6.3 培优课与指（对）数函数有关的恒（能）成立问题 课件-2026-2027学年高一上学期数学苏教版必修第一册

该高中数学课件聚焦指（对）数函数恒成立与能成立问题，从指对数函数单调性等性质导入，通过典型例题（如转换函数最值、借助函数图象）搭建从性质到应用的学习支架，衔接前后知识脉络。 其亮点在于以“通性通法”总结为核心，结合数学思维（推理能力）和数学眼光（几何直观），通过例1推理最值范围、例2图象比较等实例提炼解题模型。帮助学生形成逻辑思维，教师可利用系统结构提升教学效率。

培优课　 与指（对）数函数有关的恒（能）成立问题 典型例题·精研析 课堂互动 关键能力提升 目录 目录 题型一 与指（对）数函数有关的恒成立问题 角度1　转换成函数最值 【例1】　已知 x ∈（－∞，－1]时，不等式（ m2－ m ）·4 x －2 x ＜0恒 成立，求实数 m 的取值范围. 解：原不等式变形为 m2－ m ＜（ ） x ， 因为函数 y ＝（ ） x 在（－∞，－1]上单调递减，所以（ ） x ≥ （ ）－1＝2， 故当 x ∈（－∞，－1]时， m2－ m ＜（ ） x 恒成立等价于 m2－ m ＜2 成立， 解得－1＜ m ＜2. 故实数 m 的取值范围为（－1，2）. 目录 数学·必修第一册（SJ） 通性通法 转换成函数最值解决恒成立问题的思路 （1） m ≥ f （ x ）在 x ∈ D 上恒成立⇔ m ≥ f （ x ）max， x ∈ D ； （2） m ≤ f （ x ）在 x ∈ D 上恒成立⇔ m ≤ f （ x ）min， x ∈ D . 目录 数学·必修第一册（SJ） 角度2　借助函数图象 【例2】　当 x ∈（1，2）时，不等式（ x －1）2＜log ax 恒成立，则实 数 a 的取值范围是（　　） A. （0，1） B. （1，2） C. （1，2] 目录 数学·必修第一册（SJ） 解析： 　设 f1（ x ）＝（ x －1）2， f2（ x ）＝log ax ，要使当 x ∈（1，2）时，不等式（ x －1）2＜log ax 恒成立，只需 f1（ x ）＝（ x －1）2在（1，2）上的 图象在 f2（ x ）＝log ax 在（1，2）上的图象的下方即 可.当0＜ a ＜1时，显然不成立.当 a ＞1时，如图所示，要使在区间（1，2）上， f1（ x ）＝（ x －1）2的图象在 f2（ x ）＝log ax 的图象下方，只需 f1（2）≤ f2（2），即（2－1）2≤log a 2，log a 2≥1，解得1＜ a ≤2，故选C. 目录 数学·必修第一册（SJ） 通性通法 借助函数图象解决恒成立问题的思路 （1）若 f （ x ）＞ g （ x ）在 x ∈ D 上恒成立，则在区间 D 上，函数 y ＝ f （ x ）的图象在函数 y ＝ g （ x ）图象的上方； （2）若 f （ x ）＜ g （ x ）在 x ∈ D 上恒成立，则在区间 D 上，函数 y ＝ f （ x ）的图象在函数 y ＝ g （ x ）图象的下方. 目录 数学·必修第一册（SJ） 【跟踪训练】 已知函数 f （ x ）＝ ax － （ a ＞1），不等式 f （ x2＋ bx ）＋ f （4－ x ）＞0在 x ∈R上恒成立，求实数 b 的取值范围. 目录 数学·必修第一册（SJ） 解：∀ x ∈R， f （－ x ）＝ a－ x － ＝ － ax ＝－ f （ x ），即 f （ x ） 是R上的奇函数. 当 a ＞1时，由复合函数单调性可知 f （ x ）在R上是增函数. 因为 f （ x2＋ bx ）＋ f （4－ x ）＞0， 所以 f （ x2＋ bx ）＞－ f （4－ x ）＝ f （ x －4）， 即 x2＋ bx ＞ x －4， 因此， x2＋（ b －1） x ＋4＞0对 x ∈R恒成立， 故Δ＝（ b －1）2－16＝（ b －5）（ b ＋3）＜0， 解得－3＜ b ＜5. 故实数 b 的取值范围为（－3，5）. 目录 数学·必修第一册（SJ） 题型二 与指（对）数函数有关的能成立问题 【例3】　已知函数 f （ x ）＝ b · ax （ a ， b 为常数且 a ＞0， a ≠1）的 图象经过点 A （1，6）， B （3，24）. （1）求 a ， b 的值； 解：由题意可得 解得 a ＝2， b ＝3. 目录 数学·必修第一册（SJ） （2）若不等式（ ） x ≥2 m ＋1在 x ∈[1，＋∞）上能成立，求实数 m 的取值范围. 解：由于不等式（ ） x ≥2 m ＋1在 x ∈[1，＋∞）上能成立， 且由（1）知 a ＝2， b ＝3，则2 m ＋1≤［（ ） x ］max， 由于指数函数 y ＝（ ） x 在[1，＋∞）上单调递减，则 ymax＝ ，所以2 m ＋1≤ ，解得 m ≤－ . 因此，实数 m 的取值范围是（ －∞，－ ］. 目录 数学·必修第一册（SJ） 通性通法 解决能成立问题的思路 （1） m ≥ f （ x ）在 x ∈ D 上能成立⇔ m ≥ f （ x ）min， x ∈ D ； （2） m ≤ f （ x ）在 x ∈ D 上能成立⇔ m ≤ f （ x ）max， x ∈ D . 目录 数学·必修第一册（SJ） 【跟踪训练】 若不等式lo （－ x2＋4 x ＋4）≤ m2－4 m 在 x ∈（0，3）上能成立， 则实数 m 的取值范围为 ⁠. （－∞，1]∪[3，＋∞）　 解析：由lo （－ x2＋4 x ＋4）≤ m2－4 m 在 x ∈（0，3）上能成立， 则 m2－4 m ≥[lo （－ x2＋4 x ＋4）]min，设 f （ x ）＝lo （－ x2＋4 x ＋4），则 f （ x ）在（0，2]上单调递减，在（2，3）上单调递增， 故 f （ x ）min＝ f （2）＝lo 8＝－3，故 m2－4 m ≥－3，即 m2－4 m ＋ 3≥0，解得 m ≤1或 m ≥3，即 m 的取值范围为（－∞，1]∪[3，＋ ∞）. 目录 数学·必修第一册（SJ） 1. 若｜log2 x ｜＋1≥（ ）－ m＋2恒成立，则 m 的取值范围为（　　） A. （－∞，2] B. [－2，0） C. （0，2] D. [2，＋∞） 解析： 　作出函数 f （ x ）＝｜log2 x ｜＋1的图象如 图所示，由｜log2 x ｜＋1≥（ ）－ m＋2恒成立，则 （ ）－ m＋2≤ f （ x ）min，由图象知， f （ x ）min＝1， 故（ ）－ m＋2≤1，即－ m ＋2≥0， m ≤2，故选A. 目录 数学·必修第一册（SJ） 2. 若不等式（ ） x ＋（ ） x － m ≥0在（－∞，1]上恒成立，则 m 的 取值范围为 ⁠. 解析：当 x ∈（－∞，1]时， ＋ － m ≥0恒成立，即 m ≤ ＋ 在（－∞，1]上恒成立.又因为 y ＝ 与 y ＝ 在 （－∞，1]上均为减函数，所以 y ＝ ＋ 在（－∞，1]上也 是减函数，所以当 x ＝1时， y ＝ ＋ 有最小值 ，所以 m ≤ ，即 m 的取值范围是 . （ －∞， ］　 目录 数学·必修第一册（SJ） 3. 若关于 x 的不等式32 x －2·3 x ＋ a2－ a －1＞0在 x ∈[0，1]上恒成 立，求 a 的取值范围. 解：设 t ＝3 x ，则 t ∈[1，3]， 原不等式可化为 a2－ a －1＞－ t2＋2 t ， t ∈[1，3]，即 a2－ a －1＞ f （ t ）max，又 f （ t ）＝－ t2＋2 t 在 t ∈[1，3]上的最大值为1，故 a2 － a －1＞1，即 a2－ a －2＞0， 解得 a ＜－1或 a ＞2， 故 a 的取值范围为（－∞，－1）∪（2，＋∞）. 目录 数学·必修第一册（SJ） 谢 谢 观 看！ $