专题33 函数的零点与方程的解（七类重难点题型）（压轴题专项训练）数学苏教版2019高一必修第一册

专题33 函数的零点与方程的解 （七类重难点题型） 目录 典例解析 类型一、求函数的零点（方程的根） 类型二、利用函数零点所在区间求参数 类型三、零点的个数问题 类型四、已知零点个数求参数范围 类型五、函数零点大小与范围问题 类型六、求零点的和 类型七、函数与方程综合 压轴专练 类型一、求函数的零点（方程的根） 函数零点的概念： 对于一般函数，我们把使的实数叫做函数的零点. 几何定义:函数的零点就是方程的实数解,也就是函数的图象与轴的公共点的横坐标.  这样：方程有实数解函数有零点函数的图象与轴有公共点 注：函数的零点不是函数与x轴的交点，函数的零点不是一个点，而是一个数，该数是函数图象与x轴交点的横坐标． 【技巧方法】 求函数y＝f(x)的零点的方法 (1)代数法：根据零点的定义，解方程f(x)＝0，它的实数根就是函数y＝f(x)的零点． (2)几何法或性质法：若方程f(x)＝0的解不易求出，可以根据函数y＝f(x)的性质及图象求出零点．例如，已知f(x)是定义在R上的减函数，且f(x)为奇函数，求f(x)的零点：因为f(x)是奇函数，那么由奇函数的性质可知f(0)＝0，因为f(x)是定义在R上的减函数，所以不存在其他的x使f(x)＝0，从而y＝f(x)的零点是0.　 例1．已知函数，则函数的零点是 ． 变式1-1．已知函数，则函数的零点为（ ） A．1 B．0 C．e D． 变式1-2．已知定义在上的是单调函数，且对任意恒有，则函数的零点为（ ） A． B． C．9 D．27 变式1-3．已知函数则函数的所有零点构成的集合为 ． 类型二、利用函数零点（方程根）所在区间求参数 函数零点存在定理： 如果函数在区间上的图象是一条连续不断的曲线，且有，那么函数在区间内至少有一个零点，即存在，使得，这个也就是方程的解. 说明：定理要求具备两个条件:①函数在区间上的图象是连续不断的;②.两个条件缺一不可. 注：（1）函数零点存在定理的条件有哪些？定理要求具备两条：①函数在区间[a，b]上的图象是连续不断的一条曲线；②f(a)·f(b)<0. （2）在函数零点存在定理中，若f(a)·f(b)<0，则函数f(x)在(a，b)内存在零点．则满足f(x)在(a，b)内连续且单调，且f(a)·f(b)<0. 【技巧方法】 确定函数f(x)零点所在区间的常用方法 (1)解方程法：当对应方程f(x)＝0易解时，可先解方程，再看求得的根是否落在给定区间上． (2)利用函数零点存在定理：首先看函数y＝f(x)在区间[a，b]上的图象是否连续，再看是否有f(a)·f(b)<0.若f(a)·f(b)<0，则函数y＝f(x)在区间(a，b)内必有零点． (3)数形结合法：通过画函数图象，观察图象与x轴在给定区间上是否有交点来判断． 例2．（1）关于的方程有两个不相等的实数根，若，则实数的取值范围是（ ） A. B. 或 C. 或 D. 或 （2）函数在区间存在零点．则实数m的取值范围是（ ） A． B． C． D． 变式2-1．已知函数的零点在区间内，则整数（ ） A． B． C． D． 变式2-2．如果函数的两零点分别落在区间和上，则实数的取值范围是（ ） A． B． C． D． 变式2-3．若函数在区间内有零点，则实数的取值范围是 . 类型三、零点的个数问题 【技巧方法】 函数零点个数的判断： ①利用代数法，求出所有零点； ②数形结合，通过作图，找出图象与轴交点的个数； ③数形结合，通过分离，将原函数拆分成两个函数，找到两个函数图象交点的个数； ④函数零点唯一：函数存在零点+函数单调. 例3．已知函数，则函数的零点个数是（ ） A．6 B．5 C．4 D．3 变式3-1．函数的零点个数为（ ） A．0 B．1 C．2 D．3 变式3-2．已知函数，则函数的零点个数为（ ） A．3 B．5 C．6 D．8 变式3-3．已知函数（），函数，则函数的零点个数为（ ） A．1 B．2 C．3 D．4 类型四、已知零点（方程根）个数求参数范围 【技巧方法】 已知函数有零点(方程有根)求参数取值范围的方法： (1)直接法：直接根据题设条件构建关于参数的不等式，通过解不等式确定参数的取值范围． (2)分离参数法：先将参数分离，然后转化成求函数值域问题加以解决． (3)数形结合法：先对解析式变形，在同一直角坐标系中，画出函数的图象，然后数形结合求解． 例4．（1）已知函数，.若有且只有1个零点，则a的取值范围是 .   （2）设函数是定义在上的奇函数，对任意，都有，且当时，，若方程且恰有3个不同的实数根，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 变式4-1．已知函数，若函数有两个不同的零点，则实数的取值范围为（ ） A． B． C． D． 变式4-2．已知函数，若函数有3个零点，则的取值范围是（ ） A． B． C． D． 变式4-3．已知函数在区间上有4个不同的零点，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 或 变式4-4．已知函数且有8个不同的实数根，则的取值范围是__________. 类型五、函数零点大小与范围问题 利用零点存在定理以及函数的单调性比较零点大小关系，通常借助于数形结合的思想解决问题． 例5．（1）已知，，的零点分别是，，，则，，的大小顺序是（ ） A． B． C． D． （2）（多选）已知函数，若有四个不同的解且，则可能的取值为（ ） A． B． C． D． 变式5-1．设，，，则、、的大小关系是（ ） A． B． C． D． 变式5-2．（多选）已知函数，的零点分别为，，则（ ） A． B． C． D． 变式5-3．设，若函数有三个不相等的零点，则的取值范围是______. 类型六、求零点的和 利用函数图像与性质求出函数的所有零点再求和 【技巧方法】 函数零点的求法： ①代数法：根据零点定义，求出方程的实数解; ②数形结合法：作出函数图象，利用函数性质求解。 例6．函数的所有零点之和为（ ） A．0 B．-1 C． D．2 变式6-1．已知函数，，的零点分别为a，b，c，则为（ ） A．0 B．3 C．4 D．6 变式6-2．函数，则函数的所有零点之和为（ ） A．0 B．3 C．10 D．13 变式6-3．已知定义域为的函数满足，且曲线与曲线有且只有两个交点，则函数的零点之和是____________ 类型七、函数与方程综合 方程的根与函数零点的关系 方程有实数根函数的图像与轴有公共点函数有零点. 【技巧方法】 函数的零点相关技巧： ①若连续不断的函数在定义域上是单调函数，则至多有一个零点. ②连续不断的函数，其相邻的两个零点之间的所有函数值同号. ③连续不断的函数通过零点时，函数值不一定变号. ④连续不断的函数在闭区间上有零点，不一定能推出. 例7．已知函数，若存在，使得，则的取值范围是_________． 变式7-1．已知函数，关于x的方程在上有四个不同的解，且，若恒成立，则实数k的取值范围是（ ） A． B． C． D． 变式7-2．定义域为的函数，若关于x的方程恰有5个不同的实数解，，，，，则等于（ ） A．1 B． C． D．0 变式7-3．已知函数． (1)是否存在，使得为定值，若存在，求出m的值；若不存在，说明理由； (2)若，方程有两个根，，且，，求的取值范围． 变式7-4．已知函数 （1）若，判断函数在上的单调性（无需证明），并求在上的值域； （2）若关于的方程恰有三个不等实根，且. （i）求的值； （ii）求的最大值.（参考公式：） 1.函数的零点所在的区间是（ ） A． B． C． D． 2.函数的一个零点在区间内，则实数的取值范围是（ ） A． B． C． D． 3.若函数在区间内恰有一个零点，则实数a的取值集合为（ ） A． B．或. C． D．或. 4.给定函数，，对于，用表示，中较小者，记为，若方程恰有三个不相等的实数根，则实数的取值范围为（ ） A． B． C． D． 5.若函数与满足：存在唯一的，使得，则称与为一对“一面之缘”函数，给出下列四对函数：①；②；③；④.其中，满足“一面之缘”函数的对数为（ ） A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 6.（多选）已知函数的图象过坐标原点，且值域为，则下列说法正确的有（ ） A. B. C. 若，则 D. 若关于方程有实数根，则实数的取值范围为 7.（多选）已知函数的两个零点为，则（ ） A. 当时，的取值范围为 B. C. 当且仅当时，恒成立 D. 8.（多选） 设函数，则下列判断正确的是（ ） A．方程的实数根为-2，0，，2 B．若方程有3个互不相等的实数根，则的取值范围为 C．若方程有4个互不相等的实数根，则的取值范围为 D．若方程有3个互不相等的实数根，则的取值范围为 9.方程在区间上有解，则实数a的取值范围为 ． 10.设函数，则方程的解集为 . 11.已知曲线与曲线恰有两个公共点，则实数的取值范围是_______- 12.已知满足，当，，若函数在上恰有八个不同的零点，则实数的取值范围为_____. 13.已知函数. (1)当时，求关于的方程的解； (2)若关于的方程在上有两个不相等的解，求的取值范围. 14.已知函数，若函数在区间上的最大值与最小值之差为1. （1）求函数解析式； （2）当，求函数的最值，并求出取得最值时对应的的值； （3）已知关于的方程的两个实根满足，求实数的取值范围. 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题33 函数的零点与方程的解 （七类重难点题型） 目录 典例解析 类型一、求函数的零点（方程的根） 类型二、利用函数零点所在区间求参数 类型三、零点的个数问题 类型四、已知零点个数求参数范围 类型五、函数零点大小与范围问题 类型六、求零点的和 类型七、函数与方程综合 压轴专练 类型一、求函数的零点（方程的根） 函数零点的概念： 对于一般函数，我们把使的实数叫做函数的零点. 几何定义:函数的零点就是方程的实数解,也就是函数的图象与轴的公共点的横坐标.  这样：方程有实数解函数有零点函数的图象与轴有公共点 注：函数的零点不是函数与x轴的交点，函数的零点不是一个点，而是一个数，该数是函数图象与x轴交点的横坐标． 【技巧方法】 求函数y＝f(x)的零点的方法 (1)代数法：根据零点的定义，解方程f(x)＝0，它的实数根就是函数y＝f(x)的零点． (2)几何法或性质法：若方程f(x)＝0的解不易求出，可以根据函数y＝f(x)的性质及图象求出零点．例如，已知f(x)是定义在R上的减函数，且f(x)为奇函数，求f(x)的零点：因为f(x)是奇函数，那么由奇函数的性质可知f(0)＝0，因为f(x)是定义在R上的减函数，所以不存在其他的x使f(x)＝0，从而y＝f(x)的零点是0.　 例1．已知函数，则函数的零点是 ． 【答案】和 【分析】根据分段函数解析式，由求得正确答案. 【解析】依题意，或， 解得或（负根舍去）. 故答案为：和 变式1-1．已知函数，则函数的零点为（ ） A．1 B．0 C．e D． 【答案】C 【分析】先根据函数解析式，求出的解析式，再由函数的零点定义，解对数方程即得. 【解析】由可得， 由可得，，解得. 故选：C. 变式1-2．已知定义在上的是单调函数，且对任意恒有，则函数的零点为（ ） A． B． C．9 D．27 【答案】A 【分析】根据给定条件，设代入条件利用函数是单调的即可求解. 【解析】设，即， 因为，可得， 所以，解得，所以， 令，可得，即，解得. 故选：A. 变式1-3．已知函数则函数的所有零点构成的集合为 ． 【答案】 【分析】根据给定条件，利用换元法求出方程的解集作答. 【解析】函数的零点，即方程的所有根， 令，根据函数，方程的解是， 则方程的根，即为方程的根， 当时，，由，， 当时，，由，， 综上，函数所有零点构成的集合是. 故答案为：. 类型二、利用函数零点（方程根）所在区间求参数 函数零点存在定理： 如果函数在区间上的图象是一条连续不断的曲线，且有，那么函数在区间内至少有一个零点，即存在，使得，这个也就是方程的解. 说明：定理要求具备两个条件:①函数在区间上的图象是连续不断的;②.两个条件缺一不可. 注：（1）函数零点存在定理的条件有哪些？定理要求具备两条：①函数在区间[a，b]上的图象是连续不断的一条曲线；②f(a)·f(b)<0. （2）在函数零点存在定理中，若f(a)·f(b)<0，则函数f(x)在(a，b)内存在零点．则满足f(x)在(a，b)内连续且单调，且f(a)·f(b)<0. 【技巧方法】 确定函数f(x)零点所在区间的常用方法 (1)解方程法：当对应方程f(x)＝0易解时，可先解方程，再看求得的根是否落在给定区间上． (2)利用函数零点存在定理：首先看函数y＝f(x)在区间[a，b]上的图象是否连续，再看是否有f(a)·f(b)<0.若f(a)·f(b)<0，则函数y＝f(x)在区间(a，b)内必有零点． (3)数形结合法：通过画函数图象，观察图象与x轴在给定区间上是否有交点来判断． 例2．（1）关于的方程有两个不相等的实数根，若，则实数的取值范围是（ ） A. B. 或 C. 或 D. 或 【答案】B 【分析】按照、和分类讨论，按照二次方程根的分布列不等式组求解即可. 【解析】当时，方程只有一个根，显然不符合题意； 当时，则，解得； 当时，则，解得， 故或． 故选：B （2）函数在区间存在零点．则实数m的取值范围是（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据函数单调性，零点存在性定理得到答案. 【解析】由在上单调递增，在上单调递增， 得函数在区间上单调递增， 因为函数在区间存在零点， 所以，即，解得， 所以实数m的取值范围是. 故选：B. 变式2-1．已知函数的零点在区间内，则整数（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据函数单调性，零点存在性定理得到答案. 【解析】易知函数为增函数，且， 观察可知，，则的零点在区间内， 故. 故选：B 变式2-2．如果函数的两零点分别落在区间和上，则实数的取值范围是（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由一元二次方程根的分布列出不等式求解即可. 【解析】为开口向上的抛物线， 由题意可得：，即 解得：. 故选：C. 变式2-3．若函数在区间内有零点，则实数的取值范围是 . 【答案】 【分析】根据函数单调性，零点存在性定理得到答案. 【解析】由题意得：为连续函数， 且在上单调递减，在上单调递增， 故，，， 所以只需或， 解得：， 故实数的取值范围是. 故答案为： 类型三、零点的个数问题 【技巧方法】 函数零点个数的判断： ①利用代数法，求出所有零点； ②数形结合，通过作图，找出图象与轴交点的个数； ③数形结合，通过分离，将原函数拆分成两个函数，找到两个函数图象交点的个数； ④函数零点唯一：函数存在零点+函数单调. 例3．已知函数，则函数的零点个数是（ ） A．6 B．5 C．4 D．3 【答案】C 【分析】将函数的零点个数转化为方程和根的个数，然后再转化为函数与，图象交点个数，最后结合图象判断即可. 【解析】函数的零点， 即方程和的根，函数的图象，如下图所示： 由图可得方程和的根，共有4个根，即函数有4个零点． 故选：C． 变式3-1．函数的零点个数为（ ） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】C 【分析】结合分段函数，在各自的范围判断零点个数即可. 【解析】当时，令，解得：； 当时，在上单调递增， 又，所以， 所以在上有且只有1个零点； 综上，在上有2个零点. 故选：C 变式3-2．已知函数，则函数的零点个数为（ ） A．3 B．5 C．6 D．8 【答案】B 【分析】令，求出方程的根，再结合图象求出的解的个数即可. 【解析】依题意，函数零点的个数，即为方程解的个数， 令，则，当时，，令，， 函数在上单调递增，于是函数在上单调递增， 又，，则存在，使得； 当时，，解得或， 作函数的大致图象，如图：      又，则， 当时，，由的图象知，方程有两个解； 当时，，由的图象知，方程有两个解； 当 ，时，，由的图象知，方程有一个解， 综上所述，函数的零点个数为5. 故选：B. 变式3-3．已知函数（），函数，则函数的零点个数为（ ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【分析】根据曲线在点处的切线方程判断曲线和的交点情况，求方程的根，并根据函数的单调性及零点存在定理判断该根的大致范围，判断的图象与直线，的交点情况 【解析】函数的零点个数即方程的根的个数．令，则方程等价于． 求曲线在点处的切线方程，得曲线和的交点情况 对于函数，易知当时，，， 故曲线在点处的切线方程为， 因此曲线和无交点．（技巧：通过研究曲线在点处的切线， 数形结合判断曲线和的交点情况） 求方程的根，并判断该根的大致范围： 将代入，得， 则，令，得或， 故当时，，与无交点， 作出函数和的大致图象如图所示，结合图象可知， 方程有且仅有1个解，且此解就是方程的解． 易知函数是增函数，且，（点拨：因为，所以，故）因此方程的解． 又当时，，所以无解，显然有2个解， 所以函数有2个零点， 故选：B． 类型四、已知零点（方程根）个数求参数范围 【技巧方法】 已知函数有零点(方程有根)求参数取值范围的方法： (1)直接法：直接根据题设条件构建关于参数的不等式，通过解不等式确定参数的取值范围． (2)分离参数法：先将参数分离，然后转化成求函数值域问题加以解决． (3)数形结合法：先对解析式变形，在同一直角坐标系中，画出函数的图象，然后数形结合求解． 例4．（1）已知函数，.若有且只有1个零点，则a的取值范围是 . 【答案】 【分析】令，将函数的零点个数问题转化成函数与函数的交点个数问题，然后在同一坐标系中，画出与的函数图象，最后根据图象求解出结果. 【解析】令，则, 在同一坐标系中画出，图象的示意图，如图所示， 若存在2个零点，则的图象与的图象有2个交点，平移的图象可知，当直线过点时，有2个交点，此时，得到， 当在上方，即时，仅有1个交点，符合题意； 当在下方，即时，有2个交点，不符合题意， 综上，a的取值范围为， 故答案为：.    （2）设函数是定义在上的奇函数，对任意，都有，且当时，，若方程且恰有3个不同的实数根，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【分析】由题意分析得函数的周期为4，作出函数图象，根据题意得函数的图象与的图象有3个不同的交点，作出图象，数形结合即可求解. 【解析】因为函数是定义在上的奇函数，当时，， 所以时，， 又因为对任意的，都有， 所以，即， 又因为，即， 所以，所以，即函数以4为周期， 又由方程恰有3个不同的实数根， 得函数的图象与的图象有3个不同的交点， ， 当时，如图， 要使两函数图象有3个交点，则，解得， 当时，如图， 要使两函数图象有3个交点，则，解得， 综上， 故选：D 变式4-1．已知函数，若函数有两个不同的零点，则实数的取值范围为（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据题意，转化为与的图象有两个不同的交点，画出的图象，结合图象，即可求解. 【解析】由有两个不同的零点，即方程有两个不同的解， 即函数与的图象有两个不同的交点， 画出函数的图象，如图所示， 结合图象可得或，解或，即. 故选：B. 变式4-2．已知函数，若函数有3个零点，则的取值范围是（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】转化为与图象有3个不同的交点，画出两函数图象，数形结合得到答案. 【解析】令，故， 画出与的图象， 函数有3个零点，即与图象有3个不同的交点， 则， 解得. 故选：D 变式4-3．已知函数在区间上有4个不同的零点，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 或 【答案】C 【分析】令，分析可知函数在上有两个不同零点，根据二次函数的零点分布可得出关于实数的不等式组，由此可解得实数的取值范围． 【解析】∵，令，，令，如下图所示： 要使得函数在上有个零点，则函数在上有个不同的零点，显然， 所以，，解得． 故选：C． 变式4-4．已知函数且有8个不同的实数根，则的取值范围是__________. 【答案】 【分析】设，实根问题转化为的零点问题，结合的图像分析出的零点分布情况，分类讨论求解. 【解析】作出的图像，如图： 设，当时，函数的图像与直线有四个交点， 故在上有两个零点， 所以，即解得 所以的取值范围是 故答案为： 类型五、函数零点大小与范围问题 利用零点存在定理以及函数的单调性比较零点大小关系，通常借助于数形结合的思想解决问题． 例5．（1）已知，，的零点分别是，，，则，，的大小顺序是（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】将函数的零点，转化为函数的图象分别与函数、、的图象交点的横坐标，利用数形结合法求解． 【解析】解：函数，，的零点， 即为函数分别与函数、、的图象交点的横坐标， 如图所示： 由图可得. 故选：B （2）（多选）已知函数，若有四个不同的解且，则可能的取值为（ ） A． B． C． D． 【答案】BC 【分析】作出分段函数的图象，数形结合确定以及，进而可得，构造函数结合函数的单调性即可得解. 【解析】当时，， 当时，，当时，， 作出函数的图象如下，    则由图象可知，的图象与有4个交点，分别为， 因为有四个不同的解且， 所以，且，且，， 又因为 所以即，所以， 所以，且， 构造函数， 因为函数在上都是减函数， 所以函数在上单调递减， 所以，即， 所以. 故选：BC. 变式5-1．设，，，则、、的大小关系是（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用零点存在定理计算出、的取值范围，利用对数函数的单调性可得出，即可得出、、的大小关系. 【解析】构造函数，因为函数、在上均为增函数， 所以，函数为上的增函数，且，， 因为，由零点存在定理可知； 构造函数，因为函数、在上均为增函数， 所以，函数为上的增函数，且，， 因为，由零点存在定理可知. 因为，则，因此，. 故选：B. 变式5-2．（多选）已知函数，的零点分别为，，则（ ） A． B． C． D． 【答案】ABD 【分析】由指数函数与对数函数、的对称性知与关于直线对称，利用指数幂、对数运算的性质计算依次判断选项即可. 【解析】因为函数与的图象关于直线对称，图象也关于直线对称， 设与图象的交点为A， 与图象的交点为， 则与关于直线对称，则，． 因为，所以，则，即， 因为的图象与直线的交点为， 所以，，，则． 故选：ABD. 变式5-3．设，若函数有三个不相等的零点，则的取值范围是______. 【答案】 【分析】根据解析式作出函数的图象，得到的范围，再由得到，从而得解. 【解析】对于， 当时，，则； 当时，，则，且当时，； 当时，，则， 且当时，，当时，，； 作出函数的图象，如图， 不妨设，因为，则， 由得，则， 由，得，即， 则. 故答案为：. 类型六、求零点的和 利用函数图像与性质求出函数的所有零点再求和 【技巧方法】 函数零点的求法： ①代数法：根据零点定义，求出方程的实数解; ②数形结合法：作出函数图象，利用函数性质求解。 例6．函数的所有零点之和为（ ） A．0 B．-1 C． D．2 【答案】A 【分析】根据解析式构造函数与函数分别画出图象，数形结合即可求解． 【解析】由零点定义可知，函数的零点，就是方程的实数根，令， 则，显然，所以， 构造函数与函数，则方程的根， 可转化为两个函数图象的交点问题，根据图象可知，两个函数图象相交于两点， 所以此方程有两个实数根，即函数有两个零点， 设为，所以，， 即， 另外发现，将代入，可得， 所以也是函数的零点，说明，即. 故选:A. 变式6-1．已知函数，，的零点分别为a，b，c，则为（ ） A．0 B．3 C．4 D．6 【答案】B 【分析】分别作函数，，的图象，数形结合即可求解． 【解析】如图，在平面直角坐标系中，作函数，，的图象，它们的图象与函数的交点的横坐标就是. 因为，互为反函数，其图象关于直线对称，与垂直，所以. 又，所以. 所以. 故选：B 变式6-2．函数，则函数的所有零点之和为（ ） A．0 B．3 C．10 D．13 【答案】D 【分析】令，根据，求得或，再根据和，结合分段函数的解析式，即可求解. 【解析】令， 由得或，所以或， 当时，或， 当时，则或，解得， 所以函数的所有零点之和为. 故选：D. 变式6-3．已知定义域为的函数满足，且曲线与曲线有且只有两个交点，则函数的零点之和是____________ 【答案】2 【分析】判断函数和的图象关于点对称，即可判断曲线与曲线有且只有的两个交点关于点对称，结合函数图象交点与函数零点的关系，可得函数的零点之和. 【解析】由题意定义域为的函数满足， 则的图象关于点成中心对称， 函数的图象是由的图象向右平移一个单位得到， 故的图象关于点成中心对称， 又曲线与曲线有且只有两个交点， 则这两个交点关于对称，故这两个交点的横坐标之和为2， 而函数的零点即为曲线与曲线交点的横坐标， 故函数的零点之和是2， 故答案为：2 类型七、函数与方程综合 方程的根与函数零点的关系 方程有实数根函数的图像与轴有公共点函数有零点. 【技巧方法】 函数的零点相关技巧： ①若连续不断的函数在定义域上是单调函数，则至多有一个零点. ②连续不断的函数，其相邻的两个零点之间的所有函数值同号. ③连续不断的函数通过零点时，函数值不一定变号. ④连续不断的函数在闭区间上有零点，不一定能推出. 例7．已知函数，若存在，使得，则的取值范围是_________． 【答案】 【分析】根据解析式画出图象，数形结合可得时，存在，使得，根据解析式可以求出，，所以可化成，再结合范围即可求出取值范围． 【解析】 可得函数图象如下所示 由图可知，当时，存在，使得， 不妨令此时，则对于、满足方程，即，所以； 对于、满足方程，即，所以，则有， ， 其中，则， 即 故答案为： ． 变式7-1．已知函数，关于x的方程在上有四个不同的解，且，若恒成立，则实数k的取值范围是（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据解析式画出图象，数形结合即可求出k的取值范围． 【解析】整理可得：，故或，由于，故无解，由基本不等式，时，，故无解，依题意，于是在上有四个解，由余弦函数，对勾函数的图像，可作出的图像如下： 结合图像可知，当时，在上有四个解如图所示，由于是的一条对称轴，根据对称性，，由，即，整理可得，由于，故，即. 于是可以整理为，又，解得，结合图像可知，，即，故，当时取得等号，为使得恒成立，只需，即，解得. 故选：B 变式7-2．定义域为的函数，若关于x的方程恰有5个不同的实数解，，，，，则等于（ ） A．1 B． C． D．0 【答案】C 【分析】根据解析式画出图象，数形结合即可求解． 【解析】令，作出函数的大致图象， 当时，， 故函数的图象关于直线对称， 因为关于的方程恰有个不同的实数根， 则关于的方程恰有两根，设为、，且必有一根为，设， 设方程的两根分别为、，且，则， 所以，，， 因此，. 故选：C. 变式7-3．已知函数． (1)是否存在，使得为定值，若存在，求出m的值；若不存在，说明理由； (2)若，方程有两个根，，且，，求的取值范围． 【答案】(1)；(2) 【分析】（1）直接计算，则得到关于的方程，解出即可； （2）首先整理得，数形结合得，再表示出，计算之和即可. 【解析】（1） ， 若为定值则应，解得，即. 当时，，当时，. 所以存在符合要求. （2）时，方程即为，整理得，即， 因为方程有两个根，由图象可知，，即， 且，得，同理有，得， 所以， 由，得，所以的取值范围是. 变式7-4．已知函数 （1）若，判断函数在上的单调性（无需证明），并求在上的值域； （2）若关于的方程恰有三个不等实根，且. （i）求的值； （ii）求的最大值.（参考公式：） 【答案】（1）在上单调递减， （2）（i）4（ii）7 【分析】（1）先判断函数的单调性，进而求出值域. （2）（i）构造函数，判断该函数的对称轴，从而证明结论；（ii）根据（i）中的结论列出的表达式，进而可化简所求式子，最后根据二次函数的性质求出最大值即可. 【解析】（1）若， 因为函数和均在上单调递减， 所以函数在上单调递减，故，值域为. （2）（i）证明：， 显然：当时，， 由于方程有三个不等实根，所以必有， 令，则，即. 显然有，由 得到，所以函数关于直线对称， 由，可得：， （ii）由得：，由（i）得：， 于是，令 当且仅当时等号成立，故的最大值为7. 1.函数的零点所在的区间是（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据函数单调性，零点存在性定理得到答案. 【解析】函数的定义域为， 函数在上单调递增，函数在上单调递减， 所以在上单调递增． 由，， 所以函数的零点所在的区间是. 故选：B． 2.函数的一个零点在区间内，则实数的取值范围是（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据函数单调性，零点存在性定理得到答案. 【解析】和在上是增函数， 在上是增函数， 只需即可，即，解得． 故选：B. 3.若函数在区间内恰有一个零点，则实数a的取值集合为（ ） A． B．或. C． D．或. 【答案】D 【分析】根据题意，分和，结合二次函数的性质，以及零点存在性定理，列出不等式，即可求解. 由函数， 【解析】由函数， 若，可得，令，即，解得，符合题意； 若，令，即，可得， 当时，即，解得，此时，解得，符合题意； 当时，即且，则满足， 解得且， 若，可得，令，即， 解得或，其中，符合题意； 若，可得，令，即， 解得或，其中，符合题意； 综上可得，实数的取值范围为或. 故选：D. 4.给定函数，，对于，用表示，中较小者，记为，若方程恰有三个不相等的实数根，则实数的取值范围为（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】作出函数和的图像，得的图像，由题意，直线与的图像与有三个交点，结合图像判断实数的取值范围. 【解析】由，解得或， 函数和的图像相交于点和， 在平面直角坐标系内作出函数和的图像， 由，得的图像，如图所示， 方程恰有三个不相等的实数根，则的图像与直线有三个交点， 由图像可知实数的取值范围为. 故选：B 5.若函数与满足：存在唯一的，使得，则称与为一对“一面之缘”函数，给出下列四对函数：①；②；③；④.其中，满足“一面之缘”函数的对数为（ ） A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 【答案】A 【分析】逐一分析四对函数图象在上的交点个数或函数在上的零点个数.对于①，通过函数的单调性及零点的个数可判断；对于②，取特殊值验证可判断；对于③，通过判断函数图象的交点个数可判断；对于④，先换元后判断交点个数可得解. 【解析】对于①，， 如图，当时，因为是过原点的直线，单调递减，且时，，， 所以的图象在上有一个交点； 当时，，. 综上，至少有两个，满足，所以与不是一对“一面之缘”函数. 对于②，取特殊值验证，因为，， 所以至少存在两个，满足，所以与不是一对“一面之缘”函数. 对于③，的定义域为， 当时，，，所以的图象在上没有交点； 当时，，，所以的图象在上没有交点. 综上，不存在，使得，所以与不是一对“一面之缘”函数. 对于④，令，则可转化为， 如图，由对勾函数知，，当且仅当时，等号成立，且其图象开口向上； 由二次函数的性质知抛物线的开口向下，且，当且仅当时，等号成立， 所以的图象无交点，不存在，使得，所以与不是一对“一面之缘”函数. 综上，四对函数中，满足“一面之缘”函数的对数为0. 故选：A. 6.（多选）已知函数的图象过坐标原点，且值域为，则下列说法正确的有（ ） A. B. C. 若，则 D. 若关于方程有实数根，则实数的取值范围为 【答案】ACD 【分析】利用函数过原点求出，又因为值域为，求出，A正确；利用函数的单调性判断B选项；利用不等式性质得到C选项正确；再利用换元法将函数转化为二次函数，即可求得的取值范围得到D选项正确. 【解析】对于选项A:因为函数过坐标原点，所以，即.因为函数的值域为， 即在处取得最大值， 所以函数在区间上单调递增，在上单调递减；当x趋于无穷大时，趋于0，趋于，即，即，故A正确； 对于选项B:因为，又函数在上单调递减，所以，即，故B错误； 对于选项C：当时，， ,故C正确； 对于选项D:令，，当时，取最小值，当或时，值为0，所以方程有实数根，则实数的取值范围为，故D正确； 故选：ACD 7.（多选）已知函数的两个零点为，则（ ） A. 当时，的取值范围为 B. C. 当且仅当时，恒成立 D. 【答案】ABD 【分析】根据二次函数的单调即可求解A，根据求根公式求解和，即可根据求解BCD. 【解析】对于A，的对称轴为，且， 故时，单调递减，则，即，A正确； 对于B，由于，则， 由于函数均为上的单调递增函数，故在上单调递增， 故，故，故B正确； 对于C， ，由于函数均为上的单调递增函数， 故在单调递增，则， 即，故当时，恒成立； 又，故时，也有恒成立， 即当或，均恒成立，故C错误； 对于D， 由于，故，故D正确， 故选：ABD. 8.（多选） 设函数，则下列判断正确的是（ ） A．方程的实数根为-2，0，，2 B．若方程有3个互不相等的实数根，则的取值范围为 C．若方程有4个互不相等的实数根，则的取值范围为 D．若方程有3个互不相等的实数根，则的取值范围为 【答案】ABC 【分析】根据解析式画出图象，数形结合即可逐项判断． 【解析】A.当时，，得或， 当时，，解得：或， 所以方程的实数根为-2，0，，2，故A正确； B.如图，若方程有3个互不相等的实数根，则与有3个交点，则，故B正确； C.如图，根据对称性可知，，即 ，则， 则，由的实数根并结合函数的图象，可知，函数在上单调递增，所以，所以的取值范围为，故C正确； D.如图，由C的说明可知，，，若方程有3个互不相等的实数根，则，当时，，所以时，，则的取值范围为，故D错误. 故选：ABC 9.方程在区间上有解，则实数a的取值范围为 ． 【答案】 【分析】根据在区间端点的正负列式求解即可. 【解析】考查，因为，且开口向上， 故在区间上最多有一个零点，结合零点存在性定理可得，若方程在区间上有解， 则，即，解得. 故答案为： 10.设函数，则方程的解集为 . 【答案】 【分析】根据给定条件，利用换元法求出方程的解集作答. 【解析】函数，令，则方程化为， 当时，，解得，当时，，解得，因此或， 当时，，显然，即，解得， 当时，，若，则，解得，若，则，解得，因此或， 所以方程的解集为. 故答案为： 11.已知曲线与曲线恰有两个公共点，则实数的取值范围是_______- 【答案】 【分析】先根据含绝对值的函数、基本初等函数的性质作出相关函数的图象再观察函数图象并利用数形结合思想得到参数的取值范围． 【解析】的图象是以为端点的两条射线． 当时，曲线与曲线恰有两个公共点，，如图1． 当时，曲线与曲线的公共点就是曲线与曲线的交点与，如图2． 当时，曲线与曲线只有一个公共点，如图3． 当时，曲线与曲线无公共点，如图4． 综上，的取值范围为． 故答案为： 12.已知满足，当，，若函数在上恰有八个不同的零点，则实数的取值范围为_____. 【答案】 【分析】根据函数的周期性，作出函数在上的图象，将函数的零点个数问题转化为函数的图象的交点个数问题，数形结合，可得答案. 【解析】由题意知满足，故是以8为周期的函数， 结合，作出函数在上的图象，如图示： 因为， 故时，即或， 则在上恰有八个不同的零点，即等价于的图象和直线有八个不同的交点， 由图象可知，和的图象有6个不同的交点， 则和的图象需有2个不同的交点，即， 故， 则实数的取值范围为， 故答案为： 13.已知函数. (1)当时，求关于的方程的解； (2)若关于的方程在上有两个不相等的解，求的取值范围. 【答案】(1)或；(2) 【分析】（1）将代入，解方程即可 （2）构造函数，利用双勾函数的单调性可得判断的单调性并求出相应的值域，然后结合图形即可得出 【解析】（1）时，，令 解得 令 解得：或 （2）.显然 当时， 记，如图所示 因为在上单调递增，值域为； 根据对勾函数性质知在上单调递减，值域为； 在上单调递增，值域为 综上可知，的取值范围为 14.已知函数，若函数在区间上的最大值与最小值之差为1. （1）求函数解析式； （2）当，求函数的最值，并求出取得最值时对应的的值； （3）已知关于的方程的两个实根满足，求实数的取值范围. 【答案】（1）， （2）答案见解析 （3） 【分析】（1）根据对数函数的单调性分类讨论进行求解即可； （2）利用换元法，结合二次函数的性质进行求解即可； （3）利用换元法，结合对数函数的单调性、一元二次方程根的分布性质进行求解即可. 【解析】（1）当时，函数单调递增， 函数在区间上的最大值与最小值分别为， 由题意可得：， 此时区间为； 当时，此时，显然区间不成立， 综上所述：，即； （2） 令，因为，所以， 所以， 所以，， ， 所以当时，函数有最小值， 当时，函数有最大值； （3）令， 方程， 因为关于的方程的两个实根满足， 所以， 即 所以关于的方程的两个实根满足， 设， 要想关于的方程的两个实根满足， 只需， 所以实数的取值范围为. 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $