专题03 对数函数20种常考题型（高效培优专项训练）数学苏教版2019高一必修第一册

专题03 对数函数二十种常考题型 题型1 对数函数的概念辨析 题型2 利用对数函数概念求参 题型3 求对数函数的解析式 题型4 含对数函数的解析式求值 题型5 对数型函数的定义域问题 题型6 对数型函数的值域问题 题型7 对数型函数的恒过定点问题 题型8 利用对数函数的图象判断底数大小 题型9 对数型函数图像识别 题型10 对数函数图像的应用 题型11 判断对数型函数的单调性 题型12 求对数型函数的单调区间 题型13 利用对数函数单调性比较大小 题型14 解对数型不等式 题型15 利用对数型函数的单调性求参数的取值范围 题型16 对数型函数的奇偶性问题 题型17 对数型函数的最值问题 题型18 对数型函数的恒成立和存在问题 题型19 对数函数的实际应用问题 题型20 对数型函数性质的综合应用 题型1 对数函数的概念辨析 1.下列函数是对数函数的是（  ） A． B． C． D． 2.下列函数中是对数函数的为（  ） A． B． C． D． 3.（多选）给出下列函数不是对数函数的有（  ） A. B. C. D. 4.下列函数是对数函数的有 ． ①；②；③；④． 题型2 利用对数函数概念求参 5.函数为对数函数，则（  ） A. B. C.3 D. 6.函数是对数函数，则实数（  ） A．0 B．1 C．2 D．3 7.函数是对数函数，则实数a＝ . 8.若对数函数且）的图象经过点，则实数______. 题型3 求对数函数的解析式 9.已知对数函数的图象过点，则此对数函数的解析式为（  ） A． B． C． D． 10.已知函数，若图象过点，则的值为（  ） A．－2 B．2 C． D． 11.已知函数（，且）的图象过点，则函数的解析式为 ． 题型4 含对数函数的解析式求值 12.已知函数的图象过点（8，3），则的值为（  ） A．－1 B．1 C． D． 13.已知函数 ，若 ，则实数（  ） A．－1 B．1 C． D． 14.已知函数，则_______. 15.已知函数若，则实数___________. 题型5 对数型函数的定义域问题 16.下列函数中，定义域为的是（  ） A． B． C． D． 17.函数的定义域为（  ） A． B． C． D． 18.已知函数的定义域是，则的取值范围是（  ） A． B． C． D． 19.若函数的定义域是，则函数的定义域是（  ） A． B． C． D． 20.函数的定义域为___________- 21.函数的定义域为_______________- 22.若函数的定义域为，则函数的定义域为 23.若函数的定义域为R，则实数的取值范围是 ． 题型6 对数型函数的值域问题 24.函数在上的值域为（  ） A． B． C． D． 25.函数的值域为（  ） A． B． C． D． 26.函数，的值域为（  ） A． B． C． D． 28.已知函数的值域为，则实数m的值为（  ） A．2 B．3 C．9 D．27 29.已知函数的值域为R，则实数的取值范围是（  ） A． B． C． D． 30.已知，则的值域是 ． 31.函数的定义域为，值域是，则的最大值为 . 32.已知函数． (1)若的定义域为R，求实数的取值范围； (2)若的值域为R，求实数的取值范围． 题型7 对数型函数的恒过定点问题 33.已知幂函数在区间上单调递增，则函数的图象过定点（  ） A． B． C． D． 34.已知当时，函数的图象恒过定点，其中为常数，则不等式的解集为 . 35.已知函数（，且）的图像过定点A，若点A在函数的图像上，则 . 题型8 利用对数函数的图象判断底数大小 36.如图是三个对数函数的图象，则a、b、c的大小关系是（  ） A．a＞b＞c B．c＞b＞a C．c＞a＞b D．a＞c＞b 37.如图所示的曲线是对数函数，，，的图象，则a，b，c，d，1的大小关系为（  ） A．b>a>1>c>d B．a>b>1>c>d C．b>a>1>d>c D．a>b>1>d>c 38.如图，①②③④中不属于函数的一个是（  ） A．① B．② C．③ D．④ 题型9 对数型函数图像识别 39.在同一坐标系中，函数与的大致图象是（  ） A． B． C． D． 40.函数的图像大致为（  ） A． B． C． D． 41.当时，在同一平面直角坐标系中，与的图象是（  ） A．B．C．D． 42.函数的部分图象大致为（  ） A． B． C． D． 43.已知函数的图象如图所示，则函数的解析式可能是（  ） A． B． C． D． 44.如图所对应的函数的解析式可能是（  ） A． B． C． D． 题型10 对数函数图像的应用 46.若，则下列不等关系一定不成立的是（  ） A． B． C． D． 47.已知，是函数的图象上两个不同的点，则（  ） A． B． C． D． 48.（多选）设，若有三个不同的实数根，则实数的取值可以是（  ） A． B．1 C． D．2 49.记表示，二者中较大的一个，函数，，若，，使得成立，则的取值范围是______________ 题型11 判断对数型函数的单调性 50.下列函数中，在上单调递增的是（  ） A． B． C． D． 51.下列函数中，既是奇函数，又在区间上单调递增的是（  ） A． B． C． D． 题型12 求对数型函数的单调区间 52.函数的单调递增区间是（  ） A． B． C． D． 53.“”是“函数在区间上单调递增”的（  ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分又不必要条件 54.函数的单调递增区间是（  ） A． B． C． D． 55.函数的单调递增区间为（  ） A． B． C． D． 56.函数的单调增区间是______． 题型13 利用对数函数单调性比较大小 57.若，，，则（  ） A． B． C． D． 58.已知，，，则的大小关系是（  ） A． B． C． D． 59.函数，若，则（  ） A． B． C． D． 题型14 解对数型不等式 60.已知函数 ，则不等式的解集为（  ） A． B． C． D． 61.已知函数，且，则实数的取值范围为（  ） A． B． C． D． 62.已知函数若，则实数的取值范围是（  ） A． B．或 C． D．或 63.不等式的解集为 ． 64.不等式的解集是 . 65.不等式的解集为 ． 66.不等式的解集为 67.已知且． (1)若，解关于的方程； (2)若，求的取值范围． 68.已知函数． (1)判断并证明函数的单调性； (2)若，求实数x的取值范围． 题型15 利用对数型函数的单调性求参数的取值范围 69.已知函数在上单调递减，则的取值范围是（  ） A． B． C． D． 70.若函数在上单调递减，则实数的取值范围是（  ） A． B． C． D． 71.已知函数在上单调递增，则实数的取值范围是（  ） 72.已知函数在上是减函数，则实数a的取值范围是 ． 73.已知函数是上的单调函数，则实数a的取值范围是 . 题型16 对数型函数的奇偶性问题 74.函数为上的奇函数，时，，则（  ） A． B．2 C． D．6 75.已知为奇函数，为偶函数，则（  ） A． B． C． D． 76.已知函数是定义在R上的奇函数，当时，（m为常数），则的值为（  ） A．4 B． C．7 D． 77.若函数是奇函数，则___________，___________. 题型17 对数型函数的最值问题 78.对于任意实数，定义，设函，则函数的最小值是（  ） A．1 B．2 C．3 D．4 79.函数的最小值是 ． 80.函数的最小值为______． 81.设且，函数的图象过点． (1)求的值及函数的定义域； (2)求函数在区间上的最大值． 82.已知． (1)设，求t的最大值与最小值； (2)求的值域． 题型18 对数型函数的恒成立和存在问题 83.当时，，则a的取值范围是（  ） A．(0，) B．(，1) C．(1，) D．(，2) 84.已知且，当时，，则的取值范围为 . 85.已知函数. (1)求不等式的解集； (2)若对于恒成立，求实数的取值范围. 86.已知函数，函数． (1)求不等式的解集； (2)求函数的值域； (3)若不等式对任意实数恒成立，试求实数的取值范围． 87.设，已知函数的表达式为. (1)当时，求不等式的解集； (2)设，若存在，使得函数在区间上的最大值与最小值的差不超过1，求实数的取值范围. 题型19 对数函数的实际应用问题 88.大部分大西洋蛙鱼每年都要逆流而上游回出生地产卵.研究蛙鱼的科学家发现蛙鱼的游速单位：可以表示为，其中表示鱼的耗氧量的单位数.若蛙鱼的游速每增加，则它的耗氧量的单位数是原来的（  ） A．倍 B．倍 C．倍 D．倍 89.如果不考虑空气阻力，火箭的最大速度（单位：）与燃料质量（单位：），火箭（除燃料外）的质量（单位：）之间的函数关系是，这里表示以为底的自然对数．若已知火箭的最大速度为，火箭的质量约为，则火箭需要加注的燃料质量约为（  ） A． B． C． D． 90.声强级（单位：dB）由公式给出，其中I为声强（单位：），k，b为常数.研究发现正常人听觉能忍受的最高声强为，此时声强级为120dB；平时常人交谈时的声强约为，此时声强级为60dB． (1)求k，b的值； (2)实验结果表明，噪声可以降低人的视力敏感性，当噪声声强级达到90dB至115dB时，视网膜中的视杆细胞对光亮度的敏感性会下降，识别弱光反应的时间也会延长.某种型号的拖拉机声的声强约为，若司机长时间在这种噪音环境下驾驶，试判断是否会降低他的视力敏感性？ 题型20 对数型函数性质的综合应用 91.已知函数，则（  ） A．的定义域为 B．在区间上单调递减 C．的图象关于点对称 D． 92.已知函数，设，，，则、、的大小关系是（  ） A． B． C． D． 93.已知函数，则不等式的解集是（  ） A． B． C． D． 94.已知函数的定义域为，，对于任意的，当时，有.若，则实数的取值范围是（  ） A． B． C． D． 95.已知，若对于任意的，恒成立，则a的取值范围是 . 96.已知函数且. (1)求的定义域； (2)判断的奇偶性，并说明理由； (3)若，求满足的的取值集合. 97.已知函数． (1)当时，求函数的值域； (2)若的定义域为R，求实数的取值范围； (3)若在上单调递增，求实数的取值范围. 98.已知函数． (1)判断的奇偶性，并证明； (2)判断的单调性，并利用单调性的定义证明你的结论； (3)任意，求实数的所有整数解. 题型21 对数函数与其他章节的融合 99.已知是定义在R上的奇函数，且当时，，则不等式的解集是（  ） A． B． C． D． 100.“”是“函数在单调递增”的（  ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 101.已知函数的值域为，则实数的取值范围为（  ） A． B． C． D． 102.已知函数，则的最小值是 ． 103.函数（且）的图象恒过定点，若对任意正数、都有，则的最小值是 ． 2 / 37 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题03 对数函数二十种常考题型 题型1 对数函数的概念辨析 题型2 利用对数函数概念求参 题型3 求对数函数的解析式 题型4 含对数函数的解析式求值 题型5 对数型函数的定义域问题 题型6 对数型函数的值域问题 题型7 对数型函数的恒过定点问题 题型8 利用对数函数的图象判断底数大小 题型9 对数型函数图像识别 题型10 对数函数图像的应用 题型11 判断对数型函数的单调性 题型12 求对数型函数的单调区间 题型13 利用对数函数单调性比较大小 题型14 解对数型不等式 题型15 利用对数型函数的单调性求参数的取值范围 题型16 对数型函数的奇偶性问题 题型17 对数型函数的最值问题 题型18 对数型函数的恒成立和存在问题 题型19 对数函数的实际应用问题 题型20 对数型函数性质的综合应用 题型1 对数函数的概念辨析 1.下列函数是对数函数的是（  ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由对数函数的定义可得. 【解析】形如，且的函数为对数函数，故B正确. 故选：B. 2.下列函数中是对数函数的为（  ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】运用对数函数概念可判断. 【解析】根据对数函数概念，形如且的函数是对数函数.结合选项知道为对数函数. 故选：D. 3.（多选）给出下列函数不是对数函数的有（  ） A. B. C. D. 【答案】BCD 【分析】根据对数函数的定义，即可判断. 【解析】A不是对数函数，因为的底数是自变量，不是常数； B不是对数函数，因为对数的真数不是仅有自变量； C不是对数函数，因为对数的底数不是常数； D是对数函数． 故选：BCD 4.下列函数是对数函数的有 ． ①；②；③；④． 【答案】② 【分析】根据对数函数的定义进行判断即可． 【解析】由对数函数的定义：形如（且）的形式，则函数为对数函数，只有②符合. 故答案为：②. 题型2 利用对数函数概念求参 5.函数为对数函数，则（  ） A. B. C.3 D. 【答案】C 【分析】利用对数函数的定义，列式计算即得. 【解析】函数为对数函数， 则，且，所以. 故选：C 6.函数是对数函数，则实数（  ） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】B 【分析】需要满足对数函数的系数为，同时对数函数的底数要满足大于且不等于，真数大于等条件，然后据此逐步求出的值. 【解析】由解得或，又，且，所以， 故选：B. 7.函数是对数函数，则实数a＝ . 【答案】1 【分析】利用对数函数的定义知，，解出的值，验证底数即可. 【解析】由题意得， 解得或1， 又且， 所以 8.若对数函数且）的图象经过点，则实数______. 【答案】2 【分析】将点代入即可求解. 【解析】将点代入得，解得 故答案为：2. 题型3 求对数函数的解析式 9.已知对数函数的图象过点，则此对数函数的解析式为（  ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】设对数函数解析式求参即可. 【解析】设对数函数为, 代入可得, 所以, 则对数函数的解析式为. 故选：C. 10.已知函数，若图象过点，则的值为（  ） A．－2 B．2 C． D． 【答案】B 【分析】首先代入点求函数的解析式，再求函数值. 【解析】由条件可知，，得， 所以. 故选：B 11.已知函数（，且）的图象过点，则函数的解析式为 ． 【答案】 【分析】把已知点坐标代入解析式，可求出，即可求解. 【解析】由题可得，即， 因为，且，所以， 故函数解析式为． 故答案为：. 题型4 含对数函数的解析式求值 12.已知函数的图象过点（8，3），则的值为（  ） A．－1 B．1 C． D． 【答案】B 【分析】将点代入函数解析式计算求得，即，即，再代入，即可得到答案． 【解析】因为函数的图象过点，所以，即， 则，解得，所以，则， 故选:B． 13.已知函数 ，若 ，则实数（  ） A．－1 B．1 C． D． 【答案】A 【分析】对参数进行分类讨论即可得到答案． 【解析】当时，，所以（舍去）； 当时，，所以（符合题意）. 故选:A． 14.已知函数，则_______. 【答案】 【分析】利用复合函数求值由内到外即可求解。 【解析】由，得： . 故答案为：. 15.已知函数若，则实数___________. 【答案】2 【分析】利用复合函数求值由内到外即可求解。 【解析】，所以. 故答案为：2 题型5 对数型函数的定义域问题 16.下列函数中，定义域为的是（  ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用对数式有意义的条件即可求出四个选项中函数的定义域，即可得解. 【解析】对于A选项：令，解得或， 则定义域为，故A错误； 对于B选项：令，解得，定义域为，故B正确； 对于C选项：因为，所以，定义域为，故C错误； 对于D选项：令，解得，定义域为，故D错误． 故选：B. 17.函数的定义域为（  ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据开偶次方根被开方数非负及对数真数大于零确定函数定义域. 【解析】由 得 ，所以函数的定义域为. 故选: B 18.已知函数的定义域是，则的取值范围是（  ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用对数式有意义转化为对任意恒成立即可求解。 【解析】由题意可知：对任意恒成立， 若，则，符合题意； 若，则，解得； 综上所述：的取值范围是. 故选：B. 19.若函数的定义域是，则函数的定义域是（  ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据抽象函数定义域以及函数有意义可确定函数定义域. 【解析】函数的定义域是[1，3]， ∴，解得． 又，且，∴． 故函数的定义域是． 故选：C. 20.函数的定义域为___________- 【答案】 【分析】根据函数的定义域即可求解. 【解析】， 所以函数的定义域为， 故答案为： 21.函数的定义域为_______________- 【答案】 【分析】根据函数的解析式有意义，结合对数的性质，列出不等式，即可求解. 【解析】由函数有意义，则满足，即， 解得，所以函数的定义域为. 故答案为： 22.若函数的定义域为，则函数的定义域为 【答案】 【分析】由的取值范围求出的取值范围，再令，求出的范围即可. 【解析】当时，所以， 所以，即，则， 即，解得， 所以函数的定义域为. 故答案为： 23.若函数的定义域为R，则实数的取值范围是 ． 【答案】或． 【分析】根据对数函数的定义域为R，转化为不等式恒成立进行求解即可． 【解析】∵的定义域为R， ∴恒成立， 当，即或， 若，不等式等价为，此时，不恒成立，不满足条件． 若，不等式等价为，恒成立，满足条件． 当时，要使不等式恒成立， 则， 即或， 解得或， 综上可知，实数的取值范围是或． 故答案为：或． 题型6 对数型函数的值域问题 24.函数在上的值域为（  ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】判断出在上单调递增即可求解． 【解析】， 在上单调递增， 在上单调递增， 当时，， 当时，， 在上的值域为， 故选：B． 25.函数的值域为（  ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用换元法和对数函数单调性即可求得函数的值域. 【解析】函数的定义域为R， 令，则， 又在上单调递增，则， 则函数的值域为 故选：B 26.函数，的值域为（  ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】令，，由换元法可得，利用二次函数的单调性即可求解. 【解析】令，因为，所以， 因为 ， 所以，， 函数在区间上单调递增， 所以，， 所以函数，的值域为. 故选：. 28.已知函数的值域为，则实数m的值为（  ） A．2 B．3 C．9 D．27 【答案】C 【分析】利用函数的值域为可转化为的最小值来求解. 【解析】因为函数的值域为，所以的最小值为，所以； 故选：C 29.已知函数的值域为R，则实数的取值范围是（  ） A． B． C． D． 【解析】当， ∴当时，， ∵的值域为R，∴当时，值域需包含， ∴，解得， 故选：C. 30.已知，则的值域是 ． 【答案】 【分析】先由题意求得的定义域，再利用换元法与二次函数的性质即可得解. 【解析】因为， 所以的定义域满足，解得， 因为在上单调递增，所以令， 又， 则， 易知在上单调递增， 则当时，；当时，， 所以的值域为. 故答案为: 31.函数的定义域为，值域是，则的最大值为 . 【答案】. 【分析】利用换元法转化函数，结合二次函数的性质及的值域求得的定义域，进而求得的最大值. 【解析】由题意知，， 令，则， 令， 画出的图象如图所示， ，， 由， 要使得的值域为，则t的范围为，且， 则，解得：，， 所以当的定义域为，其中时，值域为. 所以，，， 所以，， 所以当时，取得最大值为. 故答案为：. 32.已知函数． (1)若的定义域为R，求实数的取值范围； (2)若的值域为R，求实数的取值范围． 【答案】(1);(2) 【分析】（1）根据题意得到在R上恒成立，再分类讨论求解即可； （2）根据题意得到的值域必须包含，再分类讨论求解即可. 【解析】（1）函数的定义域为R， 则在R上恒成立， 当时，恒成立，符合题意； 当时，有，解得． 所以实数的取值范围为． （2）函数的值域为R， 则的值域必须包含， 当时，，不符合题意； 当时，有，解得. 所以实数的取值范围为． 题型7 对数型函数的恒过定点问题 33.已知幂函数在区间上单调递增，则函数的图象过定点（  ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先根据幂函数定义及性质求出；进而可求解. 【解析】因为是幂函数，所以，解得或. 当时，在上单调递增，当时，在上单调递减， 故，此时， 当时，，即的图象过定点. 故选：B 34.已知当时，函数的图象恒过定点，其中为常数，则不等式的解集为 . 【答案】 【分析】先根据函数过定点求出；再根据分式不等式的解法即可求解. 【解析】因为函数的图象恒过定点， 所以. 则不等式为，等价于， 解得：. 所以不等式的解集为. 故答案为： 35.已知函数（，且）的图像过定点A，若点A在函数的图像上，则 . 【答案】 【分析】首先由对数函数性质确定点A的坐标，然后求解函数的解析式，最后求解的值即可. 【详解】因为函数(，且 )的图像过定点A， 所以. 因为点A在函数的图像上， 所以，所以， 所以， 所以. 故答案为：. 题型8 利用对数函数的图象判断底数大小 36.如图是三个对数函数的图象，则a、b、c的大小关系是（  ） A．a＞b＞c B．c＞b＞a C．c＞a＞b D．a＞c＞b 【答案】D 【分析】由对数函数的图像可确定底数的大小. 【解析】y＝logax的图象在（0，＋∞）上是上升的，所以底数a＞1，函数y＝logbx，y＝logcx的图象在（0，＋∞）上都是下降的，因此b，c∈（0，1），又易知c＞b，故a＞c＞b. 故选：D． 37.如图所示的曲线是对数函数，，，的图象，则a，b，c，d，1的大小关系为（  ） A．b>a>1>c>d B．a>b>1>c>d C．b>a>1>d>c D．a>b>1>d>c 【答案】C 【分析】根据对数函数的图象性质即可求解. 【解析】由图可知a>1，b>1，0<c<1，0<d<1． 过点作平行于x轴的直线，则直线与四条曲线交点的横坐标从左到右依次为c，d，a，b，显然b>a>1>d>c． 故选：C． 38.如图，①②③④中不属于函数的一个是（  ） A．① B．② C．③ D．④ 【答案】B 【分析】根据对数函数的图象性质与底数之间的关系判断即可. 【解析】根据题意函数中两个底数，图象单调递增，故③，④满足题意. 根据增长规律，“在定点右边，顺时针底数越来越大”，知道③对应，④对应. 由于函数，则它与关于x轴对称，且①与④关于x轴对称.故函数图象为①. 则②不属于函数的一个. 故选：B. 题型9 对数型函数图像识别 39.在同一坐标系中，函数与的大致图象是（  ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用函数单调性分析即得。 【解析】由指数函数与对数函数的单调性知： 在上单调递增，在上单调递增，只有B满足. 故选：B. 40.函数的图像大致为（  ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用奇函数性质以及代入特殊值分析即得。 【解析】的定义域为， ，所以是奇函数，图象关于原点对称，所以AD选项错误. ，所以B选项错误. 故选：C 41.当时，在同一平面直角坐标系中，与的图象是（  ） A．B．C．D． 【答案】B 【分析】利用对数函数的定义域可判断AD,BC可通过对底数分析即得。 【解析】的定义域为，故AD错误；BC中，又因为，所以，故C错误，B正确. 故选：B 42.函数的部分图象大致为（  ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由为偶函数，排除A；当时，，当时， ，排除BC，可得正确选项D. 【解析】的定义域为且，且，所以为偶函数，排除A； 当时，，，， 当时，，，，排除BC. 故选：D. 43.已知函数的图象如图所示，则函数的解析式可能是（  ） A． B． C． D． 【解析】对于A选项，函数的定义域为，不满足条件； 对于B选项，函数的定义域为，不满足条件； 对于C选项，函数的定义域为， ，函数为偶函数， 当时，，则，不满足条件； 对于D选项，函数的定义域为， ，函数为偶函数， 当时，，则，满足条件. 故选：D. 44.如图所对应的函数的解析式可能是（  ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】举反例说明A错误，利用奇偶性并综合排除法判断BCD即可得解. 【解析】对于A，当趋于0时，趋于，对比题图可知，A不符合题意； 对于B，的定义域关于原点对称，且， 所以的图象关于轴对称，与题图不符，B不符合题意； 对于D，的定义域关于原点对称，且， 所以的图象关于轴对称，与题图不符，D不符合题意； 对于C，的定义域关于原点对称，且， 所以的图象关于原点对称，与题图相符，经检验，C符合题意. 故选：C. 题型10 对数函数图像的应用 46.若，则下列不等关系一定不成立的是（  ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由，可得，作出函数的图象，作出，变换的值即可得出答案. 【解析】因为， 则， 由，得，， 作函数的图象，同时作出， 如上图，变换的值可以发现，，均能够成立，不可能成立. 故选：B. 47.已知，是函数的图象上两个不同的点，则（  ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】求出已知两点的中点坐标及的图象上纵坐标为的点，结合函数图象建立不等式，即可得解. 【解析】如图所示，设，，的中点为， 点在的图象上，且轴，则， 由图知点在的左侧，即， 故选：B 48.（多选）设，若有三个不同的实数根，则实数的取值可以是（  ） A． B．1 C． D．2 【答案】AB 【分析】利用分段函数作出图像分析即可求解。 【解析】作出函数图像如下： 又有三个不同的实数根， 所以函数与直线有三个交点， 由图像可得：. 故选：AB 49.记表示，二者中较大的一个，函数，，若，，使得成立，则的取值范围是______________ 【答案】 【分析】根据函数的单调性求出的值域，数形结合，由题意确定在上的值域为值域的子集，从而列出不等式组，即可求得答案. 【解析】由于在R上单调递减，在单调递增， 当时，，故， 则在上单调递减，在单调递增， 故在上的最小值为，即； 由， 令，则，则或， 作出函数的图象如图： 由于，，使得成立， 即在上的值域为值域的子集， 故，解得，即， 故答案为： 题型11 判断对数型函数的单调性 50.下列函数中，在上单调递增的是（  ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】对每个选项进行分析其单调性即可求解. 【解析】函数、、在上均为减函数， 函数在上为增函数. 故选：B. 51.下列函数中，既是奇函数，又在区间上单调递增的是（  ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】对每个选项进行分析其单调性即可求解. 【解析】选项A：是偶函数，不符合题目要求； 选项B：是非奇非偶函数函数，不符合题目要求； 选项C：是奇函数，且在区间上单调递增，符合题目要求； 选项D：是奇函数，在单调递减，不符合题目要求. 故选：C 题型12 求对数型函数的单调区间 52.函数的单调递增区间是（  ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先利用对数函数的定义域得到，再结合复合函数的性质求解单调区间即可. 【解析】由，解得， 由二次函数性质得在上单调递增，在上单调递减， 由对数函数性质得在上单调递增， 则的单调递增区间是，故A正确. 故选：A. 53.“”是“函数在区间上单调递增”的（  ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分又不必要条件 【答案】A 【分析】根据复合函数的单调性求函数在区间上单调递增的等价条件，在结合充分条件、必要条件的定义判断即可. 【解析】二次函数图象的对称轴为， 若函数在区间上单调递增， 根据复合函数的单调性可得，即， 若，则，但是，不一定成立， 故“”是“函数在区间上单调递增”的充分不必要条件． 故选：A 54.函数的单调递增区间是（  ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据对数型复合函数的单调性即可求解. 【解析】函数，因为，解得． 所以函数的定义域为，且，． 因为函数在区间,上单调递增， 在区间,上单调递减，函数单调递增， 所以由复合函数的单调性知函数在区间,上单调递增， 在区间,上单调递减, 故选：A 55.函数的单调递增区间为（  ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据对数型复合函数的单调性即可求解. 【解析】由题得函数定义域为， 函数或）的增区间为， 函数在定义域内是增函数，由复合函数的单调性得的单调递增区间为. 故选：A 56.函数的单调增区间是______． 【答案】 【分析】根据对数型复合函数的单调性即可求解. 【解析】由，得， 所以函数的定义域为， 令，则， 因为在上递增，在上递减，而在上为增函数， 所以在上递增，在上递减， 故答案为： 题型13 利用对数函数单调性比较大小 57.若，，，则（  ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据指数函数和对数函数的单调性分别得到的范围从而判断得到结果. 【解析】，，， 故，，，所以. 故选：D. 58.已知，，，则的大小关系是（  ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据给定条件，利用对数函数的性质比较大小. 【解析】依题意，， 则，而，则， 所以的大小关系是. 故选：C. 59.函数，若，则（  ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据给定条件，利用对数函数的性质比较大小. 【解析】因为，所以， 又当时，在上单调递增，所以 所以. 故选：D 题型14 解对数型不等式 60.已知函数 ，则不等式的解集为（  ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据已知函数值及对数的运算性质求得，不等式化为，利用对数函数的单调性解不等式求解. 【解析】由题意得，，解得， 所以， 所以， 所以 ，即， 从而，解得， 故不等式的解集为. 故选：A. 61.已知函数，且，则实数的取值范围为（  ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用对数函数的单调性解不等式求解. 【解析】因为，所以函数的定义域为， 则定义域关于原点对称，且， 所以为偶函数， 又时，是单调递增函数，而是单调递减函数， 所以是单调递减函数， 根据对称性知时，所以是单调递增函数， 函数中，， 由得，解得或. 故选：D. 62.已知函数若，则实数的取值范围是（  ） A． B．或 C． D．或 【答案】B 【分析】根据确定其单调性，然后利用单调性求解不等式即可. 【解析】当时，，所以在上单调递减； 当时，，所以在上单调递减； 其中，所以在上单调递减； 因为，所以，即， 解得或， 所以实数的取值范围或， 故选B. 63.不等式的解集为 ． 【答案】 【分析】根据对数函数的单调性即可求解. 【解析】由可得，解得， 故答案为： 64.不等式的解集是 . 【答案】 【分析】根据题意，由对数函数的单调性代入计算，即可得到结果. 【解析】不等式可转化为， 由对数函数单调性可得， 解得， 所以不等式的解集为. 故答案为：. 65.不等式的解集为 ． 【答案】 【分析】结合函数的定义域和单调性列不等式组，解不等式组求得不等式的解集. 【解析】由于函数在上递减， 所以解得， 所以原不等式的解集为， 故答案为： . 66.不等式的解集为 【答案】 【分析】对原不等式整理可得，结合对数函数性质分析求解. 【解析】因为，且， 若，即， 则，解得， 所以不等式的解集为. 故答案为：. 67.已知且． (1)若，解关于的方程； (2)若，求的取值范围． 【答案】(1)或.;(2) 【分析】（1）利用对数运算将方程进行化简，然后将视作为整体，解方程即可； （2）根据函数单调性的情况，分情况讨论求解实数a的取值范围. 【解析】（1）时，， ， 方程，即，化简得， 所以或，解得或. （2）， ①当时，函数在上单调递减， 故，解得：，此时； ②当时，函数在上单调递增， 故，解得：， 综上可得的取值范围为. 68.已知函数． (1)判断并证明函数的单调性； (2)若，求实数x的取值范围． 【答案】(1)在上单调递增，证明见解析;(2) 【分析】（1）由单调性的定义说明即可； （2）首先说明是奇函数，再结合函数的单调性解不等式即可. 【解析】（1）在上单调递增． 证明如下：令，解得，所以的定义域为．设， 得． 因为，所以， 得，所以在上单调递增． （2），定义域为，，所以是奇函数． 所以原不等式可化为，即， 又在上单调递增，所以，解得， 所以x的取值范围为． 题型15 利用对数型函数的单调性求参数的取值范围 69.已知函数在上单调递减，则的取值范围是（  ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据对数函数定义可知对任意的恒成立，解得且；再根据复合函数单调性结合对数函数以及二次函数单调性分析求解. 【解析】因为在上单调递减， 则对任意的恒成立，可得且； 且开口向下，对称轴， 当时，则对称轴，可知在内单调递减， 且在定义域内单调递减，所以在上单调递增，不合题意； 当时，因为在定义域内单调递增，可知在内单调递减， 则，解得； 综上所述：的取值范围是. 故选：C. 70.若函数在上单调递减，则实数的取值范围是（  ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】设，由复合函数的单调性可知，函数在上单调递减，且，再根据二次函数的性质即可求解. 【解析】设， 由题意可知，函数在上单调递减，且， 函数的对称轴为， 所以，解得. 故选：D. 71.已知函数在上单调递增，则实数的取值范围是（  ） 【答案】 【分析】要使在上单调递增，需要在上也单调递增且在上恒成立.我们将分情况讨论的取值范围. 【解析】当时，此时，这是一个一次函数，其斜率，函数在上单调递减，不满足在上单调递增的条件，所以. 当时，对于二次函数，其对称轴为. 要使在上单调递增，则对称轴，即. 同时，要使在上恒成立，即当时，， 解不等式，得到，即.综合起来，. 当时，二次函数的图象开口向下，在上不可能单调递增，所以这种情况不符合要求. 综上，实数的取值范围是. 故答案为: 72.已知函数在上是减函数，则实数a的取值范围是 ． 【答案】 【分析】令，则由题意可得在上是减函数，且在区间上恒成立，从而列不等式组可求得答案 【解析】令，因为在区间上是减函数，且在上是增函数， 所以在区间上是减函数，且在区间上恒成立， 所以，解得， 所以实数a的取值范围是. 故答案为：. 73.已知函数是上的单调函数，则实数a的取值范围是 . 【答案】 【分析】根据函数单调性即可求出实数a的取值范围. 【解析】因为且，所以当时，函数只能单调递减， 所以函数在上单调递减， 所以，解得，即实数a的取值范围是. 故答案为： 题型16 对数型函数的奇偶性问题 74.函数为上的奇函数，时，，则（  ） A． B．2 C． D．6 【答案】C 【分析】根据函数奇偶性即可求值. 【解析】时，，故，又函数为上的奇函数，故. 故选：C 75.已知为奇函数，为偶函数，则（  ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据函数奇偶性即可求值. 【解析】因为为奇函数，且定义域为R，所以，解得：a=-1. 因为为偶函数，且定义域为R，所以，即，解得：. 所以. 所以. 故选：D 76.已知函数是定义在R上的奇函数，当时，（m为常数），则的值为（  ） A．4 B． C．7 D． 【答案】D 【分析】根据函数奇偶性即可求值. 【解析】根据题意，函数是定义在R上的奇函数，当时，， 必有，解可得:， 则当时，，有， 又由函数是定义在R上的奇函数，则. 故选：D 77.若函数是奇函数，则___________，___________. 【答案】1；0 【分析】根据函数奇偶性即可求值. 【解析】 因为函数是奇函数，故，即，即.又，故，即，恒成立，故，所以或，当时无意义.当时满足奇函数.故 综上，， 故答案为：1；0 题型17 对数型函数的最值问题 78.对于任意实数，定义，设函，则函数的最小值是（  ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【分析】结合对数函数画出分段函数的图象，结合图象可得答案. 【解析】由题意得， 因为函数在上单调递减， 函数在上单调递增， 又， 所以点是两个函数的交点， 所以当时，，可得， 当时，，可得， 可得的大致图象，如下图， 故选：B. 79.函数的最小值是 ． 【答案】2 【分析】利用整体换元，将复合函数的最值转化为对数函数的最值求解即可. 【解析】令，则，. 又在上单调递增， 所以，此时. 故答案为： 80.函数的最小值为______． 【答案】 【分析】利用换元，将复合函数的最值转化为二次函数的最值求解即可. 【解析】由题意，函数 ， 令，可得， 当时，，即函数的最小值为. 故答案为：. 81.设且，函数的图象过点． (1)求的值及函数的定义域； (2)求函数在区间上的最大值． 【答案】(1)2；;(2)2 【分析】（1）代入点的坐标求出的值，再根据对数函数的定义求出函数的定义域； （2）依题意可得，结合二次函数的性质及对数函数的性质计算可得. 【解析】（1）由函数的图象过点， 得，即，所以，解得或（舍）， 所以， 由，解得， 所以，函数的定义域为． （2）由（1）知， 又，所以当时取得最大值4，且函数在定义域上单调递增， 故函数在区间上的最大值 82.已知． (1)设，求t的最大值与最小值； (2)求的值域． 【答案】2 【分析】利用换元，将复合函数的最值转化为二次函数的最值求解即可. 【解析】（1）因为函数在区间[2，4]上是单调递增的， 所以当时，， 当时，． （2）令，则， 由（1）得，因为函数在上是单调增函数， 所以当，即时，；当，即时，， 故的值域为. 题型18 对数型函数的恒成立和存在问题 83.当时，，则a的取值范围是（  ） A．(0，) B．(，1) C．(1，) D．(，2) 【答案】 【分析】借助图像分析即可求解. 【解析】当时，显然不成立. 若时 当时，，此时对数，解得，根据对数的图象和性质可知，要使在时恒成立，则有，如图 故选:B. 84.已知且，当时，，则的取值范围为 . 【答案】 【分析】按和分类讨论可得． 【解析】当时，. 当时，成立. 当时，若成立，是减函数，是增函数，则，解得，所以. 综上，的取值范围为. 故答案为：． 85.已知函数. (1)求不等式的解集； (2)若对于恒成立，求实数的取值范围. 【答案】(1);(2) 【分析】（1）根据对数函数的单调性转化为指数不等式，换元后由一元二次不等式求解； （2）分离参数后，求的最小值，对数的真数换元后求出取值范围，即可由对数函数单调性求对数函数值域，即可得解. 【解析】（1）由题意可知，即. 令，则有，解得，所以，即. 所以不等式的解集为. （2）由题意可知，即， 即. 又 令， 易知在上单调递减， 所以，所以， 因为，所以. 故实数的取值范围为. 86.已知函数，函数． (1)求不等式的解集； (2)求函数的值域； (3)若不等式对任意实数恒成立，试求实数的取值范围． 【答案】(1);(2);(3) 【分析】（1）解指数不等式，得到解集； （2）变形得到，结合，求出的值域； （3）转化为，求出，故，得到答案. 【解析】（1）由，得 整理得 解得， 的解集为 （2）， ， ， 即的值域为． （3）不等式对任意实数恒成立 ． ， 令，，， 设，， 当时，取得最小值，即， ，即， ，即，解得， 实数的取值范围为． 87.设，已知函数的表达式为. (1)当时，求不等式的解集； (2)设，若存在，使得函数在区间上的最大值与最小值的差不超过1，求实数的取值范围. 【答案】(1);(2) 【分析】（1）根据函数的单调性转化为自变量的不等式，解得即可； （2）根据函数的单调性求出最值，根据不等式有解分离参数求取值范围. 【解析】（1）当时，，不等式， 即，所以，即，等价于， 解得或； 所以不等式的解集为； （2）因为，，所以当时，函数为减函数， 所以函数在区间上单调递减， 又函数在区间上最大值和最小值的差不超过1， 所以， 即，即 所以， 即存在使成立，只需即可， 考虑函数，，令， ， 设，其中， 任取，且，则， 因为，所以，因为，所以， 所以，所以函数在上单调递减， 所以在单调递减，所以， ，所以， 所以的取值范围为. 题型19 对数函数的实际应用问题 88.大部分大西洋蛙鱼每年都要逆流而上游回出生地产卵.研究蛙鱼的科学家发现蛙鱼的游速单位：可以表示为，其中表示鱼的耗氧量的单位数.若蛙鱼的游速每增加，则它的耗氧量的单位数是原来的（  ） A．倍 B．倍 C．倍 D．倍 【答案】B 【分析】设原来的游速为，则提速后的游速为，原来的耗氧量的单位数为，后来的耗氧量的单位数为，根据题意列方程组，能求出结果． 【解析】设原来的游速为，则提速后的游速为， 原来的耗氧量的单位数为，后来的耗氧量的单位数为， 则， 所以， ，故， 所以若蛙鱼的游速每增加，则它的耗氧量的单位数是原来的倍． 故选：B. 89.如果不考虑空气阻力，火箭的最大速度（单位：）与燃料质量（单位：），火箭（除燃料外）的质量（单位：）之间的函数关系是，这里表示以为底的自然对数．若已知火箭的最大速度为，火箭的质量约为，则火箭需要加注的燃料质量约为（  ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由题意得到方程，得到. 【解析】由题意得，即， . 故选：B. 90.声强级（单位：dB）由公式给出，其中I为声强（单位：），k，b为常数.研究发现正常人听觉能忍受的最高声强为，此时声强级为120dB；平时常人交谈时的声强约为，此时声强级为60dB． (1)求k，b的值； (2)实验结果表明，噪声可以降低人的视力敏感性，当噪声声强级达到90dB至115dB时，视网膜中的视杆细胞对光亮度的敏感性会下降，识别弱光反应的时间也会延长.某种型号的拖拉机声的声强约为，若司机长时间在这种噪音环境下驾驶，试判断是否会降低他的视力敏感性？ 【答案】(1);(2)司机长时间在这种噪音环境下驾驶，会降低他的视力敏感性. 【分析】（1）由题意建立方程组，解之即可求解； （2）由（1），将代入即可下结论. 【解析】（1）由题意知，解得， 所以. （2）因为，将代入， 得， 所以司机长时间在这种噪音环境下驾驶，会降低他的视力敏感性. 题型20 对数型函数性质的综合应用 91.已知函数，则（  ） A．的定义域为 B．在区间上单调递减 C．的图象关于点对称 D． 【答案】C 【分析】求出函数的定义域判断A；根据对数型复合函数的单调性判断B；根据判断C；根据函数的对称性及单调性判断D. 【解析】对于A，函数有意义，则，解得且， 因此函数的定义域为，故A错误； 对于B，当时，， 函数在区间上单调递增， 且，又在区间上单调递增， 因此在区间上单调递增，故B错误； 对于C，， 因此函数的图象关于点对称，故C正确； 对于D，，则， 即，因此，故D错误. 故选：C. 92.已知函数，设，，，则、、的大小关系是（  ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】分析函数的对称性及其在区间上的单调性，即可得出、、的大小关系. 【解析】对任意的，，所以，函数的定义域为， ， 所以，函数的图象关于直线对称， 当时，， 函数在上为增函数， 因为内层函数在上为增函数，外层函数为减函数， 所以，函数在上为减函数， 所以，函数在上为增函数， 因为，， ，且， 因为，，则， 所以，，同理可得， 故， 所以，，即， 故选：A. 93.已知函数，则不等式的解集是（  ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】分析函数借助图像即可求解. 【解析】因为的定义域为， 因为，， 由可得，即的图象在图象的上方， 画出的图象，如下图，    由图可知：不等式的解集是. 故选：D. 94.已知函数的定义域为，，对于任意的，当时，有.若，则实数的取值范围是（  ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】分析条件构造函数利用函数的单调性即可求解. 【解析】∵， ∴，即， 令，则任意的，有， ∴函数在上为增函数. ∵不等式可变形为，即， ∴， ∴，解得，即实数的取值范围是. 故选：B. 95.已知，若对于任意的，恒成立，则a的取值范围是 . 【答案】 【分析】先根据偶函数定义得是偶函数，再根据复合函数的单调性可知，在上单调递增，从而利用单调性将不等式转化为，根据和分别求解a的范围，最后求交集即可. 【解析】对于函数，因为， 所以恒成立，其定义域为R， 又， 且， 所以为R上的偶函数. 由复合函数的单调性可知，在上单调递增， 所以等价于，即，即. 当时，恒成立，所以； 当时，恒成立，所以. 综上，. 故答案为：. 96.已知函数且. (1)求的定义域； (2)判断的奇偶性，并说明理由； (3)若，求满足的的取值集合. 【答案】(1);(2)偶函数，理由见解析;(3). 【分析】（1）根据对数的真数大于零，可得出关于的不等式组，由此可解得函数的定义域； （2）利用函数奇偶性的定义可得出结论； （3）由求出的值，可得出函数的解析式，分析函数的单调性，结合可得出关于的不等式，解之即可. 【解析】（1）对于函数且， 由解得，故函数的定义域为. （2）函数为偶函数.理由如下： 函数的定义域为，定义域关于原点对称， 又，故函数为偶函数. （3）依题意， 若，则，解得. 设，， 因为在区间上单调递增，在区间上单调递减. 又在其定义域内单调递增， 所以在区间上单调递增，在区间上单调递减. 因为，所以，解得， 所以的取值集合为. 97.已知函数． (1)当时，求函数的值域； (2)若的定义域为R，求实数的取值范围； (3)若在上单调递增，求实数的取值范围. 【答案】(1);(2);(3) 【分析】（1）代入，由，利用对数型复合函数单调性求值域； （2）将条件转化为在上恒成立，利用计算即可； （3）根据对数型复合函数的单调性进行判断计算. 【解析】（1）当时，， 令，则， 对数函数在上单调递增，所以， 所以函数的值域为. （2）若的定义域为，则在上恒成立， 所以. 所以实数的取值范围是. （3）二次函数开口向上，对称轴为， 对数函数在上单调递增， 若在上单调递增， 则. 所以实数的取值范围是. 98.已知函数． (1)判断的奇偶性，并证明； (2)判断的单调性，并利用单调性的定义证明你的结论； (3)任意，求实数的所有整数解. 【答案】(1)奇函数，证明见解析;(2)在上单调递减，证明见解析;(3)或 【分析】（1）利用奇偶性的定义结合对数的运算证明即可； （2）利用单调性的定义任取满足，结合对数的运算判断的符号证明即可； （3）由在上的单调性求出的最值，解不等式即可. 【解析】（1）函数是奇函数，证明如下： ，所以，解得函数定义域, 因为任意，都有， 又，所以函数是奇函数. （2）在上单调递减，证明如下： 任取满足， 因为 ＝， 因为，，且单调递增， 所以，， 依据同向不等式的可加性， 所以， 即，所以在上单调递减． （3）由第（2）问知在上单调递减， 所以， 因为， 所以， 所以，即得，解得， 因为，所以或． 题型21 对数函数与其他章节的融合 99.已知是定义在R上的奇函数，且当时，，则不等式的解集是（  ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据函数的奇偶性结合给定区间上的函数解析式，确定函数的单调性，借助于特殊值替代，利用单调性即可求解抽象不等式. 【解析】因为当时，，则，且函数在上单调递增， 则由可得，利用函数的单调性可得； 又是定义在R上的奇函数，故； 当时，，则，因，则， 函数在上单调递增且， 则由可得，利用单调性可得. 综上可得，不等式的解集是. 故选：A. 100.“”是“函数在单调递增”的（  ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【分析】利用对数函数与复合函数的单调性计算即可. 【解析】由二次函数、对数函数的单调性及复合函数的单调性可知： 要满足函数在单调递增， 需要， 因为，所以“”是“函数在单调递增”的必要不充分条件． 故选：B． 101.已知函数的值域为，则实数的取值范围为（  ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用分段函数与对数函数的单调性计算即可. 【解析】因为函数在上单调递增，故， 又因为的值域为， 则的值域包含， 所以，解得. 故选：D. 102.已知函数，则的最小值是 ． 【答案】 【分析】由函数的解析式有意义，求得的定义域，化简，令，得到，令，结合基本不等式和对数函数的单调性，即可求解. 【解析】由函数有意义， 则满足，解得， 所以函数的定义域为， 又由， 令，可得， 令， 因为， 当且仅当时，即时，即时取等号， 所以， 所以， 所以函数的最小值为4． 故答案为：4. 103.函数（且）的图象恒过定点，若对任意正数、都有，则的最小值是 ． 【答案】 【分析】求出定点的坐标，可得出，然后将代数式与相乘，展开后利用基本不等式可求得的最小值. 【解析】对于函数（且）， 令，可得，且，所以，，即，， 对任意的正数都有，即，则， 所以， ， 当且仅当时，即当时，等号成立， 所以，的最小值是 故答案为： 2 / 37 学科网（北京）股份有限公司 $