第5章 章末复习课 函数概念与性质（配套教参Word）-【步步高】2025-2026学年高一数学必修第一册学习笔记（苏教版）

 

一、求函数的定义域、值域

1.求函数定义域的常用依据是分母不为0，偶次根式中被开方数大于或等于0，零次幂的底数不为0等；由几个式子构成的函数，则定义域是使各式子有意义的集合的交集.

2.通过基本的集合交并补运算，解简单的不等式，提升逻辑推理和数学抽象素养.

例1　(1)函数f(x)=+(2x-1)0的定义域为(　　)

A. B.

C. D.∪

答案　D

解析　由题意知解得x<1且x≠

即f(x)的定义域是∪.

(2)已知函数y=f(x-1)的定义域是[-1，2]，则y=f(1-3x)的定义域为(　　)

A. B.

C.[0，1] D.

答案　C

解析　由y=f(x-1)的定义域是[-1，2]，

则x-1∈[-2，1]，

即f(x)的定义域是[-2，1]，

令-2≤1-3x≤1，

解得0≤x≤1，

即y=f(1-3x)的定义域为[0，1].

(3)函数y=的值域为　　　　　　. 

答案　(-1，1]

解析　因为y==-1+

又函数的定义域为R，

所以x2+1≥1，

所以0<≤2，则y∈(-1，1].

反思感悟　求函数定义域的类型与方法

(1)已给出函数解析式：函数的定义域是使解析式有意义的自变量的取值集合.

(2)实际问题：求函数的定义域既要考虑解析式有意义，还应考虑使实际问题有意义.

(3)①若f(x)的定义域为[a，b]，f(g(x))的定义域应由a≤g(x)≤b解出；

②若f(g(x))的定义域为[a，b]，则f(x)的定义域为g(x)在[a，b]上的值域.

跟踪训练1　(1)函数y=+-的定义域为　　　　　　　. 

答案　{x|1≤x≤5，且x≠3}

解析　解不等式组得

故函数的定义域是{x|1≤x≤5，且x≠3}.

(2)(多选)下列函数中，值域为[0，4]的是(　　)

A.f(x)=x-1，x∈[1，5]

B.f(x)=-x2+4

C.f(x)=

D.f(x)=x+-2(x>0)

答案　AC

解析　对于A，由x∈[1，5]可得f(x)=x-1的值域为[0，4]，故A正确；

对于B，由f(x)=-x2+4≤4可得该函数的值域为(-∞，4]，故B错误；

对于C，由0≤f(x)=≤=4可得该函数的值域为[0，4]，故C正确；

对于D，f(6)=6+-2=>4，

所以该函数的值域不为[0，4]，故D错误.

二、求函数的解析式

1.求函数的解析式最常用的方法是换元法和待定系数法.

2.掌握常见的基本初等函数的类型和求解析式的方法，提升数学运算和逻辑推理素养.

例2　(1)函数f(x)在R上为奇函数，当x>0时，f(x)=+1，则f(x)的解析式为　　　　　　　　　　　　　　. 

答案　f(x)=

解析　设x<0，则-x>0，

∴f(-x)=+1.

∵f(x)是奇函数，∴f(-x)=-f(x)，

即-f(x)=+1，∴f(x)=--1.

∵f(x)在R上是奇函数，∴f(0)=0，

∴f(x)=

(2)已知f=+则f(x)的解析式为　　　　　　　　　　　　　. 

答案　f(x)=x2-x+1，x∈(-∞，1)∪(1，+∞)

解析　令t==+1，

则x=t≠1.

把x=代入f=+

得f(t)=+

=(t-1)2+1+(t-1)

=t2-t+1.

所以所求函数的解析式为f(x)=x2-x+1，x∈(-∞，1)∪(1，+∞).

反思感悟　求函数解析式的题型与相应的解法

(1)已知形如f(g(x))的解析式求f(x)的解析式，使用换元法或配凑法.