第8章 章末复习课 函数应用（配套教参Word）-【步步高】2025-2026学年高一数学必修第一册学习笔记（苏教版）

该高中数学讲义以知识框架图为统领，系统梳理函数的零点、二分法、函数模型应用三大模块。函数零点部分明确存在定理的三点注意事项及方程与函数图象交点的转化关系，二分法强调初始区间选择与精确度检验，函数模型应用结合实际数据对比选择最优模型，清晰呈现知识内在逻辑与重难点分布。 讲义亮点在于“概念-方法-应用”的递进式练习设计，如例1通过分段函数零点问题培养数学抽象与直观想象素养，例3结合销售数据选择函数模型提升数学建模能力。跟踪训练分层设置，基础题巩固零点判定方法，综合题强化实际问题解决，助力不同层次学生提升，为教师实施精准复习教学提供系统资源。

一、函数的零点 1.在函数零点存在定理中，要注意三点： (1)函数图象是不间断的；(2)定理不可逆；(3)至少存在一个零点. 2.方程f(x)=g(x)的根是函数f(x)与g(x)的图象交点的横坐标，也是函数y=f(x)-g(x)的图象与x轴交点的横坐标. 3.解决函数零点的求解与判定，要认真领会零点的概念及判断方法，同时重点提升数学抽象和直观想象的核心素养. 例1　已知函数f(x)=(a∈R)，若函数在R上有两个零点，则a的取值范围是(　　) A.(-∞，-1) B.(-∞，1) C.(-1，0) D.[-1，0) 答案　D 解析　由3x-1=0可得x=>0，函数在R上有两个零点，可转化为ex+a=0在x≤0时有一个实根，即函数y=-a与y=ex的图象在(-∞，0]上有一个交点，当x≤0时，ex∈(0，1]，所以0<-a≤1，即-1≤a<0. 反思感悟　判断函数存在零点的方法 (1)方程法：若方程f(x)=0的解可求或能判断解的个数，可通过方程的解来判断函数是否存在零点或判断零点的个数. (2)图象法：由f(x)=g(x)-h(x)=0，得g(x)=h(x)，在同一平面直角坐标系中作出y1=g(x)和y2=h(x)的图象，根据两个图象交点的个数来判定函数零点的个数. (3)定理法：函数y=f(x)的图象在区间[a，b]上是一条连续不断的曲线，由f(a)f(b)<0即可判断函数y=f(x)在区间(a，b)上至少有一个零点.若函数y=f(x)在区间(a，b)上是单调函数，则函数f(x)在区间(a，b)上只有一个零点. 跟踪训练1　已知函数f(x)=|2x-2|-b有两个零点，求实数b的取值范围. 解　由f(x)=|2x-2|-b=0，得|2x-2|=b. 在同一平面直角坐标系中分别画出y=|2x-2|与y=b的图象，如图所示， 函数f(x)=|2x-2|-b有两个零点，即两函数图象有两个交点，所以0<b<2，即实数b的取值范围为(0，2). 二、二分法 1.函数的零点就是对应方程的解，所以二分法不仅可以求函数的零点，也可以求方程的近似解. 2.用二分法求方程的近似解，首先要选好计算的初始区间，这个区间既要包含所求的根，又要使其长度尽量小，其次要依据给定的精确度，及时检验所得区间是否达到精确度要求，以决定是停止计算还是继续计算. 3.二分法求函数的零点或方程的近似解是对零点存在定理的应用，同时提升了逻辑推理与数学运算的核心素养. 例2　求方程lg x=2-x的近似解(精确度为0.1). 解　在同一平面直角坐标系中，作出y=lg x，y=2-x的图象，如图所示， 可以发现方程lg x=2-x有唯一解，记为x0，并且解在区间(1，2)内. 设f(x)=lg x+x-2， 则f(x)的零点为x0. 用计算器计算，得f(1)<0， f(2)>0⇒x0∈(1，2)； f(1.5)<0，f(2)>0⇒x0∈(1.5，2)； f(1.75)<0，f(2)>0⇒x0∈(1.75，2)； f(1.75)<0，f(1.875)>0⇒x0∈(1.75，1.875)； f(1.75)<0，f(1.812 5)>0⇒x0∈(1.75，1.812 5). 因为|1.812 5-1.75|=0.062 5<0.1， 所以原方程的近似解可取为1.75. 反思感悟　用二分法求方程近似解的关注点 (1)理论依据：函数零点存在定理. (2)方法：构造函数，通过求函数零点近似值解决. (3)表示：借助表格或数轴表示，会使求解过程显得更清晰. (4)注意：要随时检验零点所在的区间是否符合精确度要求. 跟踪训练2　判断方程2x3-4x2-3x+3=0在(0，1)内是否有解，若有，则利用二分法求出该方程在(0，1)内的近似解.(精确度为0.1) 解　设f(x)=2x3-4x2-3x+3，且零点为x0. ∵f(0)=3>0，f(1)=-2<0，且f(x)在(0，1)上的图象是不间断的， ∴原方程在(0，1)内有解. 取(0，1)的中点0.5，且f(0.5)=0.75>0， ∴x0∈(0.5，1). 取(0.5，1)的中点0.75， 且f(0.75)≈-0.656<0，∴x0∈(0.5，0.75). 取(0.5，0.75)的中点0.625， 且f(0.625)≈0.05>0，∴x0∈(0.625，0.75). 取(0.625，0.75)的中点0.687 5， 且f(0.687 5)≈-0.3<0. ∴x0∈(0.625，0.687 5)， ∵|0.687 5-0.625|=0.062 5<0.1，∴原方程的近似解可取为0.625. 三、函数模型的应用 1.根据实际问题提供的两个变量的数量关系可构建和选择正确的函数模型.同时，要注意利用函数图象的直观性来确定适合题意的函数模型. 2.在构建函数模型时，要根据实际情况灵活选取函数模型，要认真审题，读懂题意，理解叙述所反映的实际背景，领悟从背景中概括出来的数学问题，要注意培养直观想象与数学建模的核心素养. 例3　某校数学学习小组在假期社会实践活动中，通过对某药厂一种中药材销售情况的调查发现：该中药材在2024年的价格浮动最大的一个月内(以30天计)日平均销售单价M(x)(单位：元/千克)与第x天(1≤x≤30，x∈N*)的函数关系满足M(x)=+20(k为正常数).该中药材的日销售量N(x)(单位：千克)与x的部分数据如表所示： x 4 10 20 30 N(x) 149 155 165 155 已知第4天该中药材的日销售收入为3 129元. (日销售收入=日销售单价×日销售量) (1)求k的值； (2)给出以下四种函数模型：①N(x)=ax+b，②N(x)=a(x-20)2+b，③N(x)=a|x-20|+b，④N(x)=a·logbx.请你根据表中的数据，帮助这组同学从中选择最合适的一种函数模型来描述该中药材的日销售量N(x)与x的关系，并求出该函数的解析式和日销售收入f(x)(单位：元)的最小值. 解　(1)由题意得，当x=4时·149=3 129， 解得k=5. (2)因为随着x的增加，N(x)的值有增有减， 所以①④不符合题意. 将(10，155)，(20，165)分别代入②中的函数解析式可得解得 即得②中的函数解析式为N(x)=-(x-20)2+165. 将(10，155)，(20，165)分别代入③中的函数解析式可得解得 即得③中的函数解析式为N(x)=-|x-20|+165. 将x=4代入N(x)=-(x-20)2+165， 可得N(4)=-×(4-20)2+165=139.4； 将x=4代入N(x)=-|x-20|+165， 可得N(4)=-|4-20|+165=149. 综上，N(x)=-|x-20|+165(1≤x≤30，x∈N*)最合适. 当x∈[1，20)时，N(x)=-(20-x)+165=x+145， 所以f(x)=(x+145) =(x+1+144) =5+20(x+1)++2 880 ≥2 885+2=3 125， 当且仅当20(x+1)= 即x=5时，等号成立. 当x∈[20，30]时， N(x)=-(x-20)+165=185-x， 所以f(x)=(-x+185) =(-x-1+186) =-20(x+1)+3 715， 因为函数f(x)在区间[20，30]上单调递减， 所以f(x)≥f(30)=3 125， 当且仅当x=30时，等号成立. 综上可知，当x=5或x=30时日销售收入f(x)最小，最小值为3 125元. 反思感悟　函数模型的选取 (1)当描述增长速度变化很快时，常常选用指数函数模型. (2)当要求不断增长，但又不会增长过快，也不会增长到很大时，常常选用对数函数模型. (3)幂函数模型y=xn(n>0)则可以描述增长幅度不同的变化，n值较小(n≤1)时，增长较慢；n值较大(n>1)时，增长较快. (4)现实生活中有很多问题都是用分段函数表示的，如出租车计费、个人所得税等，分段函数是刻画现实问题的重要模型. 跟踪训练3　植物研究者在研究某种植物1~5年内的植株高度时，将得到的数据进行整理得到如图所示的图形.现要根据这些数据用一个函数模型来描述这种植物在1~5年内的生长规律，下列函数模型中符合要求的是(　　) A.y=kax+b(k>0，a>1) B.y=klogax+b(k>0，a>1) C.y=+b(k>0) D.y=ax2+bx+c(a>0) 答案　B 解析　由题图可知函数单调递增，但是趋于平缓.选项A，a∈(1，+∞)，它在(0，+∞)上单调递增且递增速率变大，故A错误；选项B，a∈(1，+∞)，它在(0，+∞)上单调递增且递增速率变小，B正确；选项C，当k>0时，y=在(0，+∞)上单调递减，C错误；选项D，当a>0时，它的图象开口向上，与题图不相符，D错误. 学科网（北京）股份有限公司 $