第4章 4.1.2 指数幂的拓展（配套课件PPT）-【步步高】2025-2026学年高一数学必修第一册学习笔记（苏教版）

该高中数学课件聚焦指数幂的拓展，核心内容包括根式与分数指数幂的互化、指数幂运算性质及整体代换法的应用。课堂导入通过牛顿与莱布尼茨的通信历史情境，从整数指数幂自然过渡到分数指数幂，再延伸至实数指数幂，构建起完整的知识脉络支架。 其亮点在于融合数学眼光、思维与语言：以历史背景激发探究兴趣，体现数学观察现实世界的视角；通过运算性质推导和整体代换例题（如已知x+x⁻¹=7求指数幂），培养学生逻辑推理的数学思维；规范符号表示与规律总结（如根指数与分数指数互化规律），强化数学语言表达。采用讲练结合模式，学生能系统掌握知识提升能力，教师可直接利用习题与解析优化教学效率。

4.1.2 指数幂的拓展 第4章　§4.1　指　数 <<< 通过对有理数指数幂(a>0，且a≠1，m，n为整数，且n>0)、实数指数幂ax(a>0，且a≠1，x∈R)含义的认识，了解指数幂的拓展过程，掌握指数幂的运算性质. 学习目标 牛顿(Newton 1643-1727)是大家所熟悉的物理学家，可是你知道他在数学史上的贡献吗？他在1676年6月13日写给莱布尼茨的信里说：“因为数学家将aa，aaa，aaaa，…写成a2，a3，a4，…，所以可将…写成…，将…写成a-1，a-2，a-3， …”，这是牛顿首次使用任意实数指数，这正是这节课我们要学习的指数幂的拓展过程. 导 语 一、根式与分数指数幂的互化 二、利用指数幂的运算性质化简和求值 课时对点练 三、整体代换法求分数指数幂 内容索引 根式与分数指数幂的互化 一 提示　======. 被开方数的指数不能被根指数整除的根式，比如 a>0，是否也可以表示为分数指数幂的形式？如何表示？ 问题 分数指数幂的意义 (1)规定正数的正分数指数幂的意义：=(a>0，m，n∈N*，n>1). (2)规定正数的负分数指数幂的意义：=(a>0，m，n∈N*，n>1). (3)0的正分数指数幂为 ，0的负分数指数幂 . 没有意义 0 知识梳理 (1)分数指数幂不可理解为个a相乘，它是根式的一种写法. (2)正数的负分数指数幂总表示正数，而不是负数. 注 意 点 <<< 8 　　 (1)用根式的形式表示下列各式(x>0). ①； 例 1 =. 解 ②. =. 解 9 (2)把下列根式化成分数指数幂的形式，其中a>0. ①； =. 解 ②. ===a3. 解 10 根式与分数指数幂互化的规律 (1)根指数↔分数指数的分母，被开方数(式)的指数↔分数指数的分子. (2)如果根式中含有多重根号，要由里向外用分数指数幂写出. 反 思 感 悟 11 把下列根式化成分数指数幂的形式，其中a>0. (1)； 跟踪训练 1 ==. 解 (2). ==. 解 12 二 利用指数幂的运算性质化简和求值 1.对于有理数指数幂，原整数指数幂的运算性质保持不变，即： (1)asat=as+t(a>0，s，t∈Q)； (2)(as)t=ast(a>0，s，t∈Q)； (3)(ab)t=atbt(a>0，b>0，t∈Q)； (4)拓展：①=as-t(a>0，s，t∈Q)， ②=(a>0，b>0，t∈Q). 2.一般地，当a>0且x是一个无理数时，ax是一个确定的 .有理数指数幂的运算性质对无理数指数幂同样适用. 实数 (1)有理数指数幂的运算性质记忆口诀：乘相加，除相减，幂相乘. (2)不要自创公式，严格按照公式化简、运算. 注 意 点 <<< 15 化简求值： (1)+2-2×-(0.01)0.5； 例 2 原式=1+×-=. 解 16 (2)-++-π0； 原式=-++-1 =-++-1=3. 解 17 (3)(a-2b-3)×(-4a-1b)÷(12a-4b-2c)(a>0，b>0，c≠0). 原式=-4a-2-1b-3+1÷(12a-4b-2c) =-a-3-(-4)b-2-(-2)c-1 =-ac-1=-. 解 18 指数幂运算的常用技巧 (1)有括号先算括号里的，无括号先进行指数运算. (2)负指数幂化为正指数幂的倒数. (3)底数是小数，先要化成分数；底数是带分数，先要化成假分数，然后要尽可能用幂的形式表示，便于运用指数幂的运算性质. 反 思 感 悟 19 化简求值： (1)0.02-+25+(2-3-1+π0； 跟踪训练 2 原式=(0.33-+(44+(-+1=0.3-+43+2-+1=64. 解 20 (2)((m>0)； 原式==26m3=64m3. 解 (3)2÷4×3(a>0，b>0). 原式=2÷(4)×(3)=×3=. 解 21 整体代换法求分数指数幂 三 已知x+x-1=7，求值： (1)+； 例 3 设m=+ 两边平方得m2=x+x-1+2=7+2=9， 因为m>0，所以m=3，即+=3. 解 23 (2)x2+x-2； 将x+x-1=7两边平方得x2+x-2+2=49， 所以x2+x-2=47. 解 24 (3)-； 设n=- 两边平方得n2=x+x-1-2=7-2=5， 因为n∈R，所以n=± 即-=±. 解 25 (4)x2-x-2. 由(1)(3)知+=3， -=±. 所以x-x-1=(+)(-)=±3 x2-x-2=(x+x-1)(x-x-1)=±21. 解 26 利用整体代换法求分数指数幂 (1)整体代换法是数学变形与计算常用的技巧方法，分析观察条件与结论的结构特点，灵活运用恒等式是关键. (2)利用整体代换法解决分数指数幂的计算问题，常常运用完全平方公式及其变形公式. x2+x-2=(x±x-1)2 ∓2，x+x-1=(±)2∓2+= (± )2∓2. 反 思 感 悟 27 已知9x=5，求的值. 跟踪训练 3 由9x=5，得9-x= 则9x+9-x=即(3x+3-x)2-2= ∴(3x+3-x)2= 又∵3x+3-x>0，∴3x+3-x= ∴=3x+3-x=. 解 28 1.知识清单： (1)根式与分数指数幂的互化. (2)分数指数幂的运算. 2.方法归纳：整体代换法. 3.常见误区：在运用分数指数幂的运算性质化简时，其结果不能同时含有根式和分数指数，也不能既含有分母又含有负指数. 课堂小结 课时对点练 四 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 答案 D B D A D C 1 题号 11 12 13 14 　15 答案 C A BD 4 ± 对一对 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 9. 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 (1)(-)(3)·(-2) =[-1×3×(-2)]· =6x0y1=6y. (2)2(-3)÷(-6) =[2×(-3)÷(-6)]·=x2y. 10. 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 (1)原式=7×-3××2-6×+(3× =-6×+ =2×-2×3× =2×-2×=0. 10. 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 (2)原式=-(3×1)-1×-10×(0.33 =-×-10×0.3 =--3=0. 16. 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 因为2a·3b=2c·3d=6， 故2a-1·3b-1=1，2c-1·3d-1=1， 所以2a-1=31-b，2c-1=31-d， 所以2(a-1)(1-d)=3(1-b)(1-d)，2(c-1)(1-b)=3(1-b)(1-d)， 故2(a-1)(1-d)=2(c-1)(1-b)， 所以(a-1)(1-d)=(c-1)(1-b)， 故(a-1)(d-1)=(b-1)(c-1). 基础巩固 1.若(1-2x有意义，则x的取值范围是 A.R B.∪ C. D. √ 将分数指数幂化为根式，可知需满足1-2x>0，解得x<. 解析 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 2.将化为分数指数幂为 A. B.- C. D.- √ 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 ===-. 解析 3.下列运算中正确的是 A.= B.(-a2)3=(-a3)2 C.(-2)0=1 D.(-)5=- √ =故A错误； (-a2)3=-a2×3=-a6，(-a3)2=a6，故B错误； 当a=4时，(-2)0无意义，故C错误； (-)5=-故D正确. 解析 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 4.化简(2a-3)(-3a-1b)÷(4a-4)(a>0，b>0)得 A.-b2 B.b2 C.- D. √ 原式==-b2. 解析 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 5.下列各式中正确的是 A.= B.=x(x>0，y>0) C.=- D.=(x≠0，y≠0) √ 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 ==故A错误； ==(xy(x>0，y>0)，故B错误； 取a=8，b=1，则=-=3，故C错误； ==(x≠0，y≠0)，故D正确. 解析 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 6.若3a·9b=则下列等式正确的是 A.a+b=-1 B.a+b=1 C.a+2b=-1 D.a+2b=1 √ 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 ∵3a·9b=3a·32b=3a+2b==3-1， ∴a+2b=-1. 解析 7.化简：=　　　.  答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1 原式====1. 解析 8.已知-=3，则+=　　　　.  =a+a-1+2=+4=9+4=13. 因为+>0， 所以+=. 解析 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 9.化简下列各式(x>0，y>0)： (1)(-)(3)(-2)； (-)(3)(-2) =[-1×3×(-2)] =6x0y1=6y. 解 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 (2)2(-3)÷(-6). 2(-3)÷(-6) =[2×(-3)÷(-6)]=x2y. 解 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 原式=7×-3××2-6×+(3× =-6×+ =2×-2×3×=2×-2×=0. 解 10.计算： (1)7-3-6+； 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 原式=-(3×1)-1×-10×(0.33 =-×-10×0.3 =--3=0. 解 (2)0.008 -×-10×0.02. 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 11.(a>0)等于 A.a16 B.a8 C.a4 D.a2 √ 综合运用 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 原式==a2a2=a2+2=a4. 解析 12.已知2a=5b=m，且+=2，则m等于 A. B.10 C.20 D.100 √ 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 由题意得m>0，∵2a=m，5b=m， ∴2=5=∵2×5== ∴m2=10，∴m=. 解析 13.(多选)设m，n是方程2x2+3x-1=0的两根，则下面各式的值等于8的有 A.m2+n2 B. C.64mn D. 因为m，n是方程2x2+3x-1=0的两根，所以由根与系数的关系可得m+n= -mn=-所以m2+n2=(m+n)2-2mn=；===8；64mn=6=；===8. 解析 √ √ 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 因为 所以①×②得a3m=26，所以am=22. 将am=22代入②得22·a-n=28， 所以an=2-6，所以a4m+n=a4m·an=(am)4·an=(22)4·2-6=22=4. 解析 14.已知a2m+n=2-2，am-n=28(a>0，且a≠1)，则a4m+n的值为　　　　.  答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 4 因为x+x-1=3，则(x+x-1)2=x2+x-2+2=9，可得x2+x-2=7，则(x-x-1)2=x2+x-2-2=5，可得x-x-1=±且x3+x-3=(x+x-1)·(x2+x-2-1)=3×(7-1)=18，所以==±. 解析 15.已知x+x-1=3，则=　　　　.  拓广探究 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 ± 因为2a·3b=2c·3d=6， 故2a-1·3b-1=1，2c-1·3d-1=1， 所以2a-1=31-b，2c-1=31-d， 所以2(a-1)(1-d)=3(1-b)(1-d)，2(c-1)(1-b)=3(1-b)(1-d)， 故2(a-1)(1-d)=2(c-1)(1-b)， 所以(a-1)(1-d)=(c-1)(1-b)， 故(a-1)(d-1)=(b-1)(c-1). 证明 16.已知2a·3b=2c·3d=6，求证：(a-1)(d-1)=(b-1)(c-1). 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 第4章　§4.1　指　数 <<< $