第5章 §5.1 第2课时 函数的图象（配套课件PPT）-【步步高】2025-2026学年高一数学必修第一册学习笔记（苏教版）

该高中数学课件聚焦函数图象的含义、绘制及应用，通过“两个黄鹂鸣翠柳”的诗句类比导入，连接函数概念，以一次函数、二次函数等实例为支架，构建从概念理解到图象绘制再到比较函数值、求值域的知识脉络。 其亮点在于结合具体函数实例培养学生几何直观（数学眼光），通过比较函数值大小、求值域的探究训练逻辑推理（数学思维），用列表描点等规范步骤强化数学表达（数学语言）。反思感悟与课堂小结系统梳理方法，丰富例题和分层练习助力教师教学，提升学生学习效率与学科素养。

第2课时 函数的图象 第5章　§5.1　函数的概念和图象 <<< 1.理解函数图象的含义. 2.会画简单的函数图象. 3.能利用图象研究函数的值域. 学习目标 同学们，函数的图象在整个函数的学习中占据重要的地位，因为它能带领我们直观的感受变量的发生、发展过程，就好像是有了“两个黄鹂鸣翠柳，一行白鹭上青天”，就能在我们的脑海里呈现出一幅优美的图画. 导 语 一、画函数的图象 二、由函数图象比较函数值的大小 课时对点练 三、由函数图象求函数的值域 内容索引 画函数的图象 一 　　 (课本例4)试画出下列函数的图象： (1)f(x)=x+1； (2)f(x)=(x-1)2+1，x∈[1，3). 例 1 6 描点作出图象，函数图象分别如图(1)和图(2)所示. 解 函数f(x)=(x-1)2+1，x∈[1，3)的图象为函数g(x)=(x-1)2+1，x∈R的图象上x∈[1，3)的一段.其中，点(1，1)在图象上，用实心点表示；而点(3，5)不在图象上，用空心点表示. 7 　　画出下列函数的图象： (1)y=x2+x，x∈{-1，0，1，2，3}； 例 1 列表： 描点得该函数的图象如图①所示. 解 x -1 0 1 2 3 y 0 0 2 6 12 8 (2)y=x2+x，x∈R； y=x2+x=- 故函数图象的对称轴为直线x=- 顶点为. 又y=x2+x的图象开口向上，且与x轴、 y轴分别交于点(-1，0)，(0，0)，故图象如图②所示. 解 9 (3)y=x2+x，x∈[-1，1). y=x2+x，x∈[-1，1)的图象是y=x2+x，x∈R的图象上x∈[-1，1)的一段，如图③所示， 其中点(-1，0)在图象上，用实心圆点表示； 点(1，2)不在图象上，用空心圆圈表示. 解 10 作函数y=f(x)的图象分两种类型 (1)若y=f(x)是已学过的基本初等函数，则通过描出y=f(x)的图象上的一些关键点画出y=f(x)的图象. (2)若y=f(x)不是已学过的基本初等函数，则需要通过列表、描点、连线这些基本步骤作出y=f(x)的图象. 反 思 感 悟 11 作出下列函数的图象： (1)y=1-x(x∈Z且|x|≤2)； 跟踪训练 1 图象如图(1)所示. 解 12 (2)y=2x2-4x-3(0≤x<3)； 图象如图(2)所示. 解 13 (3)y=(-2≤x<1且x≠0). 图象如图(3)所示. 解 14 二 由函数图象比较函数值的大小 (课本例6)试画出二次函数f(x)=x2+1的图象，并根据图象回答下列问题： (1)比较f(-2)，f(1)，f(3)的大小； 例 2 函数图象如图所示. (1)根据图(1)，容易发现f(-2)=f(2)， f(1)<f(2)<f(3)， 所以f(1)<f(-2)<f(3). 解 16 (2)若0<x1<x2，试比较f(x1)与f(x2)的大小. 根据图(2)容易发现，当0<x1<x2时，f(x1)<f(x2). 解 17 用描点法画出函数f(x)=-x2+2x+3的图象，并根据图象回答下列问题： (1)比较f(0)，f(1)，f(3)的大小； 例 2 因为函数f(x)=-x2+2x+3的定义域为R，列表： 描点，连线，得函数图象如图所示. f(0)=3，f(1)=4，f(3)=0， 所以f(3)<f(0)<f(1). 解 x … -2 -1 0 1 2 3 4 … f(x) … -5 0 3 4 3 0 -5 … 18 (2)若x1<x2<1，比较f(x1)与f(x2)的大小. 根据图象，容易发现当x1<x2<1时， 有f(x1)<f(x2). 解 19 把本例(2)中的“若x1<x2<1”改为“x2>x1>1”，其他条件不变，结果怎样？ 延伸探究 1 根据图象，容易发现当x2>x1>1时， 有f(x1)>f(x2). 解 20 把本例(2)中的“若x1<x2<1”改为“x1<x2”，其他条件不变，结果怎样？ 延伸探究 2 此时要对x1，x2所处的范围分情况讨论. 根据图象，若x1<x2≤1，则f(x1)<f(x2)； 若1≤x1<x2，则f(x1)>f(x2)； 若x1<1<x2，①当1-x1>x2-1时， f(x1)<f(x2)； ②当1-x1=x2-1时，f(x1)=f(x2)； ③当1-x1<x2-1时，f(x1)>f(x2). 解 21 常借助函数图象解决下列问题 (1)比较函数值的大小. (2)求函数的值域. (3)求解不等式或参数范围. 反 思 感 悟 22 由函数图象求函数的值域 三 作出下列函数的图象并求出其值域. (1)y=2x+1，x∈[0，2]； 例 3 列表： 当x∈[0，2]时，函数的图象是一次函数y=2x+1的图象 的一部分，观察图象可知，其值域为[1，5]. 解 x 0 1 2 y 1 2 3 4 5 24 (2)y=x2+2x，x∈[-2，2]. 列表： 当x∈[-2，2]时，函数的图象是二次函数y=x2+2x的一 部分.由图象可得函数的值域是[-1，8]. 解 x -2 -1 0 1 2 y 0 -1 0 3 8 25 (1)数形结合法求函数值域要注意找函数的最高点与最低点，并注意定义域的影响. (2)求二次函数f(x)=ax2+bx+c(a>0)在[m，n]上的值域的步骤： ①配方，找对称轴； ②判断对称轴与区间的关系； ③借助图象求值域. 反 思 感 悟 26 已知函数f(x)=x2-2x(-1≤x≤2). (1)画出f(x)图象的简图； 跟踪训练 2 f(x)图象的简图如图所示. 解 27 (2)根据图象写出f(x)的值域. 观察f(x)的图象可知，f(x)图象上所有点的纵坐标的取值范围是[-1，3]， 则f(x)的值域是[-1，3]. 解 28 1.知识清单： (1)函数图象的概念. (2)函数图象的应用. (3)由函数图象求函数的值域. 2.方法归纳：数形结合法、换元法、配方法. 3.常见误区：未弄清“实”、“虚”点导致画函数图象错误. 课堂小结 课时对点练 四 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 答案 C A B A B BC 2 -1 题号 11 12 13 14 　15 答案 B AB BCD [0，+∞) 　B 对一对 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 9. 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 (1)y=x+1(x≤0)表示一条射线，图象如图(1)所示. (2)y=x2-x(x>1，或x<-1)的图象是二次函数y=x2-x去掉x∈[-1，1]之间的部分图象后的剩余图象.如图(2)所示. 10. 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 函数f(x)=x2+2x+3的图象如图所示. (1)由图象知 f(-2)<f(1)<f(2). (2)当x∈[-2，2]时，由图象知f(x)的值域为[2，11]. (3)当x1<x2<-1时，有f(x1)>f(x2). 16. 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 存在.理由如下： f(x)=x2-x+=(x-1)2+1的图象的对称轴为x=1， 顶点为(1，1)，且开口向上. ∵m>1， ∴当x∈[1，m]时，函数图象是二次函数f(x)=(x-1)2+1的图象的一部分， ∴由函数的图象可得，要使f(x)的定义域和值域都是[1，m]， 16. 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 则有 ∴m2-m+=m， 即m2-4m+3=0， ∴m=3或m=1(舍)， ∴存在实数m=3满足条件. 基础巩固 1.函数y=f(x)的图象如图所示，则f(x)的定义域是 A.R B.(-∞，1)∪(1，+∞) C.(-∞，0)∪(0，+∞) D.(-1，0) √ 由题图知x≠0， 即x∈(-∞，0)∪(0，+∞). 解析 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 2.函数y=x-1(x≥0)的图象是 A.一条射线 B.一条线段 C.两条射线 D.一条直线 √ 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 函数y=x-1为一次函数，图象为直线，但是当x≥0时，所得到的图象为一条射线. 解析 3.“龟兔赛跑”讲述了这样的故事：领先的兔子看着慢慢爬行的乌龟，骄傲起来，睡了一觉，当它醒来时，发现乌龟快到终点了，于是急忙追赶，但为时已晚，乌龟还是先到达了终点.用s1，s2分别表示乌龟和兔子所行的路程(t为时间)，则下图与故事情节相吻合的是 √ 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 A中是同时到达； B中乌龟到达时，兔子还没到； C中乌龟到达时，兔子还在睡觉； D中兔子先到，乌龟后到. 解析 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 4.函数y=的大致图象是 √ y=的定义域为{x|x≠-1}，排除C，D； 当x=0时，y=0，排除B. 解析 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 5.函数f(x)=x2+x-2(-1≤x≤2)的值域为 A.[-2，4] B. C. D. √ 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 作出函数y=x2+x-2，x∈[-1，2]的图象，观察图象可知值域为. 解析 6.(多选)若函数y=f(x)的图象为如图所示的曲线m和线段n，曲线m与直线 t无限接近，但永不相交，则下列说法正确的是 A.f(x)的定义域为[-3，-1]∪[0，2] B.f(x)的值域为[1，+∞) C.在f(x)的定义域内任取一个值，总有唯一的 y值与之对应 D.f(-2)>f(2) √ 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 √ 由题意得，定义域为(-3，-1]∪[0，2]，A错误； 由图象知f(x)的最小值为1，当x→-3时，f(x)→+∞，故值域为[1，+∞)，B正确； 由函数定义及图象可知，在f(x)的定义域内任取一个值，总有唯一的y值与之对应，C正确； 由图象可知，f(-2)<f(2)，D错误. 解析 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 7.如图，函数f(x)的图象是曲线OAB，其中点O，A，B的坐标分别为(0，0)，(1，2)，(3，1)，则f =　　. 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 2 由题意知，f(3)=1， 所以f =f(1)=2. 解析 8.若函数f(x)=(a2-2a-3)x2+(a-3)x+1的定义域和值域都为R，则a的值是　　. 由一次函数、二次函数的图象知，f(x)为一次函数，则满足所以a=-1. 解析 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 -1 9.画出下列函数的图象： (1)y=x+1(x≤0)； y=x+1(x≤0)表示一条射线，图象如图(1)所示. 解 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 (2)y=x2-x(x>1，或x<-1). y=x2-x(x>1，或x<-1)的图象是二次函数y=x2-x去掉x∈[-1，1]之间的部分图象后的剩余图象.如图(2)所示. 解 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 函数f(x)=x2+2x+3的图象如图所示. 由图象知 f(-2)<f(1)<f(2). 解 10.画出函数f(x)=x2+2x+3的图象，根据图象回答下列问题. (1)比较f(-2)，f(1)，f(2)的大小； 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 当x∈[-2，2]时，由图象知f(x)的值域为[2，11]. 解 (2)若函数f(x)的定义域为[-2，2]，求函数的值域； 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 当x1<x2<-1时，有f(x1)>f(x2). 解 (3)若x1<x2<-1，比较f(x1)与f(x2)的大小. 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 11.已知函数f(x)=x2-3x-4的定义域是[-1，m]，值域为则m的取值范围是 A.(0，4] B. C. D. √ 综合运用 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 函数f(x)=x2-3x-4=-在[-1，4]上的图象如图所示，易知 f(-1)=f(4)=0，f=- 由图可知，要使函数f(x)=x2-3x-4的定义域是[-1，m]， 值域为 则m的取值范围是. 解析 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 12.(多选)记无理数e=2.718 281 828 459 045 …小数点后第n位上的数字为m，则m是关于n的函数，记作m=f(n)，其定义域为A，值域为B，则 A.f(5)=8 B.函数f(n)的图象是一群孤立的点 C.n是关于m的函数 D.B⊆A √ 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 √ 根据函数的定义可知，定义域A=N*， 对应关系：数位n对应数字7，1，8，2，8，1，8，2，8，…， f(5)=8，函数f(n)的图象是一群孤立的点，故A，B正确； 对于C，n不是关于m的函数，如m=8时，n可能为3，5，7，9，不符合函数的定义，故C错误； 因为0∈B，0∉A，故D错误. 解析 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 13.(多选)二次函数y=ax2+bx+c(a，b，c为常数且a≠0)的图象如图所示，则一次函数y=ax+b与反比例函数y=的图象不可能是 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 √ √ √ 由二次函数的图象可知开口向上，因此a>0；对称轴为x=->0⇒b<0； 当x=0时，y=c<0. 因为c<0，所以反比例函数y=的图象在第二、四象限，则B，C不可能； 因为a>0，b<0，所以一次函数y=ax+b的图象经过第一、三、四象限，故D不可能. 解析 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 设=t，t∈[0，+∞)，所以f(t)=t2+2t，由图象易知值域为[0，+∞). 解析 14.函数y=x+2的值域为　　　　　.  答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 [0，+∞) 15.一水池有2个进水口，1个出水口，进、出水速度如图甲、乙所示.某天从0点到6点，该水池的蓄水量如图丙所示.(至少打开一个水口) 给出以下3个论断： ①0点到3点只进水不出水； ②3点到4点不进水只出水； ③4点到6点不进水也不出水. 则正确论断的个数是 A.0　　　　　B.1　　　　　C.2　　　　　D.3 拓广探究 √ 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 由题意可知在0点到3点这段时间，每小时进水量为2，即2个进水口同时进水且不出水，故①正确； 从题干丙图可知3点到4点水量减少了1，所以应该是有一个进水口进水，同时出水口也出水，故②错； 当两个进水口同时进水，出水口也同时出水时，水量也保持不变，故③错. 解析 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 16.已知函数f(x)=x2-x+是否存在实数m，使得函数的定义域和值域都是[1，m](m>1)？若存在，求出m的值；若不存在，说明理由. 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 存在.理由如下： f(x)=x2-x+=(x-1)2+1的图象的对称轴为x=1， 顶点为(1，1)，且开口向上. ∵m>1， ∴当x∈[1，m]时，函数图象是二次函数f(x)=(x-1)2+1的图象的一部分， 解 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 ∴由函数的图象可得，要使f(x)的定义域和值域都是[1，m]， 则有 ∴m2-m+=m，即m2-4m+3=0， ∴m=3或m=1(舍)， ∴存在实数m=3满足条件. 解 第5章　§5.1　函数的概念和图象 <<< $