第3章 培优课 不等式恒成立、能成立问题（配套教参Word）-【步步高】2025-2026学年高一数学必修第一册学习笔记（苏教版）

本讲义聚焦高中数学不等式恒成立与能成立问题，系统梳理从R上恒成立（含二次项系数是否为0的讨论）到给定区间恒成立（端点值分析、分离参数），再到能成立问题（转化为函数最值）的递进脉络，提供判别式法、分离参数法、数形结合法等学习支架。 该资料以例题解析为核心，通过反思感悟提炼方法规律，跟踪训练强化应用，课时对点练分层巩固。培养学生逻辑推理（如例1分类讨论参数取值）、数学运算（如跟踪训练2分离参数求函数最值）和数学表达（如例3转化为不等式有解问题）等核心素养。课中助力教师系统授课，课后帮助学生查漏补缺，提升解题能力。

培优课　不等式恒成立、能成立问题 学习目标　会用判别式法、分离参数法、数形结合等方法解决不等式中的恒成立、能成立问题. 在面临不等式恒成立、能成立的问题时,常常使用不等式解集法、分离参数法、主参换位法和数形结合法解决,方法灵活,能提升学生的逻辑推理、数学运算等素养. 一、在R上的恒成立问题 例1　(1)已知不等式kx2+2kx-(k+2)<0恒成立,求实数k的取值范围； (2)若不等式-x2+2x+3≤a2-3a对任意实数x恒成立,求实数a的取值范围. 解　(1)当k=0时,原不等式化为-2<0,显然符合题意. 当k≠0时,令y=kx2+2kx-(k+2),由y<0恒成立, ∴其图象都在x轴的下方,即开口向下,且与x轴无交点.∴解得-1<k<0. 综上,实数k的取值范围是{k|-1<k≤0}. (2)原不等式可化为x2-2x+a2-3a-3≥0, ∵该不等式对任意实数x恒成立,∴Δ≤0, 即4-4(a2-3a-3)≤0,即a2-3a-4≥0, 解得a≤-1或a≥4, ∴实数a的取值范围是{a|a≤-1或a≥4}. 反思感悟　转化为一元二次不等式解集为R的情况,即ax2+bx+c>0(a≠0)恒成立⇔ ax2+bx+c<0(a≠0)恒成立⇔ ax2+bx+c≥0(a≠0)恒成立⇔ ax2+bx+c≤0(a≠0)恒成立⇔ 注意：若题目中未强调是一元二次不等式,且二次项系数含参,则一定要讨论二次项系数是否为0. 跟踪训练1　若关于x的不等式kx2+3kx+k-2>0的解集为∅,则实数k的取值范围是(　　) A. B. C. D. 答案　D 解析　当k=0时,-2>0无解,符合题意； 当k≠0时,需满足k<0且9k2-4k(k-2)=5k2+8k≤0,得-≤k<0, 综上,k的取值范围为. 二、在给定区间上恒成立的问题 例2　当1≤x≤2时,不等式x2+mx+4<0恒成立,则实数m的取值范围为　　　　.  答案　{m|m<-5} 解析　令y=x2+mx+4. ∵y<0在1≤x≤2上恒成立. ∴y=0的根一个小于1,另一个大于2. 如图,可得 ∴m的取值范围是{m|m<-5}. 反思感悟　在给定区间上的恒成立问题 (1)当a>0时,ax2+bx+c<0在x∈{x|α≤x≤β}上恒成立⇔y=ax2+bx+c在x=α,x=β时的函数值同时小于0；当a<0时,ax2+bx+c>0在x∈{x|α≤x≤β}上恒成立⇔y=ax2+bx+c在x=α,x=β时的函数值同时大于0. (2)通过分离参数将不等式恒成立问题转化为求函数的最值问题. 跟踪训练2　若对任意的-3≤x≤-1都有ax2-x-3<0成立,则实数a的取值范围是　　　.  答案　{a|a<0} 解析　ax2-x-3<0在-3≤x≤-1上恒成立,等价于a<=+在-1≤≤-上恒成立,令m=即a<3m2+m在-1≤m≤-上恒成立,二次函数y=3m2+m的对称轴为m=-所以当m=-时,y有最小值0,故a<0. 三、简单的能成立问题 例3　若存在x∈R,使得≥2成立,求实数m的取值范围. 解　∵x2-2x+3=(x-1)2+2>0, ∴4x+m≥2(x2-2x+3)能成立, ∴m≥2x2-8x+6能成立, 令y=2x2-8x+6=2(x-2)2-2≥-2, ∴m≥-2,∴m的取值范围为{m|m≥-2}. 反思感悟　能成立问题的解题思路 (1)结合二次函数图象,将问题转化为端点值的问题解决； (2)对一些简单的问题,可转化为m>ymin或m<ymax的形式,通过求y的最小值与最大值,求得参数的取值范围. 跟踪训练3　若关于x的不等式ax2+x+1>0在x∈[1,2]上有解,则实数a的取值范围为　　　　.  答案　(-2,+∞) 解析　由ax2+x+1>0,得ax2>-x-1, 因为x∈[1,2],所以a>--有解, 令=t,则t∈所以a>-t2-t, 即a>-+ 因为当t∈时,y=-+的最小值为-+=-2,所以a>-2. 1.知识清单： (1)在R上的恒成立问题. (2)给定区间上的恒成立问题. (3)简单的能成立问题. 2.方法归纳：等价转换法、数形结合法. 3.常见误区：要注意端点值的取舍. 课时对点练 [分值：90分] 一、单项选择题(每小题5分,共30分) 1.若关于x的不等式-x2+mx-1≥0有解,则实数m的取值范围是(　　) A.{m|m≤-2或m≥2} B.{m|-2≤m≤2} C.{m|m<-2或m>2} D.{m|-2<m<2} 答案　A 解析　因为关于x的不等式-x2+mx-1≥0有解,所以Δ=m2-4≥0,解得m≥2或m≤-2. 2.已知不等式x2+ax+4<0的解集为空集,则a的取值范围是(　　) A.{a|-4≤a≤4} B.{a|-4<a<4} C.{a|a≤-4或a≥4} D.{a|a<-4或a>4} 答案　A 解析　由题意得,Δ=a2-16≤0,解得-4≤a≤4. 3.若不等式x2-ax+1≥0对任意x∈恒成立,则实数a的最大值为(　　) A.0 B.2 C.3 D. 答案　D 解析　记y=x2-ax+1, 则由二次函数的图象(图略)知, 若不等式x2-ax+1≥0对任意x∈恒成立, 则≤0或或 解得a≤所以实数a的最大值为. 4.若关于x的不等式x2-(m+1)x+9≤0在[1,4]上有解,则实数m的最小值为(　　) A.9 B.5 C.6 D. 答案　B 解析　因为x2-(m+1)x+9≤0在[1,4]上有解,所以m+1≥x+在[1,4]上有解,所以m+1≥(x∈[1,4]),又因为x+≥2=6,当且仅当x=即x=3时取等号,所以m+1≥6,即实数m的最小值为5. 5.若两个正实数x,y满足+=1,且不等式x+<m2-3m有解,则实数m的取值范围是(　　) A.{m|-1<m<4} B.{m|m<0或m>3} C.{m|-4<m<1} D.{m|m<-1或m>4} 答案　D 解析　因为正实数x,y满足+=1, 所以x+==2++ ≥2+2=4, 当且仅当x=2,y=8时,x+取得最小值4, 由x+<m2-3m有解,可得m2-3m>4, 解得m>4或m<-1. 6.命题p：∃x∈(0,+∞),使得x2-λx+1<0成立.若p是假命题,则实数λ的取值范围是(　　) A.(-∞,2] B.[2,+∞) C.[-2,2] D.(-∞,-2]∪[2,+∞) 答案　A 解析　因为命题p：∃x∈(0,+∞),使得x2-λx+1<0成立, 所以命题p的否定：∀x∈(0,+∞),x2-λx+1≥0成立, 而p是假命题,故命题p的否定为真命题. 所以λ≤x+在x∈(0,+∞)上恒成立, 因为x+≥2=2,当且仅当x=即x=1时,等号成立, 所以λ≤2,即λ的取值范围是(-∞,2]. 二、多项选择题(每小题6分,共18分) 7.关于x的不等式ax2-2x+1<0的解集非空的一个必要且不充分条件是(　　) A.a<1 B.a≤1 C.a<2 D.a<0 答案　BC 解析　∵ax2-2x+1<0的解集非空,显然a≤0成立,由∴0<a<1,综上,ax2-2x+1<0的解集非空的充要条件为a<1,结合选项可知B,C正确. 8.已知当0<x≤2时,关于x的不等式ax2-2x+3a<0有解,则实数a的取值可能是(　　) A.-3 B.-2 C.1 D.2 答案　AB 解析　由当0<x≤2时,ax2-2x+3a<0有解, 可得a<有解, 当0<x≤2时=≤== 当且仅当x=时取等号,所以a<故A,B正确,C,D错误. 9.若对于∀x∈{x|a≤x≤a+2},不等式x2-2x-3≤0恒成立,则实数a的值可能为(　　) A.-2 B.-1 C. D.2 答案　BC 解析　不等式x2-2x-3≤0的解集是{x|-1≤x≤3}, 因为对于∀x∈{x|a≤x≤a+2},不等式x2-2x-3≤0恒成立, 记A={x|a≤x≤a+2},B={x|-1≤x≤3}, 则A⊆B, 所以 解得-1≤a≤1, 所以结合选项,实数a的值可能为-1. 三、填空题(每小题5分,共15分) 10.若关于x的不等式x2+(m-3)x+m<0无解,则实数m的取值范围是　　　　.  答案　{m|1≤m≤9} 解析　∵x2+(m-3)x+m<0无解, ∴Δ=(m-3)2-4m=m2-10m+9≤0, 解得1≤m≤9. 11.若关于x的不等式x2-4x-2-a≥0在{x|1≤x≤4}上有解,则实数a的取值范围是　　　.  答案　{a|a≤-2} 解析　由x2-4x-2-a≥0, 得a≤x2-4x-2=(x-2)2-6, 所以当1≤x≤4时,(x-2)2-6∈[-6,-2], 所以a≤-2. 12.关于x的不等式(a2-1)x2-(a-1)x-1≤0的解集为R,则实数a的取值范围是　　　　　　　　　　.  答案　 解析　当a2-1=0时,a=1或a=-1, 若a=1,不等式为-1≤0,恒成立； 若a=-1,不等式为2x-1≤0, 解得x≤不符合题意. 当a2-1≠0时, 若要不等式(a2-1)x2-(a-1)x-1≤0的解集为R, 则a2-1<0,且Δ=(a-1)2+4(a2-1)≤0, 解得-≤a<1. 综上可得,实数a的取值范围是. 四、解答题(共27分) 13.(13分)已知对∀x∈{x|2≤x≤3},不等式mx2-mx-1<0恒成立,求m的取值范围. 解　由不等式mx2-mx-1<0,得m(x2-x)<1, 因为x∈{x|2≤x≤3},所以x2-x>0, 所以m(x2-x)<1可化为m< 因为x2-x=-≤6, 所以≥所以m<. 即m的取值范围是. 14.(14分)设函数y=2x2+bx+c.已知关于x的不等式y<20的解集为(-4,1). (1)求函数的解析式；(7分) (2)若关于x的方程y<mx在区间(2,4)内有解,求实数m的取值范围.(7分) 解　(1)不等式y<20的解集为(-4,1), 即2x2+bx+c-20<0的解集为(-4,1), ∴-4和1是方程2x2+bx+c-20=0的两个根, 由根与系数的关系可得 解得b=6,c=12, ∴y=2x2+6x+12. (2)∵关于x的方程y<mx在区间(2,4)内有解, ∴m>2x++6在区间(2,4)内有解, 当x∈(2,4)时,2x++6≥2+6=4+6,当且仅当x=时,等号成立, ∴实数m的取值范围为(4+6,+∞). 学科网（北京）股份有限公司 $