第1章 §1.1 集合的概念与表示（配套课件PPT）-【步步高】2025-2026学年高一数学必修第一册学习笔记（苏教版）

该高中数学课件围绕集合的概念与表示展开，涵盖元素与集合的关系、元素三属性、列举法和描述法等核心内容。通过体育课“集合”动词与数学名词对比，结合小学初中自然数集合等旧知，搭建学习支架，实现生活经验到数学概念的过渡。 其亮点在于以问题驱动抽象集合概念，如观察实例培养“数学眼光”，通过参数求解题强化元素互异性训练“数学思维”，对比表示方法提升“数学语言”表达。课堂小结梳理知识清单与方法，助力学生系统掌握，也为教师提供清晰教学路径，提升教学效率。

§1.1 第1章　集合 <<< 集合的概念与表示 1.了解集合的含义,体会元素与集合的“属于”关系,记住常用数集的表示符号并会应用. 2.理解集合中元素的基本属性. 3.初步掌握集合的两种表示方法——列举法、描述法,会用集合的两种表示方法表示一些简单集合. 4.理解集合相等、有限集、无限集、空集等概念. 学习目标 在体育课上,体育老师常说的一句话就是“集合”,这个时候,同学们从四面八方集合到一起,而这个集合是一个动词,在我们数学课上,也有一个名词“集合”,比如在小学和初中,我们学习过自然数的集合,同一平面内到一个定点的距离等于定长的点的集合等,为了进一步了解集合的有关知识,我们开始今天的学习. 导 语 一、集合的相关概念 二、集合元素基本属性的应用 课时对点练 三、集合的表示 内容索引 集合的相关概念 一 提示　以上例子中描述的内容都是某种研究对象的全体,而且每个例子中的研究对象都是确定的、互不相同的. 观察下面的几个例子,讨论它们有什么共同特点？ (1)1~10之间的所有偶数； (2)立德中学今年入学的全体高一学生； (3)所有正方形； (4)到直线l的距离等于定长d的所有点； (5)方程x2-3x+2=0的所有实数根； (6)地球上的四大洋. 问题1 名称 非负整数集 (或自然数集) 正整数集 整数集 有理数集 实数集 记法 ___ ________ ___ ___ ___ 1.集合：一般地,一定范围内某些 、 对象的全体组成一个集合.通常用 拉丁字母来表示集合. 元素：集合中的 称为该集合的元素,简称 .通常用 拉丁字母来表示集合的元素. 2.常用数集及表示符号 确定的 不同的 大写 每一个对象 元 小写 N N*或N+ Z Q R 知识梳理 关系 概念 记法 读法 属于 如果 ,就说a属于集合A ______ a属于A 不属于 如果 ,就说a不属于集合A 或_____ a不属于A 3.元素与集合的关系 a是集合A的元素 a∈A a不是集合A的元素 a∉A aA 元素与集合之间是属于或不属于的关系,注意符号的书写. 注 意 点 <<< 9 (1)下列说法中正确的是 A.与定点A,B等距离的点不能构成集合 B.由“title”中的字母构成的集合中元素的个数为5 C.一个集合中有三个元素a,b,c,其中a,b,c是△ABC的三边长,则△ABC不可 能是等腰三角形 D.高中学生中的游泳能手能构成集合 √ 例 1 10 A不正确,与定点A,B等距离的点在AB的垂直平分线上,能构成集合； B不正确,由title中的字母构成的元素为t,i,l,e,共4个； C正确,一个集合中有三个元素a,b,c,故a,b,c互异,故不可能构成等腰三角形； D不正确,游泳能手没有确定的标准,故不能构成集合. 解析 11 (2)(多选)下列选项中,正确的是 A.2∈Q B.|-3|∈N C.|-3|∈Z D.0∉N √ √ √ 根据元素与集合的关系得2∈Q,A正确； |-3|=3∈N,B正确； |-3|=3∈Z,C正确；0∈N,D错误. 解析 12 (1)判断一组对象能构成集合的条件是能找到一个明确的标准,使得对于任何一个对象,都能确定它是不是给定集合的元素. (2)判断元素和集合关系的两种方法 ①直接法：集合中的元素是直接给出的. ②推理法：判断该元素是否满足集合中元素所具有的特征即可. 反 思 感 悟 13 (1)(多选)下列说法正确的有 A.花坛上色彩艳丽的花朵构成一个集合 B.正方体的全体构成一个集合 C.未来世界的高科技产品构成一个集合 D.不大于3的所有自然数构成一个集合 √ 跟踪训练 1 √ 14 集合M中的元素是第二象限的点,而2是实数,故2∉M.点(-2,1)是第二象限内的点, 故(-2,1)∈M；而(1,3)在第一象限,故(1,3)∉M. 解析 (2)已知集合M是由平面直角坐标系中第二象限的点组成的集合,则2　 M；(-2,1)　　　M；(1,3)　　　M(填“∉”或“∈”).  ∉ ∈ ∉ 15 二 集合元素基本属性的应用 集合元素的基本属性 (1)确定性：集合的元素必须是确定的. (2)互异性：对于一个给定的集合,集合中的元素一定是不同的. (3)无序性：集合中的元素可以任意排列. 集合中的元素必须是确定的,不能是模棱两可的,任何两个元素不能相同,且与顺序无关. 注 意 点 <<< 18 已知集合A是由a-2,2a2+5a,12三个元素组成的,且-3∈A,求实数a. 例 2 由-3∈A,可得-3=a-2或-3=2a2+5a, ∴a=-1或a=-. ①当a=-1时,a-2=-3,2a2+5a=-3,不符合集合中元素的互异性,故a=-1应舍去. ②当a=-时,a-2=-2a2+5a=-3,符合集合中元素的互异性. 综上可知,a=-. 解 19 在本例中,若集合A中的三个元素换为a-3,2a-1,a2-4,其余不变,求实数a的值. ①若a-3=-3,则a=0, 此时A中的元素为-3,-1,-4,满足题意. ②若2a-1=-3,则a=-1, 此时A中的元素为-4,-3,-3,不满足元素的互异性. ③若a2-4=-3,则a=±1. 当a=1时,A中的元素为-2,1,-3,满足题意； 当a=-1时,由②知不符合题意. 综上可知,a=0或a=1. 解 延伸探究 20 利用集合中元素的确定性、互异性求参数的策略及注意点 (1)策略：根据集合中元素的确定性,可以解出参数的所有可能值,再根据集合中元素的互异性对求得的参数值进行检验. (2)注意点：利用集合中元素的互异性解题时,要注意分类讨论思想的应用. 反 思 感 悟 21 设集合A中含有三个元素3,x,x2-2x. (1)求实数x应满足的条件； 跟踪训练 2 由集合中元素的互异性可知,x≠3, 且x≠x2-2x,x2-2x≠3. 解得x≠-1,x≠0且x≠3. 解 22 (2)若-2∈A,求实数x的值. ∵-2∈A,∴x=-2或x2-2x=-2. 由于x2-2x=(x-1)2-1≥-1,∴x=-2. 解 23 集合的表示 三 提示　①这是用自然语言法表示的集合； ②我们可以把所有男生的名字写出来,或者把所有男生的学号一一写出. 用A表示“本班所有的男生”组成的集合,这是利用的哪种方法表示的集合？你能把集合A中的所有元素逐一列举出来吗？ 问题2 列举法：将集合的元素 出来,并置于花括号“{　}”内的表示集合的方法叫做列举法. 一一列举 知识梳理 (1)集合中的元素之间用逗号分隔,元素不重复,元素无顺序. (2)元素个数较少时,把元素一一列举并用“{ }”括起来即可；元素个数较多且有明显规律,可用列举法,但必须把规律显示清楚,然后加省略号. 注 意 点 <<< 27 提示　不等式x-7<3的解是x<10,因为满足x<10的实数有无数个,所以x-7<3的解集无法用列举法表示.但是,我们可以利用解集中元素的共同特征,即x是实数,且x<10,把解集表示为{x|x<10,x∈R}. 你能用列举法表示不等式x-7<3的解集吗？ 问题3 提示　{x|x=2k,k∈Z}. 仿照上面的例子以及阅读课本,你能表示偶数集吗？ 问题4 1.描述法：将集合的所有元素都具有的性质(满足的条件)表示出来,写成 的形式,这样表示集合的方法称为描述法. {x|p(x)} 知识梳理 (1)用描述法表示集合时,应写清该集合中元素的代表符号,并用简明、准确的语言描述集合的特征性质. (2)从上下文的关系来看,若元素的取值(或变化)范围是明确的,则可省略不写. 注 意 点 <<< 31 2.为了直观地表示集合,我们常画一条 的曲线,用它的内部来表示一个集合,称为 . 3.集合相等 如果两个集合所含的元素 (即A中的元素都是B的元素,B中的元素也都是A的元素),那么称这两个集合相等. 4.集合的分类 按照集合元素的多少,集合可以分为有限集和无限集. (1)一般地,含有 个元素的集合称为有限集.含有 个元素的集合称为无限集. (2)不含任何元素的集合称为空集,记作 . 封闭 Venn图 完全相同 有限 无限 ∅ (1)用恰当的方法表示下列给定的集合： ①不大于10的非负偶数组成的集合A； 例 3 不大于10的非负偶数有0,2,4,6,8,10, 所以A={0,2,4,6,8,10}. 解 ②方程x2-2x-3=0的实数根组成的集合B； 方程x2-2x-3=0的实数根为-1,3, 所以B={-1,3}. 解 33 ③方程组的解集C； 方程组的解为 所以方程组的解集C={(3,1)}. 解 34 ④不等式2x-3<1的解组成的集合D； 不等式2x-3<1的解组成的集合为D, 则集合D中的元素是数,设代表元素为x, 则x满足2x-3<1, 则D={x|2x-3<1}, 即D={x|x<2}. 解 35 ⑤被3除余2的正整数的集合M； 设被3除余2的数为x,则x=3n+2,n∈Z.但元素为正整数,故x=3n+2,n∈N.所以被3除余2的正整数的集合M={x|x=3n+2,n∈N}. 解 ⑥平面直角坐标系中第二象限内的点组成的集合N. 平面直角坐标系中第二象限内的点的横坐标为负,纵坐标为正,即x<0,y>0,故第二象限内的点的集合为N={(x,y)|x<0,y>0}. 解 36 (2)设集合A={x,y},B={0,x2},若A,B相等,则实数x的值为　　,y的值为　　. 1 0 因为集合A,B相等,则x=0或y=0. ①当x=0时,x2=0,不满足集合中元素的互异性,故舍去； ②当y=0时,x=x2,解得x=0或x=1,由①知x=0应舍去,故x=1. 综上可知,x=1,y=0. 解析 37 (1)用列举法表示集合的注意点 ①把元素一一列举出来,且相同元素只能列举一次. ②这里“{　}”已包含所有的意思,不能出现“全体”“所有”等. (2)利用描述法表示集合的注意点 ①写清楚该集合代表元素的符号. ②所有描述的内容都要写在花括号内. (3)一个集合可以用不同的方法表示.若两个集合相等,则这两个集合的元素相同,要注意其中的元素不一定按顺序对应相等,应注意检验元素是否满足互异性. 反 思 感 悟 38 (1)用列举法或描述法表示下列集合. ①由所有小于10的既是奇数又是质数的自然数组成的集合； 跟踪训练 3 满足条件的数有3,5,7, 所以所求集合为{3,5,7}. 解 39 ②比1大又比10小的实数组成的集合； 可以表示成{x|1<x<10,x∈R}. 解 ③不等式3x+4≥2x的所有解； 可以表示成{x|3x+4≥2x},即{x|x≥-4}. 解 ④直线y=x上的点的集合. 可以表示成{(x,y)|x-y=0}. 解 40 (2)设a,b∈R,集合{1,a+b,a}=则b-a=　　　　.  2 由题意可知a≠0, 则a+b=0=-1, ∴a=-1,b=1,∴b-a=2. 解析 41 1.知识清单： (1)集合的概念、元素与集合的关系. (2)集合中元素的属性及应用. (3)用列举法和描述法表示集合. 2.方法归纳：分类讨论、等价转化. 3.常见误区：忽视集合中元素的互异性；忽视点集与数集的区别. 课堂小结 课时对点练 四 题号 1 2 3 4 5 6 7 答案 B D A D ABC ABD ∉　∉　∉　∉　∈　∈ 题号 8 11 12 13 14 15 答案 -1 C B {k|k<1且k≠0} 不是　 (答案不唯一) ABC 对一对 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 9. 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 (1){0，-1}. (2){x|x=2k+1，且x<1 000，k∈N}. (3){x|x>8}. (4){1，2，3，4，5，6}. (5)解集用描述法表示为， 解集用列举法表示为{(2，-1)}. 10. 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 因为9∈A， 所以2a-1=9或a2=9， 若2a-1=9，则a=5， 此时A={-4，9，25}， B={9，0，-4}， 显然-4∈A且-4∈B，与已知矛盾，故舍去. 若a2=9，则a=±3， 10. 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 当a=3时，A={-4，5，9}， B={9，-2，-2}，B中有两个-2，与集合中元素的互异性矛盾，故舍去； 当a=-3时，A={-4，-7，9}， B={9，-8，4}，符合题意. 综上所述，满足条件的a存在， 且a=-3. 16. 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 (1)由题意知，若a∈A， 则∈A. 又因为2∈A，所以=-1∈A. 因为-1∈A，所以=∈A. 因为∈A，所以=2∈A. 16. 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 所以A中另外两个元素为-1，. (2)若A为单元素集， 则a=， 即a2-a+1=0，方程无实数根. 所以a≠，所以集合A不可能是单元素集. 基础巩固 1.下列各组对象不能构成集合的是 A.上课迟到的学生 B.高一年级跑得快的同学 C.所有有理数 D.小于π的正整数 √ 根据集合中元素的确定性可知,“高一年级跑得快的同学”中的“跑得快”没有评判标准,不具备确定性,因此不能构成集合. 解析 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 2.集合M是由大于-2且小于1的实数构成的,则下列关系式正确的是 A.∈M B.0∉M C.1∈M D.-∈M √ >1,故A错； -2<0<1,故B错； 1不小于1,故C错； -2<-<1,故D正确. 解析 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 3.若以集合A的四个元素a,b,c,d为边长构成一个四边形,则这个四边形可能是 A.梯形 B.平行四边形 C.菱形 D.矩形 √ 由于a,b,c,d四个元素互不相同,故它们组成的四边形的四条边都不相等,则这个四边形可能是梯形. 解析 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 4.由大于-3且小于11的偶数组成的集合是 A.{x|-3<x<11,x∈Z} B.{x|-3<x<11} C.{x|-3<x<11,x=2k} D.{x|-3<x<11,x=2k,k∈Z} √ 由题意可知,满足题设条件的只有选项D. 解析 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 5.(多选)下列说法中不正确的是 A.0与{0}表示同一个集合 B.集合M={3,4}与N={(3,4)}相等 C.方程(x-1)2(x-2)=0的所有解的集合可表示为{1,1,2} D.集合{x|4<x<5}不能用列举法表示 √ 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 √ √ 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 对于A,0是一个数,而{0}是一个集合,0∈{0},所以A不正确； 对于B,集合M={3,4}表示数3,4构成的集合,集合N={(3,4)}表示点(3,4)构成的集合,所以B不正确； 对于C,根据集合元素的互异性,可得方程(x-1)2·(x-2)=0的所有解的集合可表示为{1,2},所以C不正确； 对于D,集合{x|4<x<5}含有无穷个元素,不能用列举法表示,所以D正确. 解析 6.(多选)由a2,2-a,4组成一个集合A,且集合A中含有3个元素,则实数a的取值不可能是 A.1 B.-2 C.-1 D.2 √ 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 由题意知a2≠4,2-a≠4,a2≠2-a, 解得a≠±2,且a≠1,即a的取值不可能是1,±2. 解析 √ √ 7.用符号“∈”或“∉”填空： 0　　N*；-3　　N；0.5　　Z；　　Z；　　Q；π　　R.  答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 ∉ ∉ ∉ ∉ ∈ ∈ 8.若集合与集合{a2,a+b,0}相等,则a2 025+b2 025的值为　　　　. 由已知可得a≠0,因为两集合相等, 所以有或 所以(舍去)或 经检验,a=-1,b=0满足条件, 所以a2 025+b2 025=-1. 解析 -1 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 9.用适当的方法表示下列集合： (1)方程x(x2+2x+1)=0的解集； {0,-1}. 解 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 (2)在自然数集内,小于1 000的奇数构成的集合； {x|x=2k+1,且x<1 000,k∈N}. 解 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 (3)不等式x-2>6的解的集合； {x|x>8}. 解 (4)大于0.5且不大于6的自然数构成的集合； {1,2,3,4,5,6}. 解 (5)方程组的解集. 解集用描述法表示为 解集用列举法表示为{(2,-1)}. 解 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 10.已知集合A={-4,2a-1,a2},集合B={9,a-5,1-a},9∈A且集合B中再没有其他元素属于A,能否根据上述条件求出实数a的值？若能,则求出a的值,若不能,则说明理由. 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 因为9∈A,所以2a-1=9或a2=9, 若2a-1=9,则a=5, 此时A={-4,9,25},B={9,0,-4}, 显然-4∈A且-4∈B,与已知矛盾,故舍去. 若a2=9,则a=±3, 当a=3时,A={-4,5,9}, B={9,-2,-2},B中有两个-2,与集合中元素的互异性矛盾,故舍去； 当a=-3时,A={-4,-7,9}, B={9,-8,4},符合题意. 综上所述,满足条件的a存在,且a=-3. 解 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 11.已知集合A={1,2},B={x|x=a+b,a∈A,b∈A},则集合B中的元素个数为 A.1 B.2 C.3 D.4 √ 综合运用 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 ∵集合A={1,2},B={x|x=a+b,a∈A,b∈A}, ∴B={2,3,4},∴集合B中的元素个数为3. 解析 12.已知a,b是非零实数,代数式++的值组成的集合是M,则下列判断正确的是 A.0∈M B.-1∈M C.3∉M D.1∈M √ 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 当a,b全为正数时,代数式的值是3；当a,b全是负数时,代数式的值是-1；当a,b是一正一负时,代数式的值是-1,所以M={3,-1},结合选项知B正确. 解析 13.若集合A={x|kx2+4x+4=0}中有2个元素,则实数k的取值范围为　　 　　 　. 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 {k|k<1且k≠0} 若集合A中有2个元素,则方程kx2+4x+4=0有两个不同的根, 即∴k<1且k≠0. 解析 由于2的倒数不在集合A中,故集合A不是可倒数集.若一个元素a∈A,则∈A.若集合中有三个元素,故必有一个元素a=即a=±1,故可取的集合有等. 解析 14.若一数集的任一元素的倒数仍在该集合中,则称该数集为可倒数集,则集合A={-1,1,2}　　　(填“是”或“不是”)可倒数集.试写出一个含三个 元素的可倒数集　　 　　.  不是 (答案不唯一) 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 15.(多选)已知集合A={x|x=2m-1,m∈Z},B={x|x=2n,n∈Z}且x1,x2∈A,x3∈B,则下列判断正确的是 A.x1·x2∈A B.x2·x3∈B C.x1+x2∈B D.x1+x2+x3∈A 拓广探究 √ √ 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 √ 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 由x1,x2∈A,x3∈B,可知x1,x2是奇数,x3是偶数.因为两个奇数的乘积为奇数,所以x1·x2∈A,即A正确； 因为一个奇数和一个偶数的乘积为偶数,所以x2·x3∈B,即B正确； 因为两个奇数的和为偶数,所以x1+x2∈B,即C正确； 因为两个奇数与一个偶数的和为偶数,所以x1+x2+x3∈B,即D错误. 解析 16.设集合A中的元素均为实数,且满足条件：若a∈A,则∈A(a≠1,且a≠0).求证： (1)若2∈A,则A中必还有另外两个元素； 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 由题意知,若a∈A,则∈A. 又因为2∈A,所以=-1∈A. 因为-1∈A,所以=∈A. 因为∈A,所以=2∈A. 所以A中另外两个元素为-1. 证明 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 若A为单元素集, 则a= 即a2-a+1=0,方程无实数根. 所以a≠所以集合A不可能是单元素集. 证明 (2)集合A不可能是单元素集. 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 第1章　集合 <<< $