形可得, 只有唯一的x值与之对应的y值的范围是[1,2)∪(4,5]. 解析 [1,2)∪(4,5] 8.设b>0,二次函数y＝ax2＋bx＋a2－1的图象为下列图象之一,则a的值为 　 　.  答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 －1 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 若a>0,即图象开口向上,故排除第1个和第3个图象,∵b>0,∴对称轴x＝ －<0,故排除第2个和第4个图象；若a<0,即图象开口向下,∵b>0,∴对称轴x＝－>0,故函数图象为第3个图.由图象知函数过点(0,0),∴a2－1＝0, ∴a＝－1(舍去a＝1). 解析 9.画出下列函数的图象,并求出函数的定义域和值域： (1)y＝； 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 反比例函数y＝的图象如图1所示,定义域为(－∞,0)∪(0,＋∞),值域为(－∞,0)∪(0,＋∞). 解 图1 (2)y＝－4x＋5； 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 一次函数y＝－4x＋5的图象如图2所示,定义域为R,值域为R. 解 图2 (3)y＝x2－6x＋7. 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 二次函数y＝x2－6x＋7的图象如图3所示,定义域为R,值域为[－2,＋∞). 解 图3 10.(1)已知f ＝x2＋求f(x)； 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 f ＝x2＋＋2, 令t＝x－则f(t)＝t2＋2,∴f(x)＝x2＋2. 解 (2)已知函数f(x)对于任意的x都有f(x)－2f(－x)＝1＋2x,求f(x). 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 在f(x)－2f(－x)＝1＋2x中, 以－x代替x可得f(－x)－2f(x)＝1－2x, 联立得 消去f(－x)可得f(x)＝x－1. 解 11.如图所示的四个容器高度都相同.将水从容器顶部一个孔中以相同的速度注入其中,注满为止.用下面对应的图象显示该容器中水面的高度h和时间t之间的关系,其中不正确的为 综合运用 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 √ 对于A,水面的高度h的增加是均匀的,为一条直线,因此不正确,其他均正确. 解析 12.(多选)设f(x)＝则下列结论正确的有 A.f(－x)＝－f(x) B.f ＝－f(x) C.f ＝f(x) D.f(－x)＝f(x) √ 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 √ 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 因为f(x)＝所以f(－x)＝＝f(x),故A错误,D正确； f ＝－f(x),f ＝－f(x),故B正确, C错误. 解析 13.(多选)已知f(x)＝－x2＋2x＋3,则下列说法正确的是 A.f(0)<f(1) B.当x1<x2<1时,f(x1)<f(x2) C.f(x)的值域为[4,＋∞) D.将f(x)关于原点作中心对称变换后得到y＝x2－2x－3 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 √ √ 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 画出f(x)的图象如图所示, 由图可知,A,B正确,C错误； 将f(x)关于原点作中心对称变换, 得y＝－[－(－x)2＋2(－x)＋3]＝x2＋2x－3,故D错误. 解析 14.如图,在等腰梯形ABCD中,AD∥BC,且AD>BC.已知AB＋BC＋CD为定值l,腰CD与直线BC的夹角为60°,设等腰梯形的面积为S,高为h,则S关于h的函 数解析式为　　 　　　　 .  答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 S＝h(l－h) 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 如图,过点C作AD的垂线,交AD于点E,则∠EDC＝60°, 在△CDE中,ED＝CD,CE＝h＝CD,则CD＝AB＝h, 而AB＋BC＋CD＝l,于是BC＝l－h,AD＝BC＋2ED＝l－h, 则得0<h<l, 所以S＝＝h(l－h). 解析 15.已知函数f(x)满足f(0)＝1,对任意实数x,y有f(x－y)＝f(x)－y(2x－y＋1),则函数f(x)的解析式为　　　　 　　.  拓广探究 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 f(x)＝x2＋x＋1 令x＝y得f(0)＝f(x)－x(2x－x＋1), 则f(x)＝x2＋x＋1. 解析 16.已知函数f(x)＝x2＋(a＋1)x＋b满足f(3)＝3,且f(x)≥x恒成立,求f(x)的解析式. 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 由f(3)＝3,得b＝－3a－9. 由f(x)≥x恒成立可知,x2＋ax＋b≥0恒成立, 所以a2－4b≤0, 所以a2＋12a＋36＝(a＋6)2≤0, 所以a＝－6,b＝9.所以f(x)＝x2－5x＋9. 解 第3章　 §3.1　函数 <<< $