专题01 幂函数16种常考题型（高效培优专项训练）数学苏教版2019高一必修第一册

专题01 幂函数十六种常考题型 题型一：幂函数的概念辨析 题型二：求幂函数的函数值、解析式 题型三：利用函数是幂函数求参数值 题型四：求幂函数的定义域 题型五：幂函数的值域问题 题型六：幂函数的图象及应用 题型七：幂函数的图象过定点问题 题型八：幂函数单调性的判断 题型九：与幂函数相关的复合函数单调性的判断 题型十：利用幂函数的单调性比较幂值的大小 题型十一：利用幂函数的单调性解不等式 题型十二：利用幂函数的图象与性质求参数 题型十三 ：幂函数的奇偶性的应用 题型十四：幂函数的单调性和奇偶性的综合应用 题型十五：幂函数性质的综合运用 题型十六：幂函数与其他章节的融合 题型一：幂函数的概念辨析 1.下列函数是幂函数的是（  ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由幂函数的定义即可求解. 【解析】由幂函数的定义,形如，叫幂函数， 对A，，故A正确；B，C，D均不符合. 故选：A． 2.现有下列函数：①；②；③；④；⑤，其中幂函数的个数为（  ） A．4 B．3 C．2 D．1 【答案】C 【分析】由幂函数的定义即可求解. 【解析】由于幂函数的一般表达式为：； 逐一对比可知题述中的幂函数有①；⑤共两个. 故选：C. 3.下面的函数中是幂函数的有（  ） ①；②；③；④；⑤． A．①⑤ B．①②③ C．②④ D．②③⑤ 【答案】C 【分析】根据幂函数的定义判断即可. 【解析】由幂函数定义可知，②④是幂函数， 故选：C. 4.（多选）下列函数中是幂函数的是（  ） A． B． C． D． 【答案】ABD 【分析】根据幂函数的定义逐个分析选项即可. 【解析】对于选项A，，故它是幂函数．故A项正确； 对于选项B，是幂函数，故B项正确； 对于选项C，选项的系数为3，所以它不是幂函数．故C项不成立； 对于选项D，是幂函数，故D项正确. 故选：ABD. 题型二：求幂函数的函数值、解析式 5.已知幂函数的图象过点，则（  ） A．2 B．8 C． D．16 【答案】A 【分析】由点求得函数解析式即可求解； 【解析】设， 则，解得：， 所以， 故选：A. 6.若幂函数的图象过点，则该幂函数的解析式是（  ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据幂函数设解析式，再代入点求出解析式即可. 【解析】设幂函数解析式为，代入点可得，即，所以 所以该幂函数的解析式是. 故选：B. 7．已知是常数，幂函数的图象经过原点，则（  ） A． B． C．3 D．9 【答案】D 【分析】利用幂函数的定义与性质求得，进而得到的解析式，从而得解. 【解析】因为是幂函数，则，解得， 因为的图象经过原点，则，得，则， 所以. 故选：D. 9.已知幂函数的图象过点，则 ． 【答案】8 【分析】设出解析式，代入点的坐标，求出，再代入求值即可. 【解析】令，由题意得，即， 解得，故， 则． 故答案为：8 10.已知幂函数满足，则的值为___________ 【答案】 【分析】设出幂函数的解析式，根据已知，求出参数的关系式，即可计算作答. 【解析】依题意，设，则， 所以. 故答案为： 题型三：利用函数是幂函数求参数值 11.函数是幂函数，则实数的值是（  ） A． B． C．或 D．且 【答案】C 【分析】根据幂函数的定义求解. 【解析】由幂函数的定义知， 即，解得或． 故选：C 12.若函数，则“”是“是幂函数”的（  ） A．充要条件 B．必要不充分条件 C．充分不必要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】C 【分析】根据幂函数的解析式可得，可得的值，再根据充分不必要的定义即可得结果. 【解析】由是幂函数，得， 即，解得或， 则“”是“是幂函数”的充分不必要条件. 故选：C. 13．已知幂函数的图象不过原点，则实数的值为（  ） A． B． C． D．或 【答案】B 【分析】根据幂函数的定义以及性质可得出关于实数的等式和不等式，解之即可. 【解析】因为幂函数的图象不过原点，则，解得. 故选：B. 14.已知幂函数的图象经过点，则（  ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据幂函数的定义求解即可》 【解析】依题意可得, 所以, 又的图象经过点, 所以, 解得, 所以. 故选：D. 15.己知幂函数的图象过点，则 . 【答案】 【分析】先根据幂函数的定义及所过的点求出函数解析式，进而可得出答案. 【解析】因为函数是幂函数， 所以，解得， 又幂函数的图象过点， 所以，解得， 所以， 所以. 故答案为：. 题型四：求幂函数的定义域 16.下列函数中定义域为的是（  ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】将分数指数幂化为根式，再根据幂函数的图像与性质即可得到答案. 【解析】，定义域为，故A错误； ，定义域为，故B错误； ，定义域为，故C正确； ，定义域为，故D错误， 故选：C. 17.幂函数的定义域是（  ） A．R B． C． D． 【答案】B 【分析】利用幂函数的定义直接求出定义域. 【解析】函数的定义域为. 故选：B. 18．幂函数图象过点，则的定义域为（  ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】设出幂函数，代入点坐标得到函数解析式，确定函数定义域，得到，解得答案. 【解析】设幂函数为，则，故，， 则的定义域为， 故满足，解得. 故选：A. 19.已知幂函数的定义域是，则 ． 【答案】 【分析】根据幂函数的系数为，求出的值，再结合幂函数的定义域进行检验即可. 【解析】因为函数为幂函数，则，即， 解得或， 当时，函数的定义域为，合乎题意； 当时，函数的定义域为，舍去. 综上所述，. 故答案为：. 20.已知幂函数的图象过点，则的定义域为 ． 【答案】 【分析】首先求幂函数的解析式，再求函数的定义域，根据复合函数的形式，求函数的定义域. 【解析】∵的图象过点，∴，，应该满足：，即，∴的定义域为． 故答案为： 题型五：幂函数的值域问题 21.在下列函数中，定义域和值域不同的是（  ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据幂函数的性质逐项分析即得. 【解析】由可知，,，定义域、值域相同； 由可知，，定义域、值域相同； 由可知，,，定义域、值域相同； 由可知，，，定义域、值域不相同. 故选：D 22.下列四组函数中，同组两个函数的值域相同的是（  ） A．与 B．与 C．与 D．与 【答案】C 【分析】根据幂函数的性质逐项分析即得. 【解析】对于A，的定义域为，∵，∴的值域为， 的定义域和值域均为，故A错误； 对于B，的定义域为，其值域为， 的定义域为，其值域为，故B错误； 对于C，的定义域为，其值域为， 的定义域为，其值域为，故C正确； 对于D，的定义域为，其值域为， 的定义域和值域均为，故D错误， 故选：C. 23．已知是幂函数，则“是正偶数”是“的值域为”的（  ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【分析】利用幂函数的性质结合充分、必要条件的定义判定即可. 【解析】当是正偶数时，显然，即其值域为． 当时，的值域为，但不是正偶数． 故“是正偶数”是“的值域为”的充分不必要条件． 故选：A. 24.下列四个幂函数：①；②；③；④的值域为同一区间的是 .（只需填写正确答案的序号） 【答案】②③ 【分析】根据幂函数的性质逐项分析即得. 【解析】对于①，，则其值域为； 对于②，，则其值域为； 对于③，，则其值域为， 对于④，，则其值域为. 综上符合题意的是②③. 故答案为:②③ 25.已知函数，若函数的值域为，则实数的取值范围为_______________ 【答案】 【分析】求出分段函数在各段上的函数值集合，再根据给定值域，列出不等式求解作答. 【解析】函数在上单调递减，其函数值集合为， 当时，的取值集合为，的值域，不符合题意， 当时，函数在上单调递减，其函数值集合为， 因函数的值域为，则有，解得， 所以实数的取值范围为. 故答案为: 题型六：幂函数的图象及应用 26.图中、、为三个幂函数在第一象限内的图象，则解析式中指数的值依次可以是（  ） A．、3、 B．、3、 C．、、3 D．、、3 【答案】D 【分析】利用特值验证即可区分出三个幂函数图象分别对应的指数a的值. 【解析】在题给坐标系中，作直线，分别交曲线于A、B、C三点 则，又 则点A在幂函数图像上，点B在幂函数图像上， 点C在幂函数图像上， 则曲线对应的指数分别为 故选：D 27.下列图象中，最符合函数的图象的是（  ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据幂函数的图象判断即可. 【解析】由，函数的定义域为，排除BC， 因为，所以函数的图象呈现下凸的趋势，排除D. 故选：A. 28．已知常数，如图为幂函数的图象，则的值可以是（  ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据幂函数的定义域，对称性和单调性，逐项验证，即可求解. 【解析】由图象可得函数的定义域为，选项不满足； 选项，当，函数的定义域满足，而且为偶函数，满足图象特征. 故选:C. 29.下面给出4个幂函数的图像，则图像与函数大致对应的是（  ） A．①，②，③，④ B．①，②，③，④ C．①，②，③，④ D．①，②，③，④ 【答案】A 【分析】根据幂函数的图像特征，对照四个选项一一验证，即可得到答案. 【解析】函数为奇函数且定义域为R，该函数图像应与①对应； 函数，且该函数是偶函数，其图像关于y轴对称，该函数图像应与②对应； 的定义域、值域都是，该函数图像应与③对应； ，其图像应与④对应． 故选：A． 30.已知函数，若，则函数的图象是（  ） A．   B．   C．     D．   【答案】C 【分析】根据各选项中函数图象特征，再观察幂函数图象判断即得. 【解析】作出函数的图象如下图所示： 因为，则将函数的图象关于轴对称，可得出函数的图象，如下图所示： 故选：C. 31.(多选)下列幂函数中满足条件的函数是（  ） A． B． C． D． 【答案】BD 【分析】由题意知,当时,的图象是凹形曲线,据此分析各选项中的函数图像是否满足题意即可. 【解析】由题意知,当时,的图象是凹形曲线. 对于A,函数的图象是一条直线,则当时,有,不满足题意； 对于B,函数的图象是凹形曲线,则当时,有,满足题意； 对于C,函数的图象是凸形曲线,则当时,有,不满足题意； 对于D,在第一象限内,函数的图象是一条凹形曲线,则当时,有,满足题意. 故选:BD. 题型七：幂函数的图象过定点问题 32.函数的图象过定点（  ） A． B． C． D． 【答案】 【分析】利用求得正确答案. 【解析】当时，， 所以定点为. 故选：A 33.若函数与图象关于对称，且，则必过定点（  ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先根据得，再确定函数的图象过定点，再由函数与图象关于对称即可求解. 【解析】，，， 所以，函数的图象过定点， 又函数与图象关于对称， 因此，函数必过定点. 故选：D. 34．已知幂函数的图象过函数的图象所经过的定点，则的值等于（　　） A． B． C．2 D． 【答案】B 【分析】先根据幂函数定义得，再确定的图像所经过的定点为，代入解得的值. 【解析】由于为幂函数，则，解得：，则； 函数，当 时，， 故的图像所经过的定点为， 所以，即，解得：, 故选：B. 35.已知函数的图象恒过定点，若点在一次函数的图象上，其中，，则的最小值为 . 【答案】4 【解析】函数的图象恒过定点，所以 , 因为，所以， 当时，的最小值为4. 题型八：幂函数单调性的判断 36.下列函数中，是偶函数且在上为减函数的是（  ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】结合表达式直接判断奇偶性，再结合图象特征判断增减性即可. 【解析】由函数奇偶性可直接排除B、D，对A，在为增函数，排除A，D项正确. 故选：C 37.下列函数是幂函数且在是增函数的是（  ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由幂函数的概念和单调性可得选项C正确. 【解析】由幂函数的概念可以排除B、D选项， 而在是减函数，在是增函数， 故选：C. 38．(多选)下列函数中，满足“，，且，，都有”的是（  ） A． B． C． D． 【答案】BD 【分析】由题意得函数是偶函数，在上单调递增，在上单调递减，然后逐个分析判断即可. 【解析】由，知函数是偶函数， 由，都有，知在上单调递增， 所以在上单调递减. 对于A：不满足为偶函数，故A错误； 对于B:，符合题意，故B正确； 对于C：不满足为偶函数，故C错误； 对于D:符合题意. 故选：BD. 39.(多选)下列函数中，在区间单调递减的是（  ） A． B． C． D． 【答案】AD 【分析】由复合函数的单调性、指数函数、幂函数及对勾函数单调性判断各个选项即可. 【解析】对于A项，由幂函数性质知，在上单调递减，故A项正确； 对于B项，令（），则（）， 因为在上单调递增，在在上单调递增， 所以在上单调递增，故B项不成立； 对于C项，由对勾函数性质可知，在上单调递减， 在上单调递增，故C项不成立； 对于D项，因为，所以在上单调递减，故D项正确. 故选：AD. 题型九：与幂函数相关的复合函数单调性的判断 40.已知幂函数的图象过点，则函数的单调递增区间为（  ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用待定系数法求出幂函数的解析式，然后利用复合函数的单调性得出结果． 【解析】设，因为的图象过点， 所以，解得，即， 可得在上单调递减， 则函数， 由，解得或， 则函数在上单调递减，在上单调递增， 所以函数的单调递增区间为. 故选：A. 41.函数的增区间为（  ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先求解原函数的定义域，然后根据复合函数单调性分析求解即可. 【解析】对于函数，有，解得，即函数的定义域为， 因为内层函数在上递增，在上递减， 外层函数在上为减函数， 因此，函数的增区间为. 故选：B. 42．（多选）已知幂函数的图像经过点，则下列结论正确的有（  ） A．为增函数 B．若，则 C．为偶函数 D．若，则 【答案】ABD 【分析】根据幂函数经过点，求出幂函数的解析式，利用幂函数的性质可直接判断选 项A，C，D正误；对于选项B，根据函数解析式分别表示出，再利用不等式的性质比较大小即可. 【解析】由幂函数的图像经过点，得，所以. ，定义域为， 对于A选项：因为，由幂函数的性质得A选项正确； 对于B选项：若，则 ， 所以， 又， 所以，故B选项正确； 对于C选项：由于定义域不关于数字0对称，故C选项不正确； 对于D选项：因为为增函数，若，则，故D选项正确； 故选：ABD. 43.函数的单调减区间为 ； 【答案】 【分析】先求解原函数的定义域，然后根据复合函数单调性分析求解即可. 【解析】令，则可以看作是由与复合而成的函数. 令，得或. 易知在上是减函数，在上是增函数，而在上是增函数， 所以的单调递减区间为. 故答案为：. 题型十：利用幂函数的单调性比较幂值的大小 44.已知，，，则的大小关系是（  ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据幂函数在上的单调性即可求得结果. 【解析】幂函数在上是减函数     ，即： 故选：C 45.如图，已知幂函数在上的图象分别是下降，急速上升，缓慢上升，则（  ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由幂函数在内的单调性以及增长速度和指数幂的关系即可判断. 【解析】由题意结合图象可知. 故选：B. 46．已知，，，则a，b，c的大小关系是（  ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据幂函数单调性分析判断即可. 【解析】因为在R上单调递增，所以，即， 又因为，又且在上单调递增， 所以，，所以. 故选：A. 47.设，，，则（  ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】将，，换算成幂函数的形式，然后根据函数的单调性求解. 【解析】由题意可知，，， 因为在上是增函数，且， 所以． 故选：C. 48.已知，则a，b，c的大小关系为（  ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用幂函数的单调性比较大小即可. 【解析】, 幂函数在上单调递增， 因为, 所以, 即, 所以, 故选：D. 题型十一：利用幂函数的单调性解不等式 49.满足的实数m的取值范围是（  ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据幂函数的单调性结合函数值的正负，将所求不等式转化为关于的一次不等式组，求解即可. 【解析】幂函数在为减函数，且函数值为正， 在为减函数，且函数值为负， 等价于， 或或， 解得或或， 所以不等式的解集为. 故选：D. 50.已知幂函数是定义域上的奇函数，则满足的实数的取值范围为（  ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据幂函数的定义及性质确定幂函数的奇偶性与单调性即可解不等式. 【解析】因为为幂函数，所以，解得或， 当时，，此时为偶函数，不符合题意； 当时，，此时为奇函数，符合题意； 所以，则的定义域为，且函数在上单调递减， 则在上单调递减， 所以不等式， 即或或， 解得或无解或， 所以实数的取值范围为. 故选：C 51．不等式的解为 . 【答案】 【分析】根据幂函数的性质确定幂函数的奇偶性与单调性即可解不等式. 【解析】幂函数的定义域为，且函数在上单调递增， 又，则为偶函数，所以在上单调递减， 则由不等式可得，平方后整理得， 即，解得，则不等式的解集为. 故答案为：. 52．实数满足，则实数的取值集合为 . 【答案】 【分析】首先分析出幂函数的定义域和单调性，然后可解出不等式. 【解析】，其定义域为，且在定义域上单调递减， 因为，所以，解得 故答案为： 53．已知幂函数，若，则的取值范围是 ． 【答案】 【分析】首先分析出幂函数的定义域和单调性，然后可解出不等式. 【解析】因为的定义域为，且在上单调递增， 所以由可得：，解得： 故答案为： 54．已知函数.若该函数图象经过点 ，满足条件的实数的取值范围是 . 【答案】 【分析】首先分析出幂函数的定义域和单调性，然后可解出不等式. 【解析】由已知，所以， 又是正整数，故解得，即，函数定义域是， 易知是增函数， 所以由得，解得. 故答案为: 55．设函数，如果，则的取值范围是 . 【答案】 【分析】通过分和两种情况进行讨论，从而可求出的取值范围. 【解析】因为，所以或， 解得或，所以的取值范围是. 故答案为：. 56.已知幂函数为奇函数. (1)求函数的解析式； (2)若，求a的取值范围. 【答案】(1).(2). 【分析】（1）根据幂函数的定义及奇函数定义求参即可，（2）根据单调性求不等式. 【解析】（1）由题意，幂函数， 可得，     即，解得或，     当时，函数为奇函数，     当时，为非奇非偶函数，     因为为奇函数，所以. （2）由（1）知，可得在上为增函数， 因为，所以，     解得，     所以a的取值范围为. 57.已知幂函数在上单调递减． (1)求函数的解析式； (2)若，求的取值范围． 【答案】(1);(2)． 【分析】（1）根据函数是幂函数，单调性计算求参即可. （2）根据单调性求不等式. 【解析】（1）由幂函数在上单调递减， 可得，解得，所以． （2）由函数图象关于轴对称，且在上单调递增， 则可化为，平方得， 化简得，解得，所以的取值范围是． 题型十二：利用幂函数的图象与性质求参数 58.已知幂函数的图象在上单调递减，则a的取值是（  ） A．1 B． C．1或 D．0 【答案】A 【分析】利用幂函数的定义和单调性列式计算即得. 【解析】由幂函数的图象在上单调递减， 得，所以. 故选：A. 59.已知幂函数是奇函数，且在上是增函数，则满足条件的不同有（  ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】A 【分析】根据幂函数定义确定，确定或，再根据条件：函数在上是增函数，确定，确定或，再根据函数为奇函数验证的值即可求解. 【解析】因为函数幂函数， 所以，解得或， 因为函数在上是增函数， 所以，解得，所以（舍去）， 因为函数是奇函数，当时，幂指数，不合题意； 当时，幂指数，为奇函数，符合题意； 所以满足条件的为. 故选：A. 60．已知幂函数在区间上是单调增函数，且的图象关于y轴对称，则m的值为（  ） A． B．0 C．1 D．2 【答案】C 【分析】根据函数的单调性得到，代入验证函数的奇偶性得到答案. 【解析】幂函数在区间上是单调增函数，故， 解得，， 当时，不满足条件； 当时，满足条件； 当时，不满足条件； 故选：C. 61．已知幂函数为奇函数，且在区间上单调递增，则等于___________ 【答案】1或3 【分析】根据幂函数为奇函数，且在区间上单调递增可得答案. 【解析】因为在区间上单调递增，所以，解得， 又因为，所以，且为奇函数，所以， 故答案为：1或3 62.已知幂函数为偶函数，且在上单调递减，则实数的值_________ 【答案】 【分析】由幂函数的图像特征及函数的奇偶性，单调性可求解. 【解析】由幂函数为偶函数，即且为偶数， 解得，所以，且在上单调递减，满足题意， 故答案为： 题型十三 ：幂函数的奇偶性的应用 63.若幂函数的图象关于轴对称，则（  ） A．或4 B． C．4 D．2 【答案】C 【分析】根据幂函数的定义与性质分析运算. 【解析】若幂函数，则，解得或， 且幂函数的图象关于轴对称，则为偶数，故. 故选：C． 64．已知幂函数为偶函数，则实数的值为 . 【答案】 【分析】根据幂函数定义和奇偶性直接求解即可. 【解析】为幂函数，，解得：或； 当时，为偶函数，满足题意； 当时，为奇函数，不合题意； 综上所述：. 故答案为：. 题型十四：幂函数的单调性和奇偶性的综合应用 65.幂函数是偶函数，在上是减函数，则整数的值为（  ） A．0 B．1 C．0或1 D．2 【答案】A 【分析】由题意知幂函数是偶函数，且在上单调递减,可得答案. 【解析】因为幂函数在上是减函数，所以，解得， 又，所以或， 当时，定义域为，且，所以是偶函数，满足题意； 当时，定义域为，而，所以是奇函数，不满足题意，舍去；综上，. 故选：A 66.幂函数是偶函数，且在（0，+∞）上是减函数，则m的值为（  ） A．﹣6 B．1 C．6 D．1或﹣6 【答案】B 【分析】由题意知幂函数是偶函数，且在上单调递减,可得答案. 【解析】∵幂函数是偶函数，且在（0，+∞）上是减函数， ∴，且为偶数或 当时，满足条件；当时，，舍去因此：m＝1 故选：B 67.已知函数是幂函数，对任意的且，满足，若，则的值（  ） A．恒大于0 B．恒小于0 C．等于0 D．无法判断 【答案】B 【分析】由题意知可判断为上单调递增的奇函数可得答案. 【解析】∵函数是幂函数，∴，解得或， ∵对任意的且，满足， ∴在上为增函数，故，即， ∵，∴为上单调递增的奇函数， ∵，∴， ∴，故. 故选：B. 68.幂函数的图象关于y轴对称，解析式的幂的指数为整数, 在上单调递减，则（  ） A． B．或 C． D．或 【答案】D 【分析】由题意知是偶函数，在上单调递减,可得为正偶数，再根据的范围可得答案. 【解析】由题意知是偶函数，因为在上单调递减, 所以为正偶数， 又， ∴，解得或． 故选：D． 69.已知幂函数为偶函数，且在上单调递减． (1)求m和k的值； (2)求满足的实数a的取值范围． 【答案】(1)，或；(2) （2）结合（1）可得，即为，利用幂函数的性质，分类求解不等式，即可求得答案. 【解析】（1）由函数为幂函数， 则，解得或； 由在上单调递减， 得，解得，而，故或2， 当时，，定义域为，且为偶函数，符合题意； 当时，，定义域为，函数为奇函数，不符合题意； 故，或； （2）结合（1）可知，即为， 故或或， 解得或或， 故实数a的取值范围为. 题型十五：幂函数性质的综合运用 70.已知幂函数的图象关于轴对称，且在上单调递减，则满足的实数的取值范围为（  ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】因为函数在上单调递减， 所以，又， 所以， 因为函数的图象关于轴对称， 所以为偶数， 所以， 函数的定义域为， 且函数在和上单调递减， 当时，，当时，， 所以不等式可化为 或或， 所以或， 所以的取值范围为. 故选：C. 71.（多选）已知幂函数的图象经过点，则（  ） A．的最小值为0 B．为偶函数 C．若，则 D．是在上的减函数 【答案】ACD 【分析】根据幂函数的定义及性质逐一判断选项即可. 【解析】∵函数是幂函数，∴设. ∵幂函数的图象经过点，∴，∴，∴. ∵，当且仅当时等号成立，∴的最小值为0，故选项A正确； ∵的定义域为，关于原点不对称，∴函数是非奇非偶函数，故选项B错误； ∵，∴. ∵，∴， ∴，∴，故选项C正确； ∵， ∴由函数单调性的性质可知：函数是在上的减函数，故选项D正确. 故选：ACD. 72.已知幂函数的图象关于轴对称，且在上单调递减，则满足的的取值范围为 . 【答案】 【分析】根据幂函数的单调性和奇偶性得到，代入不等式得到，根据函数的单调性解得答案. 【解析】幂函数在上单调递减，故，解得. ，故，，. 当时 ，不关于轴对称，舍去； 当时 ，关于轴对称，满足； 当时 ，不关于轴对称，舍去； 故，，函数在和上单调递减， 故或或，解得或. 故答案为： 73.已知函数为幂函数，且在上单调递减. (1)求实数的值； (2)若函数，判断函数在上的单调性，并证明. 【答案】(1)；(2)函数在上单调递增，证明见详解. 【分析】（1）根据幂函数的定义及函数单调性求参即可.（2）利用单调性定义进行证明. 【解析】（1）函数为幂函数， ，即，或， 当时，，此时在上单调递增，不符合题意， 当时，，此时在上单调递减，符合题意， 实数的值为； （2）由(1)可知，， 函数在上单调递增，证明如下： 任取，且， 则， ，，， ，即， 函数在上单调递增. 74.已知幂函数在上单调递增. (1)求实数的值； (2)若对任意，恒成立，求实数的取值范围. 【答案】(1)(2) 【分析】（1）根据幂函数的定义及函数单调性求参即可.（2）利用分参法即可求解. 【解析】（1）依题意，解得或； 当时，在区间上单调递减，不合题意，舍去； 当时，在区间上单调递增，符合题意， 所以； （2）由（1）知， 则问题为对任意恒成立， 即，， 由于的最小值为， 所以，即实数的取值范围为. 75．已知幂函数的图象经过点. (1)求的解析式. (2)设函数 ①判断的奇偶性； ②若在上恒成立，求的取值范围. 【答案】(1);(2)①奇函数，证明见解析；② 【分析】（1）代入点求参即可.（2）①根据函数奇偶性的定义判断即可;②转化为研究函数的最值即可求解. 【解析】（1）解：幂函数的图象经过， ，解得， ； （2）①由，可得，其定义域为. 对于任意，,所以是奇函数.   ②由（1）得． 任取，，且， 则 ． 因为，所以，，所以，即． 所以函数在单调递增， 所以在上，． 因为在上恒成立， 所以，解得． 所以的取值范围为． 76.已知幂函数的图象关于轴对称，函数． (1)判断在上的单调性并证明； (2)设函数，．若，，求的取值范围． 【答案】(1)函数在上单调递增；证明见解析(2) 【分析】（1）根据幂函数的定义及图象关于轴对称求参即可.（2）根据，转化为的值域为值域的子集即可求解. 【解析】（1）由，所以或， 由幂函数的图象关于轴对称，所以. 故. 所以. 函数在上单调递增，下面用单调性定义证明： 设， 则. 因为，所以，，，所以， 所以，即. 所以函数在上单调递增. （2）因为函数在上单调递增，且， 所以，. 对，. 当即时，在上单调递增，所以， 由. 当即时，在上单调递减，在上单调递增，所以. 由，无解. 当即时，在上单调递减，所以， 由，这与矛盾，无解. 综上可知：. 故的取值范围是：. 77.已知幂函数在上单调递减. (1)求的值并写出的解析式； (2)已知，，若对任意的，总存在，使成立，求实数的取值范围. 【答案】(1)，;(2)或. 【分析】（1）根据幂函数的定义及函数单调性求参即可.（2）根据对任意的，总存在，使成立转化为的值域为值域的子集.即可求解. 【解析】（1）因为幂函数在上单调递减， 所以 解得：， 所以. （2）， 当时，， 易得的值域为. ，总存在，使， 的值域为值域的子集. ， ①当时，， 则； ②当时，， 则； ③当时，，不符合题意. 综上，或. 题型十六：幂函数与其他章节的融合 78.已知幂函数在上是减函数，则的解集为（  ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据是幂函数且在上是减函数求出的值，再将所求不等式两边同时平方求出的范围. 【解析】是幂函数， ，解得或， 当时，不满足在上是减函数， 当时，满足在上是减函数， ， 将不等式的两边同时平方得，，解得， 的解集为. 故选：A. 79.已知函数，是上的减函数，则a的取值范围是（  ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据函数的单调性列不等式，由此求得的取值范围. 【解析】依题意，在上单调递减， 所以，解得， 所以的取值范围是 故选：C 80.已知幂函数在上满足，函数. (1)求的值； (2)当时，记，的值域分别为A、B，设p：，q：，若p是q成立的必要不充分条件，求实数k的取值范围. 【答案】(1);(2) 【分析】（1）根据幂函数的定义及函数单调性求参即可.（2）根据p是q成立的必要不充分条件转化为集合之间的关系即可求解. 【解析】（1）由幂函数，得，解得或， 由幂函数在上满足，得在上单调递增， 则，而时，，不符合题意， 当时，，符合题意， 所以. （2）由（1）知，，当时，，则， 函数在上单调递增，，则， 由p是q成立的必要不充分条件，得，则或， 解得或，因此， 所以实数k的取值范围是. 81.已知幂函数，且． (1)求的解析式； (2)若函数，且，a，b均为正数，求的最小值． 【答案】(1);(2)8． 【分析】（1）根据幂函数的定义及求参即可.（2）根据基本不等式求最值. 【解析】（1）因为幂函数，所以，解得或． 当时，，满足， 当时，，不满足，所以． （2）由（1）得．由，得． 因为， 所以． 又a，b均为正数，所以， 当且仅当时，等号成立， 所以，即的最小值为8． 82．已知幂函数的图象关于轴对称，且在上是减函数. (1)求和的值； (2)若实数满足，求的最小值. 【答案】(1)或， (2)2 【分析】（1）根据幂函数得到，根据单调性得到，则根据函数为偶函数验证得到答案. （2）确定得到，变换，展开利用均值不等式计算得到答案. 【解析】（1）幂函数，则，解得或， 幂函数在上是减函数，故，解得， ，故或，幂函数图象关于轴对称， 当时，，图象关于轴对称，符合题意； 当时，，图象关于原点对称，不合题意， 综上所述：或，； （2），，则， . 当且仅当，，即时等号成立. 所以的最小值是2. 1 / 6 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题01 幂函数十六种常考题型 题型一：幂函数的概念辨析 题型二：求幂函数的函数值、解析式 题型三：利用函数是幂函数求参数值 题型四：求幂函数的定义域 题型五：幂函数的值域问题 题型六：幂函数的图象及应用 题型七：幂函数的图象过定点问题 题型八：幂函数单调性的判断 题型九：与幂函数相关的复合函数单调性的判断 题型十：利用幂函数的单调性比较幂值的大小 题型十一：利用幂函数的单调性解不等式 题型十二：利用幂函数的图象与性质求参数 题型十三 ：幂函数的奇偶性的应用 题型十四：幂函数的单调性和奇偶性的综合应用 题型十五：幂函数性质的综合运用 题型十六：幂函数与其他章节的融合 题型一：幂函数的概念辨析 1.下列函数是幂函数的是（  ） A． B． C． D． 2.现有下列函数：①；②；③；④；⑤，其中幂函数的个数为（  ） A．4 B．3 C．2 D．1 3.下面的函数中是幂函数的有（  ） ①；②；③；④；⑤． A．①⑤ B．①②③ C．②④ D．②③⑤ 4.（多选）下列函数中是幂函数的是（  ） A． B． C． D． 题型二：求幂函数的函数值、解析式 5.已知幂函数的图象过点，则（  ） A．2 B．8 C． D．16 6.若幂函数的图象过点，则该幂函数的解析式是（  ） A． B． C． D． 7．已知是常数，幂函数的图象经过原点，则（  ） A． B． C．3 D．9 9.已知幂函数的图象过点，则 ． 10.已知幂函数满足，则的值为___________ 题型三：利用函数是幂函数求参数值 11.函数是幂函数，则实数的值是（  ） A． B． C．或 D．且 12.若函数，则“”是“是幂函数”的（  ） A．充要条件 B．必要不充分条件 C．充分不必要条件 D．既不充分也不必要条件 13．已知幂函数的图象不过原点，则实数的值为（  ） A． B． C． D．或 14.已知幂函数的图象经过点，则（  ） A． B． C． D． 15.己知幂函数的图象过点，则 . 题型四：求幂函数的定义域 16.下列函数中定义域为的是（  ） A． B． C． D． 17.幂函数的定义域是（  ） A．R B． C． D． 18．幂函数图象过点，则的定义域为（  ） A． B． C． D． 19.已知幂函数的定义域是，则 ． 20.已知幂函数的图象过点，则的定义域为 ． 题型五：幂函数的值域问题 21.在下列函数中，定义域和值域不同的是（  ） A． B． C． D． 22.下列四组函数中，同组两个函数的值域相同的是（  ） A．与 B．与 C．与 D．与 23．已知是幂函数，则“是正偶数”是“的值域为”的（  ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 24.下列四个幂函数：①；②；③；④的值域为同一区间的是 .（只需填写正确答案的序号） 25.已知函数，若函数的值域为，则实数的取值范围为_______________ 题型六：幂函数的图象及应用 26.图中、、为三个幂函数在第一象限内的图象，则解析式中指数的值依次可以是（  ） A．、3、 B．、3、 C．、、3 D．、、3 27.下列图象中，最符合函数的图象的是（  ） A． B． C． D． 28．已知常数，如图为幂函数的图象，则的值可以是（  ） A． B． C． D． 29.下面给出4个幂函数的图像，则图像与函数大致对应的是（  ） A．①，②，③，④ B．①，②，③，④ C．①，②，③，④ D．①，②，③，④ 30.已知函数，若，则函数的图象是（  ） A．   B．   C．     D．   31.(多选)下列幂函数中满足条件的函数是（  ） A． B． C． D． 题型七：幂函数的图象过定点问题 32.函数的图象过定点（  ） A． B． C． D． 33.若函数与图象关于对称，且，则必过定点（  ） A． B． C． D． 34．已知幂函数的图象过函数的图象所经过的定点，则的值等于（　　） A． B． C．2 D． 35.已知函数的图象恒过定点，若点在一次函数的图象上，其中，，则的最小值为 . 题型八：幂函数单调性的判断 36.下列函数中，是偶函数且在上为减函数的是（  ） A． B． C． D． 37.下列函数是幂函数且在是增函数的是（  ） A． B． C． D． 38．(多选)下列函数中，满足“，，且，，都有”的是（  ） A． B． C． D． 39.(多选)下列函数中，在区间单调递减的是（  ） A． B． C． D． 题型九：与幂函数相关的复合函数单调性的判断 40.已知幂函数的图象过点，则函数的单调递增区间为（  ） A． B． C． D． 41.函数的增区间为（  ） A． B． C． D． 42．（多选）已知幂函数的图像经过点，则下列结论正确的有（  ） A．为增函数 B．若，则 C．为偶函数 D．若，则 43.函数的单调减区间为 ； 题型十：利用幂函数的单调性比较幂值的大小 44.已知，，，则的大小关系是（  ） A． B． C． D． 45.如图，已知幂函数在上的图象分别是下降，急速上升，缓慢上升，则（  ） A． B． C． D． 46．已知，，，则a，b，c的大小关系是（  ） A． B． C． D． 47.设，，，则（  ） A． B． C． D． 48.已知，则a，b，c的大小关系为（  ） A． B． C． D． 题型十一：利用幂函数的单调性解不等式 49.满足的实数m的取值范围是（  ） A． B． C． D． 50.已知幂函数是定义域上的奇函数，则满足的实数的取值范围为（  ） A． B． C． D． 51．不等式的解为 . 52．实数满足，则实数的取值集合为 . 53．已知幂函数，若，则的取值范围是 ． 54．已知函数.若该函数图象经过点 ，满足条件的实数的取值范围是 . 55．设函数，如果，则的取值范围是 . 56.已知幂函数为奇函数. (1)求函数的解析式； (2)若，求a的取值范围. 57.已知幂函数在上单调递减． (1)求函数的解析式； (2)若，求的取值范围． 题型十二：利用幂函数的图象与性质求参数 58.已知幂函数的图象在上单调递减，则a的取值是（  ） A．1 B． C．1或 D．0 59.已知幂函数是奇函数，且在上是增函数，则满足条件的不同有（  ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 60．已知幂函数在区间上是单调增函数，且的图象关于y轴对称，则m的值为（  ） A． B．0 C．1 D．2 61．已知幂函数为奇函数，且在区间上单调递增，则等于___________ 62.已知幂函数为偶函数，且在上单调递减，则实数的值_________ 题型十三 ：幂函数的奇偶性的应用 63.若幂函数的图象关于轴对称，则（  ） A．或4 B． C．4 D．2 64．已知幂函数为偶函数，则实数的值为 . 题型十四：幂函数的单调性和奇偶性的综合应用 65.幂函数是偶函数，在上是减函数，则整数的值为（  ） A．0 B．1 C．0或1 D．2 66.幂函数是偶函数，且在（0，+∞）上是减函数，则m的值为（  ） A．﹣6 B．1 C．6 D．1或﹣6 67.已知函数是幂函数，对任意的且，满足，若，则的值（  ） A．恒大于0 B．恒小于0 C．等于0 D．无法判断 68.幂函数的图象关于y轴对称，解析式的幂的指数为整数, 在上单调递减，则（  ） A． B．或 C． D．或 69.已知幂函数为偶函数，且在上单调递减． (1)求m和k的值； (2)求满足的实数a的取值范围． 题型十五：幂函数性质的综合运用 70.已知幂函数的图象关于轴对称，且在上单调递减，则满足的实数的取值范围为（  ） A． B． C． D． 71.（多选）已知幂函数的图象经过点，则（  ） A．的最小值为0 B．为偶函数 C．若，则 D．是在上的减函数 72.已知幂函数的图象关于轴对称，且在上单调递减，则满足的的取值范围为 . 73.已知函数为幂函数，且在上单调递减. (1)求实数的值； (2)若函数，判断函数在上的单调性，并证明. 74.已知幂函数在上单调递增. (1)求实数的值； (2)若对任意，恒成立，求实数的取值范围. 75．已知幂函数的图象经过点. (1)求的解析式. (2)设函数 ①判断的奇偶性； ②若在上恒成立，求的取值范围. 76.已知幂函数的图象关于轴对称，函数． (1)判断在上的单调性并证明； (2)设函数，．若，，求的取值范围． 77.已知幂函数在上单调递减. (1)求的值并写出的解析式； (2)已知，，若对任意的，总存在，使成立，求实数的取值范围. 题型十六：幂函数与其他章节的融合 78.已知幂函数在上是减函数，则的解集为（  ） A． B． C． D． 79.已知函数，是上的减函数，则a的取值范围是（  ） A． B． C． D． 80.已知幂函数在上满足，函数. (1)求的值； (2)当时，记，的值域分别为A、B，设p：，q：，若p是q成立的必要不充分条件，求实数k的取值范围. 81.已知幂函数，且． (1)求的解析式； (2)若函数，且，a，b均为正数，求的最小值． 82．已知幂函数的图象关于轴对称，且在上是减函数. (1)求和的值； (2)若实数满足，求的最小值. 1 / 11 学科网（北京）股份有限公司 $