午练半小时 第19练 幂函数、指数函数与对数函数的综合（配套教参Word）-【步步高】2025-2026学年高一数学必修第一册学习笔记（苏教版）

**基本信息** 聚焦幂、指、对函数性质综合应用，通过排除法、换元法等提炼解题技巧，构建“性质判断-图象识别-方程求解”逻辑链条，发展运算能力与推理意识。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |函数性质判断|4题|奇偶性单调性判断|概念辨析→性质应用| |大小比较|1题|单调性比较大小|指数对数性质→大小关系| |图象识别|1题|函数图象特征分析|单调性→图象特征| |综合应用|1题|换元法转化方程|函数与方程→参数范围|

第19练　幂函数、指数函数与对数函数的综合 (分值：60分) 一、选择题(单选题每小题5分，多选题每小题6分，共26分) 1.下列函数中，既是偶函数又在(0，+∞)上单调递增的是(　　) A.y=-x3 B.y=2x C.y= D.y=ln|x| 答案　D 解析　y=-x3是奇函数，排除A；y=2x既不是奇函数也不是偶函数，排除B；y=在(0，+∞)上单调递减，排除C.故选D. 2.已知a=20.7，b=c=log2则(　　) A.a>c>b B.b>c>a C.a>b>c D.c>a>b 答案　C 解析　因为20.7>>0=log21>log2故a>b>c. 3.在同一个坐标系中，函数f(x)=logax，g(x)=a-x，h(x)=xa的部分图象可能是(　　) 答案　C 解析　f(x)=logax与g(x)=a-x的单调性相反，且f(x)，g(x)图象均不过原点，故排除A，D； 在B，C选项中，过原点的图象为幂函数h(x)=xa的图象，由图象可知0<a<1，所以f(x)=logax单调递减，g(x)=a-x单调递增，故排除B. 4.定义在R上的偶函数f(x)在[0，+∞)上单调递增，f=0，则满足f(lox)>0的x的取值范围为(　　) A.(0，+∞) B.∪(2，+∞) C.∪(1，2) D. 答案　B 解析　因为函数f(x)为偶函数且在[0，+∞)上单调递增，故函数f(x)在(-∞，0]上单调递减，又f=0，故函数f(x)在∪内f(x)>0成立，由f(lox)>0可得lox<-或lox>解得0<x<或x>2. 5.(多选)给出下列四个结论，其中正确的结论是(　　) A.函数y=的最小值为 B.已知函数y=loga(2-ax)(a>0，且a≠1)在(0，1)上单调递减，则a的取值范围是(1，2) C.在同一平面直角坐标系中，函数y=log2x与y=lox的图象关于y轴对称 D.在同一平面直角坐标系中，函数y=2x与y=log2x的图象关于直线y=x对称 答案　AD 解析　对于A，令t=-x2+1，则t=-x2+1≤1， 因为y=是减函数，所以y=≥ 即函数y=的最小值为选项A正确； 对于B，函数y=loga(2-ax)在(0，1)上单调递减， 所以解得1<a≤2，选项B错误； 对于C，因为y=lox=-log2x， 所以y=log2x与y=lox的图象关于x轴对称，选项C错误； 对于D，因为y=2x与y=log2x互为反函数， 所以它们的图象关于直线y=x对称，选项D正确. 二、填空题(每小题5分，共20分) 6.函数f(x)=lg(x2+8)的定义域为　　　　，值域为　　　　.  答案　R　[3lg 2，+∞) 解析　x2+8>0恒成立，所以定义域为R， 又x2+8≥8， 所以lg(x2+8)≥lg 8=3lg 2，值域为[3lg 2，+∞). 7.若y=是偶函数，且在(0，+∞)内是减函数，则整数a的值为　　　　.  答案　1，3，5，-1 解析　由题意得，a2-4a-9应为负偶数，即a2-4a-9=(a-2)2-13=-2k(k∈N*)，(a-2)2=13-2k，当k=2时，a=5或a=-1；当k=6时，a=3或a=1.故a的值分别为1，3，5，-1. 8.已知a为非零常数，函数f(x)=alg(-1<x<1)满足f(lg 0.5)=-1，则f(lg 2)=　　　　.  答案　1 解析　函数f(x)的定义域关于原点对称，因为a为非零常数， 所以f(-x)=alg=alg =-alg=-f(x)， 所以函数f(x)为奇函数. 因为f(lg 0.5)=f=f(-lg 2)=-f(lg 2) =-1，所以f(lg 2)=1. 9.已知函数f(x)=为奇函数，则n的值为　　　　.  答案　2 解析　因为函数f(x)=为定义在R上的奇函数，所以f(0)==0， 即=0，解得n=2，经检验n=2符合题意. 三、解答题(共14分) 10.(14分)设函数f(x)的定义域为D，若存在x∈D，使得f(x)=-x成立，则称x为f(x)的一个“准不动点”.已知函数f(x)=lo(4x-a·2x+1+2). (1)若a=1，求f(x)的“准不动点”；(5分) (2)若f(x)在[1，2]上存在“准不动点”，求实数a的取值范围；(9分) 解　(1)若a=1，易得f(x)的定义域为R， 由f(x)=-x可得，4x-2x+1+2=2x， 令t=2x(t>0)，则t2-3t+2=0，解得t=1或t=2， 所以x=0或x=1，故f(x)的“准不动点”为0或1. (2)由f(x)=-x可得，4x-a·2x+1+2=2x在[1，2]上有解，显然方程的解符合定义域. 令t=2x，由x∈[1，2]可得t∈[2，4]， 则t2-2at+2=t在[2，4]上有解， 故2a==t+-1， 当t∈[2，4]时，y=t+-1在[2，4]上单调递增， 所以y∈即2≤2a≤ 即1≤a≤ 故a的取值范围为. 学科网（北京）股份有限公司 $