3.2 第二课时 基本不等式的应用-【正禾一本通】2025-2026学年高中数学必修第一册同步课堂高效讲义配套课件（苏教版）

该高中数学课件聚焦苏教版高一必修第一册“基本不等式”，围绕公式√ab≤(a+b)/2展开，通过互动探究衔接恒成立问题、不等式证明及实际应用题型，搭建“公式理解—题型解析—方法总结”的学习支架，帮助学生构建从知识到应用的逻辑脉络。 其亮点在于以数学思维为核心，通过分离参数法解恒成立问题、分步推理证明不等式、虎笼设计实际建模等实例，培养学生推理能力与模型意识。题型分类清晰且含母题变式，总结方法系统，能提升学生解题与应用能力，也为教师提供高效教学资源。

数学·必修·第一册(苏教) 第3章 不等式 第二课时　 基本不等式的应用 课下培优巩固练（十三） 3．2　基本不等式 eq \r(ab) ≤ eq \f(a＋b,2) (a,b≥0) 题型一　与基本不等式有关的恒成立问题 例1.已知函数y＝－ eq \f(1,a) ＋ eq \f(2,x) ，若y＋2x≥0在(0，＋∞)上恒成立，则实数a的取值范围是__________________. 解析：∵y＋2x≥0在(0，＋∞)上恒成立，即－ eq \f(1,a) ＋ eq \f(2,x) ＋2x≥0在(0，＋∞)上恒成立，∴ eq \f(1,a) ≤2 eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(1,x))) 在(0，＋∞)上恒成立． 当a<0时，不等式恒成立；当a>0时， ∵2 eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(1,x))) ≥4，当且仅当x＝1时，等号成立，∴0< eq \f(1,a) ≤4，解得a≥ eq \f(1,4) . ∴a<0或a≥ eq \f(1,4) . 答案：(－∞，0)∪ eq \b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,4)，＋∞)) [总结] 　利用基本不等式解决恒成立问题的方法 不等式恒成立问题的实质是已知不等式的解集求不等式中参数的取值范围．对于求不等式成立时参数的范围问题，在可能的情况下把参数分离出来，使不等式一端是含有参数的式子，另一端是一个区间上具体的函数，这样就把问题转化为一端是函数，另一端是参数的不等式，便于问题的解决，常见求解策略是将不等式恒成立问题转化为求最值问题，即 y≥m，恒成立⇔ymin≥m； y≤m，恒成立⇔ymax≤m； 但要注意分离参数法不是万能的，如果分离参数后，得出的函数解析式较为复杂，性质很难研究，就不要使用分离参数法． 【练一练】 1．若对任意正数x，不等式 eq \f(2,x2＋4) ≤ eq \f(2a＋1,x) 恒成立，则实数a的取值范围为(　　) A．[0，＋∞) B． eq \b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,4)，＋∞)) C． eq \b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,4)，＋∞)) D． eq \b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，＋∞)) 解析：依题意得，当x>0时， 2a＋1≥ eq \f(2x,x2＋4) ＝ eq \f(2,x＋\f(4,x)) 恒成立，又因为x＋ eq \f(4,x) ≥4，当且仅当x＝2时取等号，所以 eq \f(2,x＋\f(4,x)) 的最大值为 eq \f(1,2) ，所以2a＋1≥ eq \f(1,2) ，解得a的取值范围为 eq \b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,4)，＋∞)) . 答案：B 题型二　利用基本不等式证明不等式 例2.已知a＞b，b＞0，c＞0，且a＋b＋c＝1.求证： eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,a)－1)) eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,b)－1)) eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,c)－1)) ≥8. 证明：：因为a，b，c∈(0，＋∞)，a＋b＋c＝1， 所以 eq \f(1,a) －1＝ eq \f(1－a,a) ＝ eq \f(b＋c,a) ≥ eq \f(2\r(bc),a) ， 同理 eq \f(1,b) －1≥ eq \f(2\r(ac),b) ， eq \f(1,c) －1≥ eq \f(2\r(ab),c) . 上述三个不等式两边均为正，分别相乘， 得 eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,a)－1)) eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,b)－1)) eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,c)－1)) ≥ eq \f(2\r(bc),a) · eq \f(2\r(ac),b) · eq \f(2\r(ab),c) ＝8.当且仅当a＝b＝c＝ eq \f(1,3) 时，等号成立． 【母题探究】　(变设问)在本例条件下，求证： eq \f(1,a) ＋ eq \f(1,b) ＋ eq \f(1,c) ≥9. 证明：因为a＞0，b＞0，c＞0，且a＋b＋c＝1， 所以 eq \f(1,a) ＋ eq \f(1,b) ＋ eq \f(1,c) ＝ eq \f(a＋b＋c,a) ＋ eq \f(a＋b＋c,b) ＋ eq \f(a＋b＋c,c) ＝3＋ eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(b,a)＋\f(a,b))) ＋ eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(c,a)＋\f(a,c))) ＋ eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(c,b)＋\f(b,c))) ≥3＋2＋2＋2＝9. 当且仅当a＝b＝c＝ eq \f(1,3) 时，等号成立． [总结] 　利用基本不等式证明不等式的策略与注意事项 (1)策略：从已证不等式和问题的已知条件出发，借助不等式的性质和有关定理，经过逐步的逻辑推理，最后转化为所求问题，其特征是以“已知”看“可知”，逐步推向“未知”． (2)注意事项： ①多次使用基本不等式时，要注意等号能否成立； ②累加法是不等式证明中的一种常用方法，证明不等式时注意使用； ③对不能直接使用基本不等式的证明可重新组合，构成基本不等式模型再使用. 【练一练】 2．已知a，b，c均为正实数． (1)求证： eq \f(a2,b) ＋ eq \f(b2,c) ＋ eq \f(c2,a) ≥a＋b＋c. (2)若a＋b＝1，求证： eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1＋\f(1,a))) eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1＋\f(1,b))) ≥9. 证明： (1)∵a，b，c均为正实数， ∴ eq \f(a2,b) ＋b≥2 eq \r(\f(a2,b)·b) ＝2a，当且仅当a＝b时，等号成立， eq \f(b2,c) ＋c≥2 eq \r(\f(b2,c)·c) ＝2b，当且仅当b＝c时，等号成立， eq \f(c2,a) ＋a≥2 eq \r(\f(c2,a)·a) ＝2c，当且仅当a＝c时，等号成立，三式相加得 eq \f(a2,b) ＋b＋ eq \f(b2,c) ＋c＋ eq \f(c2,a) ＋a≥2a＋2b＋2c，当且仅当a＝b＝c时，等号成立，∴ eq \f(a2,b) ＋ eq \f(b2,c) ＋ eq \f(c2,a) ≥a＋b＋c. (2) eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1＋\f(1,a))) eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1＋\f(1,b))) ＝1＋ eq \f(1,a) ＋ eq \f(1,b) ＋ eq \f(1,ab) ＝1＋ eq \f(a＋b,ab) ＋ eq \f(1,ab) ＝1＋ eq \f(2,ab) .∵a>0，b>0，a＋b＝1， ∴a＋b≥2 eq \r(ab) (当且仅当a＝b＝ eq \f(1,2) 时，等号成立)，即ab≤ eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(a＋b,2))) eq \s\up12(2) ＝ eq \f(1,4) . 所以1＋ eq \f(2,ab) ≥9，即证． 题型三　基本不等式在实际中的应用 例3.如图所示，动物园要围成相同面积的长方形虎笼四间，一面可利用原有的墙，其他各面用钢筋网围成． (1)现有可围36 m长的钢筋网材料，每间虎笼的长、宽各设计为多少时，可使每间虎笼面积最大？ (2)若使每间虎笼面积为24 m2，则每间虎笼的长、宽各设计为多少时，可使围成四间虎笼的钢筋网总长最小？ 解：(1)设每间虎笼长x m，宽为y m，则由条件得4x＋6y＝36，即2x＋3y＝18. 设每间虎笼面积为S，则S＝xy. 法一　由于2x＋3y≥2 eq \r(2x·3y) ＝2 eq \r(6xy) ， ∴2 eq \r(6xy) ≤18，得xy≤ eq \f(27,2) ， 即S≤ eq \f(27,2) ，当且仅当2x＝3y时，等号成立． 由 eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(2x＋3y＝18，,2x＝3y，)) 解得 eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝4.5，,y＝3.)) 故每间虎笼长为4.5 m，宽为3 m时，可使面积最大． 法二　由2x＋3y＝18，得x＝9－ eq \f(3,2) y. ∵x>0，y>0，∴0<y<6. ∴S＝xy＝ eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(9－\f(3,2)y)) y＝ eq \f(3,2) (6－y)·y. ∵0<y<6，∴6－y>0. ∴S≤ eq \f(3,2) eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(（6－y）＋y,2))) eq \s\up12(2) ＝ eq \f(27,2) ， 当且仅当6－y＝y，即y＝3时，等号成立，此时x＝4.5. (2)由条件知S＝xy＝24.设钢筋网总长为l，则l＝4x＋6y. 法一　∵2x＋3y≥2 eq \r(2x·3y) ＝2 eq \r(6xy) ＝24， ∴l＝4x＋6y＝2(2x＋3y)≥48，当且仅当2x＝3y时，等号成立． 由 eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(2x＝3y，,xy＝24，)) 解得 eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝6，,y＝4.)) 故每间虎笼长为6 m，宽为4 m时，可使钢筋网总长最小． 法二　由xy＝24，得x＝ eq \f(24,y) . ∴l＝4x＋6y＝ eq \f(96,y) ＋6y＝6 eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(16,y)＋y)) ≥6×2 eq \r(\f(16,y)·y) ＝48. 当且仅当 eq \f(16,y) ＝y，即y＝4时，等号成立，此时x＝6.故每间虎笼长为6 m，宽为4 m时，可使钢筋网总长最小． [总结] 　求实际问题中最值的一般思路 (1)先读懂题意，设出变量，理清思路，列出函数关系式； (2)把实际问题转化为函数的最大值或最小值问题，设最值时一般要把最大值或最小值的变量定义为函数，且要注意变量的实际意义及其取值范围； (3)在定义域内，求函数的最大值或最小值时，一般先考虑基本不等式，当基本不等式求最值的条件不具备时，再考虑函数的单调性； (4)正确写出答案. 【练一练】 3．我市某运输公司为积极响应国家节能减排的号召，年初以每台12 800元的价格购入一批风能发电机．经测算，每台发电机每年的发电收益约7 200元，已知每台发电机使用x年后的累计维修保养费用为t元，且满足关系式t＝ax2＋bx(a，b为常数).已知该批发电机第1年每台的维修保养费用为1 000元，前2年每台的累计维修保养费用为2 400元．设每台发电机使用x年后的总利润为y元． (1)求y关于x的函数关系式y＝f(x)； (2)问每台发电机在第几年的年平均利润最大？(注：年平均利润＝总利润÷年数) 解：(1)由题知： eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a＋b＝1 000，,4a＋2b＝2 400，)) 解得 eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a＝200，,b＝800，)) 所以t＝200x2＋800x. y＝7 200x－(200x2＋800x)－12 800＝6 400x－200x2－12 800，x∈N*. (2)设平均利润z＝ eq \f(y,x) ，所以z＝6 400－200x－ eq \f(12 800,x) ，所以z＝6 400－(200x＋ eq \f(12 800,x) )≤6 400－2 eq \r(200x·\f(12 800,x)) ＝3 200. 当且仅当200x＝ eq \f(12 800,x) ，即x＝8时取等号． 所以每台发电机在第8年的年平均利润最大． $