第4章 4.2.2 第1课时 对数的运算性质（配套课件PPT）-【步步高】2025-2026学年高一数学必修第一册学习笔记（苏教版）

该高中数学课件聚焦对数的运算性质，通过天文学家开普勒简化计算的案例导入，引导学生从指数式与对数式的转化入手，推导积、商、幂的对数运算性质，搭建指数运算到对数运算的知识支架。 其亮点在于以问题链驱动性质推导，结合课本例题与跟踪训练分层教学，培养学生数学思维中的推理能力和运算能力。课堂小结系统梳理知识与方法，课时对点练覆盖基础与综合应用，助力学生深化理解，也为教师提供结构化教学资源。

第1课时 对数的运算性质 第4章　§4.2　4.2.2　对数的运算性质 <<< 1.掌握积、商、幂的对数运算性质，理解其推导过程和成立条件. 2.能熟练运用对数的运算性质进行化简求值. 学习目标 同学们，数学运算的发展可谓是贯穿了整个人类进化史.从人们对天文、航天、航海感兴趣开始，发现数太大了，天文学家开普勒利用他的对数表简化了行星轨道的复杂计算，对数被誉为“用缩短计算时间而使天文学家延长寿命”，对整个科学的发展起了重要作用. 导 语 一、对数的运算性质 二、利用对数的运算性质化简、求值 课时对点练 三、对数运算性质的运用 内容索引 对数的运算性质 一 提示　由M=ap，N=aq得p=logaM，q=logaN. 由MN=ap+q得p+q=loga(MN). 从而得出loga(MN)=logaM+logaN(a>0，a≠1，M>0，N>0). 将指数式M=ap(a>0，且a≠1)，N=aq(a>0，且a≠1)化为对数式，结合指数运算性质MN=apaq=ap+q能否将其化为对数式？它们之间有何联系(用一个等式表示)？ 问题1 提示　将指数式=ap-q化为对数式，得 loga=p-q=logaM-logaN(a>0，a≠1，M>0，N>0). 结合问题1，若==ap-q，又能得到什么结论？ 问题2 提示　由Mn=anp，得logaMn=np=nlogaM(a>0，a≠1，M>0，n∈R). 结合问题1，若Mn=(ap)n=anp(n∈R)，又能有何结果？ 问题3 对数的运算性质 (1)loga(MN)= . (2)loga= . (3)logaMn= . 其中a>0，a≠1，M>0，N>0，n∈R. logaM+logaN logaM-logaN nlogaM 知识梳理 (1)性质的逆运算仍然成立. (2)公式成立的条件是M>0，N>0，而不是MN>0，比如式子log2[(-2)·(-3)]有意义，而log2(-2)与log2(-3)都没有意义. (3)性质(1)可以推广为：loga(N1·N2·…·Nk)=logaN1+logaN2+…+logaNk，其中Nk>0，k∈N*. 注 意 点 <<< 10 　　 (课本例4)求下列各式的值： (1)log2(23×45)； 例 1 (1)log2(23×45)=log223+log245=3+5log24=3+5×2=13. 解 (2)log5125. log5125=log553=3log55=3. 解 11 　　求下列各式的值. (1)ln； 例 1 ln=ln =ln e=. 解 (2)log3e+log3； log3e+log3=log3=log33=1. 解 12 (3)lg 50-lg 5. lg 50-lg 5=lg =lg 10=1. 解 13 对数的化简求值一般是正用或逆用公式，对真数进行处理，选哪种策略化简，取决于问题的实际情况，一般本着便于真数化简的原则进行. 反 思 感 悟 14 求下列各式的值： (1)log3(27×92)； 跟踪训练 1 方法一　log3(27×92)=log327+log392=log333+log334=3log33+4log33=3+4=7. 方法二　log3(27×92)=log3(33×34)=log337=7log33=7. 解 15 (2)lg 5+lg 2； lg 5+lg 2=lg(5×2)=lg 10=1. 解 (3)ln 3+ln ； ln 3+ln =ln=ln 1=0. 解 16 (4)log35-log315. log35-log315=log3=log3 =log33-1=-1. 解 17 二 利用对数的运算性质化简、求值 计算下列各式的值： (1)(lg 5)2+2lg 2-(lg 2)2； 例 2 原式=(lg 5)2+(2-lg 2)lg 2 =(lg 5)2+(1+lg 5)lg 2 =(lg 5)2+lg 2·lg 5+lg 2 =(lg 5+lg 2)·lg 5+lg 2 =lg 5+lg 2=1. 解 19 (2). 原式===. 解 20 对数运算性质的综合应用解题思路 (1)“收”：将同底的两个对数的和(差)合并为积(商)的对数，即公式逆用. (2)“拆”：将积(商)的对数拆成同底的两个对数的和(差)，即公式的正用. (3)“凑”：将同底数的对数凑成特殊值，如利用lg 2+lg 5 =1，进行计算或化简. 反 思 感 悟 21 计算下列各式的值： (1)lg-lg+lg； 跟踪训练 2 方法一　原式=(5lg 2-2lg 7)-×lg 2+(2lg 7+lg 5) =lg 2-lg 7-2lg 2+lg 7+lg 5 =lg 2+lg 5=(lg 2+lg 5)=lg 10=. 方法二　原式=lg-lg 4+lg 7=lg=lg()=lg =. 解 22 (2)lg 25+lg 8+lg 5×lg 20+(lg 2)2. 原式=2lg 5+2lg 2+lg 5×(2lg 2+lg 5)+(lg 2)2=2lg 10+(lg 5+lg 2)2=2+(lg10)2 =2+1=3. 解 23 对数运算性质的运用 三 (课本例5)已知lg 2≈0.301 0，lg 3≈0.477 1，求下列各式的值(结果保留4位小数)： (1)lg 12； 例 3 lg 12=lg(22×3)=lg 22+lg 3=2lg 2+lg 3≈2×0.301 0+0.477 1=1.079 1. 解 (2)lg. lg=lg 33-lg 24=3lg 3-4lg 2≈3×0.477 1-4×0.301 0=0.227 3. 解 25 已知lg 2=a，lg 3=b，则lg =　　　　. 例 3 b+3a-1 lg =lg 12-lg 5 =lg(3×22)-(1-lg 2) =lg 3+lg 22-1+lg 2 =lg 3+3lg 2-1=b+3a-1. 解析 26 用已知对数的值来表示所求对数的值时，要增强目标意识，把真数拆解成已知对数的真数，合理地把所求向已知条件转化. 反 思 感 悟 27 用lg x，lg y，lg z表示下列各式： (1)lg(xyz)； 跟踪训练 3 lg(xyz)=lg x+lg y+lg z. 解 (2)lg ； lg =lg(xy2)-lg z=lg x+lg y2-lg z=lg x+2lg y-lg z. 解 28 (3)lg ； lg =lg(xy3)-lg =lg x+lg y3-lg =lg x+3lg y-lg z. 解 (4)lg . lg=lg -lg(y2z)=lg -(lg y2+lg z)=lg x-2lg y-lg z. 解 29 1.知识清单： (1)对数的运算性质. (2)利用对数的运算性质化简、求值. (3)对数运算性质的运用. 2.方法归纳：转化法. 3.常见误区：要注意对数的运算性质的结构形式，易混淆，且不可自创运算法则. 课堂小结 课时对点练 四 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 答案 A A B A D BD 1 2 题号 11 12 13 14 　15 答案 C D BD 1 直角三角形 对一对 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 9. 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 ∵lg 2=m，lg 3=n， ∴===. 10. 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 (1)原式=log3+lg(25×4)+2=log3+lg 102+2=-+2+2=. (2)原式=2log32-(log325-log39)+3log32-=2log32-5log32+2log33+ 3log32-9=2-9=-7. 16. 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 由题意， 得lg(267-1)≈lg 267=67lg 2≈67×0.301=20.167， ∴267-1≈1020.167， ∴267-1这个“梅森素数”的位数为21位. 基础巩固 1.log242+log243+log244等于 A.1 B.2 C.24 D. √ 原式=log24(2×3×4)=log2424=1. 解析 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 2.计算lg 2-lg-eln 2等于 A.-1 B. C.3 D.-5 √ 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 原式=lg-2=-1. 解析 3.下列计算正确的是 A.(a3)2=a9 B.log26-log23=1 C.=0 D.log3(-4)2=2log3(-4) √ 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 由题意，根据实数指数幂的运算， 可得=a6=a0=1， 所以A，C不正确； 由对数的运算性质，可得log26-log23=log2=log22=1，所以B正确； 根据对数的化简，可得log3(-4)2=2log34， 而log3(-4)无意义，所以D不正确. 解析 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 4.已知3a=2，那么log38-2log36用a表示为 A.a-2 B.5a-2 C.3a-(1+a)2 D.3a-a2 √ 因为3a=2，所以a=log32， 所以log38-2log36=log323-2(log32+1)=log32-2=a-2. 解析 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 5.已知xlog32=1，则2x+2-x的值是 A.1 B.3 C. D. √ 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 由xlog32=1，可知log32x=1，即2x=3， 故2x+2-x=3+=. 解析 对于A，lg x+lg y=lg(xy)，故A不正确； 对于B，根据对数的运算法则得lg=lg x-lg y，故B正确； 对于C，lg x2=2lg x，故C不正确； 对于D，lg=lg y3-lg=lg y3-lg =3lg y-lg x，故D正确. 解析 6.(多选)若x>0，y>0，则下列各式中，一定成立的是 A.lg x+lg y=lg(x+y) B.lg=lg x-lg y C.lg x2=(lg x)2 D.lg=3lg y-lg x √ 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 √ 7.lg+lg的值是　　　　.  答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1 原式=lg=lg 10=1. 解析 8.若a=log49，b=log46，则a-2b+2a=　　　.  因为a=log49，b=log46，所以a-2b+2a=log49-2log46+=log49-log436+ =log4+=-1+=-1+3=2. 解析 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 2 9.已知lg 2=m，lg 3=n，试用m，n表示. ∵lg 2=m，lg 3=n， ∴===. 解 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 原式=log3+lg(25×4)+2=log3+lg 102+2=-+2+2=. 解 10.计算下列各式的值： (1)log3+lg 25+lg 4+； 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 原式=2log32-(log325-log39)+3log32-=2log32-5log32+2log33+3log32-9=2-9=-7. 解 (2)2log32-log3+log38-. 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 11.在科技史上，对数的发明大大缩短了计算时间，为人类研究科学和了解自然起了重大作用，对数对估算“天文数字”具有独特优势.已知lg 2≈0.301，lg 5≈0.699，则6.25500约为 A.10198 B.10278 C.10398 D.10428 √ 综合运用 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 由于6.25500==设=x， 则lg x=lg=1 000lg=1 000(lg 5-lg 2)≈1 000×(0.699-0.301)=398， 所以x≈10398，即6.25500≈10398. 解析 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 12.已知logax=2，logbx=1，logcx=4(a，b，c，x>0且a，b，c，x≠1)，则logx(abc)等于 A. B. C. D. √ 由题意得x=a2=b=c4， 所以(abc)4=x7， 所以abc=即logx(abc)=. 解析 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 13.(多选)已知2log3+log3b=0，则下列等式一定正确的是 A.(2a)2=2b B.a·eln a=b C.b=2a D.log2b=2log2a 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 √ √ 由2log3+log3b=0，得a>0，b>0， 且log3a-2+log3b=0， 即log3(a-2b)=0， 所以a-2b=1，b=a2，所以b=2a不总是成立，故C错误； 若(2a)2=2b，即22a=2b，则b=2a，结合以上分析可知A错误； 由于a2=b，则a·eln a=a·a=a2=b，故B正确； 又2log2a=log2a2=log2b，故D正确. 解析 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 根据题意，由根与系数的关系可知 ln a+ln b=2，ln a·ln b= 所以=(ln b-ln a)2=(ln b+ln a)2-4ln a·ln b=22-4×=1. 解析 14.若ln a，ln b是方程4x2-8x+3=0的两个根，则=　　　　.  答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1 由题意得Δ=4-4log2(c2-b2)+8log2a-4=0， ∴2log2a=log2(c2-b2).∴a2=c2-b2， 故有a2+b2=c2.∴△ABC为直角三角形. 解析 15.设a，b，c为△ABC的三边的长，且关于x的方程x2-2x+log2(c2-b2)-2log2a +1=0有两个相等的实数根，那么这个三角形的形状是　　　　 .  拓广探究 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 直角三角形 16.法国数学家马林·梅森是研究素数的数学家中成就很高的一位，人们将“2p-1(p为素数)”形式的素数称为“梅森素数”，目前仅发现51个“梅森素数”，问267-1这个“梅森素数”的位数是多少？(参考数据： lg 2≈0.301) 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 由题意，得lg(267-1)≈lg 267=67lg 2 ≈67×0.301=20.167， ∴267-1≈1020.167， ∴267-1这个“梅森素数”的位数为21位. 解 第4章　§4.2　4.2.2　对数的运算性质 <<< $