第4章 4.1.1 根 式（配套课件PPT）-【步步高】2025-2026学年高一数学必修第一册学习笔记（苏教版）

该高中数学课件聚焦“根式”核心内容，涵盖n次方根概念、根式性质及化简求值，通过希伯斯发现无理数的历史故事导入，从平方根、立方根类比引出n次方根，搭建从具体到抽象的学习支架，衔接旧知与新知。 其亮点在于以问题链驱动类比推理，结合历史情境培养抽象能力，通过根指数奇偶性分类、限制条件化简等例题发展推理能力，课堂小结系统梳理知识清单与方法强化模型意识。学生能深化概念理解，教师可提升教学效率。

4.1.1 根　式 第4章　§4.1　指　数 <<< 1.理解n次方根、根式的概念. 2.能正确运用根式运算性质化简求值. 学习目标 公元前五世纪,古希腊有一个数学学派名叫毕达哥拉斯学派,其学派中的一个成员希伯斯考虑了一个问题：边长为1的正方形其对角线长度是多少呢？他发现这一长度既不能用整数,也不能用分数来表示,希伯斯的发现使数学史上第一个无理数诞生了.这就是本节课我们要学习的根式. 导 语 一、n次方根的概念 二、利用根式的性质化简或求值 课时对点练 三、有限制条件的根式的化简 内容索引 n次方根的概念 一 提示　如果x2=a(a>0),那么x叫作a的平方根,这样的x有两个；如果x3=a,那么x叫作a的立方根,这样的x有一个. 如果x2=a(a>0),那么x叫作a的什么？这样的x有几个？x3=a呢？ 问题1 提示　比如(±2)4=16,我们把±2叫作16的4次方根；(±3)4=81,我们把±3叫作81的4次方根；(-2)5=-32,我们把-2叫作-32的5次方根；(±2)10=1 024,我们把±2叫作1 024的10次方根等.类比上述过程,我们可以得到：如果2n=a,那么我们把2叫作a的n次方根. 类比平方根、立方根的概念,试着说说4次方根、5次方根、10次方根等,你认为n次方根应该是什么？ 问题2 n的奇偶性 a的n次方根的表示符号 a的取值范围 n为奇数 _____ R n为偶数 ______ ________ 1.a的n次方根的定义 一般地,如果xn=a(n>1,n∈N*),那么称x为a的 . 2.a的n次方根的表示(n>1,n∈N*) n次方根 知识梳理 3.根式：式子_____叫作根式,其中n叫作 ,a叫作 . 4.根式的性质是化简根式的重要依据 (1) 没有偶次方根. (2)0的n次方根等于0,记作= . (3)()n= (n∈N*,且n>1). (4)=a(n为大于1的奇数). (5)=|a|=(n为大于1的偶数). 根指数 被开方数 负数 0 a (1)对于()n=a,若n为奇数,则a∈R；若n为偶数,则a≥0. (2)()n与意义不同,比如=3,而没有意义,故()n≠. (3)当a≥0时,()n=；当a<0且n为奇数时,()n=；当a<0且n为偶数时,()n没有意义,对于要注意运算次序. 注 意 点 <<< 10 　　 (1)若81的平方根为a,-8的立方根为b,则a+b=　　　　.  81的平方根为-9或9, 即a=-9或9,-8的立方根为-2, 即b=-2, ∴a+b=-11或7. 解析 例 1 7或-11 11 (2)若有意义,求实数x的取值范围. ∵有意义, ∴x-2≥0, ∴x≥2, 即x的取值范围是[2,+∞). 解 12 (1)方根个数：正数的偶次方根有两个且互为相反数,任意实数的奇次方根只有一个. (2)符号：根式的符号由根指数n的奇偶性及被开方数a的符号共同确定. ①当n为偶数,且a≥0时为非负实数； ②当n为奇数时的符号与a的符号一致. 反 思 感 悟 13 (1)已知x7=8,则x等于 A.2 B. C.- D.± √ 因为7为奇数, 所以8的7次方根只有一个. 解析 跟踪训练 1 14 (2)16的4次方根是　　　有意义,则x的取值范围是　　.  ±2 R 4是偶数,则偶次方根有两个,为±2；3是奇数,任意实数的奇次方根都有意义,即x的取值范围为R. 解析 15 二 利用根式的性质化简或求值 (课本例1)求下列各式的值： (1)()2； 例 2 ()2=5. 解 (2)()3； ()3=-2. 解 17 (3)； ==2. 解 (4). ==π-3. 解 18 化简或求值： (1)+()5； 例 2 原式=(-2)+(-2)=-4. 解 (2)+()6； 原式=|-2|+2=2+2=4. 解 19 (3). 原式=|x+2|= 解 20 正确区分与()n (1)()n已暗含了有意义,根据n的奇偶性可知a的范围. (2)中的a可以是全体实数的值取决于n的奇偶性. 反 思 感 悟 21 化简或求值： (1)； 跟踪训练 2 =-2. 解 22 (2)(a≤1)； ∵a≤1, ∴=|3a-3|=3|a-1|=3-3a. 解 (3)+. +=a+|1-a|= 解 23 有限制条件的根式的化简 三 已知-3<x<3,化简-. 例 3 原式=-=|x-1|-|x+3|, ∵-3<x<3, ∴当-3<x<1时, 原式=-(x-1)-(x+3)=-2x-2； 当1≤x<3时,原式=(x-1)-(x+3)=-4. ∴原式= 解 25 本例中,若将“-3<x<3”变为“x≤-3”,则结果又是什么？ 原式=-=|x-1|-|x+3|. ∵x≤-3, ∴x-1<0,x+3≤0, ∴原式=-(x-1)+(x+3)=4. 解 延伸探究 26 有限制条件根式的化简 (1)有限制条件根式的化简问题,是指被开方数或被开方的表达式可以通过配方、拆分等方式进行化简. (2)有限制条件根式的化简经常用到配方的方法.当根指数为偶数时,在利用公式化简时,要考虑被开方数或被开方的表达式的正负. 反 思 感 悟 27 已知代数式+有意义,化简+3×. 跟踪训练 3 因为代数式+有意义, 所以3x-1≥0且3-x≥0,故≤x≤3, 所以+3×=|3x-1|+3|x-3|=3x-1+3(3-x)=8. 解 28 1.知识清单： (1)n次方根的概念及表示. (2)根式的性质. (3)利用根式性质化简或求值. 2.方法归纳：转化法. 3.常见误区： (1)对于，当n为偶数时，a≥0. (2)混淆()n和. 课堂小结 课时对点练 四 题号 1 2 3 4 5 6 7 答案 A D B B CD BD 2 题号 8 11 12 13 14 15 答案 C B ABC 3-2 8 对一对 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 9. 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 (1)∵a≤-，∴2a+1≤0， ∴==|2a+1|=-2a-1. (2)∵x<y，∴x-y<0， ∴当n为大于1的偶数时，=|x-y|=y-x， 当n为大于1的奇数时，=x-y. 10. 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 因为+=-a-b， 所以=-a，=-b， 所以a≤0，b≤0，所以a+b≤0， 所以原式=|a+b|+a+b=-(a+b)+a+b=0. 16. 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 (1)原式=-+=-+=. (2)方法一　+=+ =3++3-=6. 方法二　令a=+>0， 则a2=11+6+2×+11-6=22+2=36， 故a=6. 16. 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 (3)∵a是128的七次方根， ∴a===2， ∴+++=++ =++=+ =+==-. 基础巩固 1.()4运算的结果是 A.2 B.-2 C.±2 D.不确定 √ 因为()n=a,所以()4=2. 解析 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 2.已知m10=2,则m等于 A. B.- C. D.± √ 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 ∵m10=2,∴m是2的10次方根. 又∵10是偶数,∴2的10次方根有两个,且互为相反数.∴m=±. 解析 3.若+(a-4)0有意义,则a的取值范围是 A.[2,+∞) B.[2,4)∪(4,+∞) C.(-∞,2)∪(2,+∞) D.(-∞,4)∪(4,+∞) √ 由题意可知 ∴a≥2且a≠4. 解析 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 4.若a<则化简的结果是 A.4a-1 B.1-4a C.- D.- √ ∵a<∴4a-1<0, ∴=|4a-1|=-(4a-1)=1-4a. 解析 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 5.(多选)下列选项中正确的是 A.81的4次方根是3 B.的运算结果是±2 C.当n为大于1的奇数时对任意a∈R都有意义 D.当n为大于1的偶数时只有当a≥0时才有意义 √ A中81的4次方根应是±3； B中=2,由根式的性质知,正确的应为CD. 解析 √ 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 6.(多选)已知xy≠0,且=-3xy2,则下列结论可能正确的是 A.x>0,y>0 B.x<0,y<0 C.x>0,y<0 D.x<0,y>0 √ 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 因为=3|x|·y2, 又=-3xy2, 所以3|x|·y2=-3xy2, 又xy≠0,所以x<0,y>0或y<0. 解析 √ 7.化简：+=　　　　.  答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 2 +=(1+)+|1-|=1++-1=2. 解析 8.化简：+=　　 .  +=|a-b|+(a-b)= 解析 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 9.化简： (1)； ∵a≤-∴2a+1≤0, ∴= =|2a+1|=-2a-1. 解 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 (2)(x<y,n>1,n∈N*). ∵x<y,∴x-y<0, ∴当n为大于1的偶数时, =|x-y|=y-x, 当n为大于1的奇数时=x-y. 解 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 因为+=-a-b, 所以=-a=-b, 所以a≤0,b≤0,所以a+b≤0,所以 原式=|a+b|+a+b=-(a+b)+a+b=0. 解 10.已知+=-a-b,求+的值. 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 11.当有意义时,化简-的结果是 A.2x-7 B.-2x+1 C.1 D.7-2x √ 综合运用 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 因为有意义,所以2-x≥0,即x≤2, 则x-4<0,x-3<0, 所以原式=-=|x-4|-|x-3|=(4-x)-(3-x)=1. 解析 12.化简(1-a)的结果是 A. B.- C. D.- √ 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 因为原式有意义的条件是a-1>0,即a>1, 所以(1-a)=-=-. 解析 13.(多选)若=则实数a的取值可以是 A.-1 B.- C. D.1 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 ∵= ∴|2a-1|=1-2a,则2a-1≤0,解得a≤. 解析 √ √ √ ===3-2. 解析 14.化简：=　　　　.  答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 3-2 15.使得等式=成立的实数a的值为　　　.  拓广探究 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 8 由题意可得≥0, 所以≥1,故≥1. 设=t,则a=t3(t≥1). =⇔=t ⇔1+=t2⇔=t2-1 ⇔1+t3=(t2-1)2⇔1+t3=t4-2t2+1 ⇔t4-t3-2t2=0 ⇔t2(t2-t-2)=0⇔t2(t-2)(t+1)=0, 解析 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 解得t=2,或t=0(舍去),或t=-1(舍去), 所以=t=2, 所以a=8. 解析 16.计算： (1)-+； 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 原式=-+=-+=. 解 (2)+； 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 方法一　+ =+=3++3-=6. 方法二　令a=+>0, 则a2=11+6+2×+11-6=22+2=36, 故a=6. 解 (3)已知a是128的七次方根,求+++的值. 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 ∵a是128的七次方根, ∴a===2, ∴+++=++ =++=+=+==-. 解 第4章　§4.1　指　数 <<< $