四川省达州市铭仁园学校2026-2027学年九年级上学期开学自测数学模拟试题

**基本信息** 四川省达州市铭仁园学校九年级开学自测数学模拟试题，分A、B卷（100+50分），全面覆盖几何与代数核心知识，通过基础巩固与能力提升的梯度设计，适配开学初学情诊断，检测学生数学眼光、思维与语言的综合运用。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择题|8题32分|四边形判定、一元二次方程、相似|第7题综合方程根的判别式与分式方程解的正整数要求，考查运算能力与推理意识| |填空题|10题40分|黄金分割、菱形性质、函数图像|第23题矩形翻折与平行线结合，考查空间观念与几何直观| |解答题|8题78分|平行四边形证明、一次函数、几何旋转|24题军事演习情境融合方程与函数，26题等腰直角三角形旋转递进证明，体现模型意识与创新应用|

四川省达州市铭仁园学校2026-2027学年九年级上学期开学自测数学模拟试题 （全卷满分150分，考试时间120分钟） 全卷分A卷和B卷，A卷100分，B卷50分，全卷总分150分 A卷（共100分） 第Ⅰ卷（选择题，共32分） 一、选择题（本大题共8个小题，每小题4分，共32分，每小题均有四个选项，其中只有一项符合题目要求） 1．下列命题是假命题的是（　　） A．一组对边平行且相等的四边形是平行四边形 B．一组邻边相等的平行四边形是菱形 C．一组对边相等且有一个角是直角的四边形是矩形 D．一组邻边相等的矩形是正方形 2．下列方程中，属于一元二次方程的是（　　） A．x﹣2y＝1 B． C．x2﹣2y+4＝0 D．x2﹣2x+1＝0 3．如图，已知直线l1∥l2∥l3，直线m、n分别与直线l1、l2、l3分别交于点A、B、C、D、E、F，若DE＝3，DF＝8，则的值为（　　） A． B． C． D． 4．下列由左边到右边的变形，属于因式分解的是（　　） A． B．x2+6x+10＝（x+3）2+1 C．4m2﹣9＝（2m+3）（2m﹣3） D．6y3﹣12y2+3y＝3y（2y2﹣4y） 5．如图，△ABC为钝角三角形，将△ABC绕点A按逆时针方向旋转102°得到△ADE，连接AE．若AE∥BD，则∠CAD的度数为（　　） A．66° B．64° C．65° D．63° 6．如图，点E为正方形ABCD的边AD上一点，且，连接BE，取BE的中点F，连接AF，若AF的长为，则正方形ABCD的面积为（　　） A．9 B．12 C．16 D．20 7．若关于x的一元二次方程x2+4x+（a+6）＝0有两个不相等的实数根，且关于y的分式方程的解为正整数，则所有满足条件的整数a的值之和是（　　） A．﹣7 B．﹣9 C．﹣14 D．﹣16 8．如图，▱ABCD的对角线AC、BD交于点O，点E是BC的中点，且∠BCD＝120°，ABBC，连接OE．给出下列4个结论：①△ABE是等边三角形；②∠EAC＝30°；③OEBC； ④若AB＝3，则S△AEO．上述结论错误的有（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 第Ⅱ卷（非选择题，共68分） 二、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分） 9．已知，则　　 ． 10．若点A（﹣5m，2m﹣1）向上平移3个单位后得到的点在x轴上，则m的值为 　　 ． 11．已知关于x的一元二次方程x2﹣2x﹣a＝0有两个相等的实数根，则a的值是 　　 ． 12．直线l1：y1＝ax+b与直线l2：y2＝mx在同一平面直角坐标系中的图象如图所示，则关于x的不等式mx≥ax+b的解集为________． 13．如图所示，菱形ABCD的对角线AC、BD相交于点O．若AC＝6，BD＝8，AE⊥BC，垂足为E，则AE的长为 　　 ． 三、解答题（本大题共5个小题，共48分） 14．（8分）解下列方程：（1）； （2）（x+2）2＝5（x+2）． 15．（8分）（1）化简：； （2）解不等式组：，并写出该不等式组的所有整数解． 16．（10分）如图，在▱ABCD中，E是BC的中点，连接AE并延长交DC的延长线于点F． （1）求证：AB＝CF； （2）连接DE，若AD＝2AB，求证：DE⊥AF． 17．（10分）如图，在▱ABCD中，对角线AC，BD交于点O，AC平分∠BAD，过点C作CE⊥AB，交AB的延长线于点E，连接OE． （1）求证：四边形ABCD是菱形； （2）若OE＝4，OB＝3，求BE的长． 18．（12分）如图，一次函数y＝﹣1.5x+3的图象与坐标轴分别交于A，B两点，点C（﹣1，0），若设过点A和点C的直线表达式为y＝kx+b，点M是平面直角坐标系内任一点． （1）求点A，点B的坐标； （2）请结合图象直接写出不等式kx+b＜﹣1.5x+3的解集； （3）如果A，B，C，M四点围成的四边形是平行四边形，请直接写出点M的坐标． B卷（共50分） 一、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分） 19．已知一个正多边形的内角和是外角和的2倍，则这个正多边形的每个外角的大小为　60°　 ． 20．若方程有增根，则m＝　﹣4　 ． 21．大自然巧夺天工，一片小小树叶也蕴含着“黄金分割”．如图，P为AB的黄金分割点（AP＞PB），如果AP的长度为8cm，那么AB的长度是 　　 ． 22．我们把关于x的一元二次方程和称为“同族二次方程”，若方程2（y﹣1）2+3＝0和ay2+y+c＝0是关于y的“同族二次方程”，则c的值为 　　 ． 23．如图，在矩形ABCD中，在CD上取点E，连接AE，在AE，AB上分别取点F，G，连接DF，GF，AG＝GF，将△ADF沿着FD翻折，点A落在BC边的A1处，若GF∥A1D，且AB＝6，AD＝10，则AF+BA1的值为 　22　 ． 二、解答题（本大题共3个小题，共30分） 24．（8分）军事演习，简称军演，是在想定情况诱导下进行的近似实战的综合性训练，是军事训练的高级阶段．在一次军事演习中，某军队接到上级指令执行登岛计划，接到指令时，该军队的舰艇A距离该小岛40千米，舰艇B距离该小岛60千米，于是舰艇B加速前进，速度是舰艇A的2倍，结果舰艇B提前10分钟到达，顺利完成了登岛任务． （1）求舰艇A，B的速度； （2）根据情况，每天要派一艘舰艇在小岛周围巡航，巡航需持续一个月（30天），已知舰艇A，B的巡航费用分别为50万元/天，40万元/天． ①求巡航总费用W与舰艇A的巡航天数a之间的函数关系式； ②若舰艇B巡航天数不能超过舰艇A的2倍，要使巡航的费用最少，舰艇A应巡航多少天？ 25．（10分）（1）如图1，矩形ABCD，AB＝4，BC＝10，点E为BC边上一动点，∠AED＝90°，且BE＜CE，求． （2）如图2，矩形ABCD，点E为对角线BD上一动点，连接AE，作AE⊥EF，交CD的延长线于点F，连接AF． ①求证：△ABD∽△EAF； ②若AB＝AE，求证：四边形ABDF为平行四边形． 26．（12分）已知△ABC和△DEC都是等腰直角三角形，C为它们的公共直角顶点，连接AD、BE，F为线段AD的中点，连接CF． （1）如图1，点D在BC边上，BE＝4，求CF的长； （2）如图2，把△DEC绕点C顺时针旋转α角（0°＜α＜90°），其它条件不变，求证：BE＝2CF，FC⊥BE； （3）如图3，把△DEC绕点C顺时针旋转45°，BE、CD交于点O，若∠DCF＝30°，直接写出的值． 参考答案及试题分析 四川省达州市铭仁园学校2026-2027学年九年级上学期开学自测数学模拟试题 （全卷满分150分，考试时间120分钟） 全卷分A卷和B卷，A卷100分，B卷50分，全卷总分150分 A卷（共100分） 第Ⅰ卷（选择题，共32分） 一、选择题（本大题共8个小题，每小题4分，共32分，每小题均有四个选项，其中只有一项符合题目要求） 1．下列命题是假命题的是（　　） A．一组对边平行且相等的四边形是平行四边形 B．一组邻边相等的平行四边形是菱形 C．一组对边相等且有一个角是直角的四边形是矩形 D．一组邻边相等的矩形是正方形 【解答】解：A、一组对边平行且相等的四边形是平行四边形，是真命题，不符合题意； B、一组邻边相等的平行四边形是菱形，是真命题，不符合题意； C、一组对边相等且有一个角是直角的四边形不一定是矩形，故本选项说法是假命题，符合题意； D、一组邻边相等的矩形是正方形，是真命题，不符合题意； 故选：C． 2．下列方程中，属于一元二次方程的是（　　） A．x﹣2y＝1 B． C．x2﹣2y+4＝0 D．x2﹣2x+1＝0 【解答】解：A．方程x﹣2y＝1是二元一次方程，选项A不符合题意； B．方程x2+3是分式方程，选项B不符合题意； C．方程x2﹣2y+4＝0是二元二次方程，选项C不符合题意； D．方程x2﹣2x+1＝0是一元二次方程，选项D符合题意． 故选：D． 3．如图，已知直线l1∥l2∥l3，直线m、n分别与直线l1、l2、l3分别交于点A、B、C、D、E、F，若DE＝3，DF＝8，则的值为（　　） A． B． C． D． 【解答】解：∵l1∥l2∥l3， ∴， ∵DE＝3，DF＝8， ∴， 即， 故选：B． 4．下列由左边到右边的变形，属于因式分解的是（　　） A． B．x2+6x+10＝（x+3）2+1 C．4m2﹣9＝（2m+3）（2m﹣3） D．6y3﹣12y2+3y＝3y（2y2﹣4y） 【解答】解：∵是分式， ∴选项A不符合题意； ∵（x+3）2+1不是整式乘积的形式， ∴选项B不符合题意； ∵4m2﹣9＝（2m+3）（2m﹣3）， ∴选项C符合题意； ∵6y3﹣12y2+3y＝3y（2y2﹣4y+1）， ∴选项D不符合题意， 故选：C． 5．如图，△ABC为钝角三角形，将△ABC绕点A按逆时针方向旋转102°得到△ADE，连接AE．若AE∥BD，则∠CAD的度数为（　　） A．66° B．64° C．65° D．63° 【解答】解：由旋转可得，∠BAD＝∠CAE＝102°，AB＝AD， ∴， ∵AE∥BD， ∴∠DAE＝∠ADB＝39°， ∴∠CAD＝∠CAE﹣∠DAE＝102°﹣39°＝63°， 故选：D． 6．如图，点E为正方形ABCD的边AD上一点，且，连接BE，取BE的中点F，连接AF，若AF的长为，则正方形ABCD的面积为（　　） A．9 B．12 C．16 D．20 【解答】解：∵四边形ABCD是正方形，点E为边AD上一点，且DEAD， ∴AD＝AB，∠BAE＝90°， ∴AE＝ADADADAB， ∵F是BE的中点， ∴AFBE， ∵AF， ∴BE＝2AF＝5， ∵BEAB＝5， ∴AB＝4， ∴S正方形ABCD＝AB2＝42＝16， 故选：C． 7．若关于x的一元二次方程x2+4x+（a+6）＝0有两个不相等的实数根，且关于y的分式方程的解为正整数，则所有满足条件的整数a的值之和是（　　） A．﹣7 B．﹣9 C．﹣14 D．﹣16 【解答】解：由条件可知：Δ＝42﹣4（a+6）＞0， 解得：a＜﹣2， 分式方程， 去分母得：ay+y﹣1＝﹣7， 解得：y， ∵分式方程的解为正整数， ∴为负整数， ∵a＜﹣2， ∴a+1＜﹣1， ∴a+1＝﹣2，﹣3，﹣6， ∴整数a＝﹣3，﹣4，﹣7， ∵y≠1， ∴整数a＝﹣3，﹣4， 则符合条件的所有整数a的值之和为﹣7． 故选：A． 8．如图，▱ABCD的对角线AC、BD交于点O，点E是BC的中点，且∠BCD＝120°，ABBC，连接OE．给出下列4个结论：①△ABE是等边三角形；②∠EAC＝30°；③OEBC； ④若AB＝3，则S△AEO．上述结论错误的有（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴∠ABC+∠BCD＝180°， ∴∠ABC＝180°﹣∠BCD＝60°， ∵点E为BC的中点， ∴， ∵， ∴AB＝BE， ∵∠ABE＝60°， ∴△ABE是等边三角形，故①正确； ∴AE＝BE＝EC，∠AEB＝∠BAE＝60°， ∴∠EAC＝∠ACE， ∵∠AEB＝∠EAC+∠AEC， ∴2∠EAC＝60° ∴∠EAC＝30°，故②正确； ∵AO＝CO， ∴点O为AC的中点， ∴OE为△ABC的中位线， ∴， ∵， ∴，故③正确； ∵∠BAE＝60°，∠EAC＝30°， ∴∠BAC＝∠BAE+∠EAC＝90°， ∵， ∴BC＝6， ∴， ∴， ∵AE为△ABC的BC边上的中线， ∴， ∵EO为△AEC的AC边的中线， ∴，故④错误； 故选：A． 第Ⅱ卷（非选择题，共68分） 二、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分） 9．已知，则　　 ． 【解答】解：∵， ∴． 故答案为：． 10．若点A（﹣5m，2m﹣1）向上平移3个单位后得到的点在x轴上，则m的值为 　﹣1　 ． 【解答】解：∵点A（﹣5m，2m﹣1）向上平移3个单位， ∴点A1（﹣5m，2m﹣1+3）向上平移3个单位， ∵点A1（﹣5m，2m﹣1+3）在x轴上， ∴2m﹣1+3＝0，解得：m＝﹣1， 故答案为：﹣1． 11．已知关于x的一元二次方程x2﹣2x﹣a＝0有两个相等的实数根，则a的值是 　﹣1　 ． 【解答】解：根据题意得Δ＝（﹣2）2﹣4（﹣a）＝0，解得a＝﹣1． 故答案为：﹣1． 12．直线l1：y1＝ax+b与直线l2：y2＝mx在同一平面直角坐标系中的图象如图所示，则关于x的不等式mx≥ax+b的解集为x≤﹣1　 ． 【解答】解：由图象可知，两直线相交于点（﹣1，2）， 当x≤﹣1时，mx≥ax+b， 故答案为：x≤﹣1． 13．如图所示，菱形ABCD的对角线AC、BD相交于点O．若AC＝6，BD＝8，AE⊥BC，垂足为E，则AE的长为 　　 ． 【解答】解：∵四边形ABCD是菱形， ∴AC⊥BD，OA＝OC＝3，OB＝OD＝4， ∴AB＝BC＝5， ∵•AC•BD＝BC•AE， ∴AE， 故答案为：， 三、解答题（本大题共5个小题，共48分） 14．（8分）解下列方程：（1）； （2）（x+2）2＝5（x+2）． 【解答】解：（1）1， 去分母得，x+x﹣3＝1， 移项得，x+x＝1+3， 合并同类项得，2x＝4， 系数化为1得，x＝2， 检验：把x＝2代入x﹣3中得，x﹣3＝2﹣3＝﹣1≠0， ∴x＝2是分式方程的解． （2）（x+2）2＝5（x+2）， ∴（x+2）2﹣5（x+2）＝0， （x+2）（x+2﹣5）＝0， （x+2）（ x﹣3）＝0， ∴x+2 ＝0或x﹣3＝0， ∴x1＝﹣2，x2＝3． 15．（8分）（1）化简：； （2）解不等式组：，并写出该不等式组的所有整数解． 【解答】解：（1） • • ； （2）， 解不等式①，得：x， 解不等式②，得：x≥﹣1， ∴原不等式组的解集为﹣1≤x， ∴该不等式组的所有整数解是﹣1，0，1，2． 16．（10分）如图，在▱ABCD中，E是BC的中点，连接AE并延长交DC的延长线于点F． （1）求证：AB＝CF； （2）连接DE，若AD＝2AB，求证：DE⊥AF． 【解答】证明：（1）∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AB∥DF， ∴∠ABE＝∠FCE， ∵E为BC中点， ∴BE＝CE， 在△ABE与△FCE中， ， ∴△ABE≌△FCE（ASA）， ∴AB＝CF； （2）∵AD＝2AB，AB＝FC＝CD， ∴AD＝DF， ∵△ABE≌△FCE， ∴AE＝EF， ∴DE⊥AF． 17．（10分）如图，在▱ABCD中，对角线AC，BD交于点O，AC平分∠BAD，过点C作CE⊥AB，交AB的延长线于点E，连接OE． （1）求证：四边形ABCD是菱形； （2）若OE＝4，OB＝3，求BE的长． 【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AB∥DC， ∴∠BAC＝∠DCA， ∵AC为∠DAB的平分线， ∴∠BAC＝∠DAC， ∴∠DCA＝∠DAC， ∴AD＝CD， ∴平行四边形ABCD是菱形； （2）解：由（1）可知，四边形ABCD是菱形， ∴OA＝OCAC，BD＝2OB＝6，AB＝BC，AC⊥BD， ∴∠BOC＝90°， ∵CE⊥AB， ∴∠CEA＝90°， ∴AC＝2OE＝8， ∴OCAC＝4， ∴AB＝BC5， ∵S菱形ABCD＝AB•CEAC•BD8×6＝24， ∴CE， ∴BE， 即BE的长为． 18．（12分）如图，一次函数y＝﹣1.5x+3的图象与坐标轴分别交于A，B两点，点C（﹣1，0），若设过点A和点C的直线表达式为y＝kx+b，点M是平面直角坐标系内任一点． （1）求点A，点B的坐标； （2）请结合图象直接写出不等式kx+b＜﹣1.5x+3的解集； （3）如果A，B，C，M四点围成的四边形是平行四边形，请直接写出点M的坐标． 【解答】解：（1）对于y＝﹣1.5x+3，当x＝0时，y＝3， 令y＝﹣1.5x+3＝0，则x＝2， 即点A、B的坐标分别为：（0，3）、（2，0）； （2）观察函数图象知，不等式kx+b＜﹣1.5x+3的解集为x＜0； （3）设点M（x，y）， 当AB为对角线时， 由中点坐标公式得： ，解得， 即点M（3，3）； 当AC或AM为对角线时， 同理可得：或， 解得：或， 即点M（﹣3，3）或（1，﹣3）； 综上，M（3，3）或（﹣3，3）或（1，﹣3）． B卷（共50分） 一、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分） 19．已知一个正多边形的内角和是外角和的2倍，则这个正多边形的每个外角的大小为　60°　 ． 【解答】解：设这个正多边形的边数为n， 由题意，得（n﹣2）•180°＝360°×2， 解得：n＝6， ∴这个正多边形的每个外角的度数为：． 故答案为：60°． 20．若方程有增根，则m＝　﹣4　 ． 【解答】解：去分母，得：x＝2（x﹣8）﹣2m， 由分式方程有增根，得到x﹣8＝0，即x＝8， 把x＝8代入整式方程，可得：m＝﹣4． 故答案为：﹣4． 21．大自然巧夺天工，一片小小树叶也蕴含着“黄金分割”．如图，P为AB的黄金分割点（AP＞PB），如果AP的长度为8cm，那么AB的长度是 　　 ． 【解答】解：由题知， 因为点P是AB的黄金分割点，且AP＞PB， 所以， 又因为AP＝8cm， 所以ABcm． 故答案为：（）cm． 22．我们把关于x的一元二次方程和称为“同族二次方程”，若方程2（y﹣1）2+3＝0和ay2+y+c＝0是关于y的“同族二次方程”，则c的值为 　　 ． 【解答】解：∵方程2（y﹣1）2+3＝0和ay2+y+c＝0是关于y的“同族二次方程”， ∴ay2+y+c＝0可表示为a（y﹣1）2+3＝0， 整理得ay2﹣2ay+a+3＝0， ∴﹣2a＝1，c＝a+3， 解得a， ∴c3． 23．如图，在矩形ABCD中，在CD上取点E，连接AE，在AE，AB上分别取点F，G，连接DF，GF，AG＝GF，将△ADF沿着FD翻折，点A落在BC边的A1处，若GF∥A1D，且AB＝6，AD＝10，则AF+BA1的值为 　22　 ． 【解答】解：连接AA1，由翻折变换的性质可得，∠DAF＝∠DA1F，DA＝DA1＝10，AF＝A1F， 在Rt△A1DC中， A1C8， ∴BA1＝BC﹣A1C＝10﹣8＝2， 在Rt△A1AB中， AA12， ∵AG＝GF， ∴∠GAF＝∠GFA， ∵GF∥A1D， ∴∠GFA1＝∠FA1D， 又∵∠GAF+∠DAF＝90°， ∴∠GFA+∠GFA1＝90°， ∴△AA1F是等腰直角三角形， ∴AFAA122， ∴AF+BA1＝22， 故答案为：22． 二、解答题（本大题共3个小题，共30分） 24．（8分）军事演习，简称军演，是在想定情况诱导下进行的近似实战的综合性训练，是军事训练的高级阶段．在一次军事演习中，某军队接到上级指令执行登岛计划，接到指令时，该军队的舰艇A距离该小岛40千米，舰艇B距离该小岛60千米，于是舰艇B加速前进，速度是舰艇A的2倍，结果舰艇B提前10分钟到达，顺利完成了登岛任务． （1）求舰艇A，B的速度； （2）根据情况，每天要派一艘舰艇在小岛周围巡航，巡航需持续一个月（30天），已知舰艇A，B的巡航费用分别为50万元/天，40万元/天． ①求巡航总费用W与舰艇A的巡航天数a之间的函数关系式； ②若舰艇B巡航天数不能超过舰艇A的2倍，要使巡航的费用最少，舰艇A应巡航多少天？ 【解答】解：（1）设舰艇A的速度的速度为x千米/小时，则舰艇B的速度的速度为2x千米/小时， 根据题意得：， 解得x＝60， 经检验，x＝60是原方程的根， 此时2x＝120， 答：舰艇A的速度的速度为60千米/小时，则舰艇B的速度的速度为120千米/小时； （2）①根据题意得：W＝50a+40（30﹣a）＝10a+1200， ∴总费用W与舰艇A的巡航天数a之间的函数关系式为W＝10a+1200； ②∵30﹣a≤2a， 解得a≥10， 在W＝10a+1200中， ∵10＞0， ∴W随x的增大而增大， ∴当a＝10时，W最小，最小值为1300， 答：舰艇A应巡航10天，巡航的费用最少． 25．（10分）（1）如图1，矩形ABCD，AB＝4，BC＝10，点E为BC边上一动点，∠AED＝90°，且BE＜CE，求． （2）如图2，矩形ABCD，点E为对角线BD上一动点，连接AE，作AE⊥EF，交CD的延长线于点F，连接AF． ①求证：△ABD∽△EAF； ②若AB＝AE，求证：四边形ABDF为平行四边形． 【解答】（1）解：设BE＝x，则CE＝10﹣x． ∵四边形ABCD是矩形， ∴∠B＝∠C＝90， ∵∠AED＝90°， ∴∠AEB+∠DEC＝90°，∠DEC+∠CDE＝90°， ∴∠AEB＝∠EDC， ∴△ABE∽△ECD， ∴， ∴， 解得x＝2或8， 经检验x＝2或8是分式方程的解，8不符合题意舍去 当x＝2时，2， 综上所述，的值为2； （2）①证明：∵四边形ABCD是矩形， ∴∠BAD＝∠ADC＝90°， ∵∠AED＝90°， ∴∠AEG＝∠GDF＝90°， ∵∠AGE＝∠FGD， ∴△AGE∽△FGD， ∴， ∴， ∵∠AGF＝∠EGD， ∴△AGF∽△EGD， ∴∠AFG＝∠GDE， ∵∠BAD＝∠AED，∠ADB＝∠AFE， ∴△ABD∽△EAF； ②证明：∵△ABD∽△EAF， ∴，∠ABD＝∠EAF， ∵AB＝AE， ∴BD＝AF， ∵AB＝AE， ∴∠ABE＝∠AEF， ∴∠FAE＝∠AEB， ∴AF∥BD， ∴四边形ABDF是平行四边形． 26．（12分）已知△ABC和△DEC都是等腰直角三角形，C为它们的公共直角顶点，连接AD、BE，F为线段AD的中点，连接CF． （1）如图1，点D在BC边上，BE＝4，求CF的长； （2）如图2，把△DEC绕点C顺时针旋转α角（0°＜α＜90°），其它条件不变，求证：BE＝2CF，FC⊥BE； （3）如图3，把△DEC绕点C顺时针旋转45°，BE、CD交于点O，若∠DCF＝30°，直接写出的值． 【解答】（1）解：∵△ABC和△DEC都是等腰直角三角形，C为它们的公共直角顶点， ∴CD＝CE，CB＝CA， 在△BCE和△ACD中， ， ∴△BCE≌△ACD（SAS）， ∴BE＝AD＝4， ∵F为线段AD的中点， ∴CF． （2）证明：延长CF至点M，使FM＝FC，连接AM，DM，如图， ∵AF＝FD，FM＝FC， ∴四边形AMDC为平行四边形， ∴DM＝AC，AM＝DC，DM∥AC， ∴∠MDC＝180°﹣∠ACD． ∵∠BCE＝BCA+∠DCE﹣∠ACD＝90°+90°﹣∠ACD＝180°﹣∠ACD， ∴∠MDC＝∠BCE， ∵BC＝AC， ∴MD＝BC， 在△BCE和△MDC中， ， ∴△BCE≌△MDC（SAS）， ∴BE＝CM，∠CEB＝∠MCD， ∵CM＝2CF， ∴BE＝2CF， 设BE，CF相交于点G， ∵∠MCD+∠MCE＝90°， ∴∠MCE+∠CEB＝90°， ∴∠CGE＝90°， ∴FC⊥BE； （3）解：设BE，CF交于点P，过点O作OM⊥BC于点M，在BM上取一点N，使ON＝BN，连接ON，如图， 由题意得：∠BCD＝45°， ∵OM⊥BC， ∴OM＝MC， 由（2）知：FC⊥BE， ∵∠DCF＝30°， ∴∠POC＝60°， ∴∠OBC＝∠POC﹣∠OCB＝60°﹣45°＝15°， ∵ON＝BN， ∴∠OBN＝∠BON＝15°， ∴∠ONC＝∠OBN+∠BON＝30°， 设OM＝MC＝a，则ON＝2OM＝2a， ∴MNa，BC＝BM+CM＝（3）a． ∴OB2＝OM2+BM2（8+4）a2， （12+6）a2， ∴． 学科网（北京）股份有限公司 $