专题02 函数单调性与奇偶性的综合（专项训练）数学苏教版2019 必修第一册

专题02 函数单调性与奇偶性的应用 目录 A题型建模・专项突破 题型一、函数单调性的判定 1 题型二、函数的最大值与最小值 2 题型三、利用函数单调性解不等式 3 题型四、函数奇偶性的判定 5 题型五、利用函数奇偶性求解析式与求值 6 题型六、函数单调性与奇偶性的综合应用 7 B综合攻坚・能力跃升 题型一、函数单调性的判定 1．求函数的单调区间. 2．已知函数，且，设． (1)求函数的解析式； (2)用定义法判断的单调性． 3．已知函数是一次函数，且满足. （1）求的解析式； （2）判断函数在上的单调性，并用函数单调性的定义给与证明. 4．讨论函数，在上的单调性 题型二、函数的最大值与最小值 5．已知函数 （1）判断该函数在区间上的单调性，并用函数的单调性定义证明； （2）并求函数在区间上的最值． 6．已知函数在上单调递减，对任意，均有，记，，则函数的最小值为 ． 7．（多选）已知函数，下列选项正确的是（   ） A．若，则 B．函数在定义域内是减函数 C．若时，则的值域是 D．若，则函数有最小值也有最大值 8．已知函数，且 (1)求函数的解析式； (2)求函数在上的最值． 题型三、利用函数单调性解不等式 9．已知为上的减函数，则满足的实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 10．已知是定义在上的增函数，且，则的取值范围是 . 11．已知函数满足对任意实数，都有成立，则a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 12．定义在上的函数满足，且，，则不等式的解集为 . 题型四、函数奇偶性的判定 13．判断下列函数的奇偶性，并加以证明： (1)；(2)；(3)；(4)； (5)；(6)；(7)；(8). 14．设函数，则下列函数中为奇函数的是（ ） A． B． C． D． 15．已知（，且），． (1)求的值； (2)判断函数的奇偶性； (3)证明函数在上是增函数． 16．已知函数，且. (1)求实数的值； (2)判断该函数的奇偶性； (3)判断函数在上的单调性，并证明. 题型五、利用函数奇偶性求解析式与求值 17．已知定义在R上的函数分别是奇函数和偶函数，且，则 ． 18．函数为奇函数，则=（ ） A． B． C． D．1 19．已知，若，则（ ） A．-14 B．14 C．-6 D．10 20．已知函数是定义在上的奇函数，当，. （1）求的值； （2）求在内的解析式. 题型六、函数单调性与奇偶性的综合应用 21．若函数为奇函数，且在内是增函数，又，则的解集为（ ） A． B． C． D． 22．已知函数是定义域为的奇函数，且，若对任意的，，且，都有成立，则不等式的解集为（   ） A． B． C． D． 23．已知函数，. (1)若在上为偶函数，求，的值； (2)设的定义域为，在（1）的条件下： ①判断函数在定义域上的单调性并证明； ②若，求实数t的取值范围. 24．已知函数是定义在上的偶函数，当时，． （1）求的解析式； （2）当时，求的最大值，并求函数的最小值． 1．下列函数是偶函数，且在区间上是减函数的是（    ） A． B． C． D． 2．已知是偶函数，则（    ） A． B． C． D．或 3．函数的大致图象是（   ） A． B． C． D． 4．设函数，若存在最小值，则的最小值为（    ） A． B． C． D．0 5．已知函数是定义在上不恒为零的奇函数，函数是定义在上的偶函数，则下列结论正确的是（   ） A．为奇函数 B．为奇函数 C．为偶函数 D．为偶函数 6．已知函数，对于任意两不等实数，，都有成立，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 7．已知函数定义域为，为偶函数，对任意的，且，均有恒成立，则不等式的解集为（   ） A． B． C． D． 8．已知是定义域为的偶函数，且对任意不相等的，，都有，记，则不等式的解集为（   ） A．（-2，3） B． C． D． 9．已知是定义在上的偶函数，且在上单调递减，若，则不等式的解集是（   ） A． B． C． D． 10．函数，若对任意，都有成立，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 11．已知函数满足对任意实数恒有，且当时，，，则不等式的解集为 ． 12．已知函数，，若对任意的，总存在，使得成立，则实数的取值范围是 13．已知函数，为常数. (1)若，证明：； (2)若对，不等式恒成立，求实数的取值范围. 14．已知定义在上的函数，对任意的，恒有，且时，． (1)求的值； (2)判断在上的单调性并证明； (3)解不等式：． 15．已知是定义在上的奇函数，且. (1)实数，的值； (2)判断并证明函数在上的单调性； (3)解不等式. 16．已知是定义在上的函数，且满足，又当时，． (1)判断的奇偶性，并说明理由； (2)求证：在区间上单调递减； (3)若，解不等式． 1 / 14 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题02 函数单调性与奇偶性的应用 目录 A题型建模・专项突破 题型一、函数单调性的判定 1 题型二、函数的最大值与最小值 2 题型三、利用函数单调性解不等式 3 题型四、函数奇偶性的判定 5 题型五、利用函数奇偶性求解析式与求值 6 题型六、函数单调性与奇偶性的综合应用 7 B综合攻坚・能力跃升 题型一、函数单调性的判定 1．求函数的单调区间. 【答案】增区间:，减区间:， 【分析】利用定义法进行取值、作差、因式分解最后分析正负即可. 【详解】任取，且， ， 当时，， ， 即，故在上是增函数， 同理，在上是增函数，在上是减函数，在上是减函数， 的增区间:，减区间:. 2．已知函数，且，设． (1)求函数的解析式； (2)用定义法判断的单调性． 【答案】(1) (2)在区间和和上分别单调递减 【分析】（1）直接根据题意代入求值即可； （2）根据定义法判断函数的单调性即可. 【详解】（1）因为，所以，则， 故． （2）易得的定义域为，， 则， ①当时，， 则，即， 故在区间上单调递减； ②当时，， 则，即， 故在区间单调递减， ③当时，， 则，即， 故在区间单调递减， 综上，在区间和和和上分别单调递减． 3．已知函数是一次函数，且满足. （1）求的解析式； （2）判断函数在上的单调性，并用函数单调性的定义给与证明. 【答案】（1）；（2）单调递减，证明见解析 【详解】（1）（1）由已知可设， 由，得， 整理可得， 所以，解得，所以，. （2）由（1）得，在上单调递减. 证明：任取，且， 则. 因为，所以，，， 所以，，即， 所以，在上单调递减. 4．讨论函数，在上的单调性 【答案】答案见解析 【分析】对分离常数，利用单调性的定义，对参数进行分类讨论，即可判断函数单调性. 【详解】∵函数= ∴任取，且， 则 =- = ， ∴当，即时， ，即，是减函数； 当，即 时， ，即，是增函数. 题型二、函数的最大值与最小值 5．已知函数 （1）判断该函数在区间上的单调性，并用函数的单调性定义证明； （2）并求函数在区间上的最值． 【答案】（1）函数在区间上的单调递减，证明见解析.(2) 函数的最小值为，最大值为10. 【分析】 (1)由定义法证明函数单调性的步骤直接证明即可. (2)由（1）的单调性结论，直接得出最值. 【详解】 函数在区间上的单调递减，证明如下: 设，任取，且 ,,则，， 所以，即 所以函数在区间上的单调递减. (2)由（1）可得函数在区间上单调递减. 所以当时，函数有最小值 ， 当时，函数有最大值， 所以函数的最小值为，最大值为10. 6．已知函数在上单调递减，对任意，均有，记，，则函数的最小值为 ． 【答案】3 【详解】设，则， 又， ∴， ∵在上单调递减， ∴， 得， 得， 得或（不合题意）， ∴． 当且仅当时“=”成立． 故答案为：3. 7．（多选）已知函数，下列选项正确的是（   ） A．若，则 B．函数在定义域内是减函数 C．若时，则的值域是 D．若，则函数有最小值也有最大值 【答案】AD 【分析】求得函数的定义域与单调性，进而逐项计算判断即可. 【详解】对于A，由，可得，解得，故A正确； 对于B，的定义域为， 所以在上单调递减，且， 所以在上单调递减，且， 故在上不是单调函数，故B错误； 对于C，由B可得，当时，， 当时，，所以的值域是， 当时，无意义，故C错误； 当且时，， 当且时，， 所以若，则函数有最小值也有最大值，故D正确； 故选：AD. 8．已知函数，且 (1)求函数的解析式； (2)求函数在上的最值． 【答案】(1) (2)最小值为，最大值为 【分析】（1）根据求出的值，利用换元法求的解析式即可； （2）利用函数单调性的定义求函数在上的单调性进而求最值即可. 【详解】（1）方法一：因为，，令，即， 所以，则，解得， 所以， 令，，则， 则，， 所以函数的解析式为. 方法二：由题意，所以， 又，所以，解得， 所以，即函数的解析式为. （2）由（1）知，任取，，且， 则， 因为，，所以，即， 所以函数在上单调递增， 同理任取，且，则， 因为，，所以，即， 所以函数在上单调递减， 故在上单调递减，在上单调递增， 又，， 故在上的最小值为，最大值为. 题型三、利用函数单调性解不等式 9．已知为上的减函数，则满足的实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】因为为上的减函数，且，所以，即，解得或． 10．已知是定义在上的增函数，且，则的取值范围是 . 【答案】 【分析】根据单调性的概念和函数的定义域得到满足的条件，从而得到结果. 【详解】由题意可得，，解得. 所以的取值范围是. 故答案为：. 11．已知函数满足对任意实数，都有成立，则a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D. 【分析】易知函数在R上递减，由求解. 【详解】因为函数满足对任意实数，都有 成立， 所以函数在R上递减， 所以， 解得： 故选：D. 12．定义在上的函数满足，且，，则不等式的解集为 . 【答案】 【分析】应用单调性定义，将转化为，可构造，对其讨论即可. 【详解】，不妨设， 故，即， 令，则，故在上单调递减， ，不等式两边同除以得：， 因为，所以，即， 根据在上单调递减，故，综上：，则解集为. 故答案为： 题型四、函数奇偶性的判定 13．判断下列函数的奇偶性，并加以证明： (1)；(2)；(3)；(4)； (5)；(6)；(7)；(8). 【详解】（1）为奇函数 定义域为R，关于原点对称， 且， 所以为奇函数. （2）为非奇非偶函数， 定义域为R，关于原点对称， ，且， 所以，为非奇非偶函数. （3）为非奇非偶函数， 定义域为，不关于原点对称， 所以，为非奇非偶函数. （4）为奇函数， 定义域为，关于原点对称， ， 所以为奇函数. （5）为偶函数， 定义域为，关于原点对称， ， 所以为偶函数. （6）为奇函数， 定义域为，关于原点对称， ， 所以为奇函数. （7）为偶函数， 定义域为R，关于原点对称. 对于，都有，且. 对于，， 有，. 同理可推得，，. 综上所述，，都有， 所以为偶函数. （8）为奇函数， 定义域为R，关于原点对称. 对于，都有，且. 对于，， 有，. 同理可推得，，. 综上所述，，都有， 所以为奇函数. 14．设函数，则下列函数中为奇函数的是（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】 分别求出选项的函数解析式，再利用奇函数的定义即可. 【详解】 由题意可得， 对于A，不是奇函数； 对于B，是奇函数； 对于C，，定义域不关于原点对称，不是奇函数； 对于D，，定义域不关于原点对称，不是奇函数. 故选：B 15．已知（，且），． (1)求的值； (2)判断函数的奇偶性； (3)证明函数在上是增函数． 【详解】（1）由已知（，且），， 则， ； （2）由已知， 得， 所以函数为偶函数； （3）证明：任取，，且令，即， 则， 即， 所以函数在上是增函数. 16．已知函数，且. (1)求实数的值； (2)判断该函数的奇偶性； (3)判断函数在上的单调性，并证明. 【详解】（1），且， ， ； （2）由（1）得函数，定义域为关于原点对称 ， 函数为奇函数． （3）函数在上是增函数， 任取，，不妨设， 则， 且，， ，即， 在上是增函数. 题型五、利用函数奇偶性求解析式与求值 17．已知定义在R上的函数分别是奇函数和偶函数，且，则 ． 【答案】 【分析】由题可得，然后利用奇偶性的定义即求，，最后计算即可； 【详解】∵， ∴. 由是奇函数，是偶函数，可有，， 代入上式，， 则有，； 则. 故答案为：. 18．函数为奇函数，则=（ ） A． B． C． D．1 【答案】A 【分析】 根据奇函数性质取1和-1分别代入，函数值和为0，即可求得. 【详解】 ∵为奇函数，∴，得． 故选：A. 19．已知，若，则（ ） A．-14 B．14 C．-6 D．10 【答案】A 【分析】 先计算，再代入数值得结果. 【详解】 ， 又，所以 故选：A 20．已知函数是定义在上的奇函数，当，. （1）求的值； （2）求在内的解析式. 【答案】（1）1；（2） 【详解】（1）根据题意，当，，则， 是奇函数，则． （2）令，则，由已知， ∵是奇函数， ∴当时，， ∴ 题型六、函数单调性与奇偶性的综合应用 21．若函数为奇函数，且在内是增函数，又，则的解集为（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】 根据为奇函数可把化为，分类讨论后可得不等式的解集. 【详解】 因为为奇函数，所以，所以即. 当时，等价于也即是， 因为在内是增函数，故可得. 因为在内是增函数且为奇函数， 故在内是增函数，又. 当时，等价于也即是， 故可得. 综上，的解集为. 故选：C. 22．已知函数是定义域为的奇函数，且，若对任意的，，且，都有成立，则不等式的解集为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由在单调递增，又结合为奇函数得出上递增，再由等价于或，即可求解集. 【详解】对任意的，，且，都有成立，所以在单调递增， 又因为函数是定义域为的奇函数，所以在单调递增， 由， 当时，，即； 当时，，即； 由可得. 故选：D. 23．已知函数，. (1)若在上为偶函数，求，的值； (2)设的定义域为，在（1）的条件下： ①判断函数在定义域上的单调性并证明； ②若，求实数t的取值范围. 【详解】（1）由得，， 因为在上是偶函数， 则，且定义域关于原点对称：， 所以，； （2）①函数在上单调递增； 证明如下：由（1）得，，任取满足， ， 由于，故，， 于是，则 则在上单调递增. ②因为函数的定义域为，关于原点对称， ，则为奇函数， 由，即， 又因为在上单调递增，则，解得， 所以实数t的取值范围是. 24．已知函数是定义在上的偶函数，当时，． （1）求的解析式； （2）当时，求的最大值，并求函数的最小值． 【答案】（1）；（2），. 【分析】 （1）设，则，进而根据函数奇偶性求解解析式即可得答案； （2）根据二次函数的性质，分和两种情况讨论求解得，再求函数的最值即可. 【详解】 解：（1）设，则， 由是定义在上的偶函数 ∴ ∴ （2）由（1）知，当时，，开口向上，对称轴是 ①若，即时，的最大值 ②若，即时，的最大值 ∴ ∵ ∴ 一、单选题 1．下列函数是偶函数，且在区间上是减函数的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据偶函数定义判断各选项是否为偶函数，再判断在区间的上的单调性. 【详解】A.令，则，是偶函数且在区间单调递减，A选项正确； B.令，则，是偶函数但在区间单调递增，B选项错误； C.令，则，非奇非偶函数，C选项错误； D.令，则，非奇非偶函数，D选项错误； 故选：A 2．已知是偶函数，则（    ） A． B． C． D．或 【答案】B 【分析】根据偶函数的定义关于原点对称求得，然后利用偶函数性质列式求得，即可得解. 【详解】因为偶函数的定义域关于原点对称，所以，且，解得； 由为偶函数，得，即， 即，因不恒为0，故，则． 故选：B 3．函数的大致图象是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】结合函数定义域、奇偶性与函数正负，借助排除法即可得. 【详解】的定义域为，故B错误； 又，则为奇函数，故A错误； 当时，，所以，故C错误. 故选：D. 4．设函数，若存在最小值，则的最小值为（    ） A． B． C． D．0 【答案】B 【分析】由的单调性得值域为，结合二次函数的性质，讨论、研究的最小值求参数范围. 【详解】在上单调递增，对应值域为， 当时，在上单调递减，对应值域为， 而， 若，则（舍），此时，不存在最小值， 若，则，即，此时，则最小值为， 当时，在上单调递减，在上单调递增，对应值域为， 此时，则最小值为， 综上，，故的最小值为. 故选：B 5．已知函数是定义在上不恒为零的奇函数，函数是定义在上的偶函数，则下列结论正确的是（   ） A．为奇函数 B．为奇函数 C．为偶函数 D．为偶函数 【答案】D 【分析】由奇偶性的定义逐个判断即可. 【详解】由题意，，. A选项， ，故为偶函数，A错误； B选项，，故为偶函数，B错误； C选项，，故为奇函数，C错误； D选项，，故为偶函数，D正确； 故选：D. 6．已知函数，对于任意两不等实数，，都有成立，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据分段函数的单调性，结合二次函数与一次函数的单调性，可得答案. 【详解】由题意可得函数在上单调递增， 则，解得或. 由函数在上单调递减，在上单调递增，则. 综上所述，的取值范围为. 故选：B. 7．已知函数定义域为，为偶函数，对任意的，且，均有恒成立，则不等式的解集为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先由条件判断函数的对称性和单调性，再利用性质将不等式转化为函数图象上横坐标为的点到直线的距离大于图象上横坐标为的点到直线的距离，列出不等式求解即得. 【详解】由为偶函数，可得函数的图象关于直线对称， 又因等价于， 即，依题意，可知函数在上单调递增， 由函数图象对称性可知，函数在上单调递减. 故由 可知图象上横坐标为的点到直线的距离大于图象上横坐标为的点到直线的距离， 即，即，两边取平方整理得， 解得，即不等式的解集为. 故选：C. 8．已知是定义域为的偶函数，且对任意不相等的，，都有，记，则不等式的解集为（   ） A．（-2，3） B． C． D． 【答案】B 【分析】应用已知不等式化简结合单调性定义得出在上单调递增，再结合偶函数性质列式，最后解一元二次不等式即可. 【详解】因为，所以. 由，得对任意不相等的，恒成立， 所以在上单调递增. 因为为偶函数，易知为偶函数，所以在上单调递减， 所以不等式等价于，即. 当，即时，，解得或，所以； 当，即时，，解得，所以. 综上所述，所求不等式的解集为. 故选：B. 9．已知是定义在上的偶函数，且在上单调递减，若，则不等式的解集是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用函数的奇偶性，判断的单调性，再由得，然后对进行分类讨论即可. 【详解】因为是定义在上的偶函数，且在上单调递减， 所以在上单调递增， 又得， 所以当时，，当时，， 因为 所以或，解得， 故选：D. 10．函数，若对任意，都有成立，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】应用分段函数单调递增列式计算求参即可. 【详解】因为对任意，都有成立， 所以是上的增函数， 则， 解得. 故选：C. 二、填空题 11．已知函数满足对任意实数恒有，且当时，，，则不等式的解集为 ． 【答案】 【分析】先证明单调递增，再利用赋值法，将原不等式转化为，再利用单调性求解. 【详解】，且，则, 则，所以单调递增； 令，得，解得； 令，得，解得， 则不等式转化为， 则，即 ，则， 解得， 所以不等式的解集为， 故答案为： 12．已知函数，，若对任意的，总存在，使得成立，则实数的取值范围是 【答案】 【分析】分别求在上的值域A和在上的值域B，根据题意可知 ，进而根据关于的不等式组，解不等式组即可. 【详解】因为，则，， 可得， 可知在上的值域为， 又因为，可知在上是增函数， 且，， 可知在上的值域， 若对任意的，总存在，使得成立， 则 ，可得，解得， 所以实数的取值范围是. 故答案为: . 三、解答题 13．已知函数，为常数. (1)若，证明：； (2)若对，不等式恒成立，求实数的取值范围. 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）代入，计算出的值即可完成证明； （2）将问题转化为“”，再结合对勾函数性质可求解出的取值范围. 【详解】（1）当时，， 所以， 所以成立； （2），不等式恒成立， 即，不等式恒成立， 即，不等式恒成立， 即，即， 令，则， 由对勾函数函数性质可知，在上单调递增， 所以在上单调递增，所以， 所以，故的取值范围是. 14．已知定义在上的函数，对任意的，恒有，且时，． (1)求的值； (2)判断在上的单调性并证明； (3)解不等式：． 【答案】(1) (2)在上为减函数，证明见解析 (3) 【分析】（1）令，代入计算即可； （2）根据，结合函数单调性定义证明即可； （3）由，结合（2）中的结论列不等式组求解即可. 【详解】（1）令，则，故； （2）在上为减函数，理由如下： 设， 则， 因为， 所以， 所以，即在上为减函数； （3），所以， 因此 因此，解得， 所以，不等式的解集为. 15．已知是定义在上的奇函数，且. (1)实数，的值； (2)判断并证明函数在上的单调性； (3)解不等式. 【答案】(1)， (2)在上单调递增，证明见解析 (3). 【分析】（1）根据函数是奇函数列式计算求参，再代入检验； （2）判断单调性，再应用单调性定义证明； （3）由（2）函数是偶函数，再利用单调性化简不等式求解. 【详解】（1）因为是定义在上的奇函数， 所以，， 因为，所以， 检验：，所以，； （2）在上单调递增， 证明：，，且，即，， ， ，即， 所以在上单调递增. （3）令，在上是偶函数， 由第（2）问知，在上单调递增. 所以， 解得， 所以解集为. 16．已知是定义在上的函数，且满足，又当时，． (1)判断的奇偶性，并说明理由； (2)求证：在区间上单调递减； (3)若，解不等式． 【答案】(1)为奇函数，理由见解析 (2)证明见解析 (3) 【分析】（1）先求得，再令，得到，即可证得为奇函数； （2）由（1）得到，令且，根据题意，证得，即可得证； （3）由（2）求得，根据题意，把不等式转化为，得到不等式，求解即得. 【详解】（1）函数为奇函数，理由如下： 因函数的定义域为，关于原点对称， 令，则，可得． 令，则，即， 用代换，可得，所以为奇函数． （2）由（1）知，则，即， 令，且，则且， 可得， 因为当时，，所以，即， 所以函数在上单调递减，所以函数在区间上单调递减． （3）由（2）知，可得， 由题设，可得，又，故原不等式可化为， 由（2）函数在上单调递减，可得，解得， 故不等式的解集为． 1 / 14 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $