第3章 §3.1 不等式的基本性质（配套课件PPT）-【步步高】2025-2026学年高一数学必修第一册学习笔记（苏教版）

该高中数学课件围绕不等式的基本性质展开，涵盖作差法比较大小、不等式性质及应用（证明、求范围）等核心内容。以生活中不等关系（如长与短、高与矮）导入，衔接初中数轴比较实数大小的知识，通过作差法建立实数大小比较的基础，逐步过渡到不等式性质的探究，构建从具体到抽象的学习支架。 其亮点在于注重数学思维与数学语言的培养，通过作差法步骤化教学（作差、变形、判断符号）及延伸探究（如a³+b³与a²b+ab²的比较）发展推理意识与抽象能力，结合跟踪训练和课时对点练让学生用数学语言表达数量关系。学生能形成严谨思维，教师可借助结构化内容提升教学效率。

§3.1 不等式的基本性质 第3章　不等式 <<< 1.了解等式的基本性质. 2.掌握不等式的基本性质,并能运用这些性质解决有关问题. 3.初步学会用作差法(作商法)比较两实数的大小. 学习目标 大家知道,相等关系与不等关系是数学也是日常生活中最基本的关系.比如：长与短、远与近的比较；比如：同学们之间高与矮、轻与重的比较；又比如：国家人口的多少、面积的大小的比较.正所谓：“横看成岭侧成峰,远近高低各不同”. 导 语 一、作差法比较大小 二、不等式的性质 课时对点练 三、利用不等式性质证明不等式 内容索引 四、利用不等式性质求代数式范围 作差法比较大小 一 提示　设a,b是两个实数,它们在数轴上所对应的点分别是A,B.那么,当点A在点B的左边时,a<b；当点A在点B的右边时,a>b. 在初中,我们知道数轴上的点与实数一一对应,所以可以利用数轴上点的位置关系来规定实数的大小关系,具体是如何规定的呢？ 问题1 依据 a>b⇔__________ a=b⇔__________ a<b⇔__________ 结论 要比较两个实数的大小,可以转化为比较它们的 与 的大小 基本事实 a-b>0 a-b=0 a-b<0 差 0 知识梳理 (1)利用作差法比较大小,只需判断差的符号,通常将差化为完全平方的形式或多个因式的积的形式. (2)对于两个正值,也可采用作商的方法,比较商与1的大小. (3)对于某些问题也可采用取中间值的方法比较大小. 注 意 点 <<< 8 　　 (课本例3)比较两数(a2+1)2与a4+a2+1的大小. 例 1 因为(a2+1)2-(a4+a2+1)=a4+2a2+1-a4-a2-1=a2. 当a=0时,a2=0,所以(a2+1)2=a4+a2+1； 当a≠0时,a2>0,所以(a2+1)2>a4+a2+1. 解 9 　　已知a,b均为正实数.试利用作差法比较a3+b3与a2b+ab2的大小. 例 1 ∵a3+b3-(a2b+ab2)=(a3-a2b)+(b3-ab2) =a2(a-b)+b2(b-a)=(a-b)(a2-b2)=(a-b)2(a+b). 当a=b时,a-b=0,a3+b3=a2b+ab2； 当a≠b时,(a-b)2>0,a+b>0, a3+b3>a2b+ab2. 综上所述,a3+b3≥a2b+ab2. 解 10 若a>0,b>0,则比较a5+b5与a3b2+a2b3的大小. (a5+b5)-(a3b2+a2b3) =a5-a3b2+b5-a2b3 =a3(a2-b2)+b3(b2-a2)=(a2-b2)(a3-b3) =(a-b)2(a+b)(a2+ab+b2). ∵a>0,b>0, ∴(a-b)2≥0,a+b>0,a2+ab+b2>0. ∴a5+b5≥a3b2+a2b3. 解 延伸探究 1 11 对于an+bn,你能有一个更具一般性的猜想吗？ 若a>0,b>0,n>r,n,r∈N*, 则an+bn≥arbn-r+an-rbr. 解 延伸探究 2 12 作差法比较两个实数a,b大小的基本步骤 反 思 感 悟 13 比较2x2+5x+3与x2+4x+2的大小. 跟踪训练 1 (2x2+5x+3)-(x2+4x+2)=x2+x+1=+. ∵≥0, ∴+≥>0, ∴(2x2+5x+3)-(x2+4x+2)>0, ∴2x2+5x+3>x2+4x+2. 解 14 二 不等式的性质 提示　如果a>b,那么b<a； 你能根据下列等式的性质,类比出不等式的性质吗？ (1)如果a=b,那么b=a； 问题2 提示　如果a>b,b>c,那么a>c； (2)如果a=b,b=c,那么a=c； 问题2 提示　如果a>b,那么a+c>b+c； (3)如果a=b,那么a±c=b±c； 问题2 提示　如果a>b,若c>0,那么ac>bc,若c<0,则ac<bc. (4)如果a=b,那么ac=bc. 问题2 性质 别名 性质内容 注意 1 对称性 a>b⇔b a ⇔ 2 传递性 a>b,b>c⇒a>c _______ 3 可加性 a>b⇔a+c b+c _____ 4 可乘性 a>b,c>0⇒________ a>b,c<0⇒________ c的符号 5 同向可加性 a>b,c>d⇒_____________ 同向 6 同向同正可乘性 a>b>0,c>d>0⇒_________ 同向 不等式的性质 < 不可逆 > 可逆 ac>bc ac<bc a+c>b+d ac>bd 知识梳理 (1)可加性是不等式中移项的根据. (2)应用同向可加性时,应注意“同向”. (3)同向同正可乘性应注意数的正负. 注 意 点 <<< 19 (多选)下列四个命题中为假命题的是 A.若a>-b,则c-a<c+b B.若a>b,则< C.若a<|b|,则a2>b2 D.若a>b,c>d,则ad<bc √ 例 2 √ 对于A,若a>-b,则-a<b,所以c-a<c+b,故A为真命题； 对于B,若a>b,且a>0,b<0,则>0<0,此时>故B为假命题； 对于C,若a=-1,b=2,则a2=1<b2=4,故C为假命题； 对于D,若a=5,b=1,而c=4,d=1,则ad=5>bc=4,故D为假命题. 解析 √ 20 利用不等式性质判断命题真假的注意点 (1)运用不等式的性质判断时,要注意不等式成立的条件,不要弱化条件,尤其是不能随意捏造性质. (2)也可采用特殊值法进行排除,注意取值一定要遵循以下原则：一是满足题设条件；二是取值要简单,便于验证计算. 反 思 感 悟 21 由<<0可得b<a<0, 从而|a|<|b|,A,B均不正确； a+b<0,ab>0, 则a+b<ab成立,C正确； ab>a2,D正确. 解析 (多选)若<<0,则下面四个不等式成立的有 A.|a|>|b| B.a<b C.a+b<ab D.ab>a2 跟踪训练 2 √ √ 22 利用不等式性质证明不等式 三 方法一　由a>b,得a-b>0；由c<b,得d-c>0. 因为(a-c)-(b-d)=(a-b)+(d-c)>0, 所以a-c>b-d. 方法二　因为c<d,所以-c>-d. 又因为a>b,所以a+(-c)>b+(-d). 即a-c>b-d. 证明 (课本例2)已知a>b,c<d,求证：a-c>b-d. 例 3 24 因为c<d<0, 所以-c>-d>0, 因为a>b>0, 所以a-c>b-d>0, 所以0<< 又因为e<0, 所以>. 证明 已知a>b>0,c<d<0,e<0,求证：>. 例 3 25 ∵c<d<0,∴-c>-d>0. 又∵a>b>0,∴a-c>b-d>0. ∴(a-c)2>(b-d)2>0. 两边同乘以 得<. 又e<0,∴>. 证明 若a>b>0,c<d<0,e<0,求证：>. 延伸探究 3 26 利用不等式的性质证明不等式的注意事项 (1)利用不等式的性质及其推论可以证明一些不等式.解决此类问题一定要在理解的基础上,记准、记熟不等式的性质并注意在解题中灵活准确地加以应用. (2)应用不等式的性质进行推导时,应注意紧扣不等式的性质成立的条件,且不可省略条件或跳步推导,更不能随意构造性质与法则. 反 思 感 悟 27 方法一　-= ∵a>b>0,c<0, ∴ab>0,b-a<0,c(b-a)>0, ∴->0,∴>. 方法二　∵a>b>0, ∴>>0, ∵c<0,∴<即>. 证明 已知a>b>0,c<0,证明：>. 跟踪训练 3 28 利用不等式性质求代数式范围 四 已知-1<x<4,2<y<3. (1)求x-y的取值范围； 例 4 因为-1<x<4,2<y<3, 所以-3<-y<-2,所以-4<x-y<2. 解 30 (2)求3x+2y的取值范围. 由-1<x<4,2<y<3,得-3<3x<12, 4<2y<6,所以1<3x+2y<18. 解 31 若将本例条件改为-1<x+y<4,2<x-y<3,求3x+2y的取值范围. 延伸探究 4 32 设3x+2y=m(x+y)+n(x-y), 则所以 即3x+2y=(x+y)+(x-y), 因为-1<x+y<4,2<x-y<3, 所以-<(x+y)<10,1<(x-y)< 解 33 所以-<(x+y)+(x-y)< 即-<3x+2y< 所以3x+2y的取值范围为. 解 34 利用不等式的性质求取值范围的策略 (1)建立待求范围的整体与已知范围的整体的关系,最后利用一次不等式的性质进行运算,求得待求的范围. (2)同向不等式的两边可以相加,这种转化不是等价变形,如果在解题过程中多次使用这种转化,就有可能扩大其取值范围. 反 思 感 悟 35 已知-2≤x≤-1,2≤y≤3,求x-y的取值范围. 跟踪训练 4 因为2≤y≤3,所以-3≤-y≤-2, 所以-5≤x-y≤-3； 因为-2≤x≤-1,2≤y≤3, 所以1≤-x≤2≤≤ 所以≤≤1,即-1≤≤-. 解 36 1.知识清单： (1)作差法比较大小. (2)不等式的性质. (3)利用不等式性质证明不等式. (4)利用不等式性质求代数式的范围. 2.方法归纳：作差法(作商法)、特殊值法. 3.常见误区：注意不等式性质的单向性或双向性，即每条性质是否具有可逆性. 课堂小结 课时对点练 五 题号 1 2 3 4 5 6 7 答案 A D B B C AD (-4，4)　(-4，0) 题号 8 11 12 13 14 15 答案 > C A AC 若a>b>c，b>0且c<0，则ab>bc C 对一对 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 9. 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 (1)∵a<b，∴a-b<0， 又c<0，∴(a-b)c>0. (2)∵-1<b<0，∴0<b2<1， ∴1>b2>0>b>-1， 又a<0，∴a<ab2<ab. 10. 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 因为-(1+a)=， ①当a=0时，=0，所以=1+a. ②当a<1，且a≠0时，>0，所以>1+a. ③当a>1时，<0，所以<1+a. 16. 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 (1)△ABC为等边三角形，证明如下： 因为a2+b2+c2=ab+ac+bc， 所以2a2+2b2+2c2=2ab+2ac+2bc， 即a2+b2-2ab+b2+c2-2bc+a2+c2-2ac=0， 即(a-b)2+(b-c)2+(a-c)2=0， 所以a=b，b=c，a=c，即a=b=c， 所以△ABC为等边三角形. 16. 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 (2)由a2-b2+c2-2ac=(a-c)2-b2 =(a-c+b)(a-c-b)=[(a+b)-c][a-(b+c)]， 因为在△ABC中，a+b>c，b+c>a， 所以[(a+b)-c][a-(b+c)]<0， 所以a2-b2+c2-2ac<0， 即代数式a2-b2+c2-2ac值的符号为负. 基础巩固 1.设M=x2+6x,N=5x-1,则M与N的大小关系是 A.M>N B.M=N C.M<N D.与x有关 √ 因为M-N=x2+x+1=+>0,所以M>N. 解析 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 2.与a>b等价的不等式是 A.|a|>|b| B.a2>b2 C.>1 D.a3>b3 √ 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 可利用赋值法.令a=1,b=-2, 满足a>b,但|a|<|b|,a2<b2=-<1, 故A,B,C都不正确. 解析 3.已知a>b,则“c≥0”是“ac>bc”的 A.充分且不必要条件 B.必要且不充分条件 C.充要条件 D.既不充分又不必要条件 √ 当时,ac>bc不成立,所以充分性不成立； 当时,c>0成立,c≥0也成立,所以必要性成立. 所以“c≥0”是“ac>bc”的必要且不充分条件. 解析 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 4.已知0<a1<1,0<a2<1,记M=a1a2,N=a1+a2-1,则M与N的大小关系是 A.M<N B.M>N C.M=N D.M≥N √ ∵0<a1<1,0<a2<1, ∴-1<a1-1<0,-1<a2-1<0, ∴M-N=a1a2-(a1+a2-1)=a1a2-a1-a2+1=a1(a2-1)-(a2-1)=(a1-1)(a2-1)>0, ∴M>N. 解析 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 5.若1<a<3,-4<b<2,那么a-|b|的取值范围是 A.-3<a-|b|≤3 B.-3<a-|b|<5 C.-3<a-|b|<3 D.1<a-|b|<4 √ 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 ∵-4<b<2,∴0≤|b|<4, ∴-4<-|b|≤0. 又∵1<a<3,∴-3<a-|b|<3. 解析 6.(多选)设a,b,c,d为实数,且a>b>0>c>d,则下列不等式正确的是 A.c2<cd B.a-c<b-d C.ac>bd D.->0 √ 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 √ 因为a>b>0>c>d, 所以a>b>0,0>c>d, 对于A,因为0>c>d,由不等式的性质可得c2<cd,故A正确； 对于B,取a=2,b=1,c=-1,d=-2,则a-c=3,b-d=3,所以a-c=b-d,故B错误； 对于C,取a=2,b=1,c=-1,d=-2,则ac=-2,bd=-2,所以ac=bd,故C错误； 对于D,因为ad<0,bc<0,又a>b>0,d<c<0,则ad<bc,所以>故->0,故D正确. 解析 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 7.若-2<m<n<2,则m+n的取值范围是　　　；m-n的取值范围是　　　. 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 (-4,4) ∵-2<m<n<2, ∴-2<m<2,-2<n<2, ∴-4<m+n<4. ∵-2<m<n<2, ∴-2<m<2,-2<-n<2,m-n<0, ∴-4<m-n<0. 解析 (-4,0) 8.若A=+3与B=+2,则A　　B.(填“>”“<”“≥”“≤”或“=”)  A-B=+3-=+≥>0, 所以A>B. 解析 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 > ∵a<b,∴a-b<0, 又c<0,∴(a-b)c>0. 证明 9.利用不等式的性质证明下列不等式： (1)若a<b,c<0,则(a-b)c>0； 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 ∵-1<b<0,∴0<b2<1, ∴1>b2>0>b>-1, 又a<0,∴a<ab2<ab. 证明 (2)若a<0,-1<b<0,则a<ab2<ab. 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 因为-(1+a)= ①当a=0时=0,所以=1+a. ②当a<1,且a≠0时>0,所以>1+a. ③当a>1时<0,所以<1+a. 解 10.已知a≠1且a∈R,试比较与1+a的大小. 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 11.已知x>y>z,x+y+z=0,则下列不等式中一定成立的是 A.xy>yz B.xz>yz C.xy>xz D.x|y|>z|y| √ 综合运用 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 因为x>y>z,x+y+z=0, 所以3x>x+y+z=0,3z<x+y+z=0, 所以x>0,z<0.由可得xy>xz. 解析 12.有外表相同、重量不同的四个小球,它们的重量分别是a,b,c,d,已知a+b= c+d,a+d>b+c,a+c<b,则这四个小球由重到轻的排列顺序是 A.d>b>a>c B.b>c>d>a C.d>b>c>a D.c>a>d>b √ ∵a+b=c+d,a+d>b+c, ∴a+d+(a+b)>b+c+(c+d),即a>c. ∴b<d.又a+c<b,∴a<b. 综上可得,d>b>a>c. 解析 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 13.(多选)已知-5≤a-b≤4,2≤2a+b≤8,则 A.-1≤a≤4 B.0≤b≤4 C.-28≤2a-5b≤14 D.ab的最大值为24 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 √ √ 由题意可得-3≤3a≤12,即-1≤a≤4,故A正确； 由-5≤a-b≤4,可得-8≤2b-2a≤10,又2≤2a+b≤8,则-6≤3b≤18,即-2≤b≤6,故B错误； 设2a-5b=x(a-b)+y(2a+b),则解得 因为-20≤4(a-b)≤16,-8≤-(2a+b)≤-2,所以-28≤2a-5b≤14,故C正确； 由-1≤a≤4,以及-2≤b≤6,若ab的最大值为24,则a=4,b=6,此时2a+b=14>8,故D错误. 解析 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 若选择①③作为条件,②作为结论：若a>b>c,b>0且c<0,则ab>bc；若选择①②作为条件,③作为结论：若a>b>c,ab>bc,则(a-c)b>0,故b>0,但c也可能大于0,不正确；若选择②③作为条件,①作为结论：若ab>bc,b>0且c<0,则(a-c)b>0,故a>c,但a与b大小关系不确定,不正确. 解析 14.给出下列三个论断：①a>b>c；②ab>bc；③b>0且c<0.以其中的两个论断作为条件,余下的一个论断作为结论,写出一个正确的命题：________ 　　　　　　 　　.  答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 b>0且c<0,则ab>bc 若a>b>c, 15.手机屏幕面积与整机面积的比值叫手机的“屏占比”,它是手机外观设计中的一个重要参数,其值通常在(0,1)之间,设计师将某手机的屏幕面积和整机面积同时增加相同的数量,升级为一款新手机,则升级后“屏占比”的变化是 A.“屏占比”不变 B.“屏占比”变小 C.“屏占比”变大 D.变化不确定 拓广探究 √ 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 设升级前的“屏占比”为 升级后的“屏占比”为(a>b>0,m>0). ∵-=>0, ∴手机的“屏占比”和升级前相比变大. 解析 16.已知a,b,c为△ABC的三边长. (1)当a2+b2+c2=ab+ac+bc时,试判断△ABC的形状,并证明你的结论； 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 △ABC为等边三角形,证明如下： 因为a2+b2+c2=ab+ac+bc, 所以2a2+2b2+2c2=2ab+2ac+2bc, 即a2+b2-2ab+b2+c2-2bc+a2+c2-2ac=0, 即(a-b)2+(b-c)2+(a-c)2=0, 所以a=b,b=c,a=c,即a=b=c, 所以△ABC为等边三角形. 解 (2)判断代数式a2-b2+c2-2ac值的符号. 由a2-b2+c2-2ac=(a-c)2-b2=(a-c+b)(a-c-b)=[(a+b)-c][a-(b+c)], 因为在△ABC中,a+b>c,b+c>a, 所以[(a+b)-c][a-(b+c)]<0, 所以a2-b2+c2-2ac<0, 即代数式a2-b2+c2-2ac值的符号为负. 解 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 第3章　不等式 <<< $