第3章 3.2.2 基本不等式的应用（配套课件PPT）-【步步高】2025-2026学年高一数学必修第一册学习笔记（苏教版）

该高中数学课件聚焦基本不等式的应用，涵盖复杂最值求解与实际问题解决。通过复习“一正二定三相等”条件导入，结合例题与延伸探究，搭建从基础到综合应用的学习支架，衔接前后知识脉络。 其亮点在于采用常数代换、消元、换元等多种方法解析最值问题，融入印刷排版、生产效率等实际案例，培养数学思维与应用意识。课堂小结归纳方法与误区，课时练习分层巩固，助力学生提升运算推理能力，教师教学更系统高效。

3.2.2 基本不等式的应用 第3章　§3.2　基本不等式 <<< 1.熟练掌握基本不等式及其变形的应用. 2.能够运用基本不等式解决生活中的应用问题. 学习目标 一、利用基本不等式求复杂的最值问题 二、基本不等式的实际应用 课时对点练 内容索引 利用基本不等式求复杂的最值问题 一 对于正数a,b,在运用基本不等式时,应注意： (1)和a+b为定值时,积ab有最 值；积ab为定值时,和a+b有最 值. (2)取等号的条件 当且仅当 时=. 小 a=b 大 (1)在利用基本不等式求最值时,必须满足“一正,二定,三相等”. (2)在利用基本不等式求最值时,注意构造和(积)为定值的形式. 注 意 点 <<< 6 　　 (1)已知x,y都为正数,且2x+y=1,则2xy的最大值为 A. B. C. D. √ x,y都为正数,2x+y=1, 由基本不等式得2xy≤=当且仅当2x=y,即x=y=时,等号成立,故2xy的最大值为. 解析 例 1 7 (2)设x>0,y>0,且xy=4,则+的最小值是 A.1 B.2 C.4 D.8 √ 因为x>0,y>0,且xy=4, 所以>0>0+≥2=2×=1, 当且仅当x=y=2时取等号. 解析 8 (3)若x>0,y>0,且+=1,求x+y的最小值. 9 方法一　(巧用“1”的代换求最值) ∵+=1,x>0,y>0, ∴x+y=(x+y)=10++≥10+2=16, 当且仅当=即x=4,y=12时,等号成立. 即x+y的最小值为16. 解 10 方法二　(分离消元法求最值) ∵+=1, ∴y==9+ ∵x>0,y>0,∴x>1, ∴x+y=x+9+=(x-1)++10≥2+10=16, 当且仅当x-1=即x=4时,等号成立, 此时,y=12,x+y的最小值为16. 解 11 ∵x+y=1,x>0,y>0, ∴+=(x+y)=10++≥10+2=16, 当且仅当=即x=y=时,等号成立, 即+的最小值为16. 解 若x>0,y>0,x+y=1,求+的最小值. 延伸探究 1 12 ∵x>0,y>0,xy=9x+y,∴+=1, 由例1(3)可知,x+y的最小值为16. 解 若x>0,y>0,xy=9x+y,求x+y的最小值. 延伸探究 2 13 由xy=9x+y-8得(x-1)(y-9)=1, 又x>1,y>9, ∴x+y=(x-1)+(y-9)+10≥2+10=12, 当且仅当x-1=y-9=1,即x=2,y=10时,等号成立,即x+y的最小值为12. 解 若x>1,y>9,xy=9x+y-8,求x+y的最小值. 延伸探究 3 14 由xy=9x+y-8得y= ∴xy=x· 令t=x-1,则x=t+1且t>0, ∴xy=(t+1)·===9t++10≥2+10=16, 当且仅当9t=即t=即x=y=12时,等号成立,即xy的最小值为16. 解 若x>1,y>9,xy=9x+y-8,求xy的最小值. 延伸探究 4 15 (1)常数代换法解题的关键是通过代数式的变形,构造和式或积式为定值的式子,然后利用基本不等式求解最值.应用此种方法求解最值时,应把“1”的表达式与所求最值的表达式相乘求积或相除求商. (2)对含有多个变量的条件最值问题,若无法直接利用基本不等式求解,可尝试减少变量的个数,即用其中一个变量表示另一个,再代入代数式中转化为只含有一个变量的最值问题. (3)当式子的一部分(比如分母)比较复杂时,可以通过换元简化表达式. 反 思 感 悟 16 二 基本不等式的实际应用 (课本例6)如图,一份印刷品的排版面积(矩形)为A,它的两边都留有宽为a的空白,顶部和底部都留有宽为b的空白.如何选择纸张的尺寸,才能使纸的用量最少？ 例 2 18 设纸张的面积为S,排版矩形的长和宽分别是x,y(x>0,y>0),则xy=A. 所以由题意及基本不等式得 S=(x+2a)(y+2b)=xy+2bx+2ay+4ab≥xy+2+4ab=A+4+4ab=(+2)2. 当且仅当2bx=2ay,即x=y=时,S有最小值(+2)2,此时纸张的长和宽分别为+2a和+2b. 所以当纸张的长和宽分别为+2a和+2b时,纸张的用量最少. 解 19 甲工厂承担了某种材料的生产,并以x千克/小时的速度匀速生产(为保证质量要求1≤x≤10),每小时可消耗A材料(kx2+9)千克,已知每小时生产1千克该产品时,消耗A材料10千克. (1)设生产m千克该产品,消耗A材料y千克,试把y表示为x的函数； 例 2 由题意,得k+9=10,即k=1, 生产m千克该产品需要的时间是小时, 所以y=(kx2+9)=m1≤x≤10. 解 20 (2)要使生产1 000千克该产品消耗的A材料最少,工厂应选取何种生产速度？并求消耗的A材料最少为多少？ 由(1)知,生产1 000千克该产品消耗的A材料为y=1 000≥1 000× 2=6 000(千克), 当且仅当x=即x=3时,等号成立, 故工厂应选取3千克/小时的生产速度,此时消耗的A材料最少,最少为 6 000千克. 解 21 利用基本不等式解决实际问题的步骤 (1)先理解题意,设变量.设变量时一般把要求最大值或最小值的变量定为函数. (2)建立相应的函数关系式.把实际问题抽象为函数的最大值或最小值问题. (3)在定义域内求出函数的最大值或最小值. (4)正确写出答案. 反 思 感 悟 22 某村计划建造一个室内面积为800 m2的矩形蔬菜温室,温室内沿左右两侧与后墙内侧各保留1 m宽的通道,沿前侧内墙保留3 m宽的空地,当矩形温室的边长各为多少时,蔬菜的种植面积最大？最大种植面积是多少？ 跟踪训练 23 设矩形温室的一边长为x m,与其对应的种植蔬菜的区域的一边长为(x-4)m, 则矩形温室的另一边长为 m,与其对应的种植蔬菜的区域的另一边长为m. 由得4<x<400, 所以蔬菜的种植面积 S=(x-4)·=808-≤808-2=808-160=648(m2). 解 24 当且仅当2x=即x=40时,等号成立. 因此当矩形温室的两边长分别为40 m,20 m时,蔬菜的种植面积最大,最大种植面积是648 m2. 解 25 1.知识清单： (1)利用基本不等式求最值. (2)基本不等式的实际应用. 2.方法归纳：配凑法、常数代换法、消元法、换元法. 3.常见误区：忽略应用基本不等式求最值的条件(一正、二定、三相等). 课堂小结 课时对点练 三 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 答案 C D B A BC AC 160 题号 11 12 13 14 　15 答案 B B AB 　B 对一对 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 9. 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 (1)方法一　由x>0，y>0， 且2x+8y-xy=0，得+=1， 则1=+≥2=，得xy≥64， 当且仅当=， 即x=16，y=4时，等号成立. 所以xy的最小值为64. 9. 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 方法二　因为x>0，y>0，且2x+8y-xy=0， 所以xy=2x+8y≥2， 所以xy≥8， 即≥8，xy≥64， 当且仅当2x=8y， 即x=16，y=4时，等号成立， 所以xy的最小值为64. 9. 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 (2)由(1)可得+=1， 则x+y=·(x+y)=10++≥10+2=18， 当且仅当=， 即x=12且y=6时等号成立， 所以x+y的最小值为18. 10. 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 (1)由题意，设燃料费为W1=kv2， ∵当船速为10海里/小时时，它的燃料费是每小时96元， ∴当v=10时，W1=96， 可得96=k×102， 解得k=0.96. (2)∵其余航行运作费用(不论速度如何)总计是每小时150元， ∴航行100海里的时间为小时，可得其余航行运作费用为×150= (元). 10. 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 因此，航行100海里的总费用为 W=0.96v2·+=96v+(0<v≤15). ∵96v+≥2=2 400， ∴当且仅当96v=， 即v==12.5<15时，航行100海里的总费用最小，且这个最小值为2 400元. 16. 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 (1)设保险费用为y1=， 代入x=4，y1=18 000， 解得t=72 000，则总费用 y=2 000(x-0.5)+(0.5<x≤10)， 即y=2 000x+-1 000(0.5<x≤10). 16. 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 (2)由基本不等式可得y=2 000x+-1 000≥2-1 000 =24 000-1 000=23 000， 当且仅当2 000x=， 即x=6时，等号成立， 且x=6在定义域范围内.故当长方体保护罩容积为6立方米时，总费用最小，最小值为23 000元. 1.若x>0,y>0,且+=1,则x+y的最小值是 A.3 B.6 C.9 D.12 √ x+y=(x+y)=5++≥5+2=9, 当且仅当=即x=3,y=6时取等号, 故x+y的最小值是9. 解析 基础巩固 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 2.若矩形的面积为100,则该矩形周长的最小值是 A.10 B.20 C.20 D.40 √ 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 设矩形的长为a,宽为b,周长为l,则ab=100,a>0,b>0, 所以l=2(a+b)≥2×2=4=40, 当且仅当a=b=10时,等号成立. 所以该矩形周长的最小值为40. 解析 3.某服装加工厂为了适应市场需求,引进某种新设备,以提高生产效率和降低生产成本.已知购买m台设备的总成本为y=m2+m+200(单位：万元).若要使每台设备的平均成本最低,则应购买设备 A.100台 B.200台 C.300台 D.400台 √ 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 =+1+≥2+1=3,当且仅当=即m=200时,等号成立,所以应购买200台,使得每台设备的平均成本最低. 解析 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 4.y=(x>1)的最小值为 A.8 B.2 C.6 D.12 √ 令t=x-1>0,∴x=t+1, ∴y===t++2≥2+2=8, 当且仅当t=即t=3,x=4时,等号成立, ∴ymin=8. 解析 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 5.(多选)已知某出租车司机为升级服务水平,购入了一辆豪华轿车投入运营,据之前的市场分析得出每辆车的营运总利润y(万元)与运营年数x的关系为y=-x2+12x-25,则下列判断正确的是 A.车辆运营年数越多,收入越高 B.车辆在第6年时,总收入最高 C.车辆在前5年的平均收入最高 D.车辆每年都能盈利 √ 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 √ 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 由题意,y=-x2+12x-25,是开口向下的二次函数,故A错误； 对称轴x=6,故B正确； =-x+12-=-+12≤-2+12=2,当且仅当x=5时,等号成立,故C正确； 当x=1时,y=-14,故D错误. 解析 6.(多选)已知a>0,b>0,a+b=1,对于代数式下列说法正确的是 A.最小值为9 B.最大值是9 C.当a=b=时取得最小值 D.当a=b=时取得最大值 √ 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 √ 原式=1+++=1++=1+ 因为ab≤=所以≥4. 所以原式=1+≥9, 当且仅当a=b=时,等号成立. 所以当a=b=时取得最小值9. 解析 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 7.若a,b都是正数,且a+b=1,则(a+1)(b+1)的最大值是　　.  答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 因为a,b都是正数,且a+b=1, 所以(a+1)(b+1)≤= 当且仅当a+1=b+1, 即a=b=时,等号成立. 所以(a+1)(b+1)的最大值是. 解析 8.要制作一个容积为4 m3,高为1 m的无盖长方体容器.已知该容器的底面造价是每平方米20元,侧面造价是每平方米10元,则该容器的最低总造价是 　 元.  答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 160 设底面矩形的一边长为x m, 由容器的容积为4 m3,高为1 m, 得另一边长为 m. 记容器的总造价为y元,则 y=4×20+2×1×10=80+20≥80+20×2=160, 当且仅当x=即x=2时,等号成立. 因此当x=2时,y取得最小值160, 即容器的最低总造价为160元. 解析 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 9.已知x>0,y>0,且2x+8y-xy=0,求： (1)xy的最小值； 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 方法一　由x>0,y>0, 且2x+8y-xy=0,得+=1, 则1=+≥2=得xy≥64, 当且仅当= 即x=16,y=4时,等号成立. 所以xy的最小值为64. 解 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 方法二　因为x>0,y>0,且2x+8y-xy=0, 所以xy=2x+8y≥2 所以xy≥8即≥8,xy≥64, 当且仅当2x=8y,即x=16,y=4时,等号成立, 所以xy的最小值为64. 解 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 (2)x+y的最小值. 由(1)可得+=1, 则x+y=·(x+y)=10++≥10+2=18, 当且仅当= 即x=12且y=6时等号成立, 所以x+y的最小值为18. 解 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 由题意,设燃料费为W1=kv2, ∵当船速为10海里/小时时,它的燃料费是每小时96元, ∴当v=10时,W1=96,可得96=k×102, 解得k=0.96. 解 10.某轮船公司的一艘轮船每小时花费的燃料费与轮船航行速度的平方成正比,比例系数为k,轮船的最大速度为15海里/小时.当船速为10海里/小时时,它的燃料费是每小时96元,其余航行运作费用(不论速度如何)总计是每小时150元,假定运行过程中轮船以速度v匀速航行. (1)求k的值； 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 (2)求该轮船航行100海里的总费用W(燃料费+航行运作费用)的最小值. 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 ∵其余航行运作费用(不论速度如何)总计是每小时150元, ∴航行100海里的时间为小时,可得其余航行运作费用为×150= (元). 因此,航行100海里的总费用为 W=0.96v2·+=96v+(0<v≤15). ∵96v+≥2=2 400, 解 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 ∴当且仅当96v= 即v==12.5<15时,航行100海里的总费用最小,且这个最小值为2 400元. 解 11.某公司一年购买某种货物500吨,每次购买x吨,运费为5万元/次,一年的总存储费用为9x万元,则一年的总运费与总存储费用之和的最小值为 A.200万元 B.300万元 C.400万元 D.500万元 √ 综合运用 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 一年的总运费与总存储费用之和为y=×5+9x=+9x≥2= 300,当且仅当=9x,即x=时取等号,所以一年的总运费与总存储费用 之和的最小值为300万元. 解析 12.若正数x,y满足x+4y-xy=0,则的最大值为 A. B. C. D.1 √ 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 ∵正数x,y满足x+4y-xy=0, ∴y=>0,解得x>4, ∴===≤= 当且仅当x-4=即x=6时,等号成立, ∴的最大值为. 解析 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 13.(多选)若x>0,y>0,x+2y=1,则下列说法正确的是 A.xy的最大值是 B.+的最小值是8 C.4x2+y2的最小值为 D.的最小值是4 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 √ √ ∵x+2y=1≥2 ∴xy≤当且仅当即时等号成立,故A正确； +=(x+2y)=4++≥4+2=8, 当且仅当即时等号成立,故B正确； 解析 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 4x2+y2=4(1-2y)2+y2=17y2-16y+4=17+≥ 当且仅当y=时等号成立,故C错误； ==2≥4, 当且仅当xy=1时等号成立,而0<xy≤ ∴等号不成立,故D错误. 解析 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 由a2+2ab=1可得b=则a2+b2=a2+=+-≥2-= .当且仅当a2=时,等号成立. 解析 14.若实数a,b满足a2+2ab=1,则a2+b2的最小值是　　　　.  答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 因为0<m<3,所以3-m>0,题意可得m2(3-m)=·m·m(6-2m)≤=4, 当且仅当m=6-2m,即m=2时,等号成立, 故m2(3-m)的最大值为4. 解析 15.已知任意的正数a,b,c,有≥成立,当且仅当a=b=c时,等号成立.若0<m<3,则m2(3-m)的最大值为 A.3 B.4 C.5 D.6 拓广探究 √ 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 16.某博物馆为了保护一件珍贵文物,需要在一种透明又密封的长方体玻璃保护罩内充入保护液体.该博物馆需要支付保护这件文物的总费用由两部分组成：①罩内该种液体的体积比保护罩的容积少0.5立方米,且每立方米液体费用为2 000元；②需支付一定的保险费用,且支付的保险费用与保护罩容积成反比,当容积为4立方米时,支付的保险费用为18 000元.(长方体保护罩最大容积为10立方米) (1)求该博物馆需支付保护这件文物的总费用y与保护罩容积x之间的函数关系式； 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 设保险费用为y1= 代入x=4,y1=18 000,解得t=72 000,则总费用 y=2 000(x-0.5)+(0.5<x≤10), 即y=2 000x+-1 000(0.5<x≤10). 解 (2)求该博物馆支付总费用的最小值,并求出此时长方体保护罩的容积. 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 由基本不等式可得y=2 000x+-1 000≥2-1 000 =24 000-1 000=23 000, 当且仅当2 000x= 即x=6时,等号成立, 且x=6在定义域范围内.故当长方体保护罩容积为6立方米时,总费用最小,最小值为23 000元. 解 第3章　§3.2　基本不等式 <<< $