午练半小时 第13练 函数的单调性（配套教参Word）-【步步高】2025-2026学年高一数学必修第一册学习笔记（苏教版）

**基本信息** 聚焦函数单调性的概念理解与应用，通过图象分析、定义证明、性质应用构建完整训练体系，培养几何直观与推理能力。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |概念理解|选择1、填空6|图象法判断单调区间|从函数图象直观感知到单调区间准确表述| |方法应用|选择2-5、填空7-8|定义法证明单调性、单调性求最值|从解析式分析单调性到解决定义域值域问题| |综合提升|填空9、解答10|分段函数单调性判定、恒成立问题转化|结合二次函数、反比例函数性质综合应用|

第13练　函数的单调性 (分值：60分) 一、选择题(单选题每小题5分，多选题每小题6分，共27分) 1.(多选)如图为函数y=f(x)的图象，则函数y=f(x)的(　　) A.增区间为[1，4]和[4，6) B.增区间为[1，4)和[4，6) C.减区间为(-4，-2]和(-2，1] D.减区间为(-4，-2]和(-2，1] 答案　BD 解析　由图可知，函数y=f(x)在[1，4)和[4，6)上单调递增，在(-4，-2]和(-2，1]上单调递减. 2.已知函数f(x)=(x∈[0，3])，则函数f(x)的最小值为(　　) A. B. C.1 D.4 答案　B 解析　因为f(x)=在[0，3]上单调递减， 所以当x=3时，f(x)取得最小值，最小值为f(3)==. 3.已知函数f(x)=2x2-mx+3在x∈(-∞，-2]上单调递减，在[-2，+∞)上单调递增，则f(1)等于(　　) A.-3 B.13 C.7 D.由m而定的常数 答案　B 解析　由题意知=-2，所以m=-8， 所以f(x)=2x2+8x+3，f(1)=2+8+3=13. 4.已知y=(k≠0)在[3，8]上的最大值为1，则k的值为(　　) A.1 B.-6 C.1或-6 D.6 答案　A 解析　当k>0时，函数y=在[3，8]上单调递减，∵函数在[3，8]上的最大值为1， ∴=1，∴k=1； 当k<0时，函数y=在[3，8]上单调递增， ∵函数在[3，8]上的最大值为1， ∴=1，∴k=6(舍去). 5.(多选)若函数f(x)=x2-4x-3的定义域为[0，a]，值域为[-7，-3]，则a的值可能为(　　) A.2 B.3 C.4 D.5 答案　ABC 解析　f(x)=x2-4x-3=(x-2)2-7， 故f(x)在(-∞，2)上单调递减，在(2，+∞)上单调递增， 且f(0)=f(4)=-3，f(2)=-7， 因为值域为[-7，-3]，故a∈[2，4]， 所以选项A，B，C符合题意. 二、填空题(每小题5分，共20分) 6.设函数y=f(x)的定义域为[-4，6]，且在区间[-4，-2]上单调递减，在区间[-2，6]上单调递增，且f(-4)<f(6)，则函数f(x)的最小值是　　　，最大值是　　　　.  答案　f(-2)　f(6) 解析　函数y=f(x)在[-4，6]上的图象的变化趋势如图所示， 观察可知f(x)min=f(-2). 又由题意可知f(-4)<f(6)，故f(x)max=f(6). 7.已知函数f(x)=x++2，其中x∈[1，+∞)，则此函数为　　　　函数(填“增”或“减”)，它的最小值为　　　　.  答案　增　 解析　函数f(x)=x++2，设1≤x1<x2， f(x1)-f(x2)=(x1-x2)+ =(x1-x2)= 因为1≤x1<x2，所以x1-x2<0，x1x2>1， 所以2x1x2-1>0，所以f(x1)-f(x2)<0. 即f(x1)<f(x2)，所以f(x)在区间[1，+∞)上单调递增，为增函数. 综上可知，当x=1时，f(x)有最小值. 8.已知函数f(x+1)=x2-2x+1的定义域是[-2，0]，则f(x)的减区间是　　　　.  答案　[-1，1] 解析　因为f(x+1)=x2-2x+1，令t=x+1， 所以x=t-1， 所以f(t)=(t-2)2， t∈[-1，1]， 即f(x)=(x-2)2， x∈[-1，1]，作出图象如图， 结合图象可知[-1，1]是函数f(x)的减区间. 9.若f(x)=是R上的单调函数，则实数a的取值范围为　　　　.  答案　 解析　函数f(x)=-x+3a在(-∞，1)上单调递减，又f(x)=是R上的单调函数， 所以f(x)=在[1，+∞)上单调递减，即a>0， 并且≤-1+3a，即a≥. 综上所述，a的取值范围为. 三、解答题(共13分) 10.(13分)已知函数f(x)=x∈[2，+∞). (1)判断f(x)的单调性，并证明；(6分) (2)若f(x)>a恒成立，求a的取值范围.(7分) 解　(1)f(x)在[2，+∞)上单调递增，证明： 任取x1，x2∈[2，+∞)， 且x1<x2，f(x)=x++2. 则f(x1)-f(x2)=(x1-x2) 因为x1<x2，所以x1-x2<0， 又因为x1≥2，x2>2， 所以x1x2>4，1->0. 所以f(x1)-f(x2)<0，即f(x1)<f(x2). 故f(x)在[2，+∞)上单调递增. (2)由(1)知，当x=2时，f(x)有最小值， 即f(x)min=f(2)=. 所以f(x)>a恒成立，只需f(x)min>a，即a< 所以a的取值范围为. 学科网（北京）股份有限公司 $