4.2.2 对数的运算性质-【正禾一本通】2025-2026学年高中数学必修第一册同步课堂高效讲义配套课件（苏教版）

该高中数学课件聚焦“对数的运算性质”，系统梳理对数的积、商、幂运算性质及换底公式，通过自主预习导入新知，课堂上从性质条件推导到公式应用，结合例题解析与分层练习，构建“预习-讲解-巩固”的学习支架，衔接指数与对数的知识脉络。 其亮点在于以数学思维为核心，通过“收”“拆”等方法总结运算策略，结合素数个数估计等实际问题培养数学眼光，例题解析注重逻辑推理与规范表达，帮助学生提升运算能力与应用意识，教师可借助分层题型与总结要点高效开展教学。

数学·必修·第一册(苏教) 第4章 指数与对数 4．2．2　对数的运算性质 logaM＋logaN logaM－logaN nlogaM 课下培优巩固练（十九） [课程标准]　1.理解对数运算性质．　2.知道用换底公式能将一般对数转化成自然对数或常用对数． 一、对数的运算性质 条件 a>0，且a≠1，M>0，N>0 性质 loga(MN)＝________________ loga eq \f(M,N) ＝________________ logaMn＝________________ (n∈R) 二、换底公式 logab＝ eq \f(logcb,logca) (a>0，且a≠1，b>0，c>0，且c≠1). 微点拔：利用对数换底公式可以得出常用的推论： (1)logab·logba＝1⇔logab＝ eq \f(1,logba) ； (2) 【基点小试】 1．（苏教版必修一P84T2改编）2log510＋log50.25＝(　　) A．0 B．1 C．2 D．4 答案：C 解析：2log510＋log50.25＝log5100＋log50.25＝log5100×0.25＝log525＝log552＝2log55＝2. 2．lg 0.01＋log216的值是________． 解析：lg 0.01＋log216＝－2＋4＝2. 答案：2 3．（苏教版必修一P85例8改编）log23·log34·log42＝________． 解析：log23·log34·log42＝ eq \f(lg 3,lg 2) · eq \f(lg 4,lg 3) · eq \f(lg 2,lg 4) ＝1. 答案：1 4．（一题多法）若logab·logbc·logc3＝2，则a的值为________． 解析：法一　由已知可得 eq \f(lg b,lg a) · eq \f(lg c,lg b) · eq \f(lg 3,lg c) ＝2，即 eq \f(lg 3,lg a) ＝2，∴lg 3＝2lg a， ∴a2＝3，a＝ eq \r(3) . 法二　由已知得logab· eq \f(logac,logab) · eq \f(loga3,logac) ＝2，即loga3＝2，∴a＝ eq \r(3) . 答案： eq \r(3) 题型一　对数运算性质的应用 例1. 计算：(1) eq \f(lg \r(27)＋lg 8－lg \r(1 000),lg 1.2) ； (2)(lg 5)2＋lg 2＋lg 2·lg 5. 解：(1)原式＝ eq \f(\f(3,2)lg 3＋3lg 2－\f(3,2),lg 3＋2lg 2－1) ＝ eq \f(\f(3,2)（lg 3＋2lg 2－1）,lg 3＋2lg 2－1) ＝ eq \f(3,2) . (2)原式＝lg 2＋lg 5(lg 5＋lg 2)＝lg 2＋lg 5＝1. [总结] 　底数相同的对数式的化简和求值的原则、方法及注意事项 (1)基本原则对数的化简求值一般是正用或逆用公式，对真数进行处理，选哪种策略化简，取决于问题的实际情况，一般本着便于真数化简的原则进行． (2)两种常用方法 ①“收”，将同底的两对数的和(差)收成积(商)的对数； ②“拆”，将积(商)的对数拆成同底的两对数的和(差). (3)注意事项 ①对于常用对数的化简要充分利用“lg 5＋lg 2＝lg 10＝1”解题． ②准确应用以下结论： loga1＝0， logaa＝1， alogaN＝N(a>0，且a≠1，N>0). 【练一练】 1．计算：(1)2log32－log3 eq \f(32,9) ＋log38－25log53 (2)lg 14－2lg eq \f(7,3) ＋lg 7－lg 18. 解：(1)原式＝log34－log3 eq \f(32,9) ＋log38－25log259＝log3 eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(4×\f(9,32)×8)) －9＝log39－9＝2－9＝－7. (2)原式＝lg 14－lg eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(7,3))) eq \s\up12(2) ＋lg 7－lg 18＝lg eq \f(14×7,\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(7,3)))\s\up12(2)×18) ＝lg 1＝0. 题型二　换底公式的应用 角度1　用已知对数式表示对数值 例2. 已知log37＝a，2b＝3，试用a，b表示log1456. 解：因为2b＝3，所以b＝log23，即log32＝ eq \f(1,b) ， log1456＝ eq \f(log356,log314) ＝ eq \f(log3（23×7）,log3（2×7）) ＝ eq \f(3log32＋log37,log32＋log37) ＝ eq \f(\f(3,b)＋a,\f(1,b)＋a) ＝ eq \f(3＋ab,1＋ab) . 【母题探究】　(1)若把本例中条件“2b＝3”换为3b＝2，其他条件不变，用a，b表示log1456. 解：因为3b＝2，所以b＝log32，又因为a＝log37，所以log1456＝ eq \f(log356,log314) ＝ eq \f(log3（23×7）,log3（2×7）) ＝ eq \f(3log32＋log37,log32＋log37) ＝ eq \f(3b＋a,a＋b) . (2)本题中a不变，b＝log36，试用a，b表示log1456. 解：因为log36＝log33＋log32＝b，所以log32＝b－1.又因为log37＝a，所以log1456＝ eq \f(3log32＋log37,log32＋log37) ＝ eq \f(3b－3＋a,a＋b－1) . [总结] 　用已知对数式的值表示不同底数的对数值，首先将待求式用换底公式表示为已知对数式的底数的对数，然后将真数统一为已知对数的真数的乘积的形式． 角度2　应用换底公式求值 例3. 计算：(1)log1627log8132； (2)(log32＋log92)(log43＋log83). 解：(1)log1627log8132＝ eq \f(lg 27,lg 16) × eq \f(lg 32,lg 81) ＝ eq \f(lg 33,lg 24) × eq \f(lg 25,lg 34) ＝ eq \f(3lg 3,4lg 2) × eq \f(5lg 2,4lg 3) ＝ eq \f(15,16) . (2)(log32＋log92)(log43＋log83) ＝ eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(log32＋\f(log32,log39))) eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(log23,log24)＋\f(log23,log28))) ＝ eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(log32＋\f(1,2)log32)) eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)log23＋\f(1,3)log23)) ＝ eq \f(3,2) log32× eq \f(5,6) log23 ＝ eq \f(5,4) × eq \f(lg 2,lg 3) × eq \f(lg 3,lg 2) ＝ eq \f(5,4) . [总结] 1.利用换底公式化简求值时应注意的问题 ①针对具体问题，选择恰当的底数． ②注意换底公式与对数运算法则结合使用． ③换底公式的正用与逆用． ④恰当应用换底公式的两个常用结论． 2．利用换底公式计算、化简、求值的思路 【练一练】 2. 设a＝lg 6，b＝lg 20，则log23等于(　　) A． eq \f(a＋b－1,b＋1) B． eq \f(a＋b－1,b－1) C． eq \f(a－b＋1,b＋1) D． eq \f(a－b＋1,b－1) 答案： D 解析：因为a＝lg 6＝lg 2＋lg 3，b＝lg 20＝1＋lg 2，所以log23＝ eq \f(lg 3,lg 2) ＝ eq \f(a－b＋1,b－1) ，故选D. 3．(2025·苏州高一上期末)计算( eq \f(27,8)) eq \s\up6(\f(1,3))＋eln 2＋log23·log34的值为________． 解析：原式＝( eq \f(3,2))3× eq \f(1,3)＋2＋ eq \f(ln 3,ln 2)· eq \f(2ln 2,ln 3)＝ eq \f(3,2)＋2＋2＝ eq \f(11,2). 答案： eq \f(11,2) 题型三　对数运算的综合应用 例4. 如果方程(lg x)2＋(lg 7＋lg 5)·lg x＋lg 7·lg 5＝0的两根是α，β，求αβ的值． 解：方程(lg x)2＋(lg 7＋lg 5)lg x＋lg 7·lg 5＝0可以看成关于lg x的二次方程． ∵α，β是原方程的两根，∴lg α，lg β可以看成关于lg x的二次方程的两根． 由韦达定理，得lg α＋lg β＝－(lg 7＋lg 5)＝－lg 35＝lg eq \f(1,35) ， ∴lg (αβ)＝lg α＋lg β＝lg eq \f(1,35) ，∴αβ＝ eq \f(1,35) . [总结] 　只有在一元二次方程中才能应用韦达定理．α，β尽管是原方程的根，但原方程并非是关于x的一元二次方程，所以不能对α，β直接应用韦达定理．而lg α，lg β是关于lg x的二次方程的根，从而可以应用韦达定理求解． 【练一练】 4．若lg a，lg b是方程2x2－4x＋1＝0的两个根，则 eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(lg \f(a,b))) eq \s\up12(2) 的值等于(　　) A．2 B． eq \f(1,2) C．4 D． eq \f(1,4) 答案：A 解析：由韦达定理，得lg a＋lg b＝2，lg a·lg b＝ eq \f(1,2) ，则 eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(lg \f(a,b))) eq \s\up12(2) ＝(lg a－lg b)2＝(lg a＋lg b)2－4lg a·lg b＝22－4× eq \f(1,2) ＝2. 题型四　实际问题中的对数运算 例5. 2018年9月24日，阿贝尔奖和菲尔兹奖双料得主、英国著名数学家阿蒂亚爵士宣布自己证明了黎曼猜想，这一事件引起了数学界的震动．在1859年的时候，德国数学家黎曼向科学院提交了题目为《论小于某值的素数个数》的论文并提出了一个命题，也就是著名的黎曼猜想．在此之前，著名数学家欧拉也曾研究过这个问题，并得到小于数字x的素数个数大约可以表示为π(x)≈ eq \f(x,ln x) 的结论．若根据欧拉得出的结论，估计1 000以内的素数的个数为(　　) (素数即质数．lg e≈0.434 29，计算结果取整数) A．768 B．144 C．767 D．145 答案： D 解：由题意，小于数字x的素数个数大约可以表示为π(x)＝ eq \f(x,ln x) ，则估计1 000以内的素数的个数约为π(1 000)≈ eq \f(1 000,ln 1 000) ＝ eq \f(1 000,\f(lg 1 000,lg e)) ≈ eq \f(1 000,\f(3,0.43 429)) ≈145. [总结] 　关于对数运算在实际问题中的应用 (1)在与对数相关的实际问题中，先将题目中数量关系理清，再将相关数据代入，最后利用对数运算性质、换底公式进行计算． (2)在与指数相关的实际问题中，可将指数式利用取对数的方法，转化为对数运算，从而简化复杂的指数运算． 【练一练】 5．根据有关资料，汽车二级自动驾驶仪能够处理空间复杂度的上限M约为1010，目前人类可预测的地面危机总数N约为36×230.则下列各数中与 eq \f(M,N) 最接近的是(　　) (参考数据：lg 2≈0.30，lg 3≈0.48) A． eq \f(1,10) B． eq \f(1,100) C． eq \f(1,1 000) D． eq \f(1,10 000) 答案：B 解析：由题意得： eq \f(M,N) ＝ eq \f(1010,36×230) ，两边取常用对数，可得lg eq \f(M,N) ＝lg 1010－lg 36－lg 230≈10－6×0.48－30×0.30＝－1.88. ∴ eq \f(M,N) ＝10－1.88≈ eq \f(1,100) . $