第6章 §6.2 第1课时 指数函数的概念与图象（配套课件PPT）-【步步高】2025-2026学年高一数学必修第一册学习笔记（苏教版）

该高中数学课件聚焦指数函数的概念、图象与性质及应用，通过毕业生薪资增长问题导入，结合细菌分裂、“一尺之捶”实例抽象出指数函数模型，搭建从具体到抽象的学习支架，衔接函数概念与后续性质探究。 其亮点在于以实际情境培养数学眼光，通过列表描点画图、对比底数差异发展数学思维，用例题和跟踪训练强化数学语言表达。如薪资问题激发兴趣，图象分析助理解单调性，提升学生抽象与应用能力，为教师提供结构化教学流程与多样化练习设计。

第1课时 指数函数的概念与图象 第6章　§6.2　指数函数 <<< 1.理解指数函数的概念，会求指数函数的解析式及函数值. 2.能掌握指数函数的图象和性质. 3.会利用指数函数的单调性比较大小和解不等式. 学习目标 话说一个毕业生去求职，当和老板讨论薪资的时候，他说：“老板，不如这样吧，我第一个月只要1元，第二个月要2元，第三个月要4元，这样以后每个月的薪资都是上一个月薪资的2倍，老板你看怎么样？”老板一听，这不多呀，当即拍板说：“好，就按你说的办，我们先签个 3年的合同吧.”大家猜一下，第12个月，他能获得多少工资？(211=2 048)第24个月，他能获得多少工资？(223=8 388 608)估计这个老板肠子都悔青了，这就是我们今天要学习的指数函数. 导 语 一、指数函数的概念 二、指数函数的图象与性质 课时对点练 三、指数函数图象与性质的应用 内容索引 指数函数的概念 一 提示　细菌个数y是分裂次数x的函数，对应关系为y=2x. 如果在某种细菌的培养过程中，细菌每10 min分裂一次，由1个分裂成2个.设分裂次数为x，细菌的个数为y，说出y与x的关系. 问题1 提示　对应关系为y=. 《庄子·天下篇》 中写道： “一尺之捶，日取其半，万世不竭”(“捶”同“棰”).设经过x天，木棰剩余量为y，说出y与x的关系. 问题2 提示　函数的表达式都是指数幂形式，底数为常数，指数为自变量. 以上两个函数在结构上有什么共同点？ 问题3 指数函数的定义 一般地，函数 (a>0，a≠1)叫作指数函数，它的定义域是R. y=ax 知识梳理 (1)指数函数的底数a>0，且a≠1； (2)指数幂的系数为1； (3)注意区分幂函数和指数函数. 注 意 点 <<< 10 　　 (1)(多选)给出下列函数，其中不是指数函数的是 A.y=2·3x B.y= C.y=3x D.y=x3 √ A中，3x的系数是2，故A不是指数函数； B中，y=的指数是x+1，不是自变量x，故B不是指数函数； C中，3x的系数是1，幂的指数是自变量x，且只有3x一项，故C是指数函数； D中，y=x3的底数为自变量，指数为常数，故D不是指数函数. 解析 例 1 √ √ 11 (2)若函数y=(2a-1)x(x是自变量)是指数函数，则a的取值范围是 A.(0，1)∪(1，+∞) B.[0，1)∪(1，+∞) C.∪(1，+∞) D. √ 依题意得2a-1>0，且2a-1≠1， 解得a>且a≠1， 即a的取值范围是∪(1，+∞). 解析 12 反 思 感 悟 判断一个函数是否为指数函数的依据是该函数是否为y=ax的形式，需满足： (1)底数是大于0且不等于1的常数. (2)ax前的系数为1. (3)指数为自变量. 13 (1)下列是指数函数的是 A.y=-3x B.y= C.y=ax D.y=πx √ 根据指数函数的特征知，A，B不是指数函数，C不一定是，比如a=1时. 解析 跟踪训练 1 14 由指数函数的定义知 由①得a=1或a=2，结合②得a=2. 解析 (2)若函数y=(a2-3a+3)·ax是指数函数，则a的值为　　　　.  2 15 二 指数函数的图象与性质 x -3 -2 -1 0 1 2 3 y=2x               y=               用列表、描点、连线的画图步骤，先完成下列表格，再画出指数函数y=2x与y=的图象. 问题4 1 2 4 8 8 4 2 1 提示　y=2x和y=的图象如图所示. 通过图象，分析y=2x与y=的性质并完成下列表格. 问题5 函数 y=2x y= 定义域     值域     单调性     最值     R R (0，+∞) (0，+∞) 增函数 减函数 无最值 无最值 函数 y=2x y= 奇偶性     特殊点     y的变 化情况 当x<0时，　　　　； 当x>0时，_________ 当x<0时，　　　　； 当x>0时，_________ 问题5 非奇非偶函数 非奇非偶函数 (0，1) (0，1) 0<y<1 y>1 y>1 0<y<1 比一比y=2x与y=的图象有哪些相同点？有哪些不同点？ 问题6 提示　相同点：定义域、值域、最值的情况、奇偶性、经过一个共同点(0，1)；不同点：单调性、函数值的变化.我们还发现y=2x与y=的底数互为倒数，且函数图象关于y轴对称. 再分别选取底数a=3，a=4，a=a=在同一个坐标系中分别画出相应的指数函数的图象，观察这些图象的位置和变化趋势. 问题7 提示　画出图象如图所示. 观察图象可知，底数大于1时，函数为增函数，底数大于0小于1时，函数为减函数，且底数互为倒数的两函数图象关于y轴对称.   a>1 0<a<1 图象     指数函数y=ax(a>0，a≠1)的图象与性质 知识梳理   a>1 0<a<1 性 质 定义域 ____ 值域 ________ 过定点 图象过定点 ，图象在x轴的上方 函数值 的变化 当x<0时， ； 当x>0时，_____ 当x>0时， ； 当x<0时，_____ 单调性 _______ _______ R (0，+∞) (0，1) 0<y<1 y>1 0<y<1 y>1 增函数 减函数 (1)函数图象只出现在x轴上方； (2)当x=0时，有a0=1，故过定点(0，1)； (3)当0<a<1时，底数越小，图象越靠近y轴； (4)当a>1时，底数越大，图象越靠近y轴； (5)任意底数互为倒数的两个指数函数的图象都关于y轴对称. 注 意 点 <<< 25 如图是指数函数①y=ax；②y=bx；③y=cx；④y=dx的图象，则a，b，c，d与1的大小关系为 A.a<b<1<c<d B.b<a<1<d<c C.1<a<b<c<d D.a<b<1<d<c √ 例 2 26 方法一　由图象可知③④的底数必大于1，①②的底数必小于1.作直线x=1(图略)，在第一象限内直线x=1与各曲线的交点的纵坐标即各指数函数的底数，则1<d<c，b<a<1，从而可知a，b，c，d与1的大小关系为b<a<1<d<c. 方法二　根据图象可以先分为两类： ③④的底数大于1，①②的底数小于1，再由③④比较c，d的大小，由①②比较a，b的大小.当指数函数的底数大于1时，图象上升，且底数越大时图象向上越靠近y轴；当底数大于0小于1时，图象下降，底数越小，图象向下越靠近x轴，从而可知a，b，c，d与1的大小关系为b<a<1<d<c. 解析 27 解决指数函数图象问题的注意点 (1)熟记当底数a>1和0<a<1时，图象的大体形状. (2)在y轴右侧，指数函数的图象“底大图高”. 反 思 感 悟 28 已知指数函数y=的图象如图所示，则一次函数y=ax+b的图象可能是 跟踪训练 2 √ 29 由指数函数的图象和性质可知，0<<1， 若a，b均为正数，则a>b>0，此时函数y=ax+b的图象过第一、二、三象限，C符合； 若a，b均为负数，则a<b<0，此时函数y=ax+b的图象过第二、三、四象限，没有选项符合. 解析 30 指数函数图象与性质的应用 三 (1)(课本例1)比较下列各组数中两个数的大小： ①1.52.5，1.53.2； 例 3 考察指数函数y=1.5x.因为1.5>1，所以y=1.5x是增函数.又因为2.5<3.2，所以1.52.5<1.53.2. 解 32 ②0.5-1.2，0.5-1.5； 考察指数函数y=0.5x.因为0<0.5<1，所以y=0.5x是减函数.又因为-1.2>-1.5，所以0.5-1.2<0.5-1.5. 解 ③1.50.3，0.81.2. 考察指数函数y=1.5x.因为1.5>1，所以y=1.5x是增函数.又因为0.3>0，所以1.50.3>1.50=1.同理0.81.2<0.80=1，故1.50.3>0.81.2. 解 33 (2)(课本例2)①已知3x≥30.5，求实数x的取值范围； 因为3>1，所以指数函数y=3x是增函数. 由3x≥30.5可得x≥0.5. 故x的取值范围为区间[0.5，+∞). 解 34 ②已知0.2x<25，求实数x的取值范围. 因为0<0.2<1，所以指数函数y=0.2x是减函数. 因为25==0.2-2，所以0.2x<0.2-2. 由此可得x>-2. 故x的取值范围为区间(-2，+∞). 解 35 (1)比较下列各题中数的大小： ①1.11.1，1.10.9； 例 3 因为y=1.1x是增函数，1.1>0.9， 故1.11.1>1.10.9. 解 36 ②0.1-0.2，0.10.9； 因为y=0.1x是减函数，-0.2<0.9， 故0.1-0.2>0.10.9. 解 ③30.1，π0.1； 因为y=x0.1在(0，+∞)上单调递增，3<π， 故30.1<π0.1. 解 37 ④1.70.1，0.91.1； 因为1.70.1>1.70=1，0.91.1<0.90=1， 故1.70.1>0.91.1. 解 ⑤0.70.8，0.80.7. 取中间值0.70.7，因为0.70.8<0.70.7<0.80.7，故0.70.8<0.80.7(也可取中间值0.80.8，即0.70.8<0.80.8<0.80.7). 解 38 (2)已知<ax+6(a>0，a≠1)，求x的取值范围. 39 ①当0<a<1时，函数f(x)=ax(a>0，a≠1)是减函数， ∴x2-3x+1>x+6， ∴x2-4x-5>0， 解得x<-1或x>5； 解 40 ②当a>1时，函数f(x)=ax(a>0，a≠1)是增函数， ∴x2-3x+1<x+6， ∴x2-4x-5<0，解得-1<x<5， 综上所述，当0<a<1时， x的取值范围是{x|x<-1或x>5}； 当a>1时，x的取值范围是{x|-1<x<5}. 解 41 (1)比较幂值大小的3种类型及处理方法 反 思 感 悟 42 (2)简单的指数不等式的解法 ①利用指数型函数的单调性解不等式，需将不等式两边都化成底数相同的指数式. ②解不等式af(x)>ag(x)(a>0，a≠1)的依据是指数型函数的单调性，要养成判断底数取值范围的习惯，若底数不确定，就需进行分类讨论，即af(x)>ag(x)⇒f(x)>g(x)(a>1)或f(x)<g(x)(0<a<1). 反 思 感 悟 43 (1)设a=0.60.6，b=0.61.5，c=1.50.6，则a，b，c的大小关系是 A.a<b<c B.a<c<b C.b<a<c D.b<c<a 跟踪训练 3 √ ∵1.50.6>1.50=1，0.60.6<0.60=1， ∴1.50.6>0.60.6， 又函数y=0.6x是减函数，且1.5>0.6， ∴0.61.5<0.60.6， ∴0.61.5<0.60.6<1.50.6. 即b<a<c. 解析 44 (2)不等式53-2x<0.23x-4的解集为　　　　.  {x|x<1} 原不等式可化为53-2x<54-3x， 因为函数y=5x是增函数， 所以3-2x<4-3x，解得x<1， 则不等式的解集为{x|x<1}. 解析 45 1.知识清单： (1)指数函数的定义. (2)指数函数的图象和性质. (3)指数函数的图象和性质的应用. 2.方法归纳：分类讨论法、数形结合法. 3.常见误区：忽视指数函数的底数a的范围致误. 课堂小结 课时对点练 四 题号 1 2 3 4 5 6 7 答案 CD D C C A B 　 题号 8 11 12 13 14 15 答案 (4，5) A C ∪ (-∞，3) ABC 对一对 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 9. 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 (1)由题意得a2+a-5=1， a>0且a≠1， 解得a=2或a=-3(舍去)， ∴f(x)=2x. (2)F(x)=f(x)-f(-x)为奇函数，证明如下： 由(1)得F(x)=2x-2-x，定义域为R， ∴F(-x)=2-x-2x=-F(x)， ∴F(x)是奇函数. 10. 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 设f(x)=ax(a>0且a≠1)，因为f(3)=8， 所以a3=8，即a=2，所以f(x)=2x， 又因为g(x)与f(x)的图象关于y轴对称， 所以g(x)=， 由g(2x-1)<g(3x)， 即<， 10. 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 得2x-1>3x，解得x<-1. 所以x的取值范围为(-∞，-1). 16. 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 (1)根据指数的运算性质可得g(x)=2x满足条件(答案不唯一). (2)函数f(x)在R上单调递增. 令x=y=0，则f(0)=f(0)f(0)， 解得f(0)=1或f(0)=0， 若f(0)=0，当x>0时，令y=0，则f(x)=f(x)f(0)=0，与f(x)>1矛盾，所以f(0)=1， 令y=-x，则f(0)=f(x)f(-x)=1， 16. 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 又当x>0时，f(x)>1， 所以0<f(-x)<1， 即∀x∈R，f(x)>0， ∀x1，x2∈R，x1<x2，则x2-x1>0，而当x>0时，f(x)>1， 于是f(x2-x1)>1， 则f(x2)-f(x1)=f(x1+(x2-x1))-f(x1)=f(x1)f(x2-x1)-f(x1)=f(x1)[f(x2-x1)-1]，因为f(x1)>0，f(x2-x1)>1，即f(x2-x1)-1>0，所以f(x2)-f(x1)>0，即f(x2)>f(x1)，所以函数f(x)在R上单调递增. 16. 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 (3)若对任意的x∈R， f(kx2+kx-1)≤1， 根据(2)可知f(0)=1，f(x)在R上单调递增，所以f(kx2+kx-1)≤f(0)，即kx2+kx-1≤0恒成立， 当k=0时，不等式恒成立； 当k≠0时，则需解得-4≤k<0， 综上所述，实数k的取值范围为[-4，0]. 基础巩固 1.(多选)给出下列函数，其中为指数函数的是 A.y=x4 B.y=xx C.y=ex D.y=4x √ 因为指数函数的形式为y=ax(a>0且a≠1)，C，D符合. 解析 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 √ 2.若函数f(x)=(2a-3)ax是指数函数，则f(1)等于 A.8 B. C.4 D.2 √ 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 ∵函数f(x)=(2a-3)ax是指数函数， ∴2a-3=1，解得a=2.∴f(x)=2x，∴f(1)=2. 解析 3.指数函数y=ax与y=bx的图象如图所示，则 A.a<0，b<0 B.a<0，b>0 C.0<a<1，b>1 D.0<a<1，0<b<1 √ 结合指数函数图象的特点可知0<a<1，b>1. 解析 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 4.函数f(x)=πx与g(x)=的图象关于 A.原点对称 B.x轴对称 C.y轴对称 D.直线y=-x对称 √ 设点(x，y)为函数f(x)=πx的图象上任意一点，则点(-x，y)为g(x)=π-x= 的图象上的点.因为点(x，y)与点(-x，y)关于y轴对称，所以函数f(x)=πx与g(x)=的图象关于y轴对称. 解析 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 5.若<则实数a的取值范围是 A. B.(1，+∞) C.(-∞，1) D. √ 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 因为函数y=为减函数， 所以2a+1>8-2a，所以a>. 解析 6.已知a=30.2，b=0.2-3，c=(-3)0.2，则a，b，c的大小关系为 A.a>b>c B.b>a>c C.c>a>b D.b>c>a √ 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 a=30.2∈(1，3)，b=0.2-3==53=125， c=(-3)0.2=(-3<0，所以b>a>c. 解析 7.已知函数f(x)为指数函数且f(3)=27，则f(-2)=　　，f(f(-1))=　　　　.  答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 设f(x)=ax(a>0且a≠1)， ∴a3=27=33，∴a=3，即f(x)=3x， ∴f(-2)=f(f(-1))=f==. 解析 8.函数f(x)=2ax-4+3(a>0，a≠1)恒过一个定点，则该点的坐标为　　　　.  令x-4=0，得x=4， 又f(4)=5，所以函数f(x)恒过定点(4，5). 解析 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 (4，5) 9.已知函数f(x)=(a2+a-5)ax是指数函数. (1)求f(x)的表达式； 由题意得a2+a-5=1，a>0且a≠1， 解得a=2或a=-3(舍去)， ∴f(x)=2x. 解 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 (2)判断F(x)=f(x)-f(-x)的奇偶性，并加以证明. F(x)=f(x)-f(-x)为奇函数，证明如下： 由(1)得F(x)=2x-2-x，定义域为R， ∴F(-x)=2-x-2x=-F(x)， ∴F(x)是奇函数. 解 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 10.已知指数函数f(x)的图象过点P(3，8)，且函数g(x)的图象与f(x)的图象关于y轴对称，又g(2x-1)<g(3x)，求x的取值范围. 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 设f(x)=ax(a>0且a≠1)，因为f(3)=8， 所以a3=8，即a=2，所以f(x)=2x， 又因为g(x)与f(x)的图象关于y轴对称， 所以g(x)= 由g(2x-1)<g(3x)，即< 得2x-1>3x，解得x<-1. 所以x的取值范围为(-∞，-1). 解 11.二次函数y=ax2+bx与指数函数y=的图象可能是 √ 综合运用 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 二次函数y=ax2+bx=a-其顶点坐标为由指数函数的图象知0<<1，所以-<-<0，再观察四个选项，只有A中的抛物线的顶点的横坐标在-和0之间，故选A. 解析 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 12.设函数f(x)=则满足f(x+1)<f(2x)的x的取值范围是 A.(-∞，0) B.(0，+∞) C.(-∞，1) D.(0，1) √ 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 函数f(x)=的图象如图， 显然函数f(x)在R上单调递减， ∵f(x+1)<f(2x)， ∴x+1>2x，解得x<1. 解析 13.若x>0时，指数函数y=(2a2-1)x的值总小于1，则实数a的取值范围为 　　　 　.  答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 ∪ 由题意可得，当x>0时，y=(2a2-1)x<1， 所以0<2a2-1<1，所以<a2<1，进而可得-1<a<-或<a<1. 解析 因为函数y=y=-在(0，+∞)上单调递增， 所以函数f(x)=-在(0，+∞)上单调递增. 又当x=0时，f(0)=0，所以f(3-n)>0，即f(3-n)>f(0)，所以3-n>0，解得n<3. 解析 14.已知函数f(x)=-(x>0)，则满足f(3-n)>0的实数n的取值范围是 　　　　.  答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 (-∞，3) 15.(多选)已知实数a，b满足等式3a=6b，则下列可能成立的关系式为 A.a=b=0 B.0<b<a C.a<b<0 D.0<a<b 拓广探究 √ √ 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 √ 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 由题意，在同一坐标系内分别画出函数y=3x和y=6x的图象，如图所示. 由图象知，当a=b=0时，3a=6b=1，所以选项A正确； 作出直线y=k，当k>1时，若3a=6b=k， 则0<b<a，所以选项B正确； 当0<k<1时，若3a=6b=k，则a<b<0， 所以选项C正确. 解析 16.定义在R上的函数f(x)满足：对任意的实数x，y，f(x+y)=f(x)f(y)，当x>0时，f(x)>1. (1)写出一个函数g(x)，使其满足g(x+y)=g(x)g(y)(只写结果，无需证明)； 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 根据指数的运算性质可得g(x)=2x满足条件(答案不唯一). 解 (2)判断f(x)的单调性并证明； 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 函数f(x)在R上单调递增. 令x=y=0，则f(0)=f(0)f(0)， 解得f(0)=1或f(0)=0， 若f(0)=0，当x>0时，令y=0，则f(x)=f(x)f(0)=0，与f(x)>1矛盾，所以f(0)=1， 令y=-x，则f(0)=f(x)f(-x)=1， 又当x>0时，f(x)>1，所以0<f(-x)<1， 解 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 即∀x∈R，f(x)>0， ∀x1，x2∈R，x1<x2，则x2-x1>0，而当x>0时，f(x)>1，于是f(x2-x1)>1， 则f(x2)-f(x1)=f(x1+(x2-x1))-f(x1)=f(x1)f(x2-x1)-f(x1)=f(x1)[f(x2-x1)-1]，因为f(x1)>0，f(x2-x1)>1，即f(x2-x1)-1>0，所以f(x2)-f(x1)>0，即f(x2)>f(x1)，所以函数f(x)在R上单调递增. 解 (3)若对任意的x∈R，f(kx2+kx-1)≤1，求实数k的取值范围. 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 若对任意的x∈R，f(kx2+kx-1)≤1， 根据(2)可知f(0)=1，f(x)在R上单调递增，所以f(kx2+kx-1)≤f(0)，即kx2+kx-1≤0恒成立， 当k=0时，不等式恒成立； 当k≠0时，则需解得-4≤k<0， 综上所述，实数k的取值范围为[-4，0]. 解 第6章　§6.2　指数函数 <<< $