第3章 章末复习课 不等式（配套课件PPT）-【步步高】2025-2026学年高一数学必修第一册学习笔记（苏教版）

该高中数学章末复习课件系统梳理了不等式的性质及应用、基本不等式及应用、一元二次不等式的解法、不等式在实际问题中的应用等核心内容，通过知识网络整合基本概念、原理、方法与应用，以内容索引明确知识模块，帮助学生构建完整的不等式知识体系。 其亮点在于采用“知识梳理-例题解析-跟踪训练”的复习模式，如通过作差法比较大小培养逻辑推理素养，利用基本不等式求最值提升数学运算能力，结合公园面积设计等实际问题发展数学建模意识。跟踪训练分层设计，从基础选择到综合应用，让学生巩固知识，教师也能精准把握复习重点。

章末复习课 第3章　不等式 <<< 知识网络 一、不等式的性质及应用 二、基本不等式及应用 三、一元二次不等式的解法 四、不等式在实际问题中的应用 内容索引 不等式的性质及应用 一 1.不等式的性质常用来比较大小、判断与不等式有关的命题的真假和证明不等式,防止由于考虑不全面出现错误. 2.在比较大小时,常采用作差法,有时也可结合特殊值法求解. 3.通过不等式的性质,提升数学抽象和逻辑推理素养. (1)若A=a2+3ab,B=4ab-b2,则A,B的大小关系是 A.A≤B B.A≥B C.A<B或A>B D.A>B 例 1 √ ∵A-B=a2+3ab-(4ab-b2)=a2+b2-ab=+b2≥0, ∴A≥B. 解析 6 (2)若a>b,x>y,下列不等式正确的是 A.a+x<b+y B.ax>by C.|a|x≥|a|y D.(a-b)x<(a-b)y √ 因为当a≠0时,|a|>0,不等式两边同乘以一个大于零的数,不等号方向不变；当a=0时,|a|x=|a|y,故|a|x≥|a|y. 解析 7 不等式性质的应用方法 (1)作差法比较大小的关键是对差式进行变形,变形的方法一般是通分、分解因式、配方等. (2)不等式真假的判断,要依靠其适用范围和条件来确定,举反例是判断命题为假的一个好方法,用特例法验证时要注意,适合的不一定对,不适合的一定错,故特例只能否定选择项. 反 思 感 悟 8 (1)(多选)若a>0,b>0,则使a>b成立的充要条件是 A.a2>b2 B.a2b>ab2 C.> D.a+>b+ 跟踪训练 1 √ ∵a>0,b>0,∴a2>b2⇔(a+b)(a-b)>0⇔a>b,a2b>ab2⇔ab(a-b)>0⇔a>b,A,B选项正确； ∵a>b>0,则-==<0,∴>一定不成立,C选项错误； ∵a>b>0⇔>⇔a+>b+D选项正确. 解析 √ √ 9 (2)若1≤a≤5,-1≤b≤2,则a-b的取值范围为　　　　　　.  ∵-1≤b≤2,∴-2≤-b≤1, 又1≤a≤5,∴-1≤a-b≤6. 解析 -1≤a-b≤6 10 二 基本不等式及应用 1.基本不等式：≤(a≥0,b≥0)是每年高考的热点,主要考查命题判断、不等式证明以及求最值问题,特别是求最值问题往往与实际问题相结合,同时在基本不等式的使用条件上设置一些问题,实际上是考查学生恒等变形的技巧,另外,基本不等式的和与积的转化在高考中也经常出现. 2.借助基本不等式的应用,提升数学抽象和数学运算素养. (1)若0<x<2,则x(2-x)的最大值是 A.2 B. C.1 D. 例 2 √ 因为0<x<2, 所以2-x>0,x(2-x)≤=1, 当且仅当x=2-x,即x=1时,等号成立. 所以x(2-x)的最大值是1. 解析 13 (2)已知x>0,y>0,且x+3y=1,则的最小值是　　　　.  =+=(x+3y)=++4≥2+4=2+4, 当且仅当x=y=时,等号成立, ∴的最小值是2+4. 解析 2+4 14 利用基本不等式求最值的注意点 (1)把握不等式成立的条件：一正、二定、三相等. (2)注意寻求已知条件与目标函数之间的联系. (3)利用添项和拆项的配凑方法,使积(或和)产生定值.特别注意“1”的代换. 反 思 感 悟 15 已知函数y=x-4+(x>-1),当x=a时,y取得最小值b,则a=　　　；b=　　　. 跟踪训练 2 y=x-4+=(x+1)+-5, 因为x>-1,所以x+1>0, 所以y≥2-5=2×3-5=1, 当且仅当x+1= 即x=2时,等号成立,此时a=2,b=1. 解析 2 1 16 三 一元二次不等式的解法 1.掌握一元二次不等式及分式不等式的解法；对于含参数的不等式要注意对参数进行讨论,做到不重不漏. 2.借助研究不等式的解法,重点提升逻辑推理和数学运算素养. (1)不等式4x2-4x-3≤0的解集是 A.∪ B. C.∪ D. 例 3 ∵4x2-4x-3≤0, ∴(2x-3)(2x+1)≤0,解得-≤x≤. ∴不等式4x2-4x-3≤0的解集为. 解析 √ 19 (2)已知当x>0时,不等式x2-mx+16>0恒成立,则实数m的取值范围是 A.(-8,8) B.(-∞,8] C.(-∞,8) D.(8,+∞) 当x>0时,由x2-mx+16>0得m<x+而x+≥2=8,当且仅当x=4时等号成立,所以m的取值范围是(-∞,8). 解析 √ 20 (3)解不等式x2-(a+1)x+a≥0. 不等式可化为(x-a)(x-1)≥0, 当a<1时,不等式的解集为(-∞,a]∪[1,+∞)； 当a=1时,不等式的解集为R； 当a>1时,不等式的解集为(-∞,1]∪[a,+∞). 解 21 对于含参数的一元二次不等式,若二次项系数为常数,则可先考虑分解因式,再对参数进行讨论；若不易分解因式,则可对判别式分类讨论,分类时要做到不重不漏. 反 思 感 悟 22 若不等式ax2+5x-2>0的解集是 (1)求a的值； 跟踪训练 3 依题意,可得ax2+5x-2=0的两个实数根为和2, 由根与系数的关系,得 解得a=-2. 解 23 (2)求不等式>a+5的解集. 将a=-2代入不等式,得>3, 即-3>0, 整理得>0,即(x+1)(x+2)<0, 解得-2<x<-1, 则不等式的解集为{x|-2<x<-1}. 解 24 四 不等式在实际问题中的应用 1.不等式的应用题常以函数为背景,多是解决现实生活、生产中的优化问题,在解题中主要涉及不等式的解法、基本不等式求最值,根据题设条件构建数学模型是解题关键. 2.利用不等式解决实际应用问题,提升数学建模素养和数学运算素养. 某房地产开发公司计划在一楼区内建造一个长方形公园ABCD,公园由长方形A1B1C1D1的休闲区和环公园人行道(阴影部分)组成.已知休闲区A1B1C1D1的面积为4 000平方米,人行道的宽分别 为4米和10米(如图所示). (1)若设休闲区的长和宽的比=x(x>1),写出公园 ABCD所占面积S与x的关系式； 例 4 27 设休闲区的宽B1C1为a米,则长A1B1为ax米,由a2x=4 000,得a=. 则S=(a+8)(ax+20)=a2x+(8x+20)a+160 =4 000+(8x+20)·+160 =80+4 160(x>1). 解 28 (2)要使公园所占面积最小,则休闲区A1B1C1D1的长和宽该如何设计？ 29 80+4 160≥80×2+4 160 =1 600+4 160=5 760. 当且仅当2=即x=2.5时,等号成立, 此时a=40,ax=100. 所以要使公园所占面积最小,休闲区A1B1C1D1应设计为长100米,宽40米. 解 30 解决与不等式有关的实际应用问题的注意点 (1)审题要准,初步建模. (2)设出变量,列出函数关系式. (3)根据题设构造应用不等式的形式并解决问题. 反 思 感 悟 31 甲厂以x千克/小时的速度运输生产某种产品(生产条件要求1≤x≤10),每小时可获得的利润是100元. (1)要使生产该产品2小时获得的利润不低于3 000元,求x的取值范围； 跟踪训练 4 根据题意,200≥3 000⇒5x-14-≥0,又1≤x≤10, 解得3≤x≤10. 故x的取值范围是[3,10]. 解 32 (2)要使生产900千克该产品获得的利润最大,问：甲厂应该选取何种生产速度？并求最大利润. 设生产900千克该产品获得的利润为y元, 则y=×100=9×1041≤x≤10, 当x=6时,ymax=457 500. 故甲厂应该选取6千克/小时的生产速度,最大利润为457 500元. 解 33 第3章　不等式 <<< $