3.2.1基本不等式（1）（备作业）-【上好课】2021-2022学年高一数学同步备课系列（苏教版2019必修第一册）

学科网（北京）股份有限公司 3.2.1基本不等式 1． 单选题 1．已知f(x)＝x＋－2(x＜0)，则f(x)有(　　) A．最大值为0　　B．最小值为0 C．最大值为－4 D．最小值为－4 解析：选C，∵x＜0，∴f(x)＝－－2≤－2－2＝－4，当且仅当－x＝，即x＝－1时取等号． 2．若a＞b＞0，则下列不等式成立的是(　　) A．a＞b＞＞ B．a＞＞＞b C．a＞＞b＞ D．a＞＞＞b 解析：选B　a＝＞＞＞＝b，因此只有B项正确． 3．已知x＞0，y＞0，且＋＝1，若x＋2y＞m2＋2m恒成立，则实数m的取值范围是(　　) A．(－∞，－2]∪[4，＋∞) B．(－∞，－4]∪[2，＋∞) C．(－2，4) D．(－4，2) 解析：∵x＞0，y＞0，∴x＋2y＝(x＋2y)＝＋＋4≥2＋4＝4＋4＝8，当且仅当x＝4，y＝2时，等号成立．∵x＋2y＞m2＋2m恒成立，∴m2＋2m＜8，解得－4＜m＜2，故选D. 4．已知x>0，y>0，x＋2y＋2xy＝8，则x＋2y的最小值是(　　) A．3 B．4 C. D. 解析：∵x＋2y＋2xy＝8，∴y＝>0，∴－1<x<8，∴x＋2y＝x＋2·＝(x＋1)＋－2≥2－2＝4，当且仅当x＋1＝时“＝”成立，此时x＝2，y＝1. 答案：B 5．若x>0，y>0，且＋＝1，则xy有(　　) A．最大值64 B．最小值 C．最小值 D．最小值64 解析：xy＝xy＝2y＋8x≥2＝8，∴≥8，即xy≥64，当且仅当 即时等号成立．答案：D 6．设0＜a＜b，则下列不等式中正确的是(　　) A．a＜b＜＜ B．a＜＜＜b C．a＜＜b＜ D.＜a＜＜b 【解析】　取特殊值法．取a＝2，b＝8，则＝4，＝5，所以a＜＜＜b.故选B. 【答案】　B 7．已知x≥，则f(x)＝有(　　) A．最大值为 B．最小值为 C．最大值为1 D.最小值为1 【解析】　∵x≥，∴x－2≥， ∴f(x)＝＝(x－2)＋≥ 2＝1，当且仅当＝， 即x＝3时，等号成立，∴f(x)min＝1. 【答案】　D 2． 填空题 8．若实数x，y满足x2＋y2＋xy＝1，则x＋y的最大值是________. 【解析】　x2＋y2＋xy＝(x＋y)2－xy≥(x＋y)2－＝(x＋y)2，∴(x＋y)2≤，∴|x＋y|≤，即x＋y的最大值为. 【答案】　 9．已知x，y∈R＋，且满足＋＝1，则xy的最大值为________． 【解析】　因为x＞0，y＞0， 所以＋≥2＝，即≤1，解得xy≤3，所以其最大值为3. 【答案】　3 10．已知a，b，m，n均为正数，且a＋b＝1，mn＝2，则(am＋bn)(bm＋an)的最小值为________． 【解析】　∵a，b，m，n∈R＋，且a＋b＝1，mn＝2， ∴(am＋bn)(bm＋an) ＝abm2＋a2mn＋b2mn＋abn2 ＝ab(m2＋n2)＋2(a2＋b2) ≥2ab·mn＋2(a2＋b2) ＝4ab＋2(a2＋b2) ＝2(a2＋b2＋2ab) ＝2(a＋b)2＝2， 当且仅当m＝n＝时，取“＝”， ∴所求最小值为2. 【答案】　2 11．若对任意x>0，≤a恒成立，则a的取值范围是________． 解析：因为x>0，所以x＋≥2，当且仅当x＝1时取等号，所以有＝≤＝ 即的最大值为，故a≥. 12．设a＞0，b＞0，给出下列不等式：①a2＋1＞a；②≥4；③(a＋b)≥4； ④a2＋9＞6a，其中恒成立的是________(填序号)． 解析：由于a2＋1－a＝2＋＞0，故①恒成立；由于a＋≥2，b＋≥2.∴≥4，故②恒成立；由于a＋b≥2，＋≥2 ，故(a＋b)·≥4，故③恒成立，当a＝3时，a2＋9＝6a，故④不能恒成立． 答案：①②③ 三、解答题 13．(1)已知0＜x＜，求y＝x(1－2x)的最大值． (2)已知x＜3，求f(x)＝＋x的最大值． (3)已知x，y∈R＋，且x＋y＝4，求＋的最小值； 解：(1)∵0＜x＜，∴1－2x＞0，y＝·2x·(1－2x)≤·2＝×＝. ∴当且仅当2x＝1－2x，即x＝时，y最大值＝. (2)∵x＜3，∴x－3＜0，∴f(x)＝＋x＝＋(x－3)＋3＝－＋3≤－2＋3＝－1，当且仅当＝3－x，即x＝1时取等号，∴f(x)的最大值为－1. (3)法一：∵x，y∈R＋，∴(x＋y)(＋)＝4＋(＋)≥4＋2. 当且仅当＝，即x＝2(－1)，y＝2(3－)时取“＝”号． 又x＋y＝4，∴＋≥1＋，故＋的最小值为1＋. 法二：∵x，y∈R＋，且x＋y＝4，∴＋＝＋