午练半小时 第15练 函数性质的综合（配套教参Word）-【步步高】2025-2026学年高一数学必修第一册学习笔记（苏教版）

**基本信息** 聚焦函数单调性、奇偶性等性质的综合应用，通过精选典例系统呈现性质判断、最值求解、图像分析的解题方法，培养数学抽象与逻辑推理素养，构建“性质辨析-方法应用-综合迁移”的逻辑链条。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |单调性与最值|1,6,7,8|端点值法求最值、定义法证单调性|从单调性定义到区间最值，结合复合函数单调区间分析| |奇偶性应用|2,3,4,5,9|奇偶性转化、图像对称分析、分类讨论|奇偶性与单调性、周期性综合，实现变量转化与范围确定| |图像与性质综合|2,4,6|数形结合、分段函数图像分析|图像直观反映性质，性质反推图像特征的双向逻辑|

第15练　函数性质的综合 (分值：60分) 一、选择题(单选题每小题5分，多选题每小题6分，共26分) 1.下列函数在[1，4]上最大值为3的是(　　) A.y=+2 B.y=3x-2 C.y=x2 D.y=1-x 答案　A 解析　选项B，C在[1，4]上均单调递增，选项A，D在[1，4]上均单调递减，代入端点值，即可求得最值. 2.函数f(x)=x2(x2-1)的图象大致为(　　) 答案　D 解析　易知f(x)=x2(x2-1)是偶函数，排除A，B； 又f=×<0且f(1)=0，排除C； 故选D. 3.设偶函数f(x)的定义域为R，当x∈(0，+∞)时，f(x)是增函数，则f(-)，f(π)，f(-3)的大小关系是(　　) A.f(π)>f(-3)>f(-) B.f(π)>f(-)>f(-3) C.f(π)<f(-3)<f(-) D.f(π)<f(-)<f(-3) 答案　A 解析　由于f(x)为偶函数，故f(-)=f()，f(-3)=f(3)， 由于当x∈(0，+∞)时，f(x)是增函数，π>3> 故f(π)>f(-3)>f(-). 4.已知f(x)是奇函数且在(0，+∞)上单调递增，f(2)=0，则<0的解集为(　　) A.(-1，0)∪(1，3) B.(-∞，-1)∪(1，3) C.(-1，0)∪(3，+∞) D.(-∞，-1)∪(3，+∞) 答案　A 解析　因为f(x)是奇函数且在(0，+∞)上单调递增，f(2)=0，作出f(x)的示意图， 因为<0，所以xf(x-1)<0， 当x>0时，f(x-1)<0，即0<x-1<2或x-1<-2，解得1<x<3； 当x<0时，f(x-1)>0，即-2<x-1<0或x-1>2，解得-1<x<0， 综上，所求解集为(-1，0)∪(1，3). 5.(多选)已知函数f(x)=则(　　) A.f(x)的定义域是(-∞，1)∪(1，+∞) B.f(x)的值域是R C.f(x+1)是奇函数 D.f(x)在(-∞，1)，(1，+∞)上单调递减 答案　ACD 解析　对于A项，分式中分母不等于0，所以x-1≠0，解得x≠1，所以f(x)的定义域是(-∞，1)∪(1，+∞)，故A项正确； 对于B项，f(x)的值域是(-∞，0)∪(0，+∞)，故B项错误； 对于C项，f(x+1)=令g(x)=定义域为(-∞，0)∪(0，+∞)，g(-x)=-=-g(x)， 所以g(x)是奇函数，即f(x+1)是奇函数，故C项正确； 对于D项，y=的减区间为(-∞，0)，(0，+∞)，将y=的图象向右平移1个单位长度得到f(x)=的图象，故f(x)=在(-∞，1)，(1，+∞)上单调递减，故D项正确. 二、填空题(每小题5分，共20分) 6.函数f(x)=|2x-1|的减区间为　　　　，增区间为　　　　.  答案　　 解析　函数f(x)=|2x-1|=2的图象如图所示，由图可知函数f(x)的增区间为减区间为. 7.已知函数f(x)在区间[-1，1]上是单调函数且f(0)<f(1)，则满足f(x)<f的实数x的取值范围为　　　　.  答案　 解析　由题意知，函数f(x)在区间[-1，1]上单调递增，所以不等式f(x)<f等价于即-1≤x<. 8.已知函数f(x)=(t>0)在区间(0，+∞)上单调递增，则t的取值范围是　　　　.  答案　[1，+∞) 解析　y=x2的增区间为[0，+∞)，y=x的增区间为(-∞，+∞)，若f(x)在(0，+∞)上单调递增， 则所以t≥1. 9.若定义在R上的函数f(x)是偶函数，且f(1+x)+f(1-x)=0，当x∈[0，1]时，f(x)=1-x，则f(5)=　　　　.  答案　0 解析　因为f(1+x)+f(1-x)=0，所以f(1+x)=-f(1-x)， 又因为f(x)是偶函数，故f(1-x)=f(x-1)，则f(x+1)=-f(x-1)，则f(x)=-f(x-2). 又f(-x)=-f(-x-2)=-f(x+2)，f(x-2)=f(x+2)， 故f(x)=f(x+4)，则f(5)=f(1)=1-1=0. 三、解答题(共14分) 10.(14分)设函数f(x)是定义在[-1，0)∪(0，1]上的奇函数，当x∈(0，1]时f(x)=-x2+(a∈R). (1)当x∈[-1，0)时，求出函数的解析式；(5分) (2)当a<-2时，试判断函数f(x)在(0，1]上的单调性，并证明.(9分) 解　(1)当x∈[-1，0)时，-x∈(0，1]， 则f(-x)=-(-x)2-=-x2-. 因为函数f(x)为奇函数，所以f(-x)=-f(x)， 所以f(x)=x2+(x∈[-1，0)). (2)当a<-2时，f(x)在(0，1]上单调递增. 证明如下，设任意x1，x2∈(0，1]，且x1<x2. 则f(x1)-f(x2)=-+- =-+- =·[x1x2(x2+x1)+a]. 因为x1，x2∈(0，1]，且x1<x2， 所以>0，x1x2(x2+x1)∈(0，2). 又因为a<-2， 所以x1x2(x2+x1)+a<0. 所以f(x1)-f(x2)<0，即f(x1)<f(x2). 所以当a<-2时，函数f(x)在(0，1]上单调递增. 学科网（北京）股份有限公司 $