第8章 培优课 函数零点的综合问题（配套教参Word）-【步步高】2025-2026学年高一数学必修第一册学习笔记（苏教版）

本讲义聚焦函数零点的综合问题，系统梳理根据零点情况求参数范围、一元二次方程根的分布两大核心知识点。从函数零点概念与定理出发，结合数形结合、等价转换思想，通过例题解析、方法归纳搭建从基础到综合应用的学习支架。 该资料以分层题型设计为特色，包含例题、跟踪训练及课时对点练，注重数学思维培养。如例1通过因式分解转化参数关系，发展推理能力，跟踪训练1用数形结合分析图象交点，提升几何直观。课中辅助教师授课，课后助力学生查漏补缺，体现数学眼光与思维的融合。

培优课　函数零点的综合问题 函数的零点从不同的角度将数与形、函数与方程有机地联系在一起.函数的零点概念的生成与函数零点存在定理的探究的学习过程中蕴含了从一般思维难度到特殊思维方式以及数形结合、等价转换的数学思想. 一、根据零点情况求参数范围 例1　若函数f(x)=x3+ax2+bx+c有三个零点0，1，x0，且x0∈(1，2)，则a的取值范围是(　　) A.(-2，0) B.(1，2) C.(2，3) D.(-3，-2) 答案　D 解析　因为函数f(x)=x3+ax2+bx+c有三个零点0，1，x0，所以 解得 所以f(x)=x3+ax2+(-1-a)x=x(x-1)(x+a+1)，所以x0=-1-a，又x0∈(1，2)， 所以1<-1-a<2，解得-3<a<-2. 反思感悟　已知函数有零点(方程有根)求参数值(取值范围)常用的方法 (1)直接法：直接求解方程得到方程的根，再通过解不等式确定参数范围； (2)分离参数法：先将参数分离，转化成求函数的值域问题加以解决； (3)数形结合法：先对解析式变形，进而构造两个函数，然后在同一平面直角坐标系中画出函数的图象，利用数形结合的方法求解. 跟踪训练1　已知函数f(x)=若关于x的方程m-f(x)=0有两个不同的实数根，则实数m的取值范围是(　　) A. B.∪ C. D. 答案　C 解析　关于x的方程m-f(x)=0有两个不同的实数根，即y=m与y=f(x)的图象有两个不同的交点，作函数y=m与函数y=f(x)的图象如图，结合图象知，当y=m与y=f(x)有两个不同的交点时<m≤. 二、一元二次方程的根的分布问题 例2　已知关于x的方程x2+2(m-1)x+2m+6=0. (1)若方程有两个实根，且一个比2大，一个比2小，求实数m的取值范围； (2)若方程有两个实根α，β，且满足0<α<1<β<4，求实数m的取值范围； (3)若方程至少有一个正根，求实数m的取值范围. 解　设f(x)=x2+2(m-1)x+2m+6. (1)f(x)的大致图象如图所示， ∴f(2)<0， 即4+4(m-1)+2m+6<0， 得m<-1， ∴实数m的取值范围为(-∞，-1). (2)f(x)的大致图象如图所示， ∴ 解得-<m<- ∴实数m的取值范围为. (3)方程至少有一个正根，则有三种可能的情况， ①有两个正根，此时如图1，可得 即∴-3<m≤-1. ②有一个正根，一个负根，此时如图2， 可得f(0)<0，得m<-3. ③有一个正根，另一根为0，此时如图3， 可得∴m=-3. 综上所述，当方程至少有一个正根时，实数m的取值范围为(-∞，-1]. 反思感悟　二次函数零点分布的两种题型 (1)二次函数在某一个区间内有两个零点，一般情况下需要从以下四个方面考虑： ①二次函数的开口方向； ②对应一元二次方程根的判别式； ③对应二次函数的图象——抛物线的对称轴x=-在区间内； ④区间端点函数值的正负. (2)二次函数在某一个区间内仅有一个零点，只需考虑区间端点数值的正负. 跟踪训练2　已知方程x2-(2a+1)x+a(a+1)=0的两根分别在区间(0，1)，(1，3)内，则实数a的取值范围为　　　　.  答案　(0，1) 解析　设函数f(x)=x2-(2a+1)x+a(a+1)， 由题意得 即 解得0<a<1. 1.知识清单： (1)根据零点情况求参数的取值范围. (2)一元二次方程根的分布. 2.方法归纳：判别式法、数形结合法. 3.常见误区：不能把函数、方程问题相互灵活转化. 课时对点练 [分值：90分] 一、单项选择题(每小题5分，共30分) 1.当|x|≤1时，函数f(x)=ax+2a+1的值有正也有负，则实数a的取值范围是(　　) A. B.(-∞，-1] C. D. 答案　C 解析　|x|≤1⇒-1≤x≤1. 当a=0时，f(x)=1，函数值恒为正，不符合题意； 当a≠0时，要想函数f(x)=ax+2a+1的值有正也有负， 只需f(1)·f(-1)<0，即(a+2a+1)(-a+2a+1)=(3a+1)(a+1)<0⇒-1<a<-. 综上所述，实数a的取值范围是. 2.方程x+log3x=3的解为x0，若x0∈(n，n+1)，n∈N，则n等于(　　) A.0 B.1 C.2 D.3 答案　C 解析　设f(x)=x+log3x-3， 则f(1)=1+log31-3=-2<0， f(2)=2+log32-3=log32-1<0， f(3)=3+log33-3=1>0， 又易知f(x)为增函数， 所以方程x+log3x=3的解在(2，3)内， 因此n=2. 3.已知关于x的方程x2-kx+k+3=0有两个不相等的实数根且都大于2，则实数k的取值范围是(　　) A.k>6 B.4<k<7 C.6<k<7 D.k>6或k<-2 答案　C 解析　∵关于x的方程x2-kx+k+3=0有两个不相等的实数根且都大于2，设两根分别为x1，x2，∴ 解得6<k<7. 4.若函数f(x)=(其中a>0，a≠1)存在零点，则实数a的取值范围是(　　) A.∪(1，3) B.(1，3] C.(2，3) D.(2，3] 答案　C 解析　由函数的解析式可知a>2， 所以y=ax单调递增，在区间(2，a]上无零点，所以函数y=loga(x-2)在区间(a，+∞)上存在零点， 由于y=loga(x-2)单调递增， 故当x=a时，有loga(a-2)<0=loga1， 从而a-2<1⇒a<3， 所以实数a的取值范围是(2，3). 5.设x1，x2，x3均为实数，且=log2(x1+1)=log3x2=log2x3，则(　　) A.x1<x3<x2 B.x3<x2<x1 C.x3<x1<x2 D.x2<x1<x3 答案　A 解析　如图所示，由图象可知，x1<x3<x2. 6.对实数a，b，定义运算“*”：a*b=设函数f(x)=(x2+1)*(x+2)，若函数y=f(x)-c有两个零点，则实数c的取值范围是(　　) A.(2，4)∪(5，+∞) B.(1，2]∪(4，5] C.(-∞，1)∪(4，5] D.[1，2] 答案　B 解析　由题意知， 当(x2+1)-(x+2)≤1，即-1≤x≤2时，f(x)=x2+1； 当(x2+1)-(x+2)>1，即x>2或x<-1时，f(x)=x+2. ∴f(x)= ∵函数y=f(x)-c有两个零点， ∴函数y=f(x)的图象与函数y=c的图象有两个交点.画出函数y=f(x)的图象，如图所示. 由图可知，当c∈(1，2]∪(4，5]时，函数y=f(x)-c有两个零点. 二、多项选择题(每小题6分，共18分) 7.已知函数f(x)=-log2x，0<a<b<c，f(a)f(b)f(c)<0，实数d是函数f(x)的一个零点，给出下列四个判断，其中可能成立的是(　　) A.0<d<a B.c>d>b C.d>c D.a<d<b 答案　AB 解析　由y=在(0，+∞)上单调递减，y=log2x在(0，+∞)上单调递增，可得f(x)=-log2x在定义域(0，+∞)上单调递减，则当0<a<b<c时，f(a)>f(b)>f(c)，又因为f(a)f(b)f(c)<0，f(d)=0， 所以①若f(a)，f(b)，f(c)都为负值，则a，b，c都大于d； ②若f(a)>0，f(b)>0，f(c)<0，则a，b都小于d，c大于d. 综合①②可得d>c不可能成立，且d不可能在a，b之间，故A，B可能成立，C，D一定不成立. 8.关于x的方程ax2-|x|+a=0有四个不同的实数解，则实数a的值可能是(　　) A. B. C. D. 答案　BCD 解析　方法一　对于方程ax2-|x|+a=0，当a=0时， 只有一个解x=0， 因此要使方程ax2-|x|+a=0有四个不同的解， 则a≠0，x≠0， 此时方程可变为==|x|+. 作出函数y=|x|+的图象，如图所示， 则>2，即0<a<选项B，C，D符合题意. 方法二　ax2-|x|+a=0，即a|x|2-|x|+a=0， 令t=|x|，则at2-t+a=0， ① 由题意知，方程①有两个大于0的实根t1，t2， ∴∴0<a< 选项B，C，D符合题意. 9.已知二次函数y=ax2-4ax-3a+2(a<0)有两个零点x1，x2，且x1<x2，则(　　) A.x1+x2-4=0 B.x1x2+3>0 C.x2-x1>2 D.-<x1<x2< 答案　AC 解析　y=ax2-4ax-3a+2有两个零点x1，x2，且x1<x2，令y=0，因此Δ=16a2-4a(-3a+2)=28a2-8a，由于a<0，所以Δ>0恒成立，故 x1+x2-4=0，故A正确；x1x2+3=-3++3=<0，故B错误； x2-x1====>=2故C正确；由于二次函数的图象开口向下，且对称轴为直线x=2，f=f=2-a>0，因此两个零点x1<-x2>故D错误. 三、填空题(每小题5分，共15分) 10.已知函数f(x)=若正实数a，b，c互不相等，且f(a)=f(b)=f(c)，则abc的取值范围为　　　　.  答案　(e，e2) 解析　画出f(x)的图象如图所示， ∵正实数a，b，c互不相等， 且f(a)=f(b)=f(c)， 不妨设a<b<c， 则由图象可得0<a<1<b<e<c<e2， 且-ln a=ln b，则可得ab=1，∴abc=c∈(e，e2). 11.已知函数f(x)=若函数g(x)=f(x)-k有三个零点，则k的取值范围是　　　　.  答案　(-1，1) 解析　令g(x)=f(x)-k=0，可得f(x)=k， 作出y=f(x)的图象，如图， 由图可知，当y=k与y=f(x)的图象有三个不同的交点时，-1<k<1， 所以k的取值范围是(-1，1). 12.已知函数f(x)=若存在两个不相等的实数x1，x2，使得f(x1)=f(x2)，则实数a的取值范围是　　　　.  答案　(0，1) 解析　因为存在两个不相等的实数x1，x2，使得f(x1)=f(x2)，故函数不是单调函数，又函数y=x+1与y=2x的图象交于(0，1)和(1，2)两点，画出图象如图所示，由图可知，当0<a<1时，满足题意. 即实数a的取值范围是(0，1). 四、解答题(共27分) 13.(13分)函数f(x)=x2-2|x|+a-1有四个不同的零点，求实数a的取值范围. 解　方法一　由f(x)=0得a-1=2|x|-x2， 因为函数f(x)=x2-2|x|+a-1有四个不同的零点，所以直线y=a-1与函数y=2|x|-x2的图象有四个不同的交点， 画出函数y=2|x|-x2的图象，如图所示， 观察图象可知，0<a-1<1，即1<a<2， 所以实数a的取值范围是(1，2). 方法二　令f(x)=0，即x2-2|x|+a-1=0， 令t=|x|，则t2-2t+a-1=0， ① 由f(x)有四个不同的零点，得方程①有两个大于0的实数根t1，t2， 所以所以1<a<2， 即实数a的取值范围是(1，2). 14.(14分)已知函数f(x)=4x-2x+1-m. (1)当m=0时，求函数f(x)的零点；(6分) (2)若函数f(x)有两个零点，求实数m的取值范围.(8分) 解　(1)当m=0时， f(x)=4x-2x+1=(2x)2-2·2x=2x(2x-2). 令f(x)=0，可得2x=2，即x=1. ∴函数f(x)的零点是1. (2)令2x=t，显然t>0，则y=t2-2t-m. ∵函数f(x)有两个零点，且t=2x为单调函数， ∴方程t2-2t-m=0在(0，+∞)上有两个不同的解， ∴解得-1<m<0. ∴m的取值范围是(-1，0). 学科网（北京）股份有限公司 $