午练半小时 第14练 函数的奇偶性（配套教参Word）-【步步高】2025-2026学年高一数学必修第一册学习笔记（苏教版）

**基本信息** 聚焦函数奇偶性的定义理解、性质应用及综合拓展，通过阶梯式题型构建从概念到应用的逻辑链条，培养逻辑推理与运算能力。 **专项设计** |模块|题量/典例|题型特征|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |概念理解|3题（题1-3）|判断奇偶性、已知奇偶性求参数、求对称区间解析式|以定义域对称性为起点，通过定义推导（f(-x)与f(x)关系）构建概念认知| |性质应用|4题（题4-7）|奇偶性与单调性结合、抽象函数求值、参数求解|结合单调性转化不等式，利用奇函数性质拆分复杂函数，体现性质迁移| |综合拓展|3题（题8-10）|解不等式、函数解析式综合、存在性问题|整合奇偶性、单调性与二次函数知识，通过符号运算与逻辑推理解决综合问题|

第14练　函数的奇偶性 (分值：60分) 一、选择题(单选题每小题5分，多选题每小题6分，共26分) 1.函数y=(　　) A.是奇函数但不是偶函数 B.是偶函数但不是奇函数 C.既是奇函数又是偶函数 D.既不是奇函数又不是偶函数 答案　D 解析　定义域是(-∞，-1)∪(-1，+∞)，不关于原点对称，所以该函数既不是奇函数又不是偶函数. 2.若函数f(x)=ax2+bx+1是定义在[-1-a，2a]上的偶函数，则a+b 等于(　　) A.-1 B.1 C.2 D.-2 答案　B 解析　若函数f(x)=ax2+bx+1是定义在[-1-a，2a]上的偶函数，则解得 所以a+b=1. 3.已知f(x)是奇函数，且当x>0时，f(x)=x-2 025，则当x<0时，f(x)的解析式是(　　) A.f(x)=x+2 025 B.f(x)=-x+2 025 C.f(x)=-x-2 025 D.f(x)=x-2 025 答案　A 解析　设x<0，则-x>0， 所以f(-x)=-x-2 025， 又因为f(x)是奇函数， 所以f(x)=-f(-x)=x+2 025. 4.(多选)已知函数f(x)在区间[-5，5]上是偶函数，在区间[0，5]上单调递减，则(　　) A.f(0)>f(-1) B.f(-1)<f(-3) C.f(-1)<f(1) D.f(-3)>f(5) 答案　AD 解析　因为函数f(x)在区间[-5，5]上是偶函数，在区间[0，5]上单调递减， 所以f(x)在[-5，0]上单调递增， 所以f(0)>f(1)=f(-1)>f(-3)>f(-5)=f(5). 5.设定义在R上的奇函数f(x)满足f(x)=x2-4(x>0)，则f(x-2)>0的解集为(　　) A.(-4，0)∪(2，+∞) B.(0，2)∪(4，+∞) C.(-∞，0)∪(4，+∞) D.(-4，4) 答案　B 解析　因为f(x)=x2-4(x>0)， 所以当x>0时，若f(x)>0，则x>2， 又由函数f(x)是定义在R上的奇函数， 当x<0时，-x>0，若f(x)>0，则f(-x)<0， 则0<-x<2，即-2<x<0， 故f(x)>0的解集为(-2，0)∪(2，+∞)， 故f(x-2)>0时，x-2∈(-2，0)∪(2，+∞)， x∈(0，2)∪(4，+∞)， 即f(x-2)>0的解集为(0，2)∪(4，+∞). 二、填空题(每小题5分，共20分) 6.已知f(x)=x7+ax5+bx-5，且f(-3)=5，则f(3)的值为　　　　.  答案　-15 解析　方法一　设g(x)=x7+ax5+bx， 则g(x)为奇函数， 因为f(-3)=g(-3)-5=-g(3)-5=5， 所以g(3)=-10，所以f(3)=g(3)-5=-15. 方法二　f(-3)=(-3)7+a(-3)5+(-3)b-5 =-(37+a·35+3b-5)-10=-f(3)-10=5， 所以f(3)=-15. 7.若函数f(x)=为奇函数，则a=　　　　.  答案　 解析　因为f(x)是奇函数， 所以f(-x)=-f(x)， 因为f(x)== 所以= 所以-(1-2a)=1-2a， 所以1-2a=0，所以a=. 8.函数f(x)是定义在R上的偶函数，且在[0，+∞)上单调递增，若f(3)<f(2a+1)，则a的取值范围是　　　　.  答案　(-∞，-2)∪(1，+∞) 解析　因为函数f(x)在R上是偶函数，且f(3)<f(2a+1)，所以f(3)<f(|2a+1|)， 又函数f(x)在[0，+∞)上是单调递增， 所以3<|2a+1|，解得a>1或a<-2. 9.已知f(x)是偶函数，g(x)是奇函数.若f(x)+g(x)=则f(2)=　　　　.  答案　 解析　由f(x)是偶函数，g(x)是奇函数，可得f(-x)+g(-x)=f(x)-g(x)=. 将上式与f(x)+g(x)=联立， 得f(x)== 所以f(2)=. 三、解答题(共14分) 10.(14分)已知函数f(x)为定义在R上的奇函数，当x≥0时，f(x)=x2+(a+1)x. (1)当a=-2时，求函数f(x)的解析式；(5分) (2)若函数f(x)在[0，+∞)上单调递增， ①求实数a的取值范围；(3分) ②若存在实数t，使不等式f(2t+x2)+f(t2-5x+5)<0成立，求实数x的取值范围.(6分) 解　(1)若a=-2，当x≥0时，f(x)=x2-x， 设x<0，则-x>0， 因为函数f(x)为定义在R上的奇函数， 所以f(x)=-f(-x)=-[(-x)2-(-x)] =-x2-x， 所以f(x)= (2)①因为f(x)在[0，+∞)上单调递增， 所以-≤0，即a≥-1. ②因为函数为奇函数，所以f(x)在R上单调递增， 不等式f(2t+x2)+f(t2-5x+5)<0，根据函数为奇函数，得f(2t+x2)<f(-t2+5x-5)， 所以2t+x2<-t2+5x-5， 整理为t2+2t+x2-5x+5<0，存在实数t，使不等式成立， 所以Δ=4-4(x2-5x+5)>0，即x2-5x+4<0，得1<x<4. 学科网（北京）股份有限公司 $