4.1.2 指数幂的拓展-【优学精讲】2025-2026学年高中数学必修第一册教用word（苏教版）

4.1.2 指数幂的拓展 新课导入 牛顿是大家所熟悉的物理学家，在数学史上也有杰出的贡献.他在1676年6月13日写给莱布尼茨的信里说：“因为数学家将，，， 写成，，， ，所以可将，，， 写成，，， ，将，，， 写成，，， ”，这是牛顿首次使用任意实数指数，这正是这节课我们要学习的指数幂的拓展过程. 学习目标 1.理解分数指数幂的意义，掌握根式与分数指数幂的互化. 2.掌握实数分数指数幂的运算性质并能对代数式进行化简或求值. 新知学习 探究 一 分数指数幂的意义 思考．观察下列各式，你能得出什么结论？ ①； ②. 提示 当根式的被开方数的指数能被根指数整除时，根式可以表示为分数指数幂的形式. ［知识梳理］ 分数指数幂 正分数指数幂 规定：①_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ 负分数指数幂 规定：②_ _ _ _ _ _ _ _ 0的分数指数幂 0的正分数指数幂为③_ _ _ _ ,0的负分数指数幂④_ _ _ _ _ _ _ _ 【答案】； ； 0； 没有意义 ［例1］ （对接教材例3）用分数指数幂的形式表示下列各式: （1） ; （2） ; （3） . 【答案】（1） 【解】. （2） . （3） . 根式与分数指数幂互化的规律 （1）根指数分数指数的分母， 被开方数（式）的指数分数指数的分子. （2）在具体计算时，通常会把根式转化成分数指数幂的形式，然后利用有理数指数幂的运算性质解题. ［跟踪训练1］．用分数指数幂表示下列各式 （1） ； （2） ； （3） . 【答案】（1） 解：. （2） . （3） . 编辑作答空间顺序 二 有理数指数幂的运算性质 ［知识梳理］ （1）①_ _ _ _ _ _ _ _ . （2）②_ _ _ _ _ _ _ _ . （3）③_ _ _ _ _ _ _ _ . 【答案】； ； ［例2］ 计算下列各式（式中字母都是正数） （1） ; （2） ; （3） . 【答案】（1） 【解】原式. （2） 原式. （3） 原式. 利用指数幂的运算性质化简求值的方法 （1）进行指数幂的运算时,一般化负指数为正指数,化根式为分数指数幂,化小数为分数,同时兼顾运算顺序. （2）在明确根指数的奇偶性（或具体次数）时,若能明确被开方数的符号,则可以对根式进行化简运算. （3）对于含有字母的化简求值的结果,一般用分数指数幂的形式表示. ［跟踪训练2］．计算： （1） ; （2） . 【答案】（1） 解：原式. （2） 原式 . 三 整体代换法求分数指数幂 ［例3］ 已知，求值： （1） ； （2） . 【答案】（1） 【解】，两边平方得，所以. （2） 设，两边平方得， 因为，所以，即. 母题探究1．本例的条件不变，求的值. 解：由 平方可得，所以. 母题探究2．本例的条件不变，求的值. 解：设，两边平方得， 因为，所以，即. 所以，. 利用整体代换法求分数指数幂 （1）整体代换法是数学变形与计算常用的技巧方法，分析观察条件与结论的结构特点，灵活运用恒等式是关键. （2）利用整体代换法解决分数指数幂的计算问题，常常运用完全平方公式及其变形公式. ［跟踪训练3］．已知，求下列各式的值： （1） ； （2） . 【答案】（1） 解：由题意，所以. （2） 由题意， 所以原式 . 课堂巩固 自测 1．下列各式计算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】选；；；.故选. 2．（多选）已知，则（ ） A. B. C. 1 D. 【答案】AB 【解析】选.令,所以,所以,所以.故选. 3．已知，将化为分数指数幂的形式为_ _ _ _ _ _ _ _ . 【答案】 【解析】原式. 4．若,,则_ _ _ _ _ _ . 【答案】 【解析】. 1.已学习：（1）分数指数幂的意义； （2）分数指数幂的运算性质. 2.须贯通：（1）对根式进行运算时，一般先将根式化成分数指数幂，这样可以方便使用同底数幂的运算律； （2）解决较复杂的条件求值问题时，“整体思想”是简化求解的“利器”. 3.应注意：在运用分数指数幂的运算性质化简时，其结果不能同时含有根式和分数指数，也不能既含有分母又含有负指数. 课后达标 检测 A 基础达标 1．下列各式中正确的有（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】选.对于，，而 无意义，故 错误；对于，无意义，故 错误； 对于，根据分数指数幂的定义,只有当 时，才有意义,故 错误； 对于，，故 正确. 2．若有意义，则实数的取值范围是（ ） A. B. ,, C. , D. , 【答案】D 【解析】选.将分数指数幂化为根式，可知需满足，解得. 3．的化简结果是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】选.原式. 4．若，则（ ） A. 1 B. C. D. 【答案】C 【解析】选.因为，则，所以.故选. 5．（多选）下列各式中一定成立的有（ ） A. B. C. D. 【答案】BD 【解析】选 中，，不成立；中，，成立；中，当 时，不成立；中，，成立.故选. 6．（多选）已知实数,满足等式，则下列关系式可能成立的有（ ） A. B. C. D. 【答案】BCD 【解析】选.因为，所以.对于 和，当,时，，只能，选项 不正确，选项 正确；对于，当,时，，只能，选项 正确；对于，当 时，且，只能，等式 成立，选项 正确.故选. 7．化简：_ _ _ _ _ _ . 【答案】 【解析】原式 . 8．设，将表示成分数指数幂的形式，其结果是_ _ _ _ _ _ _ _ . 【答案】 【解析】. 9．化简：_ _ _ _ . 【答案】7 【解析】 . 10．（13分）计算： （1） ；（6分） （2） .（7分） 【答案】（1） 解：原式. （2） 原式. B 能力提升 11．（多选）已知，，则下列式子的值为整数的是（ ） A. B. C. D. 【答案】BD 【解析】选.因为,， 所以,,,.故选. 12．（多选）已知，下列各式中正确的有（ ） A. B. C. D. 【答案】AC 【解析】选.对于,，故 正确； 对于,，故 错误； 对于,，故 正确； 对于,因为，所以, 故 错误.故选. 13．已知,,且,则的值为_ _ _ _ . 【答案】4 【解析】因为 所以 得,所以. 将 代入②得, 所以,所以. 14．（13分）已知，是方程的两根，且，求的值. 解：因为，是方程 的两根， 所以，且. 所以. 因为，所以，所以， 所以. C 素养拓展 15．（15分）对于正整数，，和非零实数，，，有，且，求，，的值. 解：因为 且，为非零实数， 所以，所以. 同理可得，， 即. ，，均为正整数， 所以， 又，，为正整数且， 所以，，. 学科网（北京）股份有限公司 $