第8章 周末练17 章末检测试卷七(第8章 函数应用)（配套教参Word）-【步步高】2025-2026学年高一数学必修第一册学习笔记（苏教版）

**基本信息** 聚焦函数章节核心，以题载法系统整合零点判定、模型选择、方程求解等方法，通过数学眼光观察函数特征，用数学思维构建概念-性质-应用的知识逻辑链。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |函数零点与方程|5题|零点存在性定理、二分法、换元法|从函数单调性到零点判定，结合方程求解形成逻辑闭环| |函数模型与应用|4题|数据拟合、指数模型、分段函数分析|通过实际情境抽象函数模型，体现数学语言表达现实世界的能力| |综合应用与拓展|6题|数形结合、分类讨论、参数范围求解|整合函数性质与方程思想，培养数学思维的严谨性与创新性|

周末练17　章末检测试卷七(第8章) [时间：120分钟　分值：150分] 一、单项选择题(本题共8小题，每小题5分，共40分) 1.函数f(x)=2x+3x的零点所在的一个区间是(　　) A.(-2，-1) B.(-1，0) C.(0，1) D.(1，2) 答案　B 解析　因为f(-1)=-3<0，f(0)=1>0， 所以函数f(x)在区间(-1，0)上存在零点. 2.以半径为R的半圆上任意一点P为顶点，直径AB为底边的△PAB的面积S与高PD=x的函数关系式是(　　) A.S=Rx B.S=2Rx(x>0) C.S=Rx(0<x≤R) D.S=πR2 答案　C 解析　S△PAB=·AB·PD=Rx， 又0<PD≤R，∴S=Rx(0<x≤R). 3.在一次数学实验中，运用计算器采集到如下一组数据： x -2.0 -1.0 0 1.00 2.00 3.00 y 0.24 0.51 1 2.02 3.98 8.02 则x，y的函数关系与下列哪类函数最接近(其中，a，b为待定系数，b>0且b≠1)(　　) A.y=a+bx B.y=a+bx C.y=a+logbx D.y=a+ 答案　A 解析　B中，为匀速递增；在C中，x要求大于0；D是成反比；又因为函数值增长速度越来越快，只有A项中指数型函数最接近. 4.用二分法求方程的近似解，求得f(x)=x3+2x-9的部分函数值数据如表所示： x 1 2 1.5 1.625 1.75 1.875 1.812 5 f(x) -6 3 -2.625 -1.459 -0.14 1.341 8 0.579 3 则当精确度为0.1时，方程x3+2x-9=0的近似解可取为(　　) A.1.5 B.1.625 C.1.75 D.1.875 答案　C 解析　根据表中数据可知f(1.75)=-0.14<0，f(1.812 5)=0.579 3>0，且|1.812 5-1.75|=0.062 5<0.1，故方程的近似解可取为1.75. 5.已知函数f(x)=-log2x，若实数x0是函数f(x)的零点，且0<x1<x0，则f(x1)的值(　　) A.恒为正值 B.等于0 C.恒为负值 D.不大于0 答案　A 解析　∵函数f(x)在(0，+∞)上为减函数， 且f(x0)=0，∴当x∈(0，x0)时，均有f(x)>0， 而0<x1<x0，∴f(x1)>0. 6.在光纤通信中，发射器发出光信号的功率传输后会逐渐变弱，衰减后的光功率(单位：W)可表示为P(z)=P0e-αz，其中P0为起始光功率(单位：W)，α为衰减系数，z为接收信号处与发射器间的距离(单位：km).已知距离发射器3.5 km处的光功率衰减为起始光功率的一半.若当距离由z1 km变到z2 km时，光功率由P(z1)=100 W变到P(z2)=25 W，则(　　) A.z2-z1=7 B.z2-z1=14 C.=7 D.=14 答案　A 解析　依题意，P(3.5)=P0e-3.5α=P0，则e-3.5α= 由P(z1)=100 W，P(z2)=25 W， 得====e-7α， 所以z2-z1=7. 7.已知函数f(x)=4sin2x+asin x+1在区间[0，π]上有4个不同的零点，则实数a的取值范围是(　　) A.(-8，-4) B.(-5，-4) C.(-∞，-4) D.(-5，-4)∪(4，+∞) 答案　B 解析　令t=sin x，因为x∈[0，π]，所以t∈[0，1]， 构造函数g(t)=4t2+at+1，t∈[0，1]， 则g(0)=1≠0，要使f(x)在区间[0，π]上有4个不同的零点， 则g(t)在区间(0，1)上有2个不同的零点， 所以 解得-5<a<-4. 8.已知函数f(x)=则关于x的方程3[f(x)]2-7f(x)+2=0的实数解的个数为(　　) A.4 B.5 C.3 D.2 答案　A 解析　因为3[f(x)]2-7f(x)+2=0，所以f(x)=或f(x)=2. 当x≤0时，f(x)=x2≥0， 当x>0时，f(x)==≥×2= 当且仅当x=1时等号成立， 所以y=f(x)，y=2，y=在同一平面直角坐标系中的图象如图， 由图可知使f(x)=或f(x)=2的点有4个，即原方程的实数解的个数为4. 二、多项选择题(本题共3小题，每小题6分，共18分.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分) 9.下列给出的四个函数f(x)的图象中能使函数y=f(x)-1有零点的是(　　) 答案　ABD 解析　把y=f(x)的图象向下平移1个单位长度后，只有选项C中图象与x轴无交点. 10.假设你有一笔资金用于投资，现有三种投资方案供你选择，这三种方案每天的回报如图所示(横轴为投资时间，纵轴为每天的回报).根据以上信息，若使回报最多，则下列说法正确的是(　　) A.投资3天以内(含3天)，采用方案一 B.投资4天，不采用方案三 C.投资8天，采用方案二 D.投资12天，采用方案二 答案　ABC 解析　若投资3天以内(含3天)，因为每天的回报均是方案一的回报最大，故采用方案一；投资4天，方案三的总回报是最小的，故不采用该方案；投资8天，由图可得方案三的每天回报均低于方案二的每天回报，计算可以得到方案一的总回报为320元，方案二的总回报为10+20+30+40+50+60+70+80=360(元)，故采用方案二；投资12天时，采用方案三. 11.在数学中，布劳威尔不动点定理是拓扑学里一个非常重要的不动点定理，它可应用到有限维空间，并构成一般不动点定理的基石.布劳威尔不动点定理得名于荷兰数学家鲁伊兹·布劳威尔(L.E.J.Brouwer)，简单的讲就是对于满足一定条件的图象不间断的函数f(x)，存在一个点x0，使得f(x0)=x0，那么我们称该函数为“不动点”函数.下列为“不动点”函数的是(　　) A.f(x)=2x+x B.f(x)=x2-x-3 C.f(x)= D.f(x)=-x 答案　BCD 解析　根据定义可知，若f(x)有不动点， 则f(x)=x有解. A中，令2x+x=x， 所以2x=0，此时无解， 故f(x)不是“不动点”函数； B中，令x2-x-3=x，所以x=3或x=-1， 所以f(x)是“不动点”函数； C中，当x≤1时，令2x2-1=x， 所以x=-或x=1， 所以f(x)是“不动点”函数； D中，令-x=x， 所以x=± 所以f(x)是“不动点”函数. 三、填空题(本题共3小题，每小题5分，共15分) 12.用二分法求方程x3+4=6x2的一个近似解时，已经将一根锁定在区间(0，1)内，则下一步可断定该根所在的区间为　　　　.  答案　 解析　设函数f(x)=x3-6x2+4， 显然f(0)>0，f(1)<0， 又f=-6×+4>0， ∴下一步可断定方程的根所在的区间为. 13.某化工厂打算投入一条新的生产线，但需要经环保部门审批同意方可投入生产.已知该生产线连续生产n年的累计产量为f(n)=n(n+1)(2n+1)吨，但如果年产量超过150吨，会给环境造成危害，为保护环境，环保部门应给该厂这条生产线拟定最长的生产期限是　　　年.  答案　7 解析　由已知可得第n年的年产量 y= f(n)=n(n+1)(2n+1)，所以f(1)=3. 当n∈N*，n≥2时，f(n-1)=n(n-1)(2n-1)， 所以f(n)-f(n-1)=3n2，n=1时，也满足上式.所以第n年的年产量为y=3n2，n∈N*. 令3n2≤150，得n2≤50. 因为n∈N*，所以1≤n≤7，所以nmax=7. 14.已知函数f(x)是定义域为R的奇函数，-2是它的一个零点，且在(0，+∞)上单调递增，则该函数有　　　　个零点，这几个零点的和等于　　　　.  答案　3　0 解析　因为f(x)是R上的奇函数，所以f(0)=0， 又因为f(x)在(0，+∞)上单调递增， 由奇函数的对称性可知，f(x)在(-∞，0)上也是单调递增的， 由f(2)=-f(-2)=0，得f(x)在(0，+∞)和(-∞，0)上各有一个零点， 综上，函数f(x)在R上共有3个零点，其和为-2+0+2=0. 四、解答题(本题共5小题，共77分) 15.(13分)已知函数f(x)=x2+2mx+3m+4，其中m∈R. (1)若f(x)有且仅有一个零点，求m的值；(6分) (2)若f(x)有两个零点且均比-1大，求m的取值范围.(7分) 解　(1)f(x)=x2+2mx+3m+4有且仅有一个零点⇔方程f(x)=0有两个相等的实数根⇔Δ=0， 即4m2-4(3m+4)=0，即m2-3m-4=0， ∴m=4或m=-1. (2)由题意知即 ∴-5<m<-1，∴m的取值范围为(-5，-1). 16.(15分)某公司对营销人员有如下规定：①年销售额x(万元)在8万元以下，没有奖金；②年销售额x(万元)，x∈[8，64]时，奖金为y万元，且y=logax，y∈[3，6]，且年销售额越大，奖金越多；③年销售额x(万元)超过64万元，按年销售额的10%发奖金. (1)求奖金y关于x的函数解析式；(7分) (2)某营销人员争取获得年奖金y∈[4，10](万元)，求年销售额x在什么范围内.(8分) 解　(1)依题意知y=logax在区间[8，64]上单调递增，由题意得所以a=2， 所以y= (2)易知x≥8.当8≤x≤64时，要使y∈[4，10]， 则4≤log2x≤10，所以16≤x≤1 024， 所以16≤x≤64. 当x>64时，要使y∈[4，10]，则x∈[4，10]， 即40≤x≤100，所以64<x≤100. 综上，当年销售额x在[16，100](万元)内时，年奖金y∈[4，10](万元). 17.(15分)定义在R上的偶函数y=f(x)在(-∞，0]上单调递增，函数f(x)的一个零点为-求满足f≥0的x的取值范围. 解　∵-是函数的一个零点， ∴f=0. ∵y=f(x)是偶函数且在(-∞，0]上单调递增， ∴f=0且y=f(x)在[0，+∞)上单调递减，又f(lox)≥0， ∴-≤lox≤∴≤x≤2， 综上所述，x的取值范围为. 18.(17分)某公司研发的A，B两种芯片都已经获得成功，该公司研发芯片已经耗费资金2千万元.现在准备投入资金进行生产，经市场调查与预测，生产A芯片的毛收入与投入的资金成正比，已知每投入1千万元，公司获得毛收入0.25千万元；生产B芯片的毛收入y(千万元)与投入的资金x(千万元)的函数关系为y=kxa(x>0)，其图象如图所示. (1)试分别求出生产A，B两种芯片的毛收入y(千万元)与投入资金x(千万元)的函数关系式；(5分) (2)如果公司只生产一种芯片，那么生产哪种芯片毛收入更大？(6分) (3)现在公司准备投入4亿元资金同时生产A，B两种芯片，设投入x千万元生产B芯片，用f(x)表示公司所获净利润，当x为多少时，可以获得最大净利润？并求出最大净利润.(净利润=A芯片毛收入+B芯片毛收入-研发耗费资金)(6分) 解　(1)由题意得生产A芯片的毛收入y=(x>0)， 将(1，1)，(4，2)代入y=kxa， 得∴ ∴生产B芯片的毛收入y=(x>0). (2)由>得x>16； 由=得x=16； 由<得0<x<16. ∴当投入资金大于16千万元时，生产A芯片的毛收入更大； 当投入资金等于16千万元时，生产A，B芯片的毛收入相同； 当投入资金小于16千万元时，生产B芯片的毛收入更大. (3)由题知投入x千万元生产B芯片，则投入(40-x)千万元资金生产A芯片，公司所获净利润f(x)=+-2=--2)2+9，0<x<40. 故当=2，即x=4时，公司所获净利润最大，最大净利润为9千万元. 19.(17分)已知函数f(x)=loga(2x2-2)，g(x)=2loga(x+t)，其中a>0且a≠1. (1)当t=1时，求不等式f(x)≤g(x)的解集；(8分) (2)若函数F(x)=af(x)+(t-2)x2+(1-6t)x+8t+1在区间(2，5]上有零点，求实数t的取值范围.(9分) 解　(1)当t=1时，不等式可化为loga(2x2-2)≤2loga(x+1)，即loga(2x2-2)≤loga(x+1)2， 当0<a<1时，得解得x≥3； 当a>1时，得解得1<x≤3. 综上，当0<a<1时，不等式的解集为[3，+∞)； 当a>1时，不等式的解集为(1，3]. (2)由题意得，函数F(x)=tx2+(1-6t)x+8t-1=t(x2-6x+8)+x-1， 令t(x2-6x+8)+x-1=0， 因为x∈(2，5]，所以x-1∈(1，4]，则t≠0， 故-==(x-1)+-4∈[2-4，0)∪得0<≤4-2或-≤<0， 解得t≥1+或t≤-. 故实数t的取值范围为∪. 学科网（北京）股份有限公司 $