5.1 认识二元一次方程组 课件 2026-2027学年北师大版八年级上册数学

这是一份北师大版八年级上册数学同步教学课件，共45页，围绕“认识二元一次方程组”展开。通过“老牛小马驮包裹”导入，设置“小明小颖绿植”“小亮一家门票”等情境探究二元一次方程、方程组概念及解，配套例题辨析、分层练习，构建从情境到概念再到应用的学习支架。 资料注重核心素养培养，以现实情境抽象数量关系，如用门票问题引导学生发现等量关系，培养数学眼光。通过对比一元一次方程特征推理二元一次方程定义，发展数学思维。设计《孙子算经》古算题等应用练习，强化模型意识与数学语言表达。能帮助学生直观理解概念，提升问题解决能力，为教师提供情境化、层次化的教学资源。 八年级学生正处于从一元到多元方程的过渡阶段，需重点培养抽象思维与模型意识，本资料通过情境驱动和问题链设计，助力学生建立知识联系，为后续方程组解法学习奠定基础。

第五章　二元一次方程组 5.1 认识二元一次方程组 北师大版八年级上册 导入新课 问题1：从它们的对话中，你最想知道什么？ 问题2：如果假设老牛驮了x个包裹，小马驮了y个包裹，你能得到怎样的方程？能列几个？ 2 探究新知 【探究1】二元一次方程的概念 情境1：小明和小颖参加课外种植实践活动，他们分别栽种了若干株绿植.已知小明栽种的绿植比小颖多 2 株，如果将小颖栽种的绿植给小明 1 株，那么小明的绿植株数是小颖的 2 倍. (1) 这个情境涉及哪些量? 这些量之间有怎样的等量关系? 小明和小颖栽种的绿植数量. (2) 设小明栽种了 x 株绿植，小颖栽种了 y 株绿植，由此你能得到怎样的方程? x－y＝2 . x＋1＝2( y－1). 等量关系 小明栽种的绿植数量＝小颖栽种的绿植数量＋2 小明栽种的绿植数量＋1＝2×(小颖栽种的绿植数量－1) 情境2 ：周末，小亮一家和朋友们到公园徒步锻炼， 他们一共 8 个人，买门票花了 34 元.已知每张成人票 5 元，每张学生票 3 元. (1) 这个情境涉及哪些量? 这些量之间有怎样的等量关系? 成人数量和学生数量； 成人总票价和学生总票价. (2) 设他们中有 x 个成人、y 名学生，由此你能得到怎样的方程? 成人数量＋学生数量＝8 成人的总票价＋学生总票价＝总的门票钱数 x＋y＝8 . 5x＋3y＝34. 等量关系 在上面两个情境中，我们分别得到方程： x－y＝2 x＋1＝2( y－1) x＋y＝8 5x＋3y＝34 思考1 上述方程有什么共同特点？ 思考2 它们与你学过的一元一次方程比较有什么区别？ 思考3 你能给它们起个名字吗？ 注意：(1)“一次”是指含未知数的项的次数是 1， 而不是未知数的次数，如含有 xy 项的方程 就不是一次方程； (2) 方程的左右两边都是整式. 含有两个未知数，并且所含未知数的项的次数都是 1 的方程叫作二元一次方程. 【知识要点】 【探究2】二元一次方程组的概念 是 不是 是 不是 不是 不是 (1) 4y－3z＝z＋6； (3) x²＋2y＝0； (5) 2x²＋2x＋y＝2x²； 例1 判断下列方程是否为二元一次方程： (6) 4－xy＝1. 总 结 判断要点： ①是否为整式方程； ②是否含两个未知数； ③未知数次数是否为 1； ④化简后未知数的系数不为 0. 例2 已知 |m－1| x|m|＋y2n－1＝3 是关于 x，y 的二元一次方程，则 m＋n＝_____． 0 | m |＝1 | m－1 |≠0 2n－1＝1 m＝－1 n＝1 m＋n＝0 若 x2m－1 + 5y3n－2m = 7 是关于 x，y 的二元一次方程，则 m =____，n =____. 1 1 2m－1 = 1 m = 1 n = 1 3n－2m = 1 针对训练 【思考·交流】在上面的方程 x＋y＝8 和 5x＋3y＝34 中，x 所表示的对象相同吗? y 呢? 与同伴进行交流. 两个方程中的 x 所表示的对象相同，y 也相同. x＋y＝8， 5x＋3y＝34. 因而 x，y 必须同时满足方程 x＋y＝8 和 5x＋3y＝34. 把它们联立起来，得 共含有两个未知数的两个一次方程所组成的一组方程，叫作二元一次方程组. 注意：方程组各方程中同一字母必须代表同一个量. 【知识要点】 例如 和 都是二元一次方程组. x＋1＝2(y－1) x－y＝2， x＋2y＝7， 3y＋1＝2 下列方程组是二元一次方程组吗？ 三个未知数 未知数出现在分母中 √ √ 练一练 例3 加工某种产品须经两道工序，第一道工序每人每天可完成 900 件，第二道工序每人每天可完成 1200 件. 现有 7 位工人参加这两道工序，应怎样安排人力，才能使每天第一、二道工序所完成的件数相等？请列出符合题意的二元一次方程组. 【探究3】二元一次方程(组)的解 解：设第一道工序安排 x 人，第二道工序安排 y 人，根据题意列方程组得 900x＝1200y， x＋y＝7. 请你找出符合下列二元一次方程实际意义的值填入表格： 5x + 3y = 34 x + y = 8 x y x 1 2 3 4 5 6 y 7 6 5 4 3 2 x y x 2 5 y 8 3 二元一次方程的解： 适合一个二元一次方程的一组未知数的值，叫作这个二元一次方程的一个解 思考1：如果不考虑方程表示的实际意义，还可以取哪些值？这些值是有限的吗？ x + y = 8 5x + 3y = 34 x 1 2 3 4 5 6 y 7 6 5 4 3 2 x 2 5 y 8 3 思考2：上述表格中是否存在同时满足方程①和方程②的值呢？ 就是二元一次方程组 的解. 二元一次方程组的解： 二元一次方程组中各个方程的公共解. 【知识要点】 例4 若 是关于 x，y 的方程 x－ky = 1 的解，则 k 的值为 . －1 x = -2， y = 3 典例精析 C 3. 二元一次方程组 的解是 ( ) A. C. D. B. x = 4， y = 2 x + 2y = 10， y = 2x x = 3， y = 6 x = 4， y = 3 x = 2， y = 4 总 结 一般地，二元一次方程有无数个解，而二元一次方程组只有一个解. 二元一次方程 ①每个方程含有____个未知数； ②含有未知数的项的次数______ 使二元一次方程左右两边的值______ 的两个______的值 二元一次方程组 ①含有__个未知数； ②含有未知数的项的次数______； ③一共有__个方程 二元一次方程组的两个方程的______ 两 都是 1 两 都是 1 两 相等 公共解 未知数 解 解 课堂小结 1.下列是二元一次方程的是( ) A.x＋2y＝3 B.x2＋y＝1 C.y＋＝2 D.2x－1＝5 A 课堂练习 2.下列方程组中是二元一次方程组的是( ) A. B. C. D. B 3.若方程3x|m|＋(m－1)y＝3是关于x，y的二元一次方程，则m的值为( ) A.±1 B.－1 C.1 D.±2 B 4.下列四组数值中，是方程x－3y＝1的解的是( ) A. B. C. D. A 5.若一个方程组的解为则这个方程组可能是( ) A. B. C. D. B 6.写出二元一次方程2x＋y＝－5的一组整数解：  　 .  (答案不唯一) 7.某地准备购买一些松树苗和梭梭树苗绿化荒山，已知购买4棵松树苗和3棵梭梭树苗需要180元，购买1棵梭梭树苗比1棵松树苗少花费10元.设每棵松树苗x元，每棵梭梭树苗y元，则下列方程组正确的是( ) A. B. C. D. D 8.如图，用10块相同的小长方形墙砖拼成一个大长方形，设小长方形墙砖的长为x cm、宽为y cm.根据题意，可列 二元一次方程组为  　.  9.如图，按运算程序写出x，y满足的方程是　 　. 2x－y＝3 10.端午节时，王老师用72元钱买了荷包和五彩绳，其中荷包每个4元，五彩绳每根3元.设王老师买了x个荷包，y根五彩绳. (1)根据题意，可列二元一次方程为　 　；  (2)若王老师买了8根五彩绳，则买了　 　个荷包.  4x＋3y＝72 12 11.若是关于x，y的二元一次方程x－my＝13的一组解，则m的值为( ) A.5 B.－5 C.8 D.－8 A 12.《孙子算经》记载：“今有木，不知长短.引绳度之，余绳四尺五寸；屈绳量之，不足一尺.木长几何?”意思是：现有一根木料，不知道其长度.用一根绳子去度量，绳子还剩余4.5尺；将绳子对折再度量，长木还剩余1尺.问木料长多少?(尺、寸是长度单位，1尺＝10寸)设绳子长为x尺，木料长为y尺，则可列方程组为( ) A. B. C. D. B 13.[整体思想]已知是关于x，y的二元一次方程mx＋ny＝5的一组解，则代数式4m＋6n－1的值为　 　.  　9　 14.[数学文化]《九章算术》是我国东汉初年编订的一部数学经典著作，其中一次方程组是用算筹布置而成，如图1所示的算筹图用我们现在所熟悉的方程组表示出来，就是类似地，图2所示的算筹图用方程组 表示为  　. 图1 图2 15.某班上有男、女生共45人，女生人数的一半比男生多10人.设女生人数为x，男生人数为y，根据题意，可列方 程组为  　.  16.一批机器零件共840个，甲先做4天，然后乙加入一起做，再做8天刚好完成.设甲每天做x个，乙每天做y个. (1)列出关于x，y的二元一次方程； (2)当x＝36时，求y的值； (3)若乙每天做45个，则甲每天做多少个? 解：(1)依题意，得12x＋8y＝840. (2)将x＝36代入(1)中方程，解得y＝51. (3)将y＝45代入(1)中方程，解得x＝40. 答：若乙每天做45个，则甲每天做40个. 17.已知是关于x，y的二元一次方程3x＋ay＝14的一组解. (1)求a的值； (2)写出满足方程3x＋ay＝14的所有正整数解. 解：(1)将代入3x＋ay＝14， 得3×2＋4a＝14，解得a＝2. (2)方程3x＋2y＝14的所有正整数解有 $