午练半小时 第16练 幂函数（配套教参Word）-【步步高】2025-2026学年高一数学必修第一册学习笔记（苏教版）

**基本信息** 聚焦幂函数概念与性质，通过基础辨析、性质应用及综合题型，系统构建从定义域、值域到单调性、奇偶性的知识逻辑链，培养数学抽象与逻辑推理能力。 **专项设计** |模块|题量/典例|题型特征|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |概念辨析|选择1-2（2题）|定义域值域判断|概念生成基础，明确幂函数定义要素| |性质应用|选择3/填空8-9（3题）|单调性奇偶性应用|性质推导延伸，强化函数性质应用| |综合应用|选择4/填空7/解答10（3题）|定义与性质综合|知识体系整合，提升综合解题能力|

第16练　幂函数 (分值：60分) 一、选择题(单选题每小题5分，多选题每小题6分，共26分) 1.在下列函数中，定义域为R的是(　　) A.y= B.y= C.y=x3 D.y=x-1 答案　C 解析　选项A中函数的定义域为[0，+∞)，选项B，D中函数的定义域均为(-∞，0)∪(0，+∞). 2.(多选)下列函数中值域为[0，+∞)的函数是(　　) A.y= B.y=x2 C.y= D.y=x3 答案　AB 解析　选项A中函数的值域为[0，+∞)，选项B中函数的值域为[0，+∞)，选项C中函数的值域为(0，+∞)，选项D中函数的值域为R. 3.函数y=x-3在区间上的最大值是(　　) A.1 B. C.8 D.-8 答案　C 解析　y=x-3在区间上单调递减， 所以x=时，取得最大值为8. 4.若幂函数y=(m2-3m+3)的图象经过原点，则m的值为(　　) A.1或2 B.2 C.1 D.不存在 答案　D 解析　由幂函数的定义得m2-3m+3=1，则m=1或m=2，当m=1时，y=x-2，定义域为{x|x≠0}，图象不过原点；当m=2时，y=x0，其图象也不过原点. 5.函数y=xα与y=αx的图象只可能是下面中的哪一个(　　) 答案　C 解析　A中直线对应函数为y=x，曲线对应函数为y=x-1，1≠-1，故A错；B中直线对应函数为y=2x，曲线对应函数为y=2≠故B错；C中直线对应函数为y=2x，曲线对应函数为y=x2，2=2，故C对；D中直线对应函数为y=-x，曲线对应函数为y=x3，-1≠3.故D错. 二、填空题(每小题5分，共20分) 6.已知函数y=a(x-4)+2的图象恒过定点P，且P在幂函数f(x)的图象上，则f(x)=　　　　.  答案　 解析　由一次函数的性质知函数y=a(x-4)+2的图象恒过定点P(4，2).设幂函数为f(x)=xα，由P在幂函数f(x)的图象上，可得4α=2， 解得α=所以f(x)=. 7.已知函数f(x)=(m2-m-1)是幂函数，且当x∈(0，+∞)时，f(x)是增函数，则幂函数f(x)的解析式为　　　　.  答案　f(x)=x3 解析　由f(x)=(m2-m-1)是幂函数可得，m2-m-1=1，解得m=2或m=-1.当m=2时，f(x)=x3；当m=-1时，f(x)=x-3，由于当x∈(0，+∞)时，f(x)是增函数，故f(x)=x3. 8.若(3-2m>(m+1则实数m的取值范围为　　　　　　.  答案　 解析　因为y=在定义域[0，+∞)上单调递增， 所以解得-1≤m< 故实数m的取值范围为. 9.幂函数f(x)满足下列性质：①对定义域中任意的x，有f(x)=f(-x)；②对(0，+∞)中任意的x1，x2(x1≠x2)，都有(x2-x1)(f(x2)-f(x1))<0，请写出满足这两个性质的一个幂函数的表达式f(x)=　　　　　　　　.  答案　x-2(答案不唯一) 解析　幂函数f(x)满足性质：对定义域中任意的x，有f(x)=f(-x)，则f(x)为偶函数； 又f(x)满足对(0，+∞)中任意的x1，x2(x1≠x2)，都有(x2-x1)(f(x2)-f(x1))<0， 可知函数为(0，+∞)上的减函数， 故f(x)=x-2满足题目中要求. 三、解答题(共14分) 10.(14分)已知幂函数f(x)=其中m∈{x|-2<x<2，x∈Z}，满足： ①在区间(0，+∞)上单调递增； ②对任意的x∈R，都有f(-x)+f(x)=0. 求同时满足条件①②的幂函数f(x)的解析式，并求x∈[0，3]时，f(x)的值域. 解　因为m∈{x|-2<x<2，x∈Z}， 所以m=-1，0，1. 因为对任意的x∈R，都有f(-x)+f(x)=0，即f(-x)=-f(x)，所以f(x)是奇函数. 当m=-1时，f(x)=x2，只满足条件①而不满足条件②；当m=1时，f(x)=x0.条件①②都不满足；当m=0时，f(x)=x3，条件①②都满足. 因此f(x)=x3，且f(x)在区间[0，3]上单调递增，所以0≤f(x)≤27， 故f(x)的值域为[0，27]. 学科网（北京）股份有限公司 $