3.1.3 简单的分段函数-【名师导航】2025-2026学年高中数学必修第一册教师用书配套课件（湘教版）

该高中数学课件聚焦“简单的分段函数”，系统讲解概念、求值、作图及实际应用。通过“取整函数表格填写”情境导入，承接函数概念，搭建从具体到抽象的学习支架，为后续应用铺垫。 亮点在于融合数学建模与数学运算素养，如电费计费、梯形面积等实际问题培养建模能力，多层级求值题提升运算能力。采用情境导学、合作探究、课堂评估模式，学生在解决问题中深化理解，教师可依托系统案例与训练提升教学效率。

第3章　函数的概念与性质 3.1　函数 3.1.3　简单的分段函数 学习任务 核心素养 1．了解分段函数的概念，会求分段函数的函数值，能画出分段函数的图象．(重点、难点) 2．能在实际问题中列出分段函数，并能解决有关问题．(重点、难点) 1．通过分段函数求值问题培养数学运算素养． 2．利用分段函数解决实际问题，培养数学建模素养． 3.1.3　简单的分段函数 设x为任意实数，y是不超过x的最大整数，填写下表． 必备知识·情境导学探新知 x 6.35 5 π － －1.5 －2 y 6           (1)y是关于x的函数吗？ (2)当－1≤x≤1时，y与x的关系如何表示？ 3.1.3　简单的分段函数 知识点　分段函数 一般地，如果自变量在定义域的不同取值范围内时，函数由______的解析式给出，这种函数叫作分段函数． 不同 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 3.1.3　简单的分段函数 思考　分段函数是一个函数还是几个函数？ [提示]　分段函数是一个函数，而不是几个函数． 提醒　分段函数是一个函数，其定义域、值域分别是各段函数的定义域、值域的并集；各段函数的定义域的交集是空集． 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 3.1.3　简单的分段函数 体验　1．思考辨析(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)分段函数由几个函数构成． (　　) (2)函数f (x)＝是分段函数． (　　) × √ 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 3.1.3　简单的分段函数 体验　2．下列给出的式子是分段函数的是(　　) ①f (x)＝②f (x)＝ ③f (x)＝④f (x)＝ A．①②　　　　 B．①④ C．②④ D．③④ √ 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 3.1.3　简单的分段函数 B　[结合分段函数的定义可知①④是分段函数，②③中不同对应关系的定义域有重叠部分，故选B．] 关键能力·合作探究释疑难 类型1　分段函数的求值问题 【例1】　已知函数f (x)＝ (1)求f (－5)，f (－)，f 的值； (2)若f (a)＝3，求实数a的值． 3.1.3　简单的分段函数 [解]　(1)由－5∈(－∞，－2]，－∈(－2，2)，－∈(－∞，－2]，知f (－5)＝－5＋1＝－4， f (－)＝(－)2＋2×(－)＝3－2． ∵f ＝－＋1＝－， 而－2<－<2， ∴f ＝f ＝＋2×＝－3＝－． (2)当a≤－2时，a＋1＝3， 即a＝2>－2，不合题意，舍去． 当－2<a<2时，a2＋2a＝3， 即a2＋2a－3＝0． ∴(a－1)(a＋3)＝0， 解得a＝1或a＝－3． ∵1∈(－2，2)，－3∉(－2，2)， ∴a＝1符合题意． 当a≥2时，2a－1＝3，即a＝2符合题意． 综上可得，当f (a)＝3时，a＝1或a＝2． 反思领悟　1．分段函数求函数值的方法 (1)确定要求值的自变量属于哪一区间段． (2)代入该段的解析式求值，直到求出值为止．当出现f (f (x0))的形式时，应从内到外依次求值． 2．已知函数值求字母取值的步骤 (1)先对字母的取值范围分类讨论． (2)然后代入不同的解析式中． (3)通过解方程求出字母的值． (4)检验所求的值是否在所讨论的区间内． 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 3.1.3　简单的分段函数 [跟进训练] 1．已知a∈R，函数f (x)＝若f (f ())＝3，则a＝________． 2　[因为>2，所以f ()＝6－4＝2， 所以f (f ())＝f (2)＝1＋a＝3，解得a＝2．] 2 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 3.1.3　简单的分段函数 类型2　分段函数的图象及应用 【例2】　已知函数f (x)＝－x2＋2，g(x)＝x，令φ(x)＝min{f (x)，g(x)}(即f (x)和g(x)中的较小者)． (1)分别用图象法和解析式表示φ(x)； (2)求函数φ(x)的定义域、值域． 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 3.1.3　简单的分段函数 [解]　(1)在同一个坐标系中画出函数f (x)，g(x)的图象如图①． ①　　　　　　　　 由图①中函数取值的情况，结合函数φ(x)的定义，可得函数φ(x)的图象如图②． 令－x2＋2＝x，得x＝－2或x＝1． 结合图②，得出φ(x)的解析式为φ(x)＝ (2)由图②知，φ(x)的定义域为R，φ(1)＝1， ∴φ(x)的值域为(－∞，1]． ② 反思领悟　分段函数图象的画法 (1)对含有绝对值的函数，要作出其图象，首先应根据绝对值的意义去掉绝对值符号，将函数转化为分段函数，然后分段作出函数图象． (2)作分段函数的图象时，分别作出各段的图象，在作每一段图象时，先不管定义域的限制，作出其图象，再保留定义域内的一段图象即可，作图时要特别注意接点处点的虚实，保证不重不漏． 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 3.1.3　简单的分段函数 [跟进训练] 2．已知函数f (x)＝1＋(－2<x≤2)． (1)用分段函数的形式表示f (x)； (2)画出f (x)的图象； (3)写出函数f (x)的值域． 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 3.1.3　简单的分段函数 [解]　(1)当0≤x≤2时，f (x)＝1＋＝1， 当－2<x<0时， f (x)＝1＋＝1－x， ∴f (x)＝ (2)函数f (x)的图象如图所示． (3)由(2)知，f (x)在(－2，2]上的值域为[1，3)． 类型3　分段函数的实际应用 【例3】　【链接教材P74例6】如图所示，已知底角为45°的等腰梯形ABCD，底边BC长为7 cm，腰长为2 cm，当垂直于底边BC(垂足为F)的直线l从左至右移动(与梯形ABCD有公共点)时，直线l把梯形分成两部分，令BF＝x，试写出左边部分的面积y关于x的函数解析式，并画出大致图象． 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 3.1.3　简单的分段函数 当直线l从B点向右移动时左边部分分别是什么图形，相应图形的面积能否直接套用公式求解． 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 3.1.3　简单的分段函数 [解]　过点A，D分别作AG⊥BC，DH⊥BC，垂足分别是G，H． 因为四边形ABCD是等腰梯形，底角为45°，AB＝2 cm， 所以BG＝AG＝DH＝HC＝2 cm， 又BC＝7 cm，所以AD＝GH＝3 cm． (1)当点F在BG上，即x∈[0，2]时，y＝x2； (2)当点F在GH上，即x∈(2，5]时，y＝×2＝2x－2； (3)当点F在HC上，即x∈(5，7]时，y＝S五边形ABFED＝S梯形ABCD－SRt△CEF＝(7＋3)×2－(7－x)2＝－(x－7)2＋10． 综合(1)(2)(3)，得函数的解析式为 y＝ 图象如图所示． 【教材原题·P74例6】 例6　为推进生态优先、节约集约、绿色低碳发展，推动形成绿色低碳的生产方式和生活方式，某地采用分段计费的方法计算用户的电费：每月用电量不超过100 kW·h，按0.57元/(kW·h)计费；每月用电量超过100 kW·h，其中100 kW·h仍按原标准收费，超过部分按1.5元/(kW·h)计费． (1)设月用电x kW·h，应交电费y元，写出y关于x的函数解析式． 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 3.1.3　简单的分段函数 (2)小赵家第一季度缴纳的电费情况如下表： 月份 1 2 3 合计 计费金额/元 114 75 45.6 234.6 问：小赵家第一季度共用电多少？ 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 3.1.3　简单的分段函数 [解]　(1)当0≤x≤100时，月电费＝月用电量×标准电价，可得y＝0.57x； 当x>100时，月电费＝100 kW·h的电费＋超过100 kW·h部分的电费，可得y＝0.57×100＋1.5×(x－100)＝1.5x－93． 所以y＝ (2)由(1)可知，当电费不超过57元时，说明月用电量不超过100 kW·h；当电费超过57元时，说明月用电量超过100 kW·h．因此，用电量应使用函数的不同关系式来计算． 因为1月份、2月份电费超过57元，所以按第二个函数关系式计算，即1.5x－93＝114，1.5x－93＝75，分别算出1月份用电138 kW·h，2月份用电112 kW·h；而3月份电费不超过57元，按第一个函数关系式计算，有0.57x＝45.6，算出3月份用电80 kW·h． 因此，小赵家第一季度共用电330 kW·h． 反思领悟　分段函数的建模 (1)当函数在不同区间有不同的计算表达方式时，往往需要用分段函数模型来表示两变量间的对应关系，而分段函数图象也需要分段画． (2)分段函数模型应用的关键是确定分段的各分界点，即明确自变量的取值区间，对每一个区间进行分类讨论，从而写出相应的函数解析式． 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 3.1.3　简单的分段函数 [跟进训练] 3．某市“招手即停”公共汽车的票价按下列规则制定： (1)5千米以内(含5千米)，票价2元； (2)5千米以上，每增加5千米，票价增加1元(不足5千米按照5千米计算)． 如果某条线路的总里程为20千米，请根据题意，写出票价与里程之间的函数解析式，并画出函数的图象． 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 3.1.3　简单的分段函数 [解]　设票价为y元，里程为x千米，定义域为(0，20]． 由题意得函数的解析式如下： y＝ 函数图象如图所示： 1．已知函数f (x)＝则f (3)的值是(　　) A．1 B．2 C．8 D．9 学习效果·课堂评估夯基础 √ A　[f (3)＝3－2＝1．] 3.1.3　简单的分段函数 2．(教材P76练习T1改编)函数f (x)＝|x－1|的图象是(　　) B　[f (x)＝|x－1|＝故选B．] A　　　　　　 　　B　　　 　C　　　　 　　　D √ 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 3.1.3　简单的分段函数 3．一列货运火车从某站出发，匀加速行驶一段时间后开始匀速行驶，过了一段时间，火车到达下站匀减速停车，装完货以后，火车又匀加速行驶，一段时间后再次匀速行驶，下列图象可以近似地刻画出这列火车的速度变化情况的是(　　) A　　　　B　　　　 C　　　　　D √ 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 3.1.3　简单的分段函数 B　[火车从某站出发，先匀加速行驶再匀速行驶，速度从0均匀增加，然后速度不变，然后速度均匀减到0，一段时间后，重复匀加速和匀速过程．] 4．已知函数f (x)＝则f (3)＝________． 　[因为3＞0，所以f (3)＝．] 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 3.1.3　简单的分段函数 回顾本节知识，自我完成以下问题： 1．如何求分段函数的定义域和值域？ [提示]　分段函数的定义域、值域分别是各段函数的定义域、值域的并集． 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 3.1.3　简单的分段函数 2．画分段函数的图象应注意哪些问题？ [提示]　分段函数有几段，它的图象就由几条曲线组成．在同一直角坐标系中，根据分段函数每段的定义区间和表达式依次画出图象，要注意确定每段图象的端点是空心圈还是实心点，各段函数图象组合到一起就可得到整个分段函数的图象． 3．分段函数求值的关键是什么？ [提示]　分段函数求值的关键是找准自变量所在的区间． 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 3.1.3　简单的分段函数 章末综合测评(一)　动量守恒定律 题号 1 3 5 2 4 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 一、选择题 1．设函数f (x)＝则f (f (3))＝(　　) A． B．3 C． 课时分层作业(二十)　简单的分段函数 √ 38 D　[∵f (3)＝≤1， ∴f (f (3))＝＋1＝．] 题号 1 3 5 2 4 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 2．函数f (x)＝x＋的图象是(　　) C　[当x>0时，f (x)＝x＋＝x＋1， 当x<0时，f (x)＝x－1，且x≠0， 根据一次函数图象可知C正确．故选C．] A　　　　B　　　　 C　　　 　D √ 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 3.1.3　简单的分段函数 40 3．函数f (x)＝的值域是(　　) A．R B．[0，2]∪{3} C．[0，＋∞) D．[0，3] 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 √ B　[当0≤x≤1时，0≤2x≤2，即0≤f (x)≤2；当1<x<2时，f (x)＝2；当x≥2时，f (x)＝3．综上可知f (x)的值域为[0，2]∪{3}．] 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 3.1.3　简单的分段函数 41 4．已知函数f (x)＝若f (x)＝3，则x的值是(　　) A． B．9 C．－1或1 D．－或 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 √ A　[依题意，若x≤0，则x＋2＝3，解得x＝1，不合题意，舍去．若0<x≤3，则x2＝3，解得x＝－(舍去)或x＝．故选A．] 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 3.1.3　简单的分段函数 42 5．某单位为鼓励职工节约用水，作出了如下规定：每位职工每月用水量不超过10立方米的，按每立方米m元收费；用水量超过10立方米的，超过部分按每立方米2m元收费．某职工某月缴水费16m元，则该职工这个月实际用水量为(　　) A．13立方米 B．14立方米 C．18立方米 D．26立方米 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 √ 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 3.1.3　简单的分段函数 43 A　[该单位职工每月应缴水费y(元)与实际用水量x(立方米)满足的关系式为y＝由y＝16m，可知x>10．令2mx－10m＝16m，解得x＝13．] 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 44 二、填空题 6．已知f (x)＝则f ＋f ＝________． 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 4 4　[∵f ＝f ＝f ＝f ＝f ＝2×＝， f ＝2×＝，∴f ＋f ＝＝＝4．] 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 3.1.3　简单的分段函数 45 7．已知实数a≠0，函数f (x)＝若f (1－a)＝f (1＋a)，则a的值为________． 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 － －　[当a＞0时，1－a＜1，1＋a＞1，∴2(1－a)＋a＝－1－a－2a，解得a＝－(舍去)． 当a＜0时，1－a＞1，1＋a＜1，∴－1＋a－2a＝2＋2a＋a，解得a＝－．] 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 3.1.3　简单的分段函数 46 8．在平面直角坐标系xOy中，若直线y＝2a与函数y＝|x－a|－1的图象只有一个交点，则a的值为________． 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 － －　[当a≥0时，两图象有两个交点，所以a<0，当a<0时，在同一平面直角坐标系内，作出函数y＝2a与y＝|x－a|－1的大致图象，如图所示． 由题意，可知2a＝－1，则a＝－．] 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 3.1.3　简单的分段函数 47 三、解答题 9．(源自人教B版教材)北京市自2014年5月1日起，居民用水实行阶梯水价．其中年用水量不超过180 m3的部分，综合用水单价为5元/m3；超过180 m3但不超过260 m3的部分，综合用水单价为7元/m3．如果北京市一居民年用水量为x m3，其要缴纳的水费为f (x)元．假设0≤x≤260，试写出f (x)的解析式，并作出f (x)的图象． 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 3.1.3　简单的分段函数 48 [解]　如果x∈[0，180]，则f (x)＝5x； 如果x∈(180，260]，按照题意有 f (x)＝5×180＋7(x－180)＝7x－360． 因此f (x)＝ 注意到f (x)在不同的区间上，解析式都是一次函数的形式，因此y＝f (x)在每个区间上的图象都是直线的一部分，又因为 f (180)＝5×180＝900， f (260)＝7×260－360＝1 460， 由此可作出函数的图象，如图所示． 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 49 10．如图，动点P从边长为4的正方形ABCD的顶点B开始，顺次经C，D，A绕周界运动，用x表示点P的行程，y表示△APB的面积，求函数y＝f (x)的解析式． 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 3.1.3　简单的分段函数 50 [解]　当点P在BC上运动，即0≤x≤4时，y＝×4×x＝2x； 当点P在CD上运动，即4<x≤8时，y＝×4×4＝8； 当点P在DA上运动，即8<x≤12时，y＝×4×(12－x)＝24－2x． 综上可知，f (x)＝ 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 51 11．著名的Dirichlet函数D(x)＝则D(D(x))等于(　　) A．0 B．1 C． 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 √ 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 3.1.3　简单的分段函数 52 B　[当x为无理数时，D(x)＝0，∴D(D(x))＝D(0)＝1； 当x为有理数时，D(x)＝1，∴D(D(x))＝D(1)＝1． 综上可知B正确．] 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 53 12．(多选题)已知函数f (x)＝关于函数f (x)的结论正确的是(　　) A．f (x)的值域为(－∞，4) B．f (1)＝3 C．若f (x)＝3，则x的值是 D．f (x)<1的解集为(－1，1) 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 √ √ 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 3.1.3　简单的分段函数 54 AC　[当x≤－1时，f (x)的取值范围是(－∞，1]，当－1<x<2时， f (x)的取值范围是[0，4)，因此f (x)的值域为(－∞，4)，故A正确；当x＝1时，f (1)＝12＝1，故B错误；当x≤－1时，由x＋2＝3，解得x＝1(舍去)，当－1<x<2时，由x2＝3，解得x＝或x＝－(舍去)，故C正确；当x≤－1时，由x＋2<1，解得x<－1，当－1<x<2时，由x2<1，解得－1<x<1，因此f (x)<1的解集为(－∞，－1)∪(－1，1)，故D错误．故选AC．] 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 55 13．定义符号函数sgn (x)＝则不等式x＋2＞(2x－1)sgn (x)的解集为________________________． 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 　[当x＞0时，原不等式化为x＋2＞2x－1，解得0＜x＜3； 当x＝0时，原不等式化为x＋2＞1，此时解得x＝0； 当x＜0时，2x－1＜0，原不等式化为x＋2＞， 即(x＋2)(2x－1)＜1，此时解得－＜x＜0． 综上可得，原不等式的解集为．] 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 3.1.3　简单的分段函数 56 f (x)＝(－∞，1]　[由题意可知， f (x)＝ 画出函数f (x)的图象得值域为(－∞，1]．] 14．若定义运算a⊙b＝则函数f (x)＝x⊙(2－x)的解析式为___________________，值域为______________． 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 f (x)＝ (－∞，1] 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 3.1.3　简单的分段函数 57 15．已知函数f (x)＝|x＋1|＋|x－2|，g(x)＝|x－3|． (1)在同一平面直角坐标系中作出f (x)，g(x)的图象； (2)∀x∈R，用min(x)表示f (x)，g(x)中的较小者，记作min(x)＝ {f (x)，g(x)}，请用图象法和解析法表示min(x)； (3)求满足f (x)>g(x)的x的取值范围． 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 3.1.3　简单的分段函数 58 [解]　(1)f (x)＝g(x)＝ 则对应的图象如图： 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 59 (2)min(x)图象如图： 解析式为min(x)＝ (3)若f (x)>g(x)， 则由图象知在A点左侧，B点右侧满足条件． 此时对应的x满足x>0或x<－2，即不等式f (x)>g(x)的解集为(－∞，－2) ∪(0，＋∞)． 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 60 $