重难点专题08 函数的奇偶性（专项训练）数学苏教版高一必修第一册

重难点专题08 函数的奇偶性 重难点一判断函数的奇偶性 核心前提：定义域关于原点对称（定义域不对称则直接非奇非偶）。 解题方法： 定义法：若则为偶函数；若则为奇函数； 图象法：关于y轴对称为偶函数，关于原点对称为奇函数； 分段函数：分别验证（奇函数必备）； 构造法：可通过图象平移转化原函数对称中心判断。 1.设函数，则下列函数中为奇函数的是(    ) A. B. C. D. 【答案】B  【解析】【分析】 本题考查了函数奇偶性和函数的图象变换，解题的关键是确定的对称中心，考查了逻辑推理能力，属于中档题． 先根据函数的解析式，得到的对称中心，然后通过图象变换，使得变换后的函数图象的对称中心为，从而得到答案． 【解答】 解：因为， 所以函数的对称中心为， 所以将函数向右平移一个单位，向上平移一个单位， 得到函数，该函数的对称中心为， 故函数为奇函数． 故选：． 2.下列函数中，既是奇函数又是增函数的是(    ) A. B. C. D. 【答案】D  【解析】【分析】 本题考查函数的单调性与奇偶性，考查学生分析解决问题的能力，属于基础题． 根据题意，逐个判断即可． 【解答】 解：对于，函数为增函数，但不是奇函数，不满足题意； 对于，对于函数，，则函数为偶函数，不满足题意； 对于，函数在定义域的两个区间分别为减函数，不满足题意； 对于，函数，即为，其定义域为，图象如下： 则函数的图象关于原点对称，显然是奇函数，且单调递增，满足题意． 故选D． 3.下列函数中是奇函数的为(    ) A. B. C. D. 【答案】B  【解析】【分析】 根据题意，依次分析选项中函数的奇偶性，综合即可得答案． 本题考查函数奇偶性的判断，注意函数的定义域，属于基础题． 【解答】 解：根据题意，依次分析选项： 对于，，为对称轴为轴的二次函数，是偶函数，不符合题意， 对于，，其定义域为，有，是奇函数，符合题意， 对于，，是对称轴的二次函数，既不是奇函数又不是偶函数，不符合题意， 对于，，是一次函数，不经过原点，既不是奇函数又不是偶函数，不符合题意， 故选：． 4.已知函数则下列结论中正确的是(    ) A. B. 若，则 C. 是奇函数 D. 在上单调递减 【答案】CD  【解析】【分析】 本题考查函数的性质以及分段函数问题的处理方法，属于中档题． 通过代入计算、解方程、奇偶函数的定义以及函数的单调性性质，结合分段函数的性质逐项计算、判断即可． 【解答】 解：，故A错误； 由得，或舍，解得，故B错误； 当时，，故，， 同理可知当时，也有，且，故是奇函数，故C正确； 当时，在上单调递减，且，当时，单调递减，且，故在上单调递减，故D正确． 故选CD． 5.下列函数中，既是奇函数又在区间是增函数的是(    ) A. B. C. D. 【答案】BD  【解析】【分析】 本题主要考查常见函数单调性及奇偶性的判断，属于基础题． 根据常见函数的性质逐项判断即可． 【解答】 解：对于，函数为偶函数，不合题意； 对于，函数为奇函数，且在区间上单调递增，符合题意； 对于，函数为奇函数，在上单调递减，在上单调递增，不合题意； 对于，函数为奇函数，又在上单调递增，在上单调递减，则函数在上单调递增，符合题意； 故选：． 6.已知定义在上的函数的图象是连续不断的，且满足以下条件：，，，当时，则下列选项成立的是(    ) A. 在上单调递减， B. C. 若，则 D. 若，则 【答案】AD  【解析】【分析】 本题考查函数单调性与奇偶性的应用，属于中档题． 由题意得在上单调递增，结合奇偶性可判断；，可判断；，结合单调性求解，可判断；由条件得，当时，，当时，，当时，，分类讨论即可判断． 【解答】 解：由，，，得：在上单调递增， 由，得：函数是上的偶函数， 所以在上单调递减，A正确 ，不正确 ，则有，解得，不正确 ，结合函数单调性可得，当时，，当时，，当时，， 化为：或 ，     解得或，即，D正确． 故选：． 7.下列函数中，既是偶函数又在区间上为增函数的是(    ) A. B. C. D. 【答案】BD  【解析】【分析】 本题主要考查函数奇偶性和单调性，属于基础题． 利用偶函数的特点以及函数的单调性，即可求解． 【解答】 解：：，该函数为一次函数，不是偶函数，所以选项A错误； ：，该函数为二次函数，且对称轴为轴，所以为偶函数，开口向上，所以在区间上为增函数，所以选项B正确； ：，该函数为反比例函数，为奇函数，所以选项C错误； ：令，定义域为，且， 故为偶函数，当时，，在区间上为增函数，所以选项D正确． 故选BD． 8.已知函数，则(    ) A. 是奇函数 B. 在上单调递增 C. 函数的值域是， D. 方程有两个实数根 【答案】BC  【解析】【分析】 本题考查了函数的单调性，奇偶性问题，考查数形结合思想，转化思想，属于中档题． 根据函数的奇偶性判断，根据函数的单调性判断，结合图象判断，即可． 【解答】 解：对于：，不是奇函数，故A错误； 对于：时，在递增，故B正确； 对于，，画出函数和的图象，如图示： ， 显然函数的值域是，，故C正确， 和的图象有个交点，故D错误； 故选：． 9.函数，在区间上的最大值为，最小值为，则          ． 【答案】  【解析】【分析】 本题主要考查函数的奇偶性，结合条件构造奇函数，利用奇函数最值性质进行转化是解决本题的关键． 设，则为奇函数，则根据奇函数与最值性质进行求解即可． 【解答】 解：设， ， 则是奇函数， 在区间上的最大值为， 即， 在区间上的最小值为， 即， 是奇函数， ， 则， 故答案为：． 10.已知函数，且，． 求的解析式并判断的奇偶性； 讨论在上的单调性； 求不等式的解集． 【答案】解：因为函数，且，， 所以，解得，， 所以，， ，即为奇函数； ，根据对勾函数单调性可知， 在上单调递减，在上的单调递增， 故在上单调递增，在上的单调递减； 不等式可得， 因为，整理得， 解得， 故不等式的解集为  【解析】详细解答和解析过程见【答案】 11.已知函数． 若，判断的奇偶性并加以证明； 当时，用定义法判断并证明函数在上的单调性． 若对任意，恒成立，求实数的取值范围． 【答案】解：函数为奇函数． 因为， 定义域为关于原点对称， 且， 所以为奇函数； 当时，函数在上单调递增． 证明：当时， 任取且， 有 ， 又， ， 所以函数在上单调递增； 若对任意恒成立， 则 所以问题转化为大于函数在上的最大值． 且函数在上单调递减， 所以最大值为， 故实数的取值范围是．   12.已知函数，． 判断函数在区间上的单调性，并证明你的结论； 判断函数的奇偶性，并求解关于的不等式． 【答案】解：函数在区间上是增函数， 证明如下：设， 所以 ， 因为，所以，，，， 所以，即， 所以函数在区间上是增函数； 设，则， 则， 所以，为奇函数， 由函数是定义在上的奇函数且， 则， 所以即解得， 则不等式的解集为．  13.已知函数． 判断函数的奇偶性并给予证明； 若函数满足，判断函数在区间的单调性，并用单调性的定义证明． 【答案】解：函数是奇函数，证明如下： 定义域为 又， 是定义在的奇函数； ，即，解得， ，，且， 则 ，且， ，，，， ， 在区间单调递减．  【解析】本题考查函数的单调性证明，函数的奇偶性判断、证明，属于中档题． 判断函数的定义域，再根据奇偶性的定义判断即可； 根据条件可得的值，即可得函数的解析式，再利用函数单调性的定义，取值、作差、变形、判断即可得函数的单调性． 重难点二利用函数的奇偶性求解析式 核心思路：“知一侧求另一侧”，借助转化。 解题步骤： 设所求区间内的； 利用已知区间； 由奇偶性得（奇函数），化简得解析式； 奇函数需补充 1.函数是定义在上的奇函数，下列说法正确的是(    ) A. B. 若在上有最小值，则在上有最大值 C. 若在上为增函数，则在上为减函数 D. 若时，，则时， 【答案】ABD  【解析】【分析】 本题考查奇函数的定义、考查奇函数的图象关于原点对称、考查根据函数的奇偶性求函数的解析式，属于中档题． 先根据奇函数的定义判断出对；根据奇函数的图象关于原点对称判断出对错；通过奇函数的定义求出当的解析式，判断出对． 【解答】 解：由得，故A正确； 当时，， 则时，，， 则在上有最大值，故B正确； 若在上为增函数，则在上为增函数，故C错误； 若时，， 则时，， ， 故D正确． 故选ABD． 2.是定义在上的偶函数，当时，，则下列说法中错误的是(    ) A. 的单调递增区间为 B. C. 的最大值为 D. 的解集为 【答案】ABD  【解析】【分析】 本题考查利用函数的奇偶性求解析式，判断函数的单调区间，利用单调性解不等式，是较易题． 选项，画出函数图象，但两个单调递增区间不能用并集连接； 选项，根据奇偶性得到，结合函数在上的单调性作出判断； 选项，时，配方求出的最大值，结合函数奇偶性得到的最大值； 选项，由图象求出的解集为． 【解答】 解：因为是定义在上的偶函数，当时，， 当，，故， 所以当时，． 画出的图象如下： ：的单调递增区间为，故A错误； ：在上单调递减，则，故B错误； ：当时，最大值为， 又因为是偶函数，故C正确； ：的解集为，故D错误． 故选：． 3.已知函数是定义在上的偶函数，当时，，则下列说法正确的是(    ) A. 函数有个单调区间 B. 当时， C. 函数有最小值 D. 不等式的解集是 【答案】BC  【解析】【分析】 本题考查函数的奇偶性和单调性、最值，以及不等式的解法，考查转化思想和运算能力、推理能力，属于基础题． 由偶函数的定义和的解析式，求得时的解析式，可判断；求得的单调区间，可判断；由二次函数的最值可判断；讨论的符号，解不等式，可判断． 【解答】 解：函数是定义在上的偶函数，当时，， 当时，，，故B正确； 当时，在递减，在递增；当时，在递增，在递减，故A错误； 当时，在处取得最小值，由偶函数的图象关于轴对称，可得的最小值为，故C正确； 即为或， 解得或，故D错误． 故选BC． 4.已知函数是定义在上的奇函数，时，，则函数在上的解析式为          ． 【答案】  【解析】【分析】 本题考查利用函数的奇偶性求解析式，属于一般题． 根据题意，由奇函数的性质可得，设，有，由函数的解析式可得的解析式，结合函数的奇偶性可得，综合即可得答案． 【解答】 解：根据题意，函数是定义在上的奇函数，则， 因为时，， 设，有， 则， 又由函数为奇函数， 则， 则． 故答案为． 5.函数是定义在上的奇函数，且． 确定的解析式； 证明在上的单调性； 解关于的不等式． 【答案】解：函数是定义在上的奇函数， ，解可得． ， ， ， ． 由的结论， ， 取， 则， ， ，，，， ，即， 在上为增函数． 由知为奇函数，且在上为增函数， ， ， ， ， 即不等式的解集为．  【解析】本题主要考查利用函数的奇函数求解析式，利用定义证明函数的单调性，利用函数的定义域和单调性解不等式，是中档题． 由题意，根据、，求出和的值，可得函数的解析式． 由题意，利用单调性函数的定义，证明函数的单调性． 由题意，利用函数的定义域和单调性解不等式，求得的范围． 6.设是定义在上的奇函数，当时，． 求函数的解析式 若，求实数的取值范围． 【答案】解：因为是定义在上的奇函数，所以， 设，则， 因为是定义在上的奇函数， 所以， 所以， 当时，， 故在上单调递增，又， 是定义在上的奇函数， 故在上单调递增， 则有， 即有， 解得．  【解析】本题主要考查了奇函数的定义在函数解析式求解中的应用，还考查了函数的单调性及奇偶性在不等式求解中的应用，属于中档题． 设，则，结合已知函数解析式及奇函数的定义及性质可求； 结合单调性及奇偶性即可求解． 7.函数为定义在上的奇函数，已知当时，． Ⅰ当时，求的解析式 Ⅱ判断在上的单调性，并利用单调性的定义证明 Ⅱ若，求的取值范围． 【答案】解：当时，，则 因为函数为奇函数，所以， 即时，的解析式为 Ⅱ在上的单调递增， 证明如下： 任取，，且，则 因为，，且，所以，，， 则，所以在上的单调递增 Ⅲ由Ⅱ知在上的单调递增，且函数为上的奇函数， 故为上的增函数． 由，，于是 所以，解得．   【解析】本题考查利用函数奇偶性求最值，判断和证明函数单调性，利用奇偶性、单调性解不等式，属于中档题． 8.已知函数是定义域上的奇函数． 确定的解析式； 用定义证明：在区间上是增函数； 解不等式． 【答案】解：根据题意，函数是定义域上的奇函数， 则有，则； 此时，为奇函数，符合题意， 故； 证明：设， ， 由， 则，， 则有， 即函数在上为增函数； 根据题意，， 所以， 即， 所以， 解得， 即不等式的解集为  【解析】本题考查利用函数的奇偶性求解析式，判断或证明函数的单调性，利用函数的单调性解不等式，属于中档题． 根据题意，由奇函数的性质可得，解可得的值，验证即可得答案； 根据题意，设，由作差法分析可得结论； 根据题意，由函数的奇偶性与单调性分析可得原不等式等价于，解得的取值范围，即可得答案． 9.已知函数是定义在上的偶函数，且当时，． 求； 求时，函数的解析式； 若，求实数的取值范围． 【答案】解：因为当时，， 所以， 又由函数是定义在上的偶函数， 所以； 令，则，则， 又由函数为偶函数，则， 即时，； 由知， 由可知，， 所以在上为严格减函数． 又是定义在上的偶函数，则在上为严格增函数． 所以， 解得． 故实数的取值范围为．  【解析】本题考查利用函数奇偶性求函数值、解析式，利用函数的单调性解不等式，属于中档题． 利用偶函数的性质可得，计算即可； 令，则，利用，可求解析式； 由已知可得是定义在上的偶函数，且在上为严格增函数，从而可得，求解即可． 10.已知函数是定义在上的偶函数，已知当时，． 求函数的解析式； 画出函数的图象，并直接写出函数的单调递增区间； 求在区间上的值域． 【答案】解：函数是定义在上的偶函数， 对任意的都有成立， 当时，， ， ； 函数的图象如图所示，函数的单调递增区间为和写成开区间也可以 由图象可知，函数在单调递增，在上单调递减， ，， 所以函数的值域为．  【解析】本题考查函数的解析式，考查函数的单调性与值域，考查数形结合的数学思想，属于中档题． 设，则，利用当时，，结合函数为偶函数，即可求得函数解析式； 根据图象，可得函数的单调递增区间； 确定函数在区间上的单调性，从而可得函数在区间上的值域． 11.已知函数为偶函数，且 时，． 求时，的解析式； 若函数，对，使得成立，求实数的取值范围． 【答案】解：当时， ， 又为偶函数， ， 所以当时，； 是定义在上的偶函数， 在和上的值域相同， 当时，， 令，则，且， 函数化为：，， 当时，； 当时，， 在上的值域为：， 又对，，使得成立， 所以的值域是的值域的子集， 当时，在上的值域为， 则，解得； 当时，在上的值域为， 则，解得， 综上所述，实数的取值范围为．  【解析】本题考查利用函数的奇偶性求解析式，求函数的值域，属中档题． 利用偶函数性质求出上的解析式； 先分别求出时，和的值域，再根据任意的，总存在使得成立，得的值域是的值域的子集，根据子集关系列式解出可得． 12.定义在上的奇函数为常数满足． 求的解析式； 若，都有成立，求实数的取值范围． 【答案】解：由是上的奇函数，则， 可得，所以， 又因为，可得， 所以， 因为的定义域为，且，可知为奇函数成立， 所以 任取，，且， 则， 因为， 则， 可知，即， 所以在上是增函数，可得在上的最大值为， 又因为，都有成立， 则，即， 解得：或， 所以实数的取值范围为．  【解析】详细解答和解析过程见【答案】 重难点三利用函数的奇偶性解决参数问题 核心依据：奇偶性的定义或特殊值性质（对定义域含0的奇函数成立）。 解题方法： 定义域含0的奇函数：代入，列方程求参数； 通用方法：由对定义域内任意x恒成立，化简等式求参数（如系数对应相等）； 结合单调性：先由奇偶性求参数，再验证单调性或利用单调性列不等式求参数范围。 1.已知为奇函数，则不等式的解集为(    ) A. B. C. D. 【答案】D  【解析】解：，， 等式对且成立定义域需关于原点对称， ， 代入，得，定义域为关于原点对称，符合奇函数要求， 解不等式不等式化为，，故不等式等价于， 即或 因此解集为． 故选：． 2.若，函数为上的奇函数，则是的(    ) A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 既不充分也不必要条件 D. 充要条件 【答案】D  【解析】解：若函数为上的奇函数，则，解得或， 当时，，因为，， 所以，即函数不是奇函数； 当时，，该函数的定义域为， ，即函数为奇函数． 故当函数为上的奇函数时，， 因此，是的充要条件． 故选：． 3.已知定义在上的偶函数，若正实数、满足，则的最小值为(    ) A. B. C. D. 【答案】B  【解析】【分析】 本题考查函数奇偶性，利用基本不等式求最值，属于中档题． 先根据偶函数，代入特殊值求出参数，再代入化简，合理构造，再使用基本不等式可得． 【解答】 解：定义在上的偶函数， ， ，， ，此时对于任意实数都有， 正实数、满足， ，即， ， 当且仅当时，即，取等号． 故选B． 4.已知函数是定义域上的奇函数． 确定的解析式； 用定义证明：在区间上是减函数； 解不等式． 【答案】解：由于函数是定义在上的奇函数， 则， 即， 化简得， 因此，． 任取、，且，即， 则 ， ， ，，，，，， ， ， 因此，函数在区间上是减函数． 由可知，函数是定义域为的减函数，且为奇函数， 由得， 所以，解得． 因此，不等式的解集为．  【解析】本题考查函数的奇偶性和定义法证明函数的单调性，以及奇偶性和单调性的综合应用，属于中档题． 由题可得，即，解得，可得函数解析式； 运用单调性定义证明即可； 利用奇偶性、单调性，将不等式转化为，解出即可． 5.已知为偶函数，且． 求， 用定义证明在区间上单调递减 探究当时，与的关系，并求的解集． 【答案】解：由得，故， 由为偶函数，得； 即， ， 化简得对所有成立，故； 证明：由得， 任取且， ， 因， 所以，， 因此，即， 由单调性定义，在上单调递减 当时， ， 故， 由，得： 因为为偶函数，且在上单调递减， 所以，，， 故解集为， 结合定义域限制：，最终解集为．  【解析】详细解答和解析过程见【答案】 6.已知函数是定义在上的奇函数，且． 求，的值； 判断函数在上的单调性并加以证明； 解不等式． 【答案】解：由题意可知 解得，经检验成立． 在上单调递减． 证明：由可知， 设，则 ， ，，，，， ，即，在上单调递减． 由题易知， 又，， 由可知在上单调递减， ，解得， 不等式的解集为．  【解析】本题考查函数的奇偶性和单调性的定义与运用，考查方程思想和运算能力，属于中档题． 由已知结合奇函数的性质及，代入即可求解；  利用函数的单调性的定义即可判断、证明； 结合函数的单调性即可求解． 7.已知奇函数的定义域为，且． 求实数与的值； 证明函数在区间上单调递增； 已知，解不等式． 【答案】解：由奇函数的定义域为， 得，所以，则，所以， 经检验，符合题意，所以，； 证明：由得， 任取，则， 因为，所以， 则，即， 所以函数在区间上单调递增； 因为，所以， 因为函数为奇函数，则， 即为， 因为函数在区间上单调递增， 所以，解得， 所以不等式的解集为．   【解析】本题主要考查利用函数的奇偶性解决参数问题，判断或证明函数的单调性，函数单调性、奇偶性的综合应用，属于中档题． 根据奇函数的定义域为，可得，结合即可求解； 令，利用作差法，证明，即可得证； 根据函数为奇函数且在区间上单调递增，列出关于的不等式组，即可得出答案． 8.已知函数是奇函数． 求的值． 判断函数在上的单调性并说明理由，并求的最值； 若函数满足不等式，求出的范围． 【答案】解：因为在是奇函数，则， 即，可得，解得，故． 是区间上的增函数，理由如下： 任取、且， 则 ， 因为所以，，， 所以，即， 所以是区间上的增函数， 所以函数的最小值为，最大值为． 因为是区间上的增函数，且是奇函数， 由可得， 所以，解得，故实数的取值范围是．   【解析】详细解答和解析过程见【答案】 9.已知函数是奇函数． 求实数的值； 判断函数在上的单调性，并用定义证明； 已知函数，若对，，使得，求实数的取值范围． 【答案】解：因为是奇函数，则其定义域关于原点对称，即， 则，经验证，，故满足题意； 函数在的单调递增．  证明：，，且，则， 因为，所以，，，所以， 即，所以，函数在的单调递增．  由题意得：，由知，在上单调递增，所以， 由，得对称轴方程为， 当时，即时，，  解得，又，故无解 当时，即时，， 解得，又，所以；  当时，即时，， 解得，又，所以． 综上，实数的取值范围为   【解析】详细解答和解析过程见【答案】 10.已知定义在上的函数为奇函数，且． 求函数的解析式 用定义证明：函数在上的单调性 若，求的取值范围． 【答案】解：由题意，是定义在上的奇函数，故满足，即 即，解得， 又，将代入得： 故函数的解析式为： 证明：由题意，设， ， 由于，故；又且，故，因此 故，即。因此函数在上单调递增。 由，结合奇函数性质得： 由于在上单调递增，则 解得：。  【解析】详细解答和解析过程见【答案】 11.函数是定义在上的奇函数，且． 判断在上的单调性，并用定义证明 解关于的不等式． 【答案】解：因为函数是定义在上的奇函数， 所以，得， 经检验时，， 所以是定义在上的奇函数，满足题意， 因为， 解得， 故，，在上为增函数． 证明如下：  在上任取，且， 则， 因为，，，， 所以， 即，所以在上为增函数 因为为奇函数，所以， 不等式可化为，即， 又在上是增函数， 所以 解得， 所以关于的不等式解集为． 重难点四利用函数的奇偶性求函数值 核心工具：奇偶性的对称性及周期性。 解题方法： 直接转化：利（偶函数）将负自变量转化为正自变量； 结合周期性：若函数有周期T，先将自变量化为周期内的值，再用奇偶性求解； 构造奇函数 / 偶函数：可快速求值。 1.已知函数的定义域为，若，，则(    ) A. B. C. D. 【答案】A  【解析】【分析】 本题考查了函数的就像、周期性，属于基础题． 由题意得函数为奇函数，求得周期为，求值即可． 【解答】 解：因为，， 所以函数为奇函数，且，， 所以， 即为的一个周期， 所以． 故选A． 2.已知是定义在上的偶函数，是定义在上的奇函数，则的值为(    ) A. B. C. D. 无法计算 【答案】A  【解析】【分析】 本题主要考查函数值的求解，根据函数奇偶性的关系是解决本题的关键．属于基础题． 根据函数奇偶性的关系进行转化，即可得到结论． 【解答】 解：因为是定义在上的偶函数， 所以， 因为是定义在上的奇函数， 所以， 所以，即， 则． 故选：． 3.已知函数是奇函数，当时，，则(    ) A. B. C. D. 【答案】D  【解析】【分析】 本题主要考查函数值的计算，结合函数奇偶性的性质进行转化求解是解决本题的关键．比较基础． 根据函数奇偶性进行转化求解即可． 【解答】 解：是奇函数，当时，， ， 即， 则， 故选：． 4.对于定义在上的函数，若是奇函数，是偶函数，且在上单调递减，则(    ) A. B. C. D. 在上单调递减 【答案】AB  【解析】【分析】 本题主要考查函数的奇偶性，对称性及单调性的综合应用，属于较难题． 由题可知的图象关于点中心对称，关于轴对称；再逐一分析即可． 【解答】 解：是奇函数，故的图象关于点中心对称； 是偶函数，故的图象关于轴对称； 对于：的图象关于轴对称，故，又的图象关于点中心对称，故， 所以，选项正确 对于：的图象关于轴对称，故，选项正确 对于：的图象关于点中心对称且在上单调递减，，选项错误； 对于：在上单调递减，又的图象关于点中心对称，故在上单调递减，又的图象关于轴对称，故在上单调递增，选项错误． 5.已知是定义在上的奇函数，当时，，则下列说法正确的是(    ) A. B. 在定义域上为增函数 C. 当时， D. 不等式的解集为 【答案】ABD  【解析】【分析】 本题主要考查了分段函数、函数的奇偶性、函数的解析式、函数的单调性、不等式的求解，属于中档题． 利用奇函数的定义，函数的单调性，逐项验证即可得到答案． 【解答】 解：由题意可知，是定义在上的奇函数，当时，， 当时，，； ，故A正确，选项错误； 因为是上的奇函数，所以，则函数的表达式为，可知函数在上单调递增，故B选项正确； 当时，由可得，所以不等式即为， 因为函数在上单调递增，所以有，所以不等式的解集为，故D选项正确． 6.已知是定义域为的偶函数，且，则           ． 【答案】  【解析】【分析】 本题考查利用函数的奇偶性求函数值，属于基础题． 令，求出，且，再令，所以，总结出，，即可求出结果． 【解答】 解：因为函数是定义域为的偶函数， 因为， 令，得，解得， 且， 令，得， 所以，则 令，则，则， 故，， ． 故答案为． 7.设函数是定义在上的偶函数，且对于任意的都有，当时，，则          ． 【答案】  【解析】【分析】 本题考查了求函数值问题，考查函数的奇偶性和周期性问题，是一道一般题． 根据函数的周期性，得到，运用函数的奇偶性求出函数值即可． 【解答】 解：， 函数的周期为． 函数是定义在上的偶函数，当时，， ， 故答案为： 8.已知函数为定义在上的奇函数，且，则          ． 【答案】  【解析】解：设，由题意是定义在上的奇函数， 故对任意，有，即． 令，得， 即 将代入，得 因此． 9.设函数在区间上的最大值为，最小值为，则的值为          ． 【答案】  【解析】【分析】 本题主要考查了函数的奇偶性，函数的最值，考查学生的计算能力和推理能力，属于基础题． 将原函数化为，然后根据为奇函数即可求解． 【解答】 解：由题意知，， 设，，定义域关于原点对称， ， 所以为奇函数， 则在区间上的最大值与最小值的和为， 又， 所以， 则． 故答案为：． 10.已知函数是定义在上的偶函数，则           【答案】  【解析】【分析】 本题考查利用函数的奇偶性求函数值，属于基础题． 利用分段函数的解析式与偶函数的性质即可得解． 【解答】 解：因为是定义在上的偶函数， 所以． 故答案为：． 11.已知函数，若，则          ． 【答案】  【解析】【分析】 本题主要考查函数值的计算，结合条件转化为奇函数形式，利用函数的奇偶性进行转化是解决本题的关键． 根据条件进行转化，结合函数奇函数的性质进行转化求解即可． 【解答】 解：， 是奇函数， 则， 即， 故答案为： 四、解答题：本题共3小题，共36分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 12.已知函数是定义在上的偶函数，且当时，． 求； 求时，函数的解析式； 若，求实数的取值范围． 【答案】解：因为当时，， 所以， 又由函数是定义在上的偶函数， 所以； 令，则，则， 又由函数为偶函数，则， 即时，； 由知， 由可知，， 所以在上为严格减函数． 又是定义在上的偶函数，则在上为严格增函数． 所以， 解得． 故实数的取值范围为．  【解析】本题考查利用函数奇偶性求函数值、解析式，利用函数的单调性解不等式，属于中档题． 利用偶函数的性质可得，计算即可； 令，则，利用，可求解析式； 由已知可得是定义在上的偶函数，且在上为严格增函数，从而可得，求解即可． 13.已知函数是定义在上的偶函数，当时，． 求的值； 求的解析式； 当时，求的最小值． 【答案】解：因为函数是定义在上的偶函数，当时，， 所以，则． 因为为偶函数，当时，， 当，有，则， 所以． 当时，，开口向上，对称轴，所以在上单调递减，在上单调递增， 当时，，在上单调递减， 则； 当时，则，所以在上单调递减，在上单调递增，则； 当时，在上单调递增，则； 综上可得．   【解析】详细解答和解析过程见【答案】 14.函数是上的奇函数，且当时，函数的解析式为． 求的值； 用定义证明在上是减函数； 求函数的解析式． 【答案】解：是上的奇函数，且当时，函数的解析式为， 则． 证明：设， ， ，，，， 在上是减函数． 根据题意，当时，， ，； 又为定义在上的奇函数，， ．  【解析】详细解答和解析过程见【答案】 重难点五抽象函数的奇偶性 1.若定义在上的奇函数在上单调递减，且，则的取值范围是(    ) A. B. C. D. 【答案】A  【解析】解：由题可得在上为减函数， ，即， 所以，即，即， 解得． 故选：． 2.已知函数的定义域为且满足，当时，，，则下列结论正确的有(    ) A. 是奇函数 B. 在上单调递增 C. D. 不等式的解集为 【答案】BCD  【解析】【分析】 本题考查了判断抽象函数的单调性、奇偶性，考查了转化思想，属于中档题． 令，求得的值，再令，得到； 由函数单调性的定义法判断函数的单调性； 令，得到，由此递推出； 由题中等量关系化简不等式得，由函数单调性列出不等式，解得解集． 【解答】 解：对于，令，则，则， 令，则， 所以， 所以不是奇函数，故A错误； 对于，，，且， 因为， 所以； 又因为当时，， 所以，所以， 故在上单调递增，故B正确； 对于，令，则有， 所以，，，， ， 将以上式子相加可得：，故C正确； 对于，因为， 所以原不等式可化为， 等价于，即； 由可知，， 所以原不等式可化为， 因为在上单调递增， 所以，解得，故D正确． 故选：． 3.对于定义在上的函数，若是奇函数，是偶函数，且在上单调递减，则(    ) A. B. C. D. 在上单调递减 【答案】AB  【解析】【分析】 本题主要考查函数的奇偶性，对称性及单调性的综合应用，属于较难题． 由题可知的图象关于点中心对称，关于轴对称；再逐一分析即可． 【解答】 解：是奇函数，故的图象关于点中心对称； 是偶函数，故的图象关于轴对称； 对于：的图象关于轴对称，故，又的图象关于点中心对称，故， 所以，选项正确 对于：的图象关于轴对称，故，选项正确 对于：的图象关于点中心对称且在上单调递减，，选项错误； 对于：在上单调递减，又的图象关于点中心对称，故在上单调递减，又的图象关于轴对称，故在上单调递增，选项错误． 4.已知函数的定义域为，且满足，则下列说法正确的有(    ) A. B. 函数是奇函数 C. D. 若当时，，则在上单调递增 【答案】ABD  【解析】解：对于，取，得，则，故A正确； 对于，取，得，则，对，取， 得，则，函数是奇函数，故B正确； 对于，当时，，故C错误； 对于，，则，若当时，，得， 因此，在上单调递增，故D正确． 故选：． 5.定义在上的函数，对，，都有，且当时，恒成立，则(    ) A. 是偶函数 B. 在上单调递增 C. D. 任意实数都满足 【答案】BCD  【解析】【分析】 本题主要考查抽象函数的单调性与奇偶性，属于中档题． 根据奇偶性定义以及函数单调性定义可判断为奇函数，且在上单调递增，可判断A错误B正确；利用赋值法计算可得C正确；易知，再由奇函数性质以及单调性计算可得D正确． 【解答】 解：定义在上的函数，对，，都有，且当时，恒成立， 对于，令，则，所以，故C正确； 对于，令得，所以， 即，又当时，恒成立，即不恒为，所以只能为奇函数，故A错误； 对于，令，，且，故， 因为时，，所以， 即，所以，所以在上单调递增，故B正确； 对于，由在上成立，得， 由为增函数，所以， 又为奇函数，所以，所以，故D正确． 故选：． 6.已知定义在上的函数满足：，且时；时，则(    ) A. B. 为奇函数 C. 当时， D. 在上单调递增 【答案】ABD  【解析】解：， 令，则， 令，则，故A正确； 令，则对任意实数有，所以函数为奇函数，B正确； 由对任意实数有，又当时， 所以当时，， 则此时，则，C错误； 任取，则， 则 因为时，时，且， 所以，所以， 所以，即， 所以函数在上单调递增，故D正确． 故选：． 7.已知函数的定义域为，，都有，且，则(    ) A. B. C. 是增函数 D. 是偶函数 【答案】BC  【解析】【分析】 本题考查了用赋值法求抽象函数的值、判断抽象函数的单调性和奇偶性，属于中档题． 用赋值法判断，；求出函数的解析式，从而判断，． 【解答】 解：令，则有， 解得，故B正确； 令，，则有， 即，解得，故A错误； 令，则有， 即， 所以， 所以为增函数，且为非奇非偶函数，故C正确、D错误． 故选：． 8.定义在上的函数满足，当时，，则函数满足(    ) A. B. 是奇函数 C. 在上有最大值 D. 的解集为 【答案】ABD  【解析】【分析】 本题考查抽象函数的奇偶性、单调性、最值的应用，属于中档题． 令，对进行判断；再令为，代入原式得，判断函数的奇偶性；由得，令，再令，，则，结合时，，判断函数的单调性得最值；又，即，结合原函数在定义域内是减函数求解，判断． 【解答】 解：对于选项A：令，则，所以，故A正确； 对于选项B：再令为，代入原式得，所以， 故该函数为奇函数，故B正确； 对于选项C：由得， 令，再令，， 则，结合时，， 所以， 所以，所以原函数在定义域内是减函数， 所以函数在上递减，故是最小值，是最大值，故C错误； 对于选项D：又，即，结合原函数在定义域内是减函数可得，，解得，故D正确． 故选ABD． 9.已知函数对于任意实数恒有，且当时，，又． 判断的奇偶性并证明； 求在区间的最大值； 解关于的不等式：． 【答案】解：为奇函数，证明如下： 令，则， 令，则，故， 所以为奇函数． 令，则， 而，所以， 所以在上单调递增，则在区间的最大值． 由，则， 所以，因为为增函数，则，即， 当，则解集为； 当，则解集为； 当，则解集为；   【解析】详细解答和解析过程见【答案】 10.已知函数是定义在上的偶函数，且当时，． 求； 求时，函数的解析式； 若，求实数的取值范围． 【答案】解：因为当时，， 所以， 又由函数是定义在上的偶函数， 所以； 令，则，则， 又由函数为偶函数，则， 即时，； 由知， 由可知，， 所以在上为严格减函数． 又是定义在上的偶函数，则在上为严格增函数． 所以， 解得． 故实数的取值范围为．  【解析】本题考查利用函数奇偶性求函数值、解析式，利用函数的单调性解不等式，属于中档题． 利用偶函数的性质可得，计算即可； 令，则，利用，可求解析式； 由已知可得是定义在上的偶函数，且在上为严格增函数，从而可得，求解即可． 11.已知函数对任意实数，恒有，且当时，，又． 判断的奇偶性； 判断在上的单调性，并证明你的结论； 当时，恒成立，求实数的取值范围． 【答案】解：取，则，． 取，则， 对任意恒成立，为奇函数．       证明：任取，，且， 则，， ，又为奇函数， 是上的减函数． 因为，是奇函数， 所以， 所以原不等式等价于， 等价于， 因在上是减函数，由上式得  ， 即对一切有恒成立， 设， 令，则有，， ， ， 即的取值范围为．  【解析】本题考查抽象函数的应用，函数的单调性与奇偶性的证明，恒成立问题，属于中档题． 通过特殊值以及函数的奇偶性的定义判断即可． 判断函数的单调性，利用单调性的定义证明即可． 利用函数的单调性以及函数的奇偶性化简不等式，转化求解即可． 12.定义在上的函数是单调函数，满足，且，． 求，； 判断的奇偶性，并证明； 在下列两个条件中任选一个，补充在下面问题中的横线上，并解答． ；． 若_______，，求实数的取值范围． 【答案】解：取，得，即， ， ， 又，得，可得； 取，得， 移项得 又因为函数的定义域为，关于原点对称， 函数是奇函数； 选： 是奇函数，且在上恒成立， 在上恒成立，且； 在上是增函数，在上恒成立， 在上恒成立， 令． 由于，． ，． 即． 选：是奇函数，且在上有解， 在上有解，且； 在上是增函数， 在上有解， 在上有解， 令． 由于，． ， 即．  【解析】本题考查抽象函数的应用，函数恒成立问题的转化，考查转化思想以及计算能力，是中档题． 取，求出，求出，然后求解； 利用函数奇偶性的定义判断函数的奇偶性即可； 选：利用函数的奇偶性，结合不等式恒成立，以及函数的单调性求解函数的最小值以及的范围即可． 选：利用函数是奇函数，且在上有解，转化不等式，求解函数的最大值，推出的取值范围即可． 13.若定义在上的函数对任意实数，，都有成立，且当时，． Ⅰ求证：为奇函数； Ⅱ判断在上的单调性，并说明理由； Ⅲ若，解不等式． 【答案】解：Ⅰ证明：对任意实数，，都有成立， 则， 令，则， 令，则，解得， 令，，则，所以， 因为的定义域为，则的定义域为，关于原点对称， 所以为奇函数，即为奇函数； Ⅱ函数在上单调递增．理由如下： 设，所以，则， 由Ⅰ可知，， 则， 所以函数在上单调递增，故函数在上单调递增； Ⅲ因为，由Ⅰ可知，所以， 故， 因为，则，即， 因为函数在上单调递增，所以，即，解得，所以不等式的解集为．  【解析】本题考查了抽象函数的综合应用，函数奇偶性与单调性的判断，函数与不等式的综合应用，在解决抽象函数的问题时，和具体函数研究的方法相同，也是从奇偶性对称性、单调性、周期性等性质着手研究，考查了逻辑推理能力与转化化归能力，属于中档题． Ⅰ构造函数，则有，利用赋值法，令，，结合奇函数的定义，即可证明； Ⅱ利用函数单调性的定义结合已知条件，结合Ⅰ可判断在上单调递增，即可判断的单调性； Ⅲ利用赋值法，结合Ⅰ可求出，从而将不等式变形为，利用的单调性得到，求解不等式即可得到答案． 重难点六函数的单调性与奇偶性的结合 核心性质：奇函数在对称区间单调性一致，偶函数在对称区间单调性相反。 解题方法： 比较大小：将自变量转化到同一单调区间用单调性比较； 解不等式： 奇函数： ； 恒成立问题：分离参数，利用单调性求函数最值，转化为参数与最值的关系。 1.已知函数是定义在上的偶函数．，，且，恒有若，则不等式的解集为(    ) A. B. C. D. 【答案】D  【解析】【分析】 本题考查函数的单调性与奇偶性，利用函数的单调性解不等式，属于中档题． 由已知条件构造函数，研究此函数的单调性与奇偶性，利用函数单调性与奇偶性解不等式即可． 【解答】 解：设，则，由得， 即，设，则是定义在上的偶函数，在单调递增， 不等式可变形为，即， 从而可得到，而在单调增函数，得，解得， 故不等式的解集为． 故选． 2.函数在单调递减，且为奇函数．若，则满足的的取值范围是(    ) A. B. C. D. 【答案】D  【解析】【分析】 本题考查函数的单调性，函数的奇偶性，属于基础题． 由题干中函数的单调性及奇偶性，可将不等式化为，即可解得答案． 【解答】 解：由函数为奇函数， 得：若，则， 则，即， 又函数在上单调递减， ， 解得：， 的取值范围是． 故选D． 3.已知函数，，则满足的的取值范围为(    ) A. B. C. D. 【答案】B  【解析】【分析】 本题考查函数性质的综合应用，属于中档题． 判断函数单调性与奇偶性，解不等式即可． 【解答】 解：由题知，函数的定义域关于原点对称， 又 故函数为偶函数， 又与在区间上单调递增， 所以在区间上单调递增，在上单调递减， 又， 故，， 故满足的的取值范围为． 故选B． 4.设偶函数的定义域为，当时，单调递增，则，，的大小关系是(    ) A. B. C. D. 【答案】A  【解析】【分析】 本题考查利用函数的奇偶性和单调性比较大小，属于基础题． 由偶函数的定义得，再利用的单调性即可比较大小． 【解答】 解：因为是定义域为的偶函数，则， 又当时，是增函数，且， 则， 即． 故选A． 5.已知偶函数在区间单调递增，则满足的取值范围是(    ) A. B. C. D. 【答案】A  【解析】【分析】 本题主要考查了利用函数的奇偶性和单调性求解不等式，考查推理能力和计算能力，属于基础题． 解决此题的关键是根据函数的奇偶性和单调性结合题中条件建立关于的不等式求解． 【解答】 解：为偶函数， ， ， ， 又函数在区间上单调递增， ，即， ． 则取值范围是， 故选A． 6.若定义在的奇函数在单调递减，且，则满足的的取值范围是(    ) A. B. C. D. 【答案】D  【解析】【分析】 本题考查函数的奇偶性，单调性及不等式问题，属中档题． 根据题意由函数的单调性与奇偶性，可画得函数的图象，结合的范围，可得答案． 【解答】 解：由已知画出的大致图象，如下图， 当时，，所以或，解得； 当时，结论成立； 当时，，所以或，解得． 综上的取值范围是． 故选D． 7.已知是定义在上的偶函数，是定义在上的奇函数，且，在单调递减，则(    ) A. B. C. D. 【答案】BD  【解析】【分析】 本题考查函数的单调性与奇偶性的综合应用，属于中档题． 由奇偶函数的单调性的关系确定两函数的单调性，再结合，逐项判断即可． 【解答】 解：因为是定义在上的偶函数，是定义在上的奇函数，且两函数在上单调递减， 所以在上单调递增，在上单调递减，则在上单调递减， 所以，， 所以，，， 所以BD正确， C错误 若，则，A错误． 故选BD． 8.已知定义在上函数的图象是连续不断的，且满足以下条件：，；，，当时，都有；则下列选项成立的是(    ) A. B. 成立的充要条件是 C. 若，则 D. ，，使得 【答案】BCD  【解析】【分析】 本题考查函数的性质的应用，函数的单调性以及函数的奇偶性的应用，属于中档题． 利用已知条件，判断函数的性质，然后判断选项的正误即可． 【解答】 解：定义在上函数的图象是连续不断的，且满足以下条件： ，，说明函数是偶函数； ，，当时，都有， 说明函数在是增函数； ． 所以成立，所以A错误； 若，可得，则，所以B正确； 由得是定义在上的偶函数，则， 又函数在是增函数， 所以当或时，； 当时，， 若，则或 可得，所以C正确； 因为函数是连续函数，又是偶函数，在时是增函数， 即是函数的最小值， 所以，，使得，正确； 故选：． 9.设是定义在上的奇函数，对任意的，，，满足：，若，则不等式的解集为          ． 【答案】  【解析】【分析】 本题考查函数的奇偶性与单调性的综合应用，涉及不等式的解法，属于中档题． 设，分析可得函数为偶函数且在上为增函数，在上为减函数，而，再将原不等式化简，分和两种情况讨论，结合的单调性求得答案． 【解答】 解：因为对任意的，，，都有， 所以在上是增函数． 令，因为，所以为偶函数， 所以在上是减函数， 又，所以， 又． 当时，，即，解得， 当时，，即，解得，所以， 所以不等式的解集为 故答案为 10.函数是定义在上的奇函数，且． 确定的解析式； 证明在上的单调性； 解关于的不等式． 【答案】解：函数是定义在上的奇函数， ，解可得． ， ， ， ． 由的结论， ， 取， 则， ， ，，，， ，即， 在上为增函数． 由知为奇函数，且在上为增函数， ， ， ， ， 即不等式的解集为．  【解析】本题主要考查利用函数的奇函数求解析式，利用定义证明函数的单调性，利用函数的定义域和单调性解不等式，是中档题． 由题意，根据、，求出和的值，可得函数的解析式． 由题意，利用单调性函数的定义，证明函数的单调性． 由题意，利用函数的定义域和单调性解不等式，求得的范围． 11.已知是定义在上的奇函数，当时，． 求及； 求函数在上的解析式； 若，恒成立，求实数的取值范围． 【答案】解：由题意知，解得，， ，所以； 因为时，， 当，则，所以 所以， 综上：． 由，得，即， 当时，，所以函数在上单调递增， 又因为是奇函数，所以在上单调递增， 所以对恒成立， 即对恒成立， 当时，，当且仅当时等号成立， 所以． 所以实数的取值范围为．  【解析】本题主要考查了函数奇偶性及单调性的综合应用，属于中档题． 根据奇函数的定义及性质即可求解； 利用奇偶性求解析式即可； 利用奇偶性及单调性解不等式，可得对恒成立，分离参数可得对恒成立，利用“对勾函数”的性质即可求解． 12.设是定义在上的奇函数，当时，． 求函数的解析式 若，求实数的取值范围． 【答案】解：因为是定义在上的奇函数，所以， 设，则， 因为是定义在上的奇函数， 所以， 所以， 当时，， 故在上单调递增，又， 是定义在上的奇函数， 故在上单调递增， 则有， 即有， 解得．  【解析】本题主要考查了奇函数的定义在函数解析式求解中的应用，还考查了函数的单调性及奇偶性在不等式求解中的应用，属于中档题． 设，则，结合已知函数解析式及奇函数的定义及性质可求； 结合单调性及奇偶性即可求解． 13.已知函数是定义在上的奇函数． 确定的解析式； 用定义证明：在区间上是减函数； 解不等式． 【答案】解：由奇函数的性质得，， 故，， 证明：设， 则 ， 所以， 故在区间上是减函数； 因为在区间上是减函数且为奇函数， 由，得， 所以， 解得，， 故不等式的解集．  【解析】本题主要考查了函数单调性及奇偶性的定义及性质的应用，还考查了利用函数的性质求解不等式，属于中档题． 由奇函数的性质得，，代入可求，进而可求函数解析式； 先设，然后利用作差法比较与的大小即可判断； 结合在区间上是减函数且为奇函数即可直接求解． 14.已知为偶函数，且． 求， 用定义证明在区间上单调递减 探究当时，与的关系，并求的解集． 【答案】解：由得，故， 由为偶函数，得； 即， ， 化简得对所有成立，故； 证明：由得， 任取且， ， 因， 所以，， 因此，即， 由单调性定义，在上单调递减 当时， ， 故， 由，得： 因为为偶函数，且在上单调递减， 所以，，， 故解集为， 结合定义域限制：，最终解集为．  【解析】详细解答和解析过程见【答案】 43 / 60 学科网（北京）股份有限公司 $ 重难点专题08 函数的奇偶性 重难点一判断函数的奇偶性 核心前提：定义域关于原点对称（定义域不对称则直接非奇非偶）。 解题方法： 定义法：若则为偶函数；若则为奇函数； 图象法：关于y轴对称为偶函数，关于原点对称为奇函数； 分段函数：分别验证（奇函数必备）； 构造法：可通过图象平移转化原函数对称中心判断。 1.设函数，则下列函数中为奇函数的是(    ) A. B. C. D. 2.下列函数中，既是奇函数又是增函数的是(    ) A. B. C. D. 3.下列函数中是奇函数的为(    ) A. B. C. D. 5.下列函数中，既是奇函数又在区间是增函数的是(    ) A. B. C. D. 6.已知定义在上的函数的图象是连续不断的，且满足以下条件：，，，当时，则下列选项成立的是(    ) A. 在上单调递减， B. C. 若，则 D. 若，则 7.下列函数中，既是偶函数又在区间上为增函数的是(    ) A. B. C. D. 8.已知函数，则(    ) A. 是奇函数 B. 在上单调递增 C. 函数的值域是， D. 方程有两个实数根 9.函数，在区间上的最大值为，最小值为，则          ． 10.已知函数，且，． 求的解析式并判断的奇偶性； 讨论在上的单调性； 求不等式的解集． 11.已知函数． 若，判断的奇偶性并加以证明； 当时，用定义法判断并证明函数在上的单调性． 若对任意，恒成立，求实数的取值范围． 12.已知函数，． 判断函数在区间上的单调性，并证明你的结论； 判断函数的奇偶性，并求解关于的不等式． 13.已知函数． 判断函数的奇偶性并给予证明； 若函数满足，判断函数在区间的单调性，并用单调性的定义证明． 重难点二利用函数的奇偶性求解析式 核心思路：“知一侧求另一侧”，借助转化。 解题步骤： 设所求区间内的； 利用已知区间； 由奇偶性得（奇函数），化简得解析式； 奇函数需补充 1.函数是定义在上的奇函数，下列说法正确的是(    ) A. B. 若在上有最小值，则在上有最大值 C. 若在上为增函数，则在上为减函数 D. 若时，，则时， 2.是定义在上的偶函数，当时，，则下列说法中错误的是(    ) A. 的单调递增区间为 B. C. 的最大值为 D. 的解集为 3.已知函数是定义在上的偶函数，当时，，则下列说法正确的是(    ) A. 函数有个单调区间 B. 当时， C. 函数有最小值 D. 不等式的解集是 4.已知函数是定义在上的奇函数，时，，则函数在上的解析式为          ． 5.函数是定义在上的奇函数，且． 确定的解析式； 证明在上的单调性； 解关于的不等式． 6.设是定义在上的奇函数，当时，． 求函数的解析式 若，求实数的取值范围． 7.函数为定义在上的奇函数，已知当时，． Ⅰ当时，求的解析式 Ⅱ判断在上的单调性，并利用单调性的定义证明 Ⅱ若，求的取值范围． 8.已知函数是定义域上的奇函数． 确定的解析式； 用定义证明：在区间上是增函数； 解不等式． 9.已知函数是定义在上的偶函数，且当时，． 求； 求时，函数的解析式； 若，求实数的取值范围． 10.已知函数是定义在上的偶函数，已知当时，． 求函数的解析式； 画出函数的图象，并直接写出函数的单调递增区间； 求在区间上的值域． 11.已知函数为偶函数，且 时，． 求时，的解析式； 若函数，对，使得成立，求实数的取值范围． 12.定义在上的奇函数为常数满足． 求的解析式； 若，都有成立，求实数的取值范围． 重难点三利用函数的奇偶性解决参数问题 核心依据：奇偶性的定义或特殊值性质（对定义域含0的奇函数成立）。 解题方法： 定义域含0的奇函数：代入，列方程求参数； 通用方法：由对定义域内任意x恒成立，化简等式求参数（如系数对应相等）； 结合单调性：先由奇偶性求参数，再验证单调性或利用单调性列不等式求参数范围。 1.已知为奇函数，则不等式的解集为(    ) A. B. C. D. 2.若，函数为上的奇函数，则是的(    ) A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 既不充分也不必要条件 D. 充要条件 3.已知定义在上的偶函数，若正实数、满足，则的最小值为(    ) A. B. C. D. 4.已知函数是定义域上的奇函数． 确定的解析式； 用定义证明：在区间上是减函数； 解不等式． 5.已知为偶函数，且． 求， 用定义证明在区间上单调递减 探究当时，与的关系，并求的解集． 6.已知函数是定义在上的奇函数，且． 求，的值； 判断函数在上的单调性并加以证明； 解不等式． 7.已知奇函数的定义域为，且． 求实数与的值； 证明函数在区间上单调递增； 已知，解不等式． 8.已知函数是奇函数． 求的值． 判断函数在上的单调性并说明理由，并求的最值； 若函数满足不等式，求出的范围． 9.已知函数是奇函数． 求实数的值； 判断函数在上的单调性，并用定义证明； 已知函数，若对，，使得，求实数的取值范围． 10.已知定义在上的函数为奇函数，且． 求函数的解析式 用定义证明：函数在上的单调性 若，求的取值范围． 11.函数是定义在上的奇函数，且． 判断在上的单调性，并用定义证明 解关于的不等式． 重难点四利用函数的奇偶性求函数值 核心工具：奇偶性的对称性及周期性。 解题方法： 直接转化：利（偶函数）将负自变量转化为正自变量； 结合周期性：若函数有周期T，先将自变量化为周期内的值，再用奇偶性求解； 构造奇函数 / 偶函数：可快速求值。 1.已知函数的定义域为，若，，则(    ) A. B. C. D. 2.已知是定义在上的偶函数，是定义在上的奇函数，则的值为(    ) A. B. C. D. 无法计算 3.已知函数是奇函数，当时，，则(    ) A. B. C. D. 4.对于定义在上的函数，若是奇函数，是偶函数，且在上单调递减，则(    ) A. B. C. D. 在上单调递减 5.已知是定义在上的奇函数，当时，，则下列说法正确的是(    ) A. B. 在定义域上为增函数 C. 当时， D. 不等式的解集为 6.已知是定义域为的偶函数，且，则           ． 7.设函数是定义在上的偶函数，且对于任意的都有，当时，，则          ． 8.已知函数为定义在上的奇函数，且，则          ． 9.设函数在区间上的最大值为，最小值为，则的值为          ． 10.已知函数是定义在上的偶函数，则           11.已知函数，若，则          ． 12.已知函数是定义在上的偶函数，且当时，． 求； 求时，函数的解析式； 若，求实数的取值范围． 13.已知函数是定义在上的偶函数，当时，． 求的值； 求的解析式； 当时，求的最小值． 14.函数是上的奇函数，且当时，函数的解析式为． 求的值； 用定义证明在上是减函数； 求函数的解析式． 重难点五抽象函数的奇偶性 1.若定义在上的奇函数在上单调递减，且，则的取值范围是(    ) A. B. C. D. 2.已知函数的定义域为且满足，当时，，，则下列结论正确的有(    ) A. 是奇函数 B. 在上单调递增 C. D. 不等式的解集为 3.对于定义在上的函数，若是奇函数，是偶函数，且在上单调递减，则(    ) A. B. C. D. 在上单调递减 4.已知函数的定义域为，且满足，则下列说法正确的有(    ) A. B. 函数是奇函数 C. D. 若当时，，则在上单调递增 5.定义在上的函数，对，，都有，且当时，恒成立，则(    ) A. 是偶函数 B. 在上单调递增 C. D. 任意实数都满足 6.已知定义在上的函数满足：，且时；时，则(    ) A. B. 为奇函数 C. 当时， D. 在上单调递增 7.已知函数的定义域为，，都有，且，则(    ) A. B. C. 是增函数 D. 是偶函数 8.定义在上的函数满足，当时，，则函数满足(    ) A. B. 是奇函数 C. 在上有最大值 D. 的解集为 9.已知函数对于任意实数恒有，且当时，，又． 判断的奇偶性并证明； 求在区间的最大值； 解关于的不等式：． 10.已知函数是定义在上的偶函数，且当时，． 求； 求时，函数的解析式； 若，求实数的取值范围． 11.已知函数对任意实数，恒有，且当时，，又． 判断的奇偶性； 判断在上的单调性，并证明你的结论； 当时，恒成立，求实数的取值范围． 12.定义在上的函数是单调函数，满足，且，． 求，； 判断的奇偶性，并证明； 在下列两个条件中任选一个，补充在下面问题中的横线上，并解答． ；． 若_______，，求实数的取值范围． 13.若定义在上的函数对任意实数，，都有成立，且当时，． Ⅰ求证：为奇函数； Ⅱ判断在上的单调性，并说明理由； Ⅲ若，解不等式． 重难点六函数的单调性与奇偶性的结合 核心性质：奇函数在对称区间单调性一致，偶函数在对称区间单调性相反。 解题方法： 比较大小：将自变量转化到同一单调区间用单调性比较； 解不等式： 奇函数： ； 恒成立问题：分离参数，利用单调性求函数最值，转化为参数与最值的关系。 1.已知函数是定义在上的偶函数．，，且，恒有若，则不等式的解集为(    ) A. B. C. D. 2.函数在单调递减，且为奇函数．若，则满足的的取值范围是(    ) A. B. C. D. 3.已知函数，，则满足的的取值范围为(    ) A. B. C. D. 4.设偶函数的定义域为，当时，单调递增，则，，的大小关系是(    ) A. B. C. D. 5.已知偶函数在区间单调递增，则满足的取值范围是(    ) A. B. C. D. 6.若定义在的奇函数在单调递减，且，则满足的的取值范围是(    ) A. B. C. D. 7.已知是定义在上的偶函数，是定义在上的奇函数，且，在单调递减，则(    ) A. B. C. D. 8.已知定义在上函数的图象是连续不断的，且满足以下条件：，；，，当时，都有；则下列选项成立的是(    ) A. B. 成立的充要条件是 C. 若，则 D. ，，使得 9.设是定义在上的奇函数，对任意的，，，满足：，若，则不等式的解集为          ． 10.函数是定义在上的奇函数，且． 确定的解析式； 证明在上的单调性； 解关于的不等式． 11.已知是定义在上的奇函数，当时，． 求及； 求函数在上的解析式； 若，恒成立，求实数的取值范围． 12.设是定义在上的奇函数，当时，． 求函数的解析式 若，求实数的取值范围． 13.已知函数是定义在上的奇函数． 确定的解析式； 用定义证明：在区间上是减函数； 解不等式． 14.已知为偶函数，且． 求， 用定义证明在区间上单调递减 探究当时，与的关系，并求的解集． 13 / 13 学科网（北京）股份有限公司 $