第5章 章末复习课 函数概念与性质（配套教参Word）-【步步高】2025-2026学年高一数学必修第一册学习笔记（苏教版）

该高中数学讲义通过知识网络框架图系统构建函数单元知识体系，将求定义域值域、解析式、性质综合应用及图象画法分模块梳理，明确分母不为0等定义域依据、换元法等解析式求法，呈现各知识点内在逻辑与重难点分布。 讲义亮点在于“例题-反思-跟踪”三阶练习设计，如例1结合零次幂求定义域、例3抽象函数奇偶性与单调性综合应用，通过反思感悟总结换元法等解题通法，培养逻辑推理与数学抽象素养。跟踪训练含基础题与多选题，助力不同层次学生提升，为教师实施精准复习提供清晰路径。

一、求函数的定义域、值域 1.求函数定义域的常用依据是分母不为0，偶次根式中被开方数大于或等于0，零次幂的底数不为0等；由几个式子构成的函数，则定义域是使各式子有意义的集合的交集. 2.通过基本的集合交并补运算，解简单的不等式，提升逻辑推理和数学抽象素养. 例1　(1)函数f(x)=+(2x-1)0的定义域为(　　) A. B. C. D.∪ 答案　D 解析　由题意知解得x<1且x≠ 即f(x)的定义域是∪. (2)已知函数y=f(x-1)的定义域是[-1，2]，则y=f(1-3x)的定义域为(　　) A. B. C.[0，1] D. 答案　C 解析　由y=f(x-1)的定义域是[-1，2]， 则x-1∈[-2，1]， 即f(x)的定义域是[-2，1]， 令-2≤1-3x≤1， 解得0≤x≤1， 即y=f(1-3x)的定义域为[0，1]. (3)函数y=的值域为　　　　　　.  答案　(-1，1] 解析　因为y==-1+ 又函数的定义域为R， 所以x2+1≥1， 所以0<≤2，则y∈(-1，1]. 反思感悟　求函数定义域的类型与方法 (1)已给出函数解析式：函数的定义域是使解析式有意义的自变量的取值集合. (2)实际问题：求函数的定义域既要考虑解析式有意义，还应考虑使实际问题有意义. (3)①若f(x)的定义域为[a，b]，f(g(x))的定义域应由a≤g(x)≤b解出； ②若f(g(x))的定义域为[a，b]，则f(x)的定义域为g(x)在[a，b]上的值域. 跟踪训练1　(1)函数y=+-的定义域为　　　　　　　.  答案　{x|1≤x≤5，且x≠3} 解析　解不等式组得 故函数的定义域是{x|1≤x≤5，且x≠3}. (2)(多选)下列函数中，值域为[0，4]的是(　　) A.f(x)=x-1，x∈[1，5] B.f(x)=-x2+4 C.f(x)= D.f(x)=x+-2(x>0) 答案　AC 解析　对于A，由x∈[1，5]可得f(x)=x-1的值域为[0，4]，故A正确； 对于B，由f(x)=-x2+4≤4可得该函数的值域为(-∞，4]，故B错误； 对于C，由0≤f(x)=≤=4可得该函数的值域为[0，4]，故C正确； 对于D，f(6)=6+-2=>4， 所以该函数的值域不为[0，4]，故D错误. 二、求函数的解析式 1.求函数的解析式最常用的方法是换元法和待定系数法. 2.掌握常见的基本初等函数的类型和求解析式的方法，提升数学运算和逻辑推理素养. 例2　(1)函数f(x)在R上为奇函数，当x>0时，f(x)=+1，则f(x)的解析式为　　　　　　　　　　　　　　.  答案　f(x)= 解析　设x<0，则-x>0， ∴f(-x)=+1. ∵f(x)是奇函数，∴f(-x)=-f(x)， 即-f(x)=+1，∴f(x)=--1. ∵f(x)在R上是奇函数，∴f(0)=0， ∴f(x)= (2)已知f=+则f(x)的解析式为　　　　　　　　　　　　　.  答案　f(x)=x2-x+1，x∈(-∞，1)∪(1，+∞) 解析　令t==+1， 则x=t≠1. 把x=代入f=+ 得f(t)=+ =(t-1)2+1+(t-1) =t2-t+1. 所以所求函数的解析式为f(x)=x2-x+1，x∈(-∞，1)∪(1，+∞). 反思感悟　求函数解析式的题型与相应的解法 (1)已知形如f(g(x))的解析式求f(x)的解析式，使用换元法或配凑法. (2)已知函数的类型(往往是一次函数或二次函数)，使用待定系数法. (3)含f(x)与f(-x)或f(x)与f使用解方程组法. (4)已知一个区间的解析式，求另一个区间的解析式，可用奇偶性转移法. 跟踪训练2　(1)已知函数f(x)是定义域为R的偶函数，且当x≥0时，f(x)=x2-x-1，则当x<0时，f(x)的解析式为(　　) A.f(x)=x2+x-1 B.f(x)=x2-x-1 C.f(x)=x2+x+1 D.f(x)=x2-x+1 答案　A 解析　当x<0时，-x>0，则f(-x)=(-x)2+x-1=x2+x-1， ∵函数f(x)是定义域为R的偶函数， ∴f(-x)=f(x)， ∴f(x)=x2+x-1，x<0. (2)已知函数f(x)对任意x满足3f(x)-f(2-x)=4x，则f(x)=　　　.  答案　x+1 解析　因为3f(x)-f(2-x)=4x， ① 以2-x代替x，得3f(2-x)-f(x)=4(2-x)， ② ②+①×3，得8f(x)=8+8x，即f(x)=1+x. 三、函数性质的综合应用 1.函数的性质主要有定义域、值域、单调性和奇偶性，利用函数的单调性和奇偶性求值、比较大小、解不等式是重点考查内容，解不等式时经常结合图象，要注意勿漏定义域的影响. 2.借助单调性和奇偶性的判断和证明及简单的综合运用，提升数学抽象、逻辑推理和直观想象素养. 例3　已知函数f(x)的定义域是[-2，2]，若对于任意x，y∈[-2，2]，都有f(x+y)=f(x)+f(y)，且x>0时，有f(x)>0.令g(x)=f(x+1)+f. (1)求g(x)的定义域； (2)解不等式g(x)>0. 解　(1)因为f(x)的定义域为[-2，2]， 所以有 即解得-3≤x≤1， 所以g(x)的定义域为[-3，1]. (2)令x=y=0，可得f(0)=f(0)+f(0)， 即f(0)=0， 令y=-x，得f(0)=f(x)+f(-x)， 即f(-x)=-f(x)，所以f(x)是奇函数， 令-2≤x1<x2≤2， 则x2-x1>0，且f(x)为奇函数， f(x2)-f(x1)=f(x2)+f(-x1)=f(x2-x1)>0， 即f(x2)>f(x1)， 所以f(x)在[-2，2]上单调递增， 由题意可知，f(x+1)>f 所以2≥x+1>-≥-2， 解得x∈即不等式的解集为. 反思感悟　(1)解决有关函数性质的综合应用问题的通法就是根据函数的奇偶性解答或作出图象辅助解答，先证明函数的单调性，再由单调性求最值. (2)研究抽象函数的性质时要紧扣其定义，同时注意根据解题需要给x灵活赋值. 跟踪训练3　已知函数f(x)=是奇函数，且f(2)=. (1)求实数m和n的值； (2)求函数f(x)在区间[-2，-1]上的最值. 解　(1)∵f(x)是奇函数， ∴f(-x)=-f(x)， ∴=-=. 比较得n=-n，n=0. 又f(2)= ∴=解得m=2. ∴实数m和n的值分别是2和0. (2)由(1)知f(x)==+. 任取x1，x2∈[-2，-1]，令x1<x2， 则f(x1)-f(x2)=(x1-x2) =(x1-x2)·. ∵-2≤x1<x2≤-1， ∴x1-x2<0，x1x2>1，x1x2-1>0， ∴f(x1)-f(x2)<0， 即f(x1)<f(x2). ∴函数f(x)在[-2，-1]上单调递增. ∴f(x)max=f(-1)=- f(x)min=f(-2)=-. 四、函数的图象的画法 1.利用函数的图象可以直观地观察出函数的值域、最值、单调性、奇偶性等，重点是一次函数、二次函数及反比例函数图象. 2.掌握简单的基本函数图象，提升直观想象和数据分析素养. 例4　已知函数f(x)=|-x2+2x+3|. (1)画出函数图象并写出函数的单调区间； (2)求集合M={m|使方程f(x)=m有四个不相等的实数根}. 解　(1)当-x2+2x+3≥0，即-1≤x≤3时， 函数f(x)=-x2+2x+3=-(x-1)2+4； 当-x2+2x+3<0，即x<-1或x>3时， 函数f(x)=x2-2x-3=(x-1)2-4， 所以f(x)= 的图象如图所示，增区间为[-1，1]和[3，+∞)，减区间为(-∞，-1)和(1，3). (2)由题意可知，函数y=f(x)与y=m的图象有四个不同的交点，则0<m<4. 故集合M={m|0<m<4}. 反思感悟　作函数图象的方法 (1)描点法——求定义域；化简；列表、描点、连线. (2)变换法——熟知函数图象的平移、伸缩、对称、翻转. ①平移：y=f(x)y=f(x±h)； y=f(x)y=f(x)±k(其中h>0，k>0). ②对称：y=f(x)y=f(-x)； y=f(x)y=-f(x)； y=f(x)y=-f(-x). ③翻转：y=f(x)→y=|f(x)|， 保持f(x)在x轴上方的图象不变，将x轴下方的图象沿着x轴向上翻折； y=f(x)→y=f(|x|)， 保持f(x)在y轴右侧的图象不变，去掉y轴左侧的图象，再将y轴右侧的图象沿着y轴向左翻折.(y=f(|x|)为偶函数，图象关于y轴对称) 特别提醒：要利用单调性、奇偶性、对称性简化作图. 跟踪训练4　已知函数f(x)= 方程f2(x)-bf(x)=0，b∈(0，1)，则方程的根的个数是(　　) A.2 B.3 C.4 D.5 答案　D 解析　因为f2(x)-bf(x)=0， 所以f(x)=0或f(x)=b， 作函数f(x)= 的图象如图， 结合图象可知，f(x)=0有2个不同的根，f(x)=b(0<b<1)有3个不同的根，且5个根都不相同，故方程的根的个数是5. 学科网（北京）股份有限公司 $