午练半小时 第18练 对数函数（配套教参Word）-【步步高】2025-2026学年高一数学必修第一册学习笔记（苏教版）

**基本信息** 聚焦对数函数核心概念与性质，通过阶梯式题型构建从定义到综合应用的完整逻辑链，强化数学思维与应用意识。 **专项设计** |模块|题量/典例|题型特征|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |概念理解|3（选择1/填空6-7）|直接考查定义域、定点、值域|以对数函数定义为起点，通过真数范围、特殊值法构建概念认知| |性质应用|5（选择2-4/填空8-9）|结合图像、单调性比较与判断|由底数对单调性影响展开，延伸至复合函数“同增异减”法则| |综合应用|2（选择5/解答10）|实际问题与函数综合（奇偶性等）|从数学模型（指数衰减）到代数推理，实现知识迁移与综合表达|

第18练　对数函数 (分值：60分) 一、选择题(单选题每小题5分，多选题每小题6分，共26分) 1.函数y=的定义域为(　　) A.(0，+∞) B.(-∞，2] C.(0，2] D.[2，+∞) 答案　C 解析　函数的定义域需满足1-log2x≥0，即log2x≤1， 即0<x≤2，所以函数的定义域为(0，2]. 2.已知a=1b=log16c=log17则a，b，c的大小关系为(　　) A.a>b>c B.a>c>b C.b>a>c D.c>b>a 答案　A 解析　由题意知a=1>1， b=log16=log1617∈ c=log17=log1716∈∴a>b>c. 3.若函数y=logax(a>0，且a≠1)的图象如图所示，则下列函数图象正确的是(　　) 答案　B 解析　由图象可知loga3=1，所以a=3.A选项，y=3-x=为指数函数，在R上单调递减，故A不正确.B选项，y=x3为幂函数，图象正确.C选项，y=(-x)3=-x3，其图象和B选项中y=x3的图象关于x轴对称，故C不正确.D选项，y=log3(-x)，其图象与y=log3x的图象关于y轴对称，故D选项不正确. 4.(多选)已知函数f(x)=lo(x2-4)，则下列叙述正确的是(　　) A.减区间为(0，+∞) B.增区间为(-∞，0) C.减区间为(2，+∞) D.增区间为(-∞，-2) 答案　CD 解析　由x2-4>0得x>2或x<-2，所以函数的定义域为(-∞，-2)∪(2，+∞).令t=x2-4，当x∈(-∞，-2)时，t随x的增大而减小，y=lot随t的减小而增大，所以f(x)=lo(x2-4)随x的增大而增大，即f(x)的增区间为(-∞，-2)，同理可得函数f(x)的减区间为(2，+∞). 5.某污水处理厂采用技术手段清除水中的污染物，同时生产出有用的肥料和清洁用水.已知在处理过程中，每小时可以清理池中残留污染物10%，若要使池中污染物不超过原来的至少需要的时间为(结果保留整数，参考数据：lg 2≈0.30，lg 3≈0.48)(　　) A.6小时 B.7小时 C.8小时 D.9小时 答案　C 解析　设原来池中污染物的质量为m，依题意，经过n小时污染物的质量为m·0.9n， 所以m·0.9n≤m，即0.9n≤ 所以log0.90.9n≥log0.9即n≥log0.9 所以n≥=≈7.5，即至少需要8小时. 二、填空题(每小题5分，共20分) 6.函数y=1+loga(a>1)的图象经过定点A，则定点A的坐标为　　　　.  答案　(6，1) 解析　令=1，得x=6， 所以定点A的坐标为(6，1). 7.函数f(x)=log3(8x+1)的值域为　　　　.  答案　(0，+∞) 解析　由指数函数的性质可知8x>0， 所以8x+1>1，据此可知f(x)=log3(8x+1)>0， 所以函数的值域为(0，+∞). 8.已知函数f(x)=若f(a)≥2，则实数a的取值范围是　　　　　　　　.  答案　(-∞，-1]∪[4，+∞) 解析　当a≤0时≥2，故a≤-1；当a>0时，log2a≥2，故a≥4.故a的取值范围是(-∞，-1]∪[4，+∞). 9.若函数f(x)=loga(6-ax)在[0，2]上单调递减，则实数a的取值范围是　　　　　　　.  答案　(1，3) 解析　函数f(x)由y=logau，u=6-ax复合而成，因为a>0，所以u=6-ax是减函数， 那么函数y=logau就是增函数，所以a>1. 因为[0，2]为f(x)的定义域的子集， 所以当x=2时，u=6-ax取得最小值， 所以6-2a>0，解得a<3，所以1<a<3. 三、解答题(共14分) 10.(14分)已知函数f(x)=loga(1+x)，g(x)=loga(1-x)，其中a>0且a≠1，设h(x)=f(x)-g(x). (1)求h(x)的定义域；(4分) (2)判断h(x)的奇偶性，并说明理由；(5分) (3)若a=log327+lo2，求使f(x)>1成立的x的集合.(5分) 解　(1)由题意，得即-1<x<1. 所以h(x)=f(x)-g(x)的定义域为(-1，1). (2)因为对任意的x∈(-1，1)，-x∈(-1，1)， h(-x)=loga(1-x)-loga(1+x)=-h(x)， 所以h(x)=loga(1+x)-loga(1-x)是奇函数. (3)由a=log327+lo2，得a=2. f(x)=loga(1+x)>1，即log2(1+x)>log22， 所以1+x>2，即x>1. 故使f(x)>1成立的x的集合为{x|x>1}. 学科网（北京）股份有限公司 $