第一章 勾股定理 回顾与思考 课件 2026-2027学年北师大版八年级数学上册

该初中数学单元复习课件系统梳理了勾股定理的核心内容，包括定理探索与证明、逆定理及应用，通过知识框架将定理内容、多种证明方法（赵爽弦图等）、平面与立体图形应用等串联，构建完整知识网络。 其亮点在于融合多种证明方法培养几何直观，高频考点分类讨论（如直角边斜边分类）发展推理能力，课堂练习分层设计（基础题到拓展题），助力学生巩固知识，教师可精准教学提升复习效率。

北师版八年级上册 回顾与思考 第一章 勾股定理 复习回顾 勾股 定理 探索勾股定理 拼图验证法 直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方 如果用a，b分别表示直角三角形的两直角边，用c表示斜边，那么a2+b2=c2。 勾股定理的内容 直角三角形的判别条件 勾股定理的应用 判断直角三角形看三边长是否满足a2+b2=c2（c为最大边长） 勾股数：满足a2+b2=c2 在直角三角形中，已知两边长高求第三边长 求立体图形表面上两点间的最短距离 如果直角三角形的两条直角边长分别为a，b，斜边长为c，那么a2＋b2=c2。 A C B b a c 即直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方。 几何语言： 在Rt△ABC中，∠C = 90°， a2+b2=c2。 1.勾股定理 勾股定理的证明 （1）赵爽弦图 S大正方形=c2 =(b-a)2+4× ab 化简结果，得c2=a2+b2。 数学思想： 数形结合思想 特殊到一般的思想 转化思想 分类讨论思想 （2）毕达哥拉斯：利用拼接图形的面积法 重新组合 S左=a2+b2+4× ab S右=c2+4× ab 因为S左=S右 所以a2+b2=c2 （3）加菲尔德：梯形面积法 题设：Rt△ABC≌Rt△CDE 易证：△ACE为直角三角形，四边形ABDE为梯形 S梯形ABDE=S△ABC+S△CDE+S△ACE 即 (a+b)(a+b)= ×2×ab+ c2 化简得：a2+b2=c2 （4）达芬奇证明方法： 2.一定是直角三角形吗 （1）勾股定理的证明 如果直角三角形的三边长 a，b，c 满足a2＋b2=c2，那么这个三角形是_____________。 直角三角形 （2）勾股数 满足a2＋b2=c2 的三个________，称为勾股数。 正整数 3.勾股定理的应用 （1）求直角三角形的边长 已知两条边的长，可以根据勾股定理求出第三边的长。 （2）判断三角形的形状 若 a2 + b2 = ______（c 为最长边），则三角形为直角三角形。 c2 思考：如何判定一个三角形是直角三角形呢？ 1.有一个内角为直角的三角形是直角三角形。 2.两个内角互余的三角形是直角三角形。 3.如果三角形的三边长a，b，c满足a2+b2=c2，那么这个三角形是直角三角形。 A C B b a c 勾股定理的逆定理 几何语言：因为a2+b2=c2， 所以△ABC是直角三角形。 4.问题解决策略：反思 立体图形中两点之间最短路程问题 ①求圆柱中两点之间的最短路程 ②求台阶中两点之间的最短路程 ③求棱柱中两点之间的最短路程 高频考点一 勾股定理及其应用 （1）在△ABC 中，∠ACB = 90°，AB = 5，BC = 3，CD⊥AB 于点 D，则 CD = _______。 解析：由勾股定理，得 AC2 = AB2 - BC2 = 52-32 = 16， 所以 AC = 4。 因为 S△ABC = AC·BC = AB·CD， 1 2 1 2 所以 CD = = 。 12 5 AC·BC AB 12 5 （2）若有理数 m，n 满足 |m－3| ＋(n－4)2 ＝ 0，且 m，n 恰好是直角三角形的两边长，则该直角三角形的斜边长为___________。 解析：因为 |m－3| ＋(n－4)2 ＝0，所以 m ＝3，n ＝ 4。 分两种情况讨论：①当 m，n 都是直角边长时，易求得直角三角形的斜边长为 5； ②当 n 是斜边长时，斜边长为 4。 5 或 4 （3）在 Rt△ABC 中，∠ACB = 90°，BC，AC，AB 的长分别为 a，b，c，若 a + b = 14，c = 10，则 △ABC 的面积为________。 解析：由勾股定理，得 a2 ＋b2 ＝ c2 ＝100。 因为 a＋b ＝ 14，所以 (a＋b)2 ＝ 196， 即 a2＋b2 ＋2ab ＝196，所以 100＋2ab ＝196， 所以 ab ＝48，所以 S△ABC = ab = ×48 = 24 。 1 2 1 2 24 高频考点二 勾股定理的逆定理及其应用 如图，A，B，C，D 四点都在由边长为 1 的小正方形组成的网格的格点上. （1）你能判断 AD 与 CD 的位置关系吗？请说明理由。 （2）AD 与 BC 平行吗？请说明理由。 解：如图，连接 AC，BD. 根据网格可知： AD2 = 22 + 12 = 5，CD2 = 42 + 22 =20， AC2 = 52 = 25，BC2 = 32 + 22 = 13， BD2 = 22 + 52 =29。 （1）AD⊥CD. 理由如下： 因为 AD2 + CD2 = 5 + 20 = 25 = AC2， 所以△ACD 是直角三角形，∠ADC = 90°， 所以 AD⊥CD。 （1）你能判断 AD 与 CD 的位置关系吗？请说明理由. （2）AD 与 BC 平行吗？请说明理由. （2）AD 与 BC 不平行。理由如下： 因为 CD2 + BC2 = 20 + 13 = 33 ≠ BD2， 所以∠BCD ≠ 90°。 由（1）知∠ADC = 90°， 所以∠ADC + ∠BCD ≠ 180°， 所以 AD 与 BC 不平行。 高频考点三 利用勾股定理及其逆定理解决实际问题 如图，AB 为一棵大树，在树上距地面 10 m 的 D 处有两只猴子，它们同时发现 C 处有一筐水果，一只猴子从 D 处往上爬到树顶 A 处，又沿滑绳 AC 到达 C 处，另一只猴子从 D 处下滑到 B 处，再由 B 处跑到 C 处.已知两只猴子所经过的路程都为 15 m，求树高 AB。 解：设 AD = x m，则 AC = (15-x) m， AB = (x+10) m，BC = 15-BD = 5 m。 在 Rt△ABC 中，由勾股定理，得 AB2 + BC2 = AC2， 即 (x+10)2 + 52 = (15-x)2， 解得 x = 2，所以 AB = 12 m。 答：树高 AB 为 12 m。 如图 ① 是一底面周长为 24 m，高为 6 m 的圆柱形油罐，一只老鼠欲从距地面 1 m 的 A 处沿侧面爬行到对角 B 处吃食物，请算出老鼠爬行的最短路程。 高频考点四 利用勾股定理解决立体图形中的问题 分析：画出圆柱的部分展开图，将所求问题转化为平面内的距离问题求解即可。 解：如图②，将圆柱侧面沿 AC 和 BD 剪开， 将曲面平铺在平面上，过点 A 作 AE⊥BD 于点 E， 连接 AB。 因为油罐的底面周长为 24 m，高为 6 m， 所以 AE ＝ ×24＝12 (m)，BE＝6－1＝5 (m)。 在 Rt△ABE 中，由勾股定理，得 AB2 ＝AE2＋BE2 ＝122 ＋52 ＝169， 所以 AB ＝ 13 m。 所以老鼠爬行的最短路程为 13 m。 1. 我国是最早了解勾股定理的国家之一，它被记载于我国古 代著名的数学著作《周髀算经》中，下列各组数中，是勾股数 的是(　B　) A. 2，3，4 B. 3，4，5 C. 4，5，6 D. 5，6，7 B 课堂练习 A层 基础练 2. (教材P14习题T1•改编)如图，在Rt△ABC中，∠C＝ 90°，AC＝6 cm，BC＝8 cm，四边形ABEF是长方形，BE ＝2 cm，则图中阴影部分的面积为(　C　) A. 12 m2 B. 16 cm2 C. 20 cm2 D. 24 cm2 C A层 基础练 3. 已知｜x－12｜＋(y－5)2＝0，如果以x，y的长为直角边作 一个直角三角形，那么这个直角三角形的斜边长为(　D　) A. 2.5 B. 5 C. 7 D. 13 D A层 基础练 4. 如图是古代工匠们使用的名为“矩尺”的测量工具，这种 工具的形状类似于一个直角三角形。若“矩尺”的一条较短的 直角边长为5尺，斜边比较长的直角边多1尺，则“矩尺”的较 长的直角边长为(　A　) A. 12尺 B. 13尺 C. 24尺 D. 26尺 A A层 基础练 5. 如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，正方形ACDE， BCFG的面积分别为36，64，则AB的长为 ⁠。 10　 A层 基础练 6. 上有天堂，下有苏杭，中间还有个周庄。周庄是一座江南小镇，有“中国 第一水乡”之美誉。其平面图如图1所示，小明据此构造出该庄的一个数学 模型如图2所示，其中∠B＝90°，AB＝15 km，BC＝20 km，CD＝7 km， AD＝24 km，求该庄的面积。 解：在Rt△ABC中，∠B＝90°，AB＝15 km，BC＝20 km， 由勾股定理，得AC2＝AB2＋BC2＝152＋202＝625。 因为CD＝7 km，AD＝24 km， 所以AD2＋CD2＝242＋72＝625。 所以AD2＋CD2＝AC2。 所以△ADC是直角三角形，∠D＝90°。 所以S四边形ABCD＝S△ABC＋S△ADC ＝ AB•BC＋ AD•CD＝ ×15×20＋ ×24×7＝234(km2)。 答：该庄的面积为234 km2。 A层 基础练 7. 如图，在边长为1的正方形网格中，△ABC的顶点都在格点 上，下列结论不正确的是(　C　) A. BC＝5 B. ∠A＝90° C. △ABC的面积为4 D. 点A到BC的距离为2 C B层 提升练 8. 如图，在Rt△ABC中，∠A＝90°，BC＝2，则AC2＋AB2 ＋BC2的值为 ⁠。 8　 B层 提升练 9. 如图，在△ABC中，BC的垂直平分线PQ分别交AB，BC 于P，Q两点。若PB2－PA2＝AC2，AB＝8，AC＝6，则PA 的长为 ⁠。 　 B层 提升练 10. 如图，分别以直角三角形三边(三边长分别为a，b，c)为直径作半 圆，设图中两个“月形”图案(阴影部分)的面积分别为S1，S2，直角三 角形的面积为S3。 (1)请判断S1，S2，S3的关系，并说明理由； 解：(1)S1＋S2＝S3。理由如下： 因为S1＋S2＝ π2＋ π2＋S3－ π2＝ π(a2＋b2－c2) ＋S3，a2＋b2＝c2， 所以S1＋S2＝S3。 解：(1)S1＋S2＝S3。理由如下： 因为S1＋S2＝ π2＋ π2＋S3－ π2＝ π(a2＋b2－c2)＋S3， a2＋b2＝c2， 所以S1＋S2＝S3。 (2)若a＝3，b＝4，求阴影部分的面积。 解：(2)由(1)可知，S阴影＝S3＝ ab＝ ×3×4＝6。 (2)由(1)可知，S阴影＝S3＝ ab＝ ×3×4＝6。 B层 提升练 11. 如图，在一条东西走向河流的一侧有一村庄C，河边原有两个取水点A，B，道路AC因为施工需要封闭，该村为方便村民取水，决定在河边新建一个取水点H(A，H，B在同一条直线上)，并新修一条道路CH，已知CB＝1.3 km，CH＝1.2 km，HB＝0.5 km。 (1)CH是否为村庄C到河边最近的道路？请通过计算加以说明； 解：(1)因为CH2＋HB2＝1.22＋0.52＝1.69，CB2＝1.32＝1.69， 所以CH2＋HB2＝CB2。 所以△CHB是直角三角形，∠CHB＝90°。 所以CH⊥AB。 根据“垂线段最短”可知CH是村庄C到河边最近的道路。 C层 拓展练 11. 如图，在一条东西走向河流的一侧有一村庄C，河边原有两个 取水点A，B，道路AC因为施工需要封闭，该村为方便村民取 水，决定在河边新建一个取水点H(A，H，B在同一条直线上)， 并新修一条道路CH，已知CB＝1.3 km，CH＝1.2 km，HB＝ 0.5 km。 (2)已知新的取水点H与原取水点A相距0.9 km，求新路CH比原路 CA少多少千米。 (2)因为CH⊥AB，所以∠CHA＝90°。 在Rt△AHC中，由勾股定理，得CA2＝AH2＋CH2＝0.92＋1.22＝ 2.25。 所以CA＝1.5 km。 所以CA－CH＝1.5－1.2＝0.3(km)。 所以新路CH比原路CA少0.3 km。 (2)因为CH⊥AB，所以∠CHA＝90°。 在Rt△AHC中，由勾股定理， 得CA2＝AH2＋CH2＝0.92＋1.22＝2.25。 所以CA＝1.5 km。所以CA－CH＝1.5－1.2＝0.3(km)。 所以新路CH比原路CA少0.3 km。 C层 拓展练 $