第1章 §1.2 子集、全集、补集（配套课件PPT）-【步步高】2025-2026学年高一数学必修第一册学习笔记（苏教版）

该高中数学课件围绕子集、真子集、全集、补集展开，通过类比实数关系引出集合间关系，如班级学生与女生集合的包含关系，搭建旧知到新知的学习支架，帮助学生理解概念。 其亮点在于用问题情境引导学生用数学眼光抽象集合关系，表格对比子集与真子集培养数学思维的推理意识，结合Venn图、数轴等数学语言表达。学生提升抽象能力，教师可高效教学。

§1.2 第1章　集合 <<< 子集、全集、补集 1.理解子集、真子集的概念,能用符号和Venn图、数轴表达集合间的关系. 2.了解全集的含义及其符号表示,理解给定集合中一个子集的补集的含义,并会求给定子集的补集. 学习目标 我们知道,两个实数之间有相等关系、大小关系,如5=5,5<7,5>3等等,两个集合之间是否也有类似的关系呢？比如,一个班级中,所有同学组成的集合记为S,而所有女同学组成的集合记为F,你觉得集合S和F之间有怎样的关系？ 导 语 一、子集与真子集 二、全集与补集 课时对点练 三、由集合间的关系求参数的值或取值范围 内容索引 子集与真子集 一 提示　集合C的任意一个元素都是集合D的元素,但该校高一(二)班每一个男生都是集合D的元素,不是集合C的元素； 观察下面的几个例子,请同学们说出两个集合元素有何特点？ (1)C为某校高一(二)班全体女生组成的集合,D为这个班全体学生组成的集合； 问题1 提示　集合A的任意一个元素都是集合B的元素,但4和5是集合B的元素,不是集合A的元素； (2)A={1,2,3},B={1,2,3,4,5}； 问题1 提示　集合A的任意一个元素都是集合B的元素,同时集合B的任意一个元素都是集合A的元素. (3)A={x|x=2k,k∈Z},B={偶数}. 问题1   子集 真子集 定义 如果集合A的 都是集合B的元素(若a∈A,则a∈B),那么集合A称为集合B的子集 如果 ,并且 ,那么集合A称为集合B的真子集 记法 A B或B A A____B或B____A 读法 集合A 集合B或集合B包含集合A A真包含于B或B A 任意一个元素 A⊆B A≠B ⊆ ⊇ 包含于 真包含 知识梳理   子集 真子集 图示     性质 (1)任何一个集合是它本身的子集,即A A； (2)对于集合A,B,C,若A⊆B且B⊆C,则A C； (3)若 且 ,则A=B； (4)规定∅ A (1)对于集合A,B,C,若A B且B C,则A___C； (2)若A≠∅,则∅____A ⊆ ⊆ A⊆B B⊆A ⊆ (1)“A是B的子集”的含义：集合A的任意一个元素都是集合B的元素,即由任意x∈A,能推出x∈B. (2)在真子集的定义中,A B首先要满足A⊆B,其次至少有一个x∈B,但x∉A. (3)∅与{0}的区别：∅是不含任何元素的集合,{0}是含有一个元素的集合,∅ {0}. 注 意 点 <<< 11 (1)(课本例1)判断下列各组集合中,A是否为B的子集. ①A={0,1},B={-1,0,1,-2}； 例 1 因为0∈B,1∈B,即A中的每一个元素都是B的元素,所以A是B的子集. 解 ②A={0,1},B={x|x=2k,k∈N}. 因为1∈A,但1∉B,所以A不是B的子集. 解 12 (2)(课本例2)写出集合{a,b}的所有子集. 集合{a,b}的所有子集是∅,{a},{b},{a,b}. 解 13 (1)指出下列各对集合之间的关系： ①A={-1,1},B={(-1,-1),(-1,1),(1,-1),(1,1)}； 例 1 集合A的元素是数,集合B的元素是有序实数对,故A与B之间无包含关系. 解 ②A={x|-1<x<4},B={x|x-5<0}； 集合B={x|x<5},用数轴表示集合A,B,如图所示,由图可知A B. 解 14 ③M={x|x=2n-1,n∈N*},N={x|x=2n+1,n∈N*}. 由列举法知M={1,3,5,7,…}, N={3,5,7,9,…},故N M. 解 15 (2)填写下表,并回答问题： 集合 集合的子集 子集的个数 ∅     {a}     {a,b}     {a,b,c}     由此猜想：含n个元素的集合{a1,a2,…,an}的所有子集的个数是多少？真子集的个数及非空真子集的个数呢？ 16 由此猜想：含n个元素的集合{a1,a2,…,an}的所有子集的个数是2n,真子集的个数是2n-1,非空真子集的个数是2n-2. 解 集合 集合的子集 子集的个数 ∅ ∅ 1 {a} ∅,{a} 2 {a,b} ∅,{a},{b},{a,b} 4 {a,b,c} ∅,{a},{b},{c},{a,b},{a,c},{b,c},{a,b,c} 8 17 反 思 感 悟 (1)判断集合关系的方法 ①观察法：一一列举观察. ②元素特征法：首先确定集合的元素是什么,弄清集合元素的特征,再利用集合元素的特征判断关系. ③数形结合法：利用数轴或Venn图. (2)求有限集的子集的两个关注点 ①要注意两个特殊的子集：∅和它本身. ②按集合中含有元素的个数由少到多,分类一一写出,保证不重不漏. 18 (1)已知集合M={x|x2-3x+2=0},N={0,1,2},则集合M与N的关系是 A.M=N B.N M C.M N D.N⊆M 跟踪训练 1 √ 解方程x2-3x+2=0得x=2或x=1,则M={1,2},因为1∈M且1∈N,2∈M且2∈N,所以M⊆N.又因为0∈N但0∉M,所以M N. 解析 19 由{1,2} M⊆{1,2,3,4,5},可以确定集合M必含有元素1,2,且含有元素3,4,5中的至少一个,因此依据集合M的元素个数分类如下： 含有三个元素：{1,2,3},{1,2,4},{1,2,5}； 含有四个元素：{1,2,3,4},{1,2,3,5},{1,2,4,5}； 含有五个元素：{1,2,3,4,5}. 故满足题意的集合M共有7个. 解析 (2)满足{1,2} M⊆{1,2,3,4,5}的集合M有　　个.  7 20 二 全集与补集 提示　集合U是我们研究对象的全体,A⊆U,B⊆U.其中集合A与集合B有一种“互补”的关系. 如果我们把某次活动中的客人看成集合的元素,所有的客人组成集合U,先到的客人组成集合A,未到的客人组成集合B,这三个集合间有什么样的关系？ 问题2 定义 文字语言 设A⊆S,由S中 的所有元素组成的集合称为S的子集A的补集 符号语言 ∁SA=______________ 图形语言   性质 (1)A⊆S,∁SA⊆S；(2)∁S(∁SA)= ；(3)∁SS= ,∁S∅=___ 1.补集 不属于A {x|x∈S,且x∉A} A ∅ S 知识梳理 2.全集 如果一个集合包含我们所研究问题中涉及的所有元素,那么就称这个集合为全集,全集通常记作 . 在实数范围内讨论集合时,R便可看作一个全集U. U (1)“全集”不是固定不变的,是可以随着具体问题的改变而改变的. (2)补集是集合的一种运算,求集合A的补集时需要首先明确全集,且保证集合A是全集U的子集,当全集U不同时,得到的A的补集也不同,因此补集和全集是相互依存、不可分割的. (3)∁UA包含三层含义：①A⊆U；②∁UA是一个集合,且∁UA⊆U；③∁UA是U中所有不属于A的元素构成的集合. 注 意 点 <<< 25 (课本例4)设全集U=R,不等式组的解集为A,试求A及∁UA,并把它们分别表示在数轴上. 例 2 A={x|2x-1>0,且3x-6≤0}= ∁UA=在数轴上分别表示如下. 解 26 (1)已知集合U={-4,-1,0,1,4},A={x|x2-3x-4=0},则∁UA等于 A.{-4,0,1} B.{-1,0,4} C.{-4,1} D.{-1,4} 例 2 √ 解方程x2-3x-4=0,得x=4或x=-1,则A={4,-1},又集合U={-4,-1,0,1,4},则∁UA={-4,0,1}. 解析 27 (2)设集合U=R,M={x|x>2,或x<-2},则∁UM等于 A.{x|-2≤x≤2} B.{x|-2<x<2} C.{x|x<-2,或x>2} D.{x|x≤-2,或x≥2} √ 如图,在数轴上表示出集合M, 可知∁UM={x|-2≤x≤2}. 解析 28 两种求补集的方法 (1)若所给的集合是用列举法表示的,则从全集中去掉集合A中元素后的剩余元素组成的集合即为所求补集,也可以采用Venn图求解. (2)若所给的集合是用描述法表示的,我们需要明确该集合具体表示的是什么,如果是有关不等式的集合,则常借助于数轴,把已知集合及全集分别表示在数轴上,然后再根据补集的定义求解,注意端点值的取舍. 反 思 感 悟 29 (1)已知全集为U,集合A={1,3,5,7},∁UA={2,4,6},∁UB={1,4,6},则集合B=　　　　 .   跟踪训练 2 {2,3,5,7} A={1,3,5,7},∁UA={2,4,6}, 则U={1,2,3,4,5,6,7}, 又∁UB={1,4,6}, 所以B={2,3,5,7}. 解析 30 因为U={x|-5≤x<3},A={x|-2≤x<3}, 所以∁UA={x|-5≤x<-2}, 即图中阴影部分表示的集合是{x|-5≤x<-2}. 解析 (2)已知U={x|-5≤x<3},A={x|-2≤x<3},则图中阴影部分表示的集合是 A.{x|-5≤x≤-2} B.{x|x≤-5,或x≥3} C.{x|-5≤x<-2} D.{x|x≤-2} √ 31 由集合间的关系求参数的值或取值范围 三 已知集合A={x|-2≤x≤5},B={x|m+1≤x≤2m-1},若B A,求实数m的取值范围. 例 3 (1)当B≠∅时,如图所示. ∴等号不同时成立, 解这个不等式组,得2≤m≤3. (2)当B=∅时,由m+1>2m-1,得m<2. 综上可得,m的取值范围是{m|m≤3}. 解 33 若本例条件“A={x|-2≤x≤5}”改为“A={x|-2<x<5}”,其他条件不变,求m的取值范围. 延伸探究 1 (1)当B=∅时,由m+1>2m-1,得m<2. (2)当B≠∅时,如图所示. ∴解得 即2≤m<3, 综上可得,m的取值范围是{m|m<3}. 解 34 若本例条件“B A”改为“A⊆B”,其他条件不变,求m的取值范围. 延伸探究 2 当A⊆B时,如图所示,此时B≠∅. ∴ 即无解. ∴不存在实数m使A⊆B. 解 35 利用集合关系求参数的关注点 (1)此类问题通常借助数轴,利用数轴分析法,将各个集合在数轴上表示出来,以形定数,还要注意验证端点值. (2)此类问题还要注意“空集”的情况,因为空集是任何集合的子集. 反 思 感 悟 36 设集合A={x|x2-1=0},集合B={x|x2-2ax+1=0},若B⊆A,求实数a的取值范围. 跟踪训练 3 37 A={x|x2-1=0}={-1,1}, B={x|x2-2ax+1=0}, ∵B⊆A, ∴B=∅或B={-1}或B={1}或B={-1,1}, 当B=∅时,则方程x2-2ax+1=0无解, ∴Δ=(-2a)2-4<0, 解得-1<a<1； 解 38 当B={-1}时,x=-1是方程x2-2ax+1=0的解, ∴(-1)2-2a×(-1)+1=0, ∴a=-1,经检验,满足B={-1}； 当B={1}时,x=1是方程x2-2ax+1=0的解, ∴12-2a×1+1=0, ∴a=1,经检验,满足B={1}； 当B={-1,1}时,-1和1是方程x2-2ax+1=0的两个解, 解 39 ∴-1+1=2a,即a=0,此时方程x2+1=0无解, ∴B=∅,与B={-1,1}矛盾, ∴a∈∅, 综上所述,实数a的取值范围是{a|-1≤a≤1}. 解 40 1.知识清单： (1)子集、真子集的概念及集合间关系的判断. (2)全集和补集的概念及运算. (3)由集合间的关系求参数范围. 2.方法归纳：数形结合、分类讨论、正难则反的补集思想. 3.常见误区：易忽略空集的情况；求参数的取值范围时，忽略取值范围的边界等号是否成立；求补集时易忽视端点的取舍. 课堂小结 课时对点练 四 题号 1 2 3 4 5 6 7 答案 A B A A ACD AB 　 题号 8 11 12 13 14 15 答案 {a|a>-2} A C C 7 31 对一对 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 9. 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 (1)A={x|1≤x≤2}， 故∁RA ={x|x<1，或x>2}. (2)因为A⊆B，故 故0≤a≤1. 所以实数a的取值范围是{a|0≤a≤1}. 10. 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 (1)∵2∈B，B⊆A， ∴x2+ax+a=2且x2-5x+9=3， ∴当x=2时，a=-； 当x=3时，a=-. ∴或 10. 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 (2)∵B=C， 即{3，x2+ax+a}={x2+(a+1)x-3，1}， ∴ 两式相减得x=5+a， 将x=5+a代入x2+ax+a=1， 可得a2+8a+12=0， 10. 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 解得a=-2或a=-6. 当a=-2时，x=3； 当a=-6时，x=-1， ∴或 16. 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 (1)由于A中有两个元素， ∴关于x的方程ax2-3x-4=0有两个不等的实数根， ∴Δ=9+16a>0，且a≠0， 即a>-，且a≠0. 故实数a的取值范围是 . 16. 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 (2)集合A最多有两个子集即A中至多有一个元素， 即方程ax2-3x-4=0无解或只有一解， 当a=0时，方程为-3x-4=0，解得x=-，集合A=； 当a≠0时，若关于x的方程ax2-3x-4=0有两个相等的实数根，则A中只有一个元素， 此时a=-； 16. 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 若关于x的方程ax2-3x-4=0没有实数根，则A中没有元素， 此时a<-. 综上可知，实数a的取值范围是. 基础巩固 1.已知全集U=R,M={x|-3≤x<5},则∁UM等于 A.{x|x<-3,或x≥5} B.{x|x≤-3,或x>5} C.{x|x<-3,且x≥5} D.{x|x≤-3,且x>5} √ ∵全集U=R,M={x|-3≤x<5}, ∴∁UM={x|x<-3,或x≥5}. 解析 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 2.能正确表示集合M={x|0≤x≤2}和集合N={x|x2-x=0}关系的Venn图是 √ 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 由x2-x=0得x=1或x=0,故N={0,1}, 易得N M,其对应的Venn图如选项B所示. 解析 3.若全集U={1,2,3,4,5},且∁UA={x|1≤x≤3,x∈N},则集合A的真子集共有 A.3个 B.4个 C.7个 D.8个 √ ∁UA={1,2,3},所以A={4,5},其真子集有3个. 解析 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 4.已知集合A={x|-1≤x≤1},B={x|a-1≤x≤2a-1},若B⊆A,则实数a的取值范围是 A.{a|a≤1} B.{a|a<1} C.{a|0≤a≤1} D.{a|0<a<1} √ 当B=∅,即2a-1<a-1,即a<0时,满足B⊆A； 当B≠∅,即a-1≤2a-1,即a≥0时,要使B⊆A, 则满足解得0≤a≤1. 综上,a≤1. 解析 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 5.(多选)已知集合A={0,1},则下列式子正确的是 A.0∈A B.{1}∈A C.∅⊆A D.{0,1}⊆A √ 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 ∵{1}⊆A,∴B项错误,其余均正确. 解析 √ √ 6.(多选)设全集U={1,3,5,7,9},A={1,|a-5|,9},∁UA={5,7},则a的值是 A.2 B.8 C.-2 D.-8 √ 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 由题意得{1,3,5,7,9}={1,|a-5|,5,7,9}, ∴|a-5|=3,解得a=2或a=8. 解析 √ 7.已知a是实数,若集合{x|x2+x+a=0}是任何集合的子集,则a的取值范围是 　　　 　. 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 由题意知,集合{x|x2+x+a=0}是空集,即方程x2+x+a=0无解, 则Δ=1-4a<0,解得a>. 解析 8.已知集合A={x|-4≤x≤-2},集合B={x|x-a≥0},若全集U=R,且A⊆∁UB,则a的取值范围为　　　　. 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 {a|a>-2} ∁UB={x|x<a},如图所示. 因为A⊆∁UB,所以a>-2. 解析 9.设集合A={x|1≤x≤2},B={x|a≤x≤a+2}. (1)求∁RA； A={x|1≤x≤2}, 故∁RA={x|x<1,或x>2}. 解 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 (2)若A⊆B,求实数a的取值范围. 因为A⊆B,故故0≤a≤1. 所以实数a的取值范围是{a|0≤a≤1}. 解 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 ∵2∈B,B⊆A, ∴x2+ax+a=2且x2-5x+9=3, ∴当x=2时,a=-； 当x=3时,a=-. ∴或 解 10.已知a∈R,x∈R,集合A={2,4,x2-5x+9},B={3,x2+ax+a},C={x2+(a+1)x-3,1}. (1)当2∈B,B⊆A时,求a,x的值； 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 (2)当B=C时,求a,x的值. 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 ∵B=C, 即{3,x2+ax+a}={x2+(a+1)x-3,1}, ∴ 两式相减得x=5+a, 将x=5+a代入x2+ax+a=1, 可得a2+8a+12=0, 解得a=-2或a=-6. 解 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 当a=-2时,x=3；当a=-6时,x=-1, ∴或 解 11.已知全集U,M,N是U的非空子集,且∁UM⊇N,则必有 A.M⊆∁UN B.∁UN⊆M C.∁UM=∁UN D.M⊆N √ 综合运用 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 依据题意画出Venn图,观察可知,M⊆∁UN. 解析 12.已知集合M=N={x|x2-4=0},若M⊆N,则k的值不可能为 A.- B. C. D.0 √ 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 因为N={x|x2-4=0}={-2,2},M⊆N, 当M=∅时,即方程kx+=0无解,所以k=0； 当M={-2}时,-2k+=0,即k=； 当M={2}时,2k+=0,即k=- 所以k的可能取值为-0,不可能为. 解析 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 13.集合M={x|x=5k-2,k∈Z},P={x|x=5n+3,n∈Z},S={x|x=10m+3,m∈Z}之间的关系是 A.S P M B.S=P M C.S P=M D.P=M S 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 √ 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 方法一　∵M={x|x=5k-2,k∈Z}, P={x|x=5n+3,n∈Z}, S={x|x=10m+3,m∈Z}, ∴M={…,-7,-2,3,8,13,18,…}, P={…,-7,-2,3,8,13,18,…}, S={…,-7,3,13,23,…},故S P=M. 解析 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 方法二　∵集合M={x|x=5k-2=5(k-1)+3,k∈Z},P={x|x=5n+3,n∈Z},∴M=P, ∵S={x|x=10m+3,m∈Z}={x|x=5×2m+3,m∈Z} P={x|x=5n+3,n∈Z}, ∴S P=M. 解析 由a∈P,6-a∈P,且P⊆{1,2,3,4,5}可知,P中元素在取值方面应满足的条件是1,5同时选,2,4同时选,3可单独选,可一一列出满足条件的全部集合P为{3},{1,5},{2,4},{1,3,5},{2,3,4},{1,2,4,5},{1,2,3,4,5},共7个. 解析 14.已知非空集合P满足：①P⊆{1,2,3,4,5}；②若a∈P,则6-a∈P.符合上述条件的集合P的个数为　　　. 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 7 因为211=20+21+24+26+27, 所以由题意可得E的第211个子集为{0,1,4,6,7}, 所以其真子集个数为25-1=31. 解析 15.若规定集合E={0,1,2,…,n}(n∈N)的子集{a1,a2,a3,…,am}为E的第k个子集,其中k=+++…+则E的第211个子集的真子集个数为　　. 拓广探究 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 31 16.已知集合A={x∈R|ax2-3x-4=0}. (1)若集合A中有两个元素,求实数a的取值范围； 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 由于A中有两个元素, ∴关于x的方程ax2-3x-4=0有两个不等的实数根, ∴Δ=9+16a>0,且a≠0,即a>-且a≠0. 故实数a的取值范围是. 解 (2)若集合A最多有两个子集,求实数a的取值范围. 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 集合A最多有两个子集即A中至多有一个元素, 即方程ax2-3x-4=0无解或只有一解, 当a=0时,方程为-3x-4=0,解得x=-集合A=； 当a≠0时,若关于x的方程ax2-3x-4=0有两个相等的实数根,则A中只有一个元素, 此时a=-； 若关于x的方程ax2-3x-4=0没有实数根,则A中没有元素,此时a<-. 综上可知,实数a的取值范围是. 解 第1章　集合 <<< $