第4章 4.2.1 对数的概念（配套课件PPT）-【步步高】2025-2026学年高一数学必修第一册学习笔记（苏教版）

该高中数学课件聚焦对数的概念、常用对数、自然对数，以及指数式与对数式的互化、对数计算和性质。通过指数方程（如2^x=3）无法求解的问题导入，衔接已学指数知识，搭建从指数到对数的学习支架。 其亮点在于以问题驱动培养数学眼光，通过转化法（如指数式与对数式互化步骤）发展数学思维，规范解题过程（如设对数求值得步骤）提升数学语言表达。例题与跟踪训练结合，帮助学生深化理解，教师可高效教学。

4.2.1 对数的概念 第4章　§4.2　对　数 <<< 1.了解对数、常用对数、自然对数的概念. 2.会进行对数式与指数式的互化. 3.会求简单的对数值. 学习目标 我们知道若2x=4，则x=2；若3x=81，则x=4；若=128，则x=-7等等这些方程，我们可以轻松求出x的值，但对于2x=3，1.11x=2，10x=5等这样的指数方程，你能求出方程的解吗？为了解决这个问题，早在18世纪的欧拉为我们提供了解决问题的方案，这节课我们就一起来看看如何解决这一问题的. 导 语 一、指数式与对数式的互化 二、对数的计算 课时对点练 三、利用对数的性质求值 内容索引 指数式与对数式的互化 一 1.一般地，如果ab=N(a>0，a≠1)，那么就称b是以a为底N的对数，记作 ，其中，a叫作对数的 ，N叫作 .如图所示： logaN=b 底数 真数 2.两类特殊对数 (1)通常将以10为底的对数称为常用对数，对数log10N简记为lg N. (2)以无理数e=2.718 28…为底的对数称为自然对数，正数N的自然对数logeN一般简记为ln N. (1)对数是由指数转化而来，则底数a、指数或对数b、幂或真数N的范围不变，只是位置和名称发生了变换，即在对数式中，a>0，且a≠1，N>0. (2)logaN的读法：以a为底N的对数. 注 意 点 <<< 8 　　 (1)(课本例1)将下列指数式改写成对数式： ①24=16； 例 1 log216=4. 解 ②3-3=； log3=-3. 解 9 ③5a=20； log520=a. 解 ④=0.45. lo0.45=b. 解 10 (2)(课本例2)将下列对数式改写成指数式： ①log5125=3； 53=125. 解 ②lo3=-2； =3. 解 11 ③log10a=-1.699. 10-1.699=a. 解 12 　　将下列对数式化为指数式或将指数式转化为对数式： (1)33=27； 例 1 ∵33=27，∴log327=3. 解 (2)lo8=-3； ∵lo8=-3，∴=8. 解 13 (3)5a=16； ∵5a=16，∴log516=a. 解 (4)log5a=20. ∵log5a=20，∴520=a. 解 14 指数式与对数式互化的思路 (1)指数式化为对数式：将指数式的幂作为真数，指数作为对数，底数不变，写出对数式. (2)对数式化为指数式：将对数式的真数作为幂，对数作为指数，底数不变，写出指数式. 反 思 感 悟 15 将下列对数式化为指数式或将指数式转化为对数式： (1)3-2=； 跟踪训练 1 log3=-2. 解 (2)=125； lo125=-3. 解 16 (3)lo27=-3； =27. 解 (4)lo64=-6(x>0，且x≠1). ()-6=64(x>0，且x≠1). 解 17 二 对数的计算 (课本例3)求下列各式的值： (1)log264； 例 2 由26=64，得log264=6. 解 (2)log927. 设x=log927，则根据对数的定义知9x=27，即32x=33， 得2x=3，x=所以log927=. 解 19 (1)求下列各式的值. ①log981=　　　　；  例 2 2 设log981=x，所以9x=81=92， 故x=2，即log981=2. 解析 20 ②log0.41=　　　；  0 设log0.41=x，所以0.4x=1=0.40， 故x=0，即log0.41=0. 解析 21 ③ln e2=　　　.  2 设ln e2=x， 所以ex=e2，故x=2，即ln e2=2. 解析 22 (2)求下列各式中x的值. ①log27x=-； 由log27x=- 得x=2==3-2=. 解 23 ②logx16=-4. 由logx16=-4，得x-4=16， 即x4== 又x>0，且x≠1，∴x=. 解 24 求对数式logaN(a>0，且a≠1，N>0)的值的步骤 (1)设logaN=m. (2)将logaN=m写成指数式am=N. (3)将N写成以a为底的指数幂N=ab，则m=b，即logaN=b. 反 思 感 悟 25 求下列各式的值： (1)log28； 跟踪训练 2 设log28=x，则2x=8=23. ∴x=3.∴log28=3. 解 26 (2)log9； 设log9=x，则9x==9-1， ∴x=-1.∴log9=-1. 解 27 (3)ln e； 设ln e=x，则ex=e， ∴x=1，∴ln e=1. 解 28 (4)lg 100. 设lg 100=x，则10x=100=102， ∴x=2， ∴lg 100=2. 解 29 利用对数的性质求值 三 对数的性质 (1)loga1=0(a>0，a≠1). (2)logaa=1(a>0，a≠1). (3)零和负数没有对数. (4)对数恒等式：=N； logaax=x(a>0，a≠1，N>0). 31 求下列各式中x的值： (1)log2(log5x)=0； 例 3 ∵log2(log5x)=0， ∴log5x=20=1， ∴x=51=5. 解 32 (2)log3(lg x)=1； ∵log3(lg x)=1， ∴lg x=31=3， ∴x=103=1 000. 解 33 (3)x=. x==7÷=7÷5=. 解 34 利用对数的性质求值的方法 (1)求解此类问题时，应根据对数的两个结论loga1=0和logaa=1(a>0且a≠1)，进行变形求解，若已知对数值求真数，则可将其化为指数式运算. (2)已知多重对数式的值，求变量值，应从外到内求，逐步脱去“log ”后再求解. 反 思 感 悟 35 求下列各式中x的值. (1)log8[log7(log2x)]=0； 跟踪训练 3 由log8[log7(log2x)]=0， 得log7(log2x)=1，即log2x=7， ∴x=27. 解 36 (2)log2[log3(log2x)]=1. 由log2[log3(log2x)]=1， 得log3(log2x)=2， ∴log2x=32=9，∴x=29. 解 37 1.知识清单： (1)对数的概念. (2)自然对数、常用对数. (3)指数式与对数式的互化. (4)对数的性质. 2.方法归纳：转化法. 3.常见误区：易忽视对数式中底数与真数的范围. 课堂小结 课时对点练 四 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 答案 D A B D ABD C 0 题号 11 12 13 14 　15 答案 B AB -3 　A 对一对 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 9. 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 (1)log3243=5. (2)log2=-5. (3)=81. (4)27=128. 10. 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 ∵lox=m，∴=x， x2=. ∵loy=m+2，∴=y，y=. ∴====16. 16. 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 由log2[lo(log2x)]=0， 得lo(log2x)=1，log2x=， 即x=. 同理y=，z=. ∵y===， 16. 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 x===， ∴y>x. 又x===3， z===2， ∴x>z，∴y>x>z. 基础巩固 1.lg 10 000等于 A.1 B.2 C.3 D.4 √ 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 2.已知logx16=2，则x等于 A.4 B.±4 C.256 D.2 √ 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 logx16=2改写成指数式为x2=16，但x作为对数的底数，必须取正值，∴x=4. 解析 3.使对数loga(-2a+1)有意义的a的取值范围为 A.a>且a≠1 B.0<a< C.a>0，且a≠1 D.a< √ 由题意知解得0<a<. 解析 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 4.方程=的解是 A.9 B. C. D. √ ∵==2-2，∴log3x=-2， ∴x=3-2=. 解析 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 5.(多选)下列等式正确的有 A.lg(lg 10)=0 B.lg(ln e)=0 C.若lg x=10，则x=10 D.若ln x=e，则x=ee √ 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 A项，lg(lg 10)=lg 1=0； B项，lg(ln e)=lg 1=0； C项，若lg x=10，则x=1010； D项，若ln x=e，则x=ee. 解析 √ √ 6.设a=log525，b=lgc=则 A.a<b<c B.c<b<a C.b<a<c D.b<c<a √ 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 a=log525=2，b=lg=-1，c===42=16， 所以b<a<c. 解析 7.-2-lg 0.01+ln e3=　　　　.  答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 0 -2-lg 0.01+ln e3=4-(33-lg 10-2+3=4-32-(-2)+3=0. 解析 8.若a=log23，则2a+2-a=　　　　.  ∵a=log23，∴2a==3， ∴2a+2-a=2a+=3+=. 解析 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 (2)2-5=； log2=-5. 解 9.将下列指数式、对数式互化. (1)35=243； log3243=5. 解 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 (4)log2128=7. 27=128. 解 (3)lo81=-4； =81. 解 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 ∵lox=m，∴=x，x2=. ∵loy=m+2，∴=y，y=. ∴====16. 解 10.若lox=m，loy=m+2，求的值. 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 11.已知x2+y2-4x-2y+5=0，则logxyx的值是 A.1 B.0 C.x D.y √ 综合运用 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 由x2+y2-4x-2y+5=0， 得(x-2)2+(y-1)2=0，∴x=2，y=1， ∴logxyx=log212=0. 解析 12.(多选)下列命题正确的是 A.若lox=3，则x=2 B.若logx=-则x=64 C.若=则x=4 D.若lob2=1，则a=b √ √ 由lox=3，得x=()3=2则A正确； 由logx=-得==2-4，则(=x，所以x=(2-4=26=64，则B正确； 由3-2=得log3=-2，所以x-2=即x=2或x=-2，则C不正确； D中，a，b可能互为相反数. 解析 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 13.若a=lg 2，b=lg 3，则的值为　　　　. 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 ∵a=lg 2，∴10a=2.∵b=lg 3， ∴10b=3.∴10===. 解析 由log(1-x)(1+x)2=1，得(1+x)2=1-x， ∴x2+3x=0，∴x=0或x=-3. 又∴x=-3. 解析 14.若log(1-x)(1+x)2=1，则x=　　　　.  答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 -3 因为a+log2b=3，所以log2b=3-a， 所以b=23-a， 所以ba=(23-a)a==4=22， 所以-a2+3a=2，即a2-3a+2=0，解得a=1或a=2， 当a=1时，b=4，则a+2b=9；当a=2时，b=2，则a+2b=6. 解析 15.已知正实数a，b满足ba=4，且a+log2b=3，则a+2b的值可以为 A.6或9 B.7或8 C.6 D.8 √ 拓广探究 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 16.若log2[lo(log2x)]=log3[lo(log3y)]=log5[lo(log5z)]=0，试确定x，y，z 的大小关系. 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 由log2[lo(log2x)]=0， 得lo(log2x)=1，log2x=即x=. 同理y=z=. ∵y===x=== ∴y>x. 又x===3z===2 ∴x>z，∴y>x>z. 解 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 第4章　§4.2　对　数 <<< $