第1章 §1.3 交集、并集（配套教参Word）-【步步高】2025-2026学年高一数学必修第一册学习笔记（苏教版）

本讲义聚焦集合的交集、并集运算，交并补综合运算，参数值（范围）求解及区间表示。承接上节课补集运算，通过实例引入交集、并集概念，逐步过渡到综合运算和参数问题，最后学习区间表示，构建完整的集合运算知识体系。 该资料以问题情境驱动概念生成，如通过具体集合实例引导学生观察交集、并集元素特征，培养数学眼光。运用Venn图、数轴等直观工具辅助理解，发展几何直观和推理能力，体现数学思维。课中例题与跟踪训练助力教师教学，课后课时对点练帮助学生巩固，有效查漏补缺。

学习目标　1.理解两个集合的并集与交集的含义,会求两个简单集合的并集和交集.2.能使用Venn图表达集合的关系及运算,体会直观图示对理解抽象概念的作用.3.掌握区间的表示方法. 导语 通过上节课的学习,我们知道集合A在集合S中的补集∁SA是由给定的两个集合A,S得到的一个新集合.这种用两个给定集合按照某种规则得到一个新集合的过程,称为集合的运算.本节课我们学习集合的另两种运算：集合的交集、并集. 一、交集 问题1　观察下面的例子,请描述集合C的元素与集合A,B的元素之间的关系. ①A={2,4,6,8,10},B={3,5,8,12},C={8}； ②A={x|x是矩形},B={x|x是菱形},C={x|x是正方形}. 提示　集合C是由所有既属于集合A又属于集合B的所有元素组成的. 知识梳理 1.交集的概念 自然语言 由所有属于集合A且属于集合B的元素构成的集合,称为A与B的交集,记作A∩B(读作“A交B”) 符号语言 A∩B={x|x∈A,且x∈B} 图形语言 2.交集的性质 (1)A∩B=B∩A. (2)A∩B⊆A,A∩B⊆B. 注意点： (1)A∩B仍是一个集合. (2)文字语言中“所有”的含义：A∩B中任一元素都是A与B的公共元素,A与B的公共元素都属于A∩B. (3)如果两个集合没有公共元素,不能说两个集合没有交集,而是A∩B=∅. 例1　(1)已知集合A={1,2,3,4},B={y|y=3x-2,x∈A},则A∩B等于(　　) A.{1} B.{4} C.{1,3} D.{1,4} 答案　D 解析　因为集合B中,x∈A, 所以当x=1时,y=3-2=1； 当x=2时,y=3×2-2=4； 当x=3时,y=3×3-2=7； 当x=4时,y=3×4-2=10.即B={1,4,7,10}. 又因为A={1,2,3,4},所以A∩B={1,4}. (2)设集合A={x|-1≤x≤2},B={x|0≤x≤4},则A∩B等于(　　) A.{x|0≤x≤2} B.{x|1≤x≤2} C.{x|0≤x≤4} D.{x|1≤x≤4} 答案　A 解析　在数轴上表示出集合A与B,如图所示. 则由交集的定义,知A∩B={x|0≤x≤2}. 反思感悟　交集运算的注意点 若A,B是无限连续的数集,多利用数轴来求解.但要注意,利用数轴表示不等式时,含有端点的值用实心点表示,不含有端点的值用空心点表示. 跟踪训练1　(1)若A={x|1≤x≤10,x∈N},B={x|x2+x-6=0,x∈Z},则图中阴影部分表示的集合为(　　) A.{2} B.{3} C.{-3,2} D.{-2,3} 答案　A 解析　易知A={1,2,3,4,5,6,7,8,9,10},B={-3,2},图中阴影部分表示的集合为A∩B={2}. (2)若集合A={x|-2<x<1},B={x|x<-1},则A∩B等于(　　) A.{x|-2<x<-1} B.{x|-2<x<3} C.{x|-1<x<1} D.{x|1<x<3} 答案　A 解析　因为A={x|-2<x<1},B={x|x<-1},所以A∩B={x|-2<x<-1}. 二、并集 问题2　观察下面的例子,请描述集合C的元素与集合A,B的元素之间的关系. ①A={1,3,5},B={2,4,6},C={1,2,3,4,5,6}； ②A={x|x是有理数},B={x|x是无理数},C={x|x是实数}. 提示　集合C是由所有属于集合A或所有属于集合B的元素组成的. 知识梳理 1.并集的概念 自然语言 由所有属于集合A或者属于集合B的元素构成的集合,称为A与B的并集,记作A∪B(读作“A并B”) 符号语言 A∪B={x|x∈A,或x∈B} 图形语言 2.并集的性质 (1)A∪B=B∪A. (2)A⊆A∪B,B⊆A∪B. 注意点： (1)A∪B仍是一个集合. (2)并集符号语言中的“或”包含三种情况：①x∈A且x∉B；②x∈A且x∈B；③x∉A且x∈B. (3)对概念中“所有”的理解,要注意集合元素的互异性. 例2　(1)若集合A={x|x>-1},B={x|-2<x<2},则A∪B等于(　　) A.{x|x>-2} B.{x|x>-1} C.{x|-2<x<-1} D.{x|-1<x<2} 答案　A 解析　在数轴上表示出集合A与B,如图所示,故A∪B={x|x>-2}. (2)设A={1,2,4,8},B={1,4,9},求A∪B. 解　A∪B={1,2,4,8}∪{1,4,9} ={1,2,4,8,9}. 反思感悟　(1)并集的运算技巧 ①若集合是有限集,则直接根据并集的定义求解,但要注意集合中元素的互异性. ②若集合是无限集,可借助数轴,利用数轴分析法求解,要注意端点值. (2)利用集合交集、并集的性质解题的技巧 在进行集合运算时,若条件中出现A∩B=A或A∪B=B,应转化为A⊆B,然后用集合间的关系解决问题,并注意A能否为空集. 跟踪训练2　(1)已知集合A={x|-2<x≤1},B={x|0<x≤3},则A∪B等于(　　) A.{x|-2<x<0} B.{x|0<x≤1} C.{x|1<x≤3} D.{x|-2<x≤3} 答案　D 解析　因为集合A={x|-2<x≤1}, B={x|0<x≤3}, 所以A∪B={x|-2<x≤3}. (2)已知集合A={-1,0,1},则满足A∪B={-1,0,1,2,3}的集合B可能是(　　) A.{-1,2} B.{-1,0,1,3} C.{-1,0,1} D.{0,2,3} 答案　D 解析　{-1,0,1}∪{0,2,3}={-1,0,1,2,3},故D符合题意. 三、交、并、补的综合运算 例3　已知全集U=R,A={x|-4≤x<2},B={x|-1<x≤3},P=求A∩B,(∁UB)∪P,(A∩B)∩(∁UP). 解　将集合A,B,P分别表示在数轴上,如图所示. 因为U=R,A={x|-4≤x<2}, B={x|-1<x≤3}, 所以A∩B={x|-1<x<2}, ∁UB={x|x≤-1,或x>3}. 又P= 所以(∁UB)∪P=. 又∁UP= 所以(A∩B)∩(∁UP) ={x|-1<x<2}∩ ={x|0<x<2}. 反思感悟　交、并、补集的运算性质 A∪(∁UA)=U；A∩(∁UA)=∅；∁U(∁UA)=A；∁UU=∅；∁U∅=U；A⊆B⇔∁UB⊆∁UA；B⊆A⇔∁UA⊆∁UB；∁U(A∩B)=(∁UA)∪(∁UB)；∁U(A∪B)=(∁UA)∩(∁UB). 跟踪训练3　若全集U={1,2,3,4},集合M={x|x2-4x+3=0},N={x|x2-5x+6=0},则(∁UM)∪(∁UN)等于(　　) A.{4} B.{1,2} C.{1,2,4} D.{1,3,4} 答案　C 解析　方法一　∵M={1,3},N={2,3}, ∴M∩N={3},(∁UM)∪(∁UN)=∁U(M∩N)={1,2,4}. 方法二　∁UM={2,4},∁UN={1,4}, (∁UM)∪(∁UN)={1,2,4}. 四、根据集合的运算结果求参数的值(或范围) 例4　(1)设集合M={x|0<x<5},N={x|2-t<x<2t+1,t∈R}.若M∩N=M∪N,则实数t的值为　　　　.  答案　2 解析　由M∩N=M∪N,得M=N. ∴解得t=2. (2)已知集合A={x|-2<x<7},B={x|a≤x≤3a-2}. ①若A∩B={x|4≤x<7},求实数a的值； ②若A∪∁RB=R,求实数a的取值范围. 解　①集合A={x|-2<x<7}, B={x|a≤x≤3a-2},A∩B={x|4≤x<7}, 则由交集的定义可知,a=4且3a-2≥7, 解得a=4. ②当a>3a-2,即a<1时,B=∅, ∁RB=R,符合题意； 当a=3a-2,即a=1时,B={1}, ∁RB={x|x≠1},符合题意； 当a<3a-2,即a>1时, ∁RB={x|x<a或x>3a-2}, 若A∪∁RB=R,则解得1<a<3, 综上,实数a的取值范围是{a|a<3}. 反思感悟　根据集合的运算结果求参数的值(取值范围)的步骤 (1)先将集合中的运算关系转化为两个集合之间的关系.若集合中的元素能一一列举,则用观察法得到不同集合中元素之间的关系；若集合是与不等式有关的集合,则一般利用数轴解决,要注意端点值能否取到. (2)再将集合之间的关系转化为解方程(组)或不等式(组)问题求解. (3)最后根据求解结果来确定参数的值或取值范围. 跟踪训练4　已知集合A={x|-3<x≤4},集合B={x|k+1≤x≤2k-1},且A∪B=A,试求k的取值范围. 解　∵A∪B=A,∴B⊆A, ∴分B=∅和B≠∅两种情况讨论. ①当B=∅时,k+1>2k-1,∴k<2. ②当B≠∅时,则根据题意画数轴如图所示, 根据数轴可得解得2≤k≤. 综合①②可得k的取值范围是. 五、区间及其表示 1.区间概念(a,b为实数,且a<b) 定义 名称 符号 数轴表示 {x|a≤x≤b} 闭区间 [a,b] {x|a<x<b} 开区间 (a,b) {x|a≤x<b} 左闭右 开区间 [a,b) {x|a<x≤b} 左开右 闭区间 (a,b] 2.其他区间的表示 定义 R {x|x≥a} {x|x>a} {x|x≤a} {x|x<a} 区间 (-∞,+∞) [a,+∞) (a,+∞) (-∞,a] (-∞,a) 注意点： (1)区间的左端点小于右端点. (2)区间只能表示连续的数集,不能表示有限集,开闭不能混淆. (3)用数轴表示区间时,要特别注意实心点与空心点的区别. (4)∞是一个符号,而不是一个数. 例5　把下列数集用区间表示： (1){x|x≥-1}； (2){x|x<0}； (3){x|-1<x<1}； (4){x|0<x<1,或2≤x≤4}. 解　(1){x|x≥-1}=[-1,+∞). (2){x|x<0}=(-∞,0). (3){x|-1<x<1}=(-1,1). (4){x|0<x<1,或2≤x≤4}=(0,1)∪[2,4]. 反思感悟　用区间表示数集的方法 (1)区间左端点值小于右端点值. (2)区间两端点之间用“,”隔开. (3)含端点值的一端用中括号,不含端点值的一端用小括号. (4)以“-∞”“+∞”为区间的一端时,这端必须用小括号. 跟踪训练5　(1)集合{x|-2<x≤2,且x≠0}用区间表示为　　　　　　　　. 答案　(-2,0)∪(0,2] 解析　{x|-2<x≤2,且x≠0}=(-2,0)∪(0,2]. (2)已知区间(a+1,7],则实数a的取值范围是　　　　. 答案　(-∞,6) 解析　由题意可知a+1<7,即a<6, 所以实数a的取值范围是(-∞,6). 1.知识清单： (1)交集、并集的概念及运算. (2)交集、并集运算的性质. (3)交、并、补的综合运算. (4)求参数值或范围. (5)区间及其表示. 2.方法归纳：数形结合、分类讨论. 3.常见误区：由交集、并集的关系求解参数时漏掉对集合为空集及端点的讨论. 课时对点练 [分值：100分] 单选题每小题5分,共30分；多选题每小题6分,共18分 1.已知集合M={-1,0,1},P={0,1,2,3},则图中阴影部分所表示的集合是(　　) A.{0,1} B.{0} C.{-1,2,3} D.{-1,0,1,2,3} 答案　D 解析　由Venn图,可知阴影部分所表示的集合是M∪P.因为M={-1,0,1},P={0,1,2,3}, 故M∪P={-1,0,1,2,3}. 2.已知集合A={x|x≤5,x∈R},B={x|x>1,x∈R},那么A∩B等于(　　) A.{1,2,3,4,5} B.{2,3,4,5} C.{2,3,4} D.{x|1<x≤5,x∈R} 答案　D 解析　∵A={x|x≤5,x∈R}, B={x|x>1,x∈R}, ∴A∩B={x|1<x≤5,x∈R}. 3.已知全集U={1,2,3,4,5,6},集合A={2,3,5},集合B={1,3,4,6},则A∩(∁UB)等于(　　) A.{3} B.{2,5} C.{1,4,6} D.{2,3,5} 答案　B 解析　由题意知,∁UB={2,5}, 则A∩(∁UB)={2,3,5}∩{2,5}={2,5}. 4.已知集合A={x|1≤x<3},B={y|y≤m},且A∩B=∅,则实数m应满足(　　) A.m<1 B.m≤1 C.m≥3 D.m>3 答案　A 解析　∵集合A={x|1≤x<3},B={y|y≤m},A∩B=∅,∴m<1. 5.(多选)已知集合A={(x,y)|3x-y=0},B={(x,y)|x-y=0},C={(x,y)|3x-y=4},D=下列选项正确的有(　　) A.A∩B={0} B.A∩C=∅ C.B∩C=(2,2) D.D⊆B 答案　BD 解析　因为集合A,B,C,D中的元素都是有序实数对(点), 所以A∩B,B∩C的运算结果均为点的集合, 所以A∩B={0},B∩C=(2,2)都是错误的,即A,C错误； 对于B,因为方程组无解,所以A∩C=∅,即B正确； 对于D,因为D==={(1,1)}, 又1-1=0,所以(1,1)∈B,故D⊆B,即D正确. 6.(多选)设集合A={x|x2-(a+2)x+2a=0},B={x|x2-5x+4=0},集合A∪B中所有元素之和为7,则实数a的值可以为(　　) A.0 B.1 C.2 D.3 答案　ABC 解析　B={x|x2-5x+4=0}={1,4},对于集合A, x2-(a+2)x+2a=0,解得x=2或x=a, 当a=2时,A={2},A∪B={1,2,4}, 因为1+2+4=7,所以符合题意； 当a≠2时,A={2,a},A∪B中必含有1,2,4, 因为1+2+4=7,所以a=0或1或4. 综上所述,实数a的值可以为0,1,2,4. 7.(5分)设全集U=R,A=(0,+∞),B=(1,+∞),则A∩(∁UB)=　　　　.  答案　(0,1] 解析　∵U=R,B=(1,+∞),∴∁UB=(-∞,1]. 又∵A=(0,+∞), ∴A∩(∁UB)=(0,+∞)∩(-∞,1]=(0,1]. 8.(5分)某班共30人,其中15人喜爱篮球运动,10人喜爱乒乓球运动,8人对这两项运动都不喜爱,则喜爱篮球运动但不喜爱乒乓球运动的人数为　　　　.  答案　12 解析　设所求人数为x,则只喜爱乒乓球运动的人数为10-(15-x)=x-5, 故15+(x-5)=30-8, 解得x=12. 9.(10分)已知集合A={x|3≤x<7},B={x|2<x<10},C={x|x<3,或x≥7},求： (1)A∪B；(5分) (2)C∩B.(5分) 解　(1)由集合A={x|3≤x<7},B={x|2<x<10}, 把两集合表示在数轴上如图所示, 得到A∪B={x|2<x<10}. (2)由集合B={x|2<x<10},C={x|x<3,或x≥7},把两集合表示在数轴上如图所示, 则C∩B={x|2<x<3,或7≤x<10}. 10.(10分)设m为实数,集合A={x|-2≤x≤4},B={x|m≤x≤m+2}. (1)若m=3,求A∪B,∁R(A∩B)；(5分) (2)若A∩B=∅,求实数m的取值范围.(5分) 解　(1)当m=3时,B={x|3≤x≤5}, 又A={x|-2≤x≤4}, ∴A∪B={x|-2≤x≤5},A∩B={x|3≤x≤4}, ∴∁R(A∩B)={x|x<3,或x>4}. (2)由m<m+2,知B≠∅,由A∩B=∅, 得m>4,或m+2<-2,即m>4,或m<-4, 所以当A∩B=∅时, 实数m的取值范围是{m|m>4,或m<-4}. 11.设A={x|2x2-px+q=0},B={x|6x2+(p+2)x+5+q=0},若A∩B=则A∪B等于(　　) A. B. C. D. 答案　A 解析　由A∩B=知∈A∈B,所以⇒所以A={x|2x2+7x-4=0}=B={x|6x2-5x+1=0}=所以A∪B=. 12.已知集合A=[a,2a-1],B={x|-1≤x≤2},若A∩B=A,则a的取值范围是(　　) A. B. C.[1,2] D.(1,2) 答案　A 解析　因为A∩B=A,所以A⊆B, 因为A=[a,2a-1],B={x|-1≤x≤2}, 所以 解得1<a≤故a的取值范围是. 13.(多选)下列说法中,当U为全集时,正确的是(　　) A.若A∩B=∅,则(∁UA)∪(∁UB)=U B.若A∩B=∅,则A=∅或B=∅ C.若A∪B=U,则(∁UA)∩(∁UB)=∅ D.若A∪B=∅,则A=B=∅ 答案　ACD 解析　因为A∩B=∅,(∁UA)∪(∁UB)=∁U(A∩B)=∁U∅=U,故A正确；A∩B=∅,例如A={1,2},B={3,4},A∩B=∅,但A≠∅且B≠∅,故B错误；A∪B=U,(∁UA)∩(∁UB)=∁U(A∪B)=∁UU=∅,故C正确；A∪B=∅,则A,B都是∅,故D正确. 14.(5分)已知集合A={x|8<x<10},设集合S={x|0<x<9},B={x|a<x<2a-1},若(∁SB)∩A={x|8<x<9},则实数a的取值范围是　　　　. 答案　 解析　当B=∅时,2a-1≤a,得a≤1, 此时∁SB=S,(∁SB)∩A=S∩A={x|8<x<9},符合题意； 当B≠∅时,2a-1>a,得a>1, 因为S={x|0<x<9},B={x|a<x<2a-1}, (∁SB)∩A={x|8<x<9}, 所以∁SB={x|0<x≤a或2a-1≤x<9}, 所以2a-1≤8,得a≤ 所以当B≠∅时,1<a≤综上所述,a≤即实数a的取值范围是. 15.(5分)集合A1,A2满足A1∪A2=A,则称(A1,A2)为集合A的一种分拆,并规定：当且仅当A1=A2时,(A1,A2)与(A2,A1)为集合A的同一种分拆,则集合A={a,b,c}的不同分拆种数为　　　　　　.  答案　27 解析　当A1=∅时,A2=A,此时只有1种分拆； 当A1为单元素集时,如A1={a},A2={b,c}或{a,b,c},此时A1有3种情况,故有6种分拆； 当A1为双元素集时,如A1={a,b},A2={c}或{a,c}或{b,c}或{a,b,c},此时A1有3种情况,故有12种分拆； 当A1为A时,A2可取A的任何子集,此时A2有8种情况,故有8种分拆. 综上,共1+6+12+8=27(种)分拆. 16.(12分)在①B⊆(∁RA)；②(∁RA)∪B=R；③A∩B=B这三个条件中任选一个,补充在下面问题中.若问题中的实数a存在,求实数a的取值范围；若问题中的实数a不存在,请说明理由. 已知集合A={x|1≤x≤4},B={x|a+1<x<2a-1},是否存在实数a,使得　　　　？  解　若选①：∁RA={x|x<1,或x>4}, 由B⊆(∁RA)得, 当B=∅时,a+1≥2a-1,解得a≤2； 当B≠∅时或 解得a≥3, 综上,存在实数a,使得B⊆(∁RA), 且实数a的取值范围为(-∞,2]∪[3,+∞). 若选②：∁RA={x|x<1,或x>4}, 由(∁RA)∪B=R,得B≠∅, 所以无解, 所以不存在实数a,使得(∁RA)∪B=R. 若选③：由A∩B=B,可知B⊆A, 当B=∅时,a+1≥2a-1,解得a≤2； 当B≠∅时解得2<a≤. 综上,存在实数a,使得A∩B=B, 且实数a的取值范围为. 学科网（北京）股份有限公司 $